Revista Brasileira de Ensino de Fı́sica vol. 20, no. 3, Setembro, 1998
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Criação de um Dipolo: O Proto-Potencial Vetor
(Creation of a dipole: the proto-potential vector)
G. F. Leal Ferreira
Instituto de Fı́sica, Universidade de São Paulo
Caixa Postal 369, 13560-970, São Carlos, SP, Brasil
Recebido 3 de novembro, 1997
Os campos gerados na criação de um dipolo são obtidos e em especial o que chamamos de protopotencial vetor do qual derivam os campos elétrico e magnético. Vendo o movimento de uma carga
como a criação continua dipolos ao longo da sua trajetória os potenciais de Liénard-Wiechert são
reobtidos. Expressão do campo elétrico dada por Feynman, sem demonstração, no Volume I de suas
Lectures, é deduzida.
The fields generated in the creation of a dipole are obtained specially, as we call it, the proto-potential
vector, from which both fields, the electric and magnetic, derive. Looking the movement of a charge
as a continuous creation of dipoles along the path, the Liénard-Wiechert potentials are found. An
expression for the electric field presented by Feynman, without proof, in the first volume of his
Lectures, is obtained.
1. Introdução
O dipolo oscilante é o paradigma da emissão de
radiação nos textos introdutórios de Eletromagnetismo. Um
caso igualmente simples de ser estudado é o da criação
instantânea de um dipolo, com os campos transientes e
permanentes a ela associados. É mesmo mais fundamental,
já que um sistema de correntes no espaço e no tempo pode
ser obtido dela por superposição. E mais, pela matemática
da função delta, podemos obter os campos de uma carga em
movimento, numa abordagem alternativa à usual, embora
mais longa.
Na formulação do Eletromagnetismo confrontamo-nos
com dois campos - o elétrico e o magnético -, cada um a
grosso modo associado a suas fontes, cargas e correntes, que
em fenômenos dependentes do tempo, geram os potenciais
retardados. Mas, pela condição de Lorentz, os dois
potenciais - o vetorial e o escalar -, relacionam-se numa
equação do tipo de continuidade, reminiscente da equação
da continuidade corrente-carga, o que vai permitir, por uma
transformação de calibre, a definição de um proto-potencial
vetor do qual unicamente derivam os campos elétrico e
magnético . No presente trabalho achamos os campos
associados à criação do dipolo, o proto-potencial vetor, os
potenciais de Liénard-Wiechert e tambem o campo elétrico
associado a uma carga em movimento de forma a reproduzir
equação que Feynman apresenta sem demonstração no
Cap.28, Eq.28.3, vol.I de suas Lectures [1].
2. Campos de criação de um dipolo
2.1 O Potencial vetor
Consideremos uma curva e seja s o seu comprimento de
arco. Se em s = 0 e ao longo da tangente à curva cria-se o
dipolo p~ em t = 0, a corrente linear J~s (s, t) será dada por
(ver Fig. 1 na qual a curva foi omitida)
J~s (s, t) = p~δ(s)δ(t)
(1)
e o potencial vetor A(~x, t) será no ponto ~x, contado a partir
de s = 0, e no tempo t,
~ x, t) =
A(~
Z ~
Js (t − r/c)ds
r
(2)
ou seja
~ x, t) = p~δ(t − r/c)/cr
A(~
(3)
em que r = |~x|, c é a velocidade da luz e os deltas
~ se constitui
representam a função δ de Dirac. Portanto, A
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202
num pulso de intensidade p~ que se propaga esfericamente a
partir do ponto de criação do dipolo.
p~ · ê
p~ · ê
δ(t − r/c) +
δ̇(t − r/c)
(5)
r2
cr
em que se omitiu a dependência na posição e no tempo
em Φ̇. ê é o versor do vetor posição ~x e δ̇ a derivada, em
relação ao seu argumento, da função delta. Na Eq.5 usou-se
~ · (~
~ , com p~ um vetor
a identidade vetorial ∇
p · f ) = p~ · ∇f
constante e f uma função escalar. Da Eq.5 acha-se Φ por
integração no tempo:
Φ̇ =
p~ · ê
r
[Θ(t − r/c) + δ(t − r/c)].
(6)
2
r
c
Note-se que o potencial escalar apresenta, além do
Φ=
Figura 1. O dipolo p
~ é criado instantaneamente na origem O. Os
campos são calculados no ponto ~
x, com ~x = rê, ê versor. ~k1 é o
vetor componente de p
~ na direção normal a ê.
2.2 O potencial escalar
termo dipolar para t ≥ r/c, termo pulsado, da ordem
de 1/r, reminiscente do campo coulombiano e devido à
discriminação entre os tempos de chegada dos sinais das
cargas positiva e negativa, conforme o ponto de observação.
Isto ficaria bem visı́vel se tivéssemos preferido usar os
potenciais retardados das cargas criadas.
2.3 O campo elétrico de criação do dipolo
Da condição de Lorentz
~ é obtido de
O campo elétrico, E,
~ ·A
~ + Φ̇/c = 0
∇
(4)
em que Φ é o potencial escalar e Φ̇ sua derivada parcial em
relação ao tempo, tira-se
~
~ = −∇Φ
~ − 1 ∂A
E
c ∂t
(7)
Para o gradiente encontramos
c
h
i p~ · ê p~ · ê
~ = Θ(t − r/c) + r δ(t − r/c) ∇
~
∇Φ
− 2 δ̇(t − r/c)ê
(8)
c
c2 r
c r
onde fundimos no termo em delta contribuições dos dois termos da Eq.6 e renunciando assim ao rastreamento detalhado da
~
~ finalmente
origem dos termos. Continuando, ∂ A/∂t
obtém-se logo da Eq.4 e para o campo elétrico, E,
h
i p~ · ê
p~ − p~ · êê
~ = − Θ(t − r/c) + r δ(t − r/c) ∇
~
E
− δ̇(t − r/c)
c
r2
c2 r
(9)
d
O vetor no termo em δ̇ na Eq. 9 nada mais é do que a
2.4 O proto-potencial vetor
componente p~ na direção normal a ê e que chamaremos de
~k1 (ver Fig. 1), ou seja,
Definimos o proto-potencial vetor como aquele que gera
~ ·E
~ =0
tanto o campo elétrico como o magnético. Como ∇
p~ − p~ · êê = ~k1
(10)
em todo o espaço, excluindo a singularidade, um novo
~ p (~x, t), com ∇
~ ·A
~ p = 0, pode ser definido tal que
A
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−
~p
1 ∂A
~
=E
c ∂t
203
(11)
ou seja,
Z
~ p (~x, t) = −
A
t
~ x, t0 )dt0
E(~
(12)
−∞
Pela Eq. (9) obtém-se
~
~ p = ctΘ(t − r/c)∇
~ p~ · ê − δ(t − r/c) k1
A
2
r
cr
(13)
É interessante que o proto-potencial vetor guarda memória
do tempo de criação do dipolo e não do tempo em que o
sinal o alcançou. Poder-se-ia dar algum sentido fı́sico a isto?
~ p é
Nao sabemos. Notemos tambem 1) que o rotacional de A
~ Eq. 4, gerando portanto o mesmo
igual ao rotacional de A,
campo magnético e 2) que se usarmos a Eq. 13 como ponte
para se obter o (super) vetor potencial de uma distibuição
Figura 2. No instante genérico t2 a carga q, situada em ~
x1 com
velocidade ~ν , cria o dipolo ~ν dt2 · ê é o versor de ~x − ~x1 e r o
módulo deste. ~k é o vetor componente de ~ν na direção normal a ê.
de correntes no espaço e no tempo, as suas singularidades,
ligadas à densidade de corrente e carga instantaneas, devem
3.1 O potencial vetor de uma carga em movimento
adicionadas.
Vamos adaptar a Eq.3 ao problema presente. Em vez de
t − r/c devemos por t̄, abaixo definido, já que o tempo de
emissão é t2 e não zero:
3. Os potenciais de uma carga em movimento
t̄ = t − t2 − r(t2 )/c
Seja ~x1 = ~x1 (t1 ) a equação de movimento de uma carga
q, contada de uma origem O (ver Figura 2). A ação emitida
por q no tempo genérico t2 atingirá o ponto ~x no tempo t tal
(16)
para o potencial vetor no ponto ~x e no instante t, diretamente
da Eq.3,
~ x, t) = 1
A(~
c
que
Z
∞
−∞
q~ν (t2 )δ(t̄)
dt2
r(t2 )
(17)
Relembremos que
t = t2 + r(t2 )/c
(14)
Z
∞
δ(t̄(t2 ))f (t2 )dt2 =
−∞
em que r(t2 ) é igual a |~x − ~x1 (t2 )|.
f (t20
|df /dt20 |
(18)
onde t20 é a raiz da equação t̄ − (t2 ) = 0 e f uma função
O movimento da carga pode ser visto como a contı́nua
criação de dipolos elementares, de momento d~
p(t2 ), no
regular. Da Eq. 13 e lembrando que t deve ser mantido
constante
tempo t2 ,
dt̄ = −dt2 − (dr/cdt2 )dt2
(19)
Mas
d~
p − (t2 ) = qd~x1 (t2 ) = q~ν (t2 )dt2
sendo ~ν a velocidade de q.
(15)
r=
p
(x − x1 (t2 ))2 + ...
e com o ı́ndice r indicando grandezas retardadas,
(20)
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204
dr/dt2 = −~ν (t2 ) · êr (t2 )
(21)
em relação ao tempo atual, e não em relação ao tempo
retardado.
Os termos em Θ, δ e δ̇ da Eq.9 o gerarão os três termos
e então
µ
¶
~ν (t2 ) · êr (t2 )
dt̄ = −dt2 1 −
c
(22)
Agora, a raiz de t̄ − (t2 ) = 0 dá o tempo retardado tr ,
correspondente a t e ~x e finalmente
da Eq.28. O primeiro deles, com a função Θ, dará o campo
retardado, exatamente como fornecido pelo primeiro termo
da Eq.24, no cálculo do potencial escalar. Passemos ao o
termo em δ na Eq.9.
4.1 Cálculo do termo em delta
q~νr
~=
A
.
c(1 − ~νr · êr /c)rr
(23)
Seguindo as Eq.14-16 e 19-22, e integrando-se no tempo
~ 2 dado por
t2 , temos E
3.2 O potencial escalar de uma carga em movimento
~ ~ν · êr
~ 2 = − q rr ∇
E
K c
rr2
A Eq.6 gera dois termos
·Z
∞
Φ=q
−∞
Θ(t̄)d~x2 · ê(t2 )
+
r2 (t2 )
Z
∞
dt2
−∞
rδ(t̄)
c
¸
(24)
O primeiro, Φ1 com a função degrau, integra as açoes
pregressas do tipo dipolo ao longo de sua trajetória. Como
resultado, dará o potencial da carga q na posição retardada,
ou seja,
Φ1 =
q
rr
q~νr · êr
¢
Φ2 = ¡
1 − ~νrc·êr rr
lembrando que o gradiente é tomado em relação a ~x, ponto
de observação. Mas por identidade vetorial com ~ν constante
e êr /rr2 irrotacional, tem-se
~ = ~νr · êr = (~νr · ∇)
~ êr
∇
rr2
rr2
~ ~er = dxr ∂ êr
(~νr · ∇)
rr2
dtr ∂x rr2
~er
d êr
=−
rr2
dtr rr2
(32)
dt
~νr · êr
=1−
=K
dtr
c
(33)
d
dt d
=
dtr
dtr dt
(34)
~
(~νr · ∇)
(26)
Mas, pelas Eqs 14 e 21
(27)
com K = 1 − ~νr · êr /c de agora em diante.
e sendo
4. O campo elétrico de Feynman
chega-se finalmente ao segundo termo da Eq.28.
No Cap.28 do livro I de suas Lectures [1], Feynman dá
a seguinte expressão para o campo elétrico de uma carga em
4.2 Cálculo do termo em delta ponto
movimento, sem demonstrá-la:
·
¸
2
~ = q êr + rr d êr + 1 d êr
E
rr2
c dt rr2
c2 dt2
(31)
e como ∂/∂x = −∂/∂xr e então da Eq.31 segue
A soma de Φ1 e Φ2 dá o potencial retardado conhecido
q
Φ=
Krr
(30)
e tomando eixos coordenados com o eixo x apontando na
direção de ~νr , temos
(25)
Usando agora as Eq.18-22 na integral com a δ(t̄), temos para
Φ2
(29)
(28)
Seguindo os mesmos passos,
~ 3,
componente do campo, E
~3 = − q
E
c2
Z
∞
δ̇(t̄)
−∞
temos para essa
~k(t2 )
dt2
r(t2 )
(35)
na nossa notação. Na verdade, ele emprega o versor −êr ,
da direção com que o ponto de observação vê a posição
em que o vetor ~k representa o vetor ~k1 , Eq.10, com p~ indo
retardada de q, permitindo interpretação mais sugestiva
em ~ν (Fig.2). Antes de integrarmos por partes para se obter
da fórmula. Na Eq.28, as derivadas temporais são feitas
a delta devemos atualizar a derivada para a variável t2 pondo
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dt2
δ(t2 )
(36)
dt̄
usando-se o resultado na Eq.19 e integrando em dt2 , tem-se
δ̇(t̄) =
~3 = −
E
~k(tr )
q
d
K(tr )c2 dtr K(tr )rr (tr )
(37)
Vamos mostrar que esta expressão reproduz o terceiro
termo da Eq.28. Mudemos a derivada em relação a tr , em
derivada em relação a t com o auxı́lio da Eq.33. Temos então
que provar a igualdade
ou que
d ~kr
d d
êr
=−
dt Kr rr
dt dt
(38)
~kr
dêr
=−
dt
Kr r r
(39)
Mudando a derivação para a variável tr usando a Eq.33, vem
~kr
dêr
=
rr
dtr
(40)
relação que segue diretamente da definição de êr .
Adicionado nas provas: na [4] apresenta-se dedução
alternativa do campo de Feynman, Eq.28.
5. Conclusões
Usualmente pensamos que só a Mecânica Quântica
tem seus mistérios de interpretação.
Mas o próprio
Eletromagnetismo os tem. Vejamos: a definição de suas
grandezas fundamentais, os campos, se faz com o auxı́lio de
uma carga imaginada em cada ponto do espaço, com uma
dada velocidade, e da força que a solicitaria. Enquanto isto
pode ser considerado perfeito do ponto de vista matemático,
do ponto de vista fı́sico, a primeira vista, é insatisfatório.
Feynman diz que como há força quando a carga está ali,
alguma coisa fica quando ela é retirada [3]. Pode ser que
não haja outra saida. A própria ambiguidade de prevalência
entre os campos (de força) e os potenciais, os últimos se
205
expressando de forma inteligı́vel pelos potenciais retardados
e os primeiros com a potencialidade de exercer força (os
campos de força são neste sentido também potenciais)
é embaraçosa. Neste trabalho chegamos ao proto-vetor
potencial do qual podemos extrair os campos elétrico e
magnético do elemento de corrente e daı́, por superposição,
aqueles de uma distribuição no tempo e no espaço (sem
outras discussões se o ponto é exterior). Mas acontece que
ele é apenas um potencial.
Acreditamos que num ensino de Fı́sica menos formal
estas dificuldades deveriam ser expostas com clareza, o que
talvez viesse a trazer, no futuro, alguma luz ao assunto.
Tudo isto sem prejuizo do ensino da teoria com a mesma
tecnicidade com que se faz o da Mecânica Quântica.
Finalmente, o longo caminho percorrido na Seção
4 deste para a identificação dos termos da fórmula de
Feynman nos mostra como foi ele engenhoso na obtenção
deles.
Agradecimentos
O autor agradece bolsa de pesquisador concedida pelo
CNPq.
Referências
1. R.P. Feynman, R.B. Leighton e M. Sands The Feynman
Lectures, Addison-Wesley, Reading (1966) Vol.I, Cap.
28.
2. E.V. Bohn Introduction to Electromagnetic Fields and
Waves, Addison-Wesley, Reading (1968) Cap.II.
3. R.P. Feynman, R.B. Leighton e M. Sands The Feynman
Lectures, Addison-Wesley, Reading (1966) Vol. II,
Seção 1-2.
4. A.R. Janah, T. Padmanabhan e T.P. Singh, Am.J.Phys.
56, 1036 (1988).