Criac~ao de um Dipolo: O Proto-Potencial Vetor
(Creation of a dipole: the proto-potential vector)
G. F. Leal Ferreira
Instituto de F
sica, Universidade de S~
ao Paulo
Caixa Postal 369, 13560-970, S~
ao Carlos, SP, Brasil
Recebido 3 de novembro, 1997
Os campos gerados na criac~ao de um dipolo s~ao obtidos e em especial o que chamamos de
proto-potencial vetor do qual derivam os campos eletrico e magnetico. Vendo o movimento
de uma carga como a criac~ao continua dipolos ao longo da sua trajetoria os potenciais
de Lienard-Wiechert s~ao reobtidos. Express~ao do campo eletrico dada por Feynman, sem
demonstrac~ao, no Volume I de suas Lectures, e deduzida.
The elds generated in the creation of a dipole are obtained specially, as we call it, the
proto-potential vector, from which both elds, the electric and magnetic, derive. Looking
the movement of a charge as a continuous creation of dipoles along the path, the LienardWiechert potentials are found. An expression for the electric eld presented by Feynman,
without proof, in the rst volume of his Lectures, is obtained.
1. Introduc~ao
O dipolo oscilante e o paradigma da emiss~ao de radiac~ao nos textos introdutorios de Eletromagnetismo.
Um caso igualmente simples de ser estudado e o da
criac~ao instant^anea de um dipolo, com os campos transientes e permanentes a ela associados. E mesmo mais
fundamental, ja que um sistema de correntes no espaco
e no tempo pode ser obtido dela por superposic~ao. E
mais, pela matematica da func~ao delta, podemos obter
os campos de uma carga em movimento, numa abordagem alternativa a usual, embora mais longa.
Na formulac~ao do Eletromagnetismo confrontamonos com dois campos - o eletrico e o magnetico -, cada
um a grosso modo associado a suas fontes, cargas e
correntes, que em fen^omenos dependentes do tempo,
geram os potenciais retardados. Mas, pela condic~ao
de Lorentz, os dois potenciais - o vetorial e o escalar -, relacionam-se numa equac~ao do tipo de continuidade, reminiscente da equac~ao da continuidade
corrente-carga, o que vai permitir, por uma transformac~ao de calibre, a de
nic~ao de um proto-potencial
vetor do qual unicamente derivam os campos eletrico
e magnetico . No presente trabalho achamos os campos associados a criac~ao do dipolo, o proto-potencial
vetor, os potenciais de Lienard-Wiechert e tambem o
campo eletrico associado a uma carga em movimento
de forma a reproduzir equac~ao que Feynman apresenta
sem demonstraca~o no Cap.28, Eq.28.3, vol.I de suas
Lectures 1].
2. Campos de criac~ao de um dipolo
2.1 O Potencial vetor
Consideremos uma curva e seja s o seu comprimento
de arco. Se em s = 0 e ao longo da tangente a curva
cria-se o dipolo ~p em t = 0, a corrente linear J~s (s t)
sera dada por (ver Fig. 1 na qual a curva foi omitida)
J~s (s t) = ~p(s)(t)
(1)
e o potencial vetor A(~x t) sera no ponto ~x, contado a
partir de s = 0, e no tempo t,
Z
~A(~x t) = J~s (t ; r=c)ds
(2)
r
ou seja
A~ (~x t) = p~(t ; r=c)=cr
(3)
em que r = j~xj c e a velocidade da luz e os deltas representam a func~ao de Dirac. Portanto, A~ se constitui
num pulso de intensidade p~ que se propaga esfericamente a partir do ponto de criac~ao do dipolo.
_ = p~r2e^ (t ; r=c) + p~cr e^ _ (t ; r=c)
(5)
= ~pr2e^(t ; r=c) + rc (t ; r=c)]:
(6)
em que se omitiu a depend^encia na posic~ao e no tempo
_ e^ e o versor do vetor posic~ao ~x e _ a derivada,
em .
em relac~ao ao seu argumento, da func~ao delta. Na Eq.5
~ (p~ f ) = p~ r~ f , com
usou-se a identidade vetorial r
p~ um vetor constante e f uma func~ao escalar. Da Eq.5
acha-se por integrac~ao no tempo:
Figura 1. O dipolo p~ e criado instantaneamente na origem
O. Os campos s~ao calculados no ponto ~x, com ~x = re^, e^
versor. ~k1 e o vetor componente de p~ na direc~ao normal
a e^.
2.2 O potencial escalar
Note-se que o potencial escalar apresenta, alem do
termo dipolar para t r=c, termo pulsado, da ordem
de 1=r, reminiscente do campo coulombiano e devido
a discriminac~ao entre os tempos de chegada dos sinais
das cargas positiva e negativa, conforme o ponto de observaca~o. Isto caria bem visvel se tivessemos preferido
usar os potenciais retardados das cargas criadas.
2.3 O campo eletrico de criac~ao do dipolo
Da condic~ao de Lorentz
O campo eletrico, E~ , e obtido de
r~ A~ + _ =c = 0
(4)
em que e o potencial escalar e _ sua derivada parcial
em relac~ao ao tempo, tira-se
~
E~ = ;r~ ; 1c @@tA
(7)
Para o gradiente encontramos
c
h
i
r~ = (t ; r=c) + rc (t ; r=c) r~ p~c2re^ ; p~c2 re^ _ (t ; r=c)^e
(8)
i
h
E~ = ; (t ; r=c) + rc (t ; r=c) r~ p~r2e^ ; _ (t ; r=c) p~ ;c2~pr e^e^
(9)
onde fundimos no termo em delta contribuico~es dos dois termos da Eq.6 e renunciando assim ao rastreamento
~ obtem-se logo da Eq.4 e para o campo eletrico, E~ , nalmente
detalhado da origem dos termos. Continuando, @ A=@t
O vetor no termo em _ na Eq. 9 nada mais e do que a
componente p~ na direc~ao normal a e^ e que chamaremos
de ~k1 (ver Fig. 1), ou seja,
p~ ; ~p e^e^ = ~k1
(10)
d
2.4 O proto-potencial vetor
De
nimos o proto-potencial vetor como aquele que
gera tanto o campo eletrico como o magnetico. Como
r~ E~ = 0 em todo o espaco, excluindo a singularidade,
~ A~ p = 0, pode ser de
nido tal
um novo A~ p (~x t), com r
que
A~ p = E~
; 1c @@t
ou seja,
A~ p (~x t) = ;
Zt
;1
E~ (~x t0 )dt0
(11)
(12)
Pela Eq. (9) obtem-se
~
A~ p = ct(t ; r=c)r~ ~pr2e^ ; (t ; r=c) kcr1
(13)
E interessante que o proto-potencial vetor guarda
memoria do tempo de criac~ao do dipolo e n~ao do tempo
em que o sinal o alcancou. Poder-se-ia dar algum sentido fsico a isto? Nao sabemos. Notemos tambem 1)
que o rotacional de A~ p e igual ao rotacional de A~ , Eq.
4, gerando portanto o mesmo campo magnetico e 2)
que se usarmos a Eq. 13 como ponte para se obter o
(super) vetor potencial de uma distibuic~ao de correntes
no espaco e no tempo, as suas singularidades, ligadas
a densidade de corrente e carga instantaneas, devem
adicionadas.
3. Os potenciais de uma carga em movimento
Seja ~x1 = ~x1 (t1 ) a equac~ao de movimento de uma
carga q, contada de uma origem O (ver Figura 2). A
ac~ao emitida por q no tempo generico t2 atingira o
ponto ~x no tempo t tal que
t = t2 + r(t2 )=c
(14)
em que r(t2 ) e igual a j~x ; ~x1 (t2 )j:
O movimento da carga pode ser visto como a
contnua criac~ao de dipolos elementares, de momento
d~p(t2 ), no tempo t2 d~p ; (t2 ) = qd~x1 (t2 ) = q~ (t2 )dt2
sendo ~ a velocidade de q.
(15)
Figura 2. No instante generico t2 a carga q, situada em ~x1
com velocidade ~ , cria o dipolo ~ dt2 e^ e o versor de ~x ~x1
e r o modulo deste. ~k e o vetor componente de ~ na direc~ao
normal a e^.
;
3.1 O potencial vetor de uma carga em movimento
Vamos adaptar a Eq.3 ao problema presente. Em
vez de t ; r=c devemos por t, abaixo de
nido, ja que o
tempo de emiss~ao e t2 e n~ao zero:
t = t ; t2 ; r(t2 )=c
(16)
para o potencial vetor no ponto ~x e no instante t, diretamente da Eq.3,
A~ (~x t) = 1c
Relembremos que
Z 1 q~ (t )(t)
2
dt2
;1 r(t2 )
(17)
Z1
f (t20
(t(t2 ))f (t2 )dt2 = jdf=dt
(18)
20 j
;1
onde t20 e a raiz da equac~ao t ; (t2 ) = 0 e f uma func~ao
regular. Da Eq. 13 e lembrando que t deve ser mantido
constante
dt = ;dt2 ; (dr=cdt2 )dt2
(19)
p
r = (x ; x1 (t2 ))2 + :::
(20)
Mas
e com o ndice r indicando grandezas retardadas,
e ent~ao
dr=dt2 = ;~ (t2 ) e^r (t2 )
(21)
dt = ;dt2 1 ; ~ (t2 ) ce^r (t2 )
(22)
Agora, a raiz de t ; (t2 ) = 0 da o tempo retardado tr ,
correspondente a t e ~x e nalmente
A~ = c(1 ; ~q~re^ =c)r :
r
r
r
(23)
3.2 O potencial escalar de uma carga em movimento
sugestiva da formula. Na Eq.28, as derivadas temporais
s~ao feitas em relaca~o ao tempo atual, e n~ao em relac~ao
ao tempo retardado.
Os termos em , e _ da Eq.9 o gerar~ao os tr^es
termos da Eq.28. O primeiro deles, com a func~ao ,
dara o campo retardado, exatamente como fornecido
pelo primeiro termo da Eq.24, no calculo do potencial
escalar. Passemos ao o termo em na Eq.9.
4.1 Calculo do termo em delta
Seguindo as Eq.14-16 e 19-22, e integrando-se no
tempo t2 , temos E~ 2 dado por
E~ 2 = ; Kq rcr r~ ~ r 2e^r
(29)
r
A Eq.6 gera dois termos
Z 1
Z 1 r(t) (
t
)
d~
x
^
(
t
2e
2)
=q
(24)
r2 (t2 ) + ;1 dt2 c
;1
O primeiro, 1 com a func~ao degrau, integra as acoes
pregressas do tipo dipolo ao longo de sua trajetoria.
Como resultado, dara o potencial da carga q na posic~ao
retardada, ou seja,
1 = rq
r
(25)
Usando agora as Eq.18-22 na integral com a (t), temos
para 2
2 = ; q~~rre^e^rr
1 ; c rr
(26)
A soma de 1 e 2 da o potencial retardado conhecido
q
= Kr
r
(27)
com K = 1 ; ~r e^r =c de agora em diante.
r~ = ~rr2e^r = (~r r~ ) re^2r
r
r
(30)
e tomando eixos coordenados com o eixo x apontando
na direc~ao de ~r temos
~ ) ~e2r = dxr @ e^2r
(~r r
(31)
rr dtr @x rr
e como @=@x = ;@=@xr e ent~ao da Eq.31 segue
~ ) ~er2 = ; d e^r2
(~r r
rr
dtr rr
Mas, pelas Eqs 14 e 21
dt = 1 ; ~r e^r = K
dtr
e sendo
c
d dt d
dtr = dtr dt
(32)
(33)
(34)
chega-se nalmente ao segundo termo da Eq.28.
4. O campo eletrico de Feynman
No Cap.28 do livro I de suas Lectures 1], Feynman
da a seguinte express~ao para o campo eletrico de uma
carga em movimento, sem demonstra-la:
2
E~ = q re^2r + rcr dtd er^r2 + c12 dtd 2 e^r
r
r
lembrando que o gradiente e tomado em relaca~o a ~x,
ponto de observac~ao. Mas por identidade vetorial com
~ constante e e^r =rr2 irrotacional, tem-se
(28)
na nossa notac~ao. Na verdade, ele emprega o versor
;e^r , da direc~ao com que o ponto de observac~ao v^e a
posic~ao retardada de q, permitindo interpretac~ao mais
4.2 Calculo do termo em delta ponto
Seguindo os mesmos passos, temos para essa componente do campo, E~ 3 ,
Z 1 ~k(t )
E~ 3 = ; cq2
_ (t) r(t 2) dt2
;1
2
(35)
em que o vetor ~k representa o vetor ~k1 , Eq.10, com ~p
indo em ~ (Fig.2). Antes de integrarmos por partes
para se obter a delta devemos atualizar a derivada para
a variavel t2 pondo
_ (t) = dtdt2 (t2 )
(36)
usando-se o resultado na Eq.19 e integrando em dt2 ,
tem-se
~
E~ 3 = ; K (tq )c2 dtd K (tk()trr )(t )
r
r
r r r
(37)
d ~kr = ; d d e^
dt Kr rr
dt dt r
(38)
de^r = ; ~kr
dt
Kr rr
(39)
Vamos mostrar que esta express~ao reproduz o terceiro termo da Eq.28. Mudemos a derivada em relac~ao
a tr , em derivada em relac~ao a t com o auxlio da Eq.33.
Temos ent~ao que provar a igualdade
ou que
Mudando a derivac~ao para a variavel tr usando a Eq.33,
vem
~kr de^r
(40)
r = dt
r
r
expressando de forma inteligvel pelos potenciais retardados e os primeiros com a potencialidade de exercer
forca (os campos de forca s~ao neste sentido tambem
potenciais) e embaracosa. Neste trabalho chegamos ao
proto-vetor potencial do qual podemos extrair os campos eletrico e magnetico do elemento de corrente e da,
por superposic~ao, aqueles de uma distribuica~o no tempo
e no espaco (sem outras discuss~oes se o ponto e exterior). Mas acontece que ele e apenas um potencial.
Acreditamos que num ensino de Fsica menos formal
estas di
culdades deveriam ser expostas com clareza, o
que talvez viesse a trazer, no futuro, alguma luz ao assunto. Tudo isto sem prejuizo do ensino da teoria com
a mesma tecnicidade com que se faz o da Mec^anica
Qu^antica.
Finalmente, o longo caminho percorrido na Sec~ao
4 deste para a identi
cac~ao dos termos da formula
de Feynman nos mostra como foi ele engenhoso na
obtenc~ao deles.
Agradecimentos
relac~ao que segue diretamente da de
nic~ao de e^r . Adicionado nas provas: na 4] apresenta-se deduc~ao alternativa do campo de Feynman, Eq.28.
O autor agradece bolsa de pesquisador concedida
pelo CNPq.
5. Conclus~oes
Refer^encias
Usualmente pensamos que so a Mec^anica Qu^antica
tem seus misterios de interpretac~ao. Mas o proprio
Eletromagnetismo os tem. Vejamos: a de
nica~o de
suas grandezas fundamentais, os campos, se faz com
o auxlio de uma carga imaginada em cada ponto do
espaco, com uma dada velocidade, e da forca que a
solicitaria. Enquanto isto pode ser considerado perfeito do ponto de vista matematico, do ponto de vista
fsico, a primeira vista, e insatisfatorio. Feynman diz
que como ha forca quando a carga esta ali, alguma coisa
ca quando ela e retirada 3]. Pode ser que n~ao haja
outra saida. A propria ambiguidade de preval^encia entre os campos (de forca) e os potenciais, os ultimos se
1. R.P. Feynman, R.B. Leighton e M. Sands
The Feynman Lectures, Addison-Wesley, Reading
(1966) Vol.I, Cap. 28.
2. E.V. Bohn Introduction to Electromagnetic Fields
and Waves, Addison-Wesley, Reading (1968)
Cap.II.
3. R.P. Feynman, R.B. Leighton e M. Sands
The Feynman Lectures, Addison-Wesley, Reading
(1966) Vol. II, Sec~ao 1-2.
4. A.R. Janah, T. Padmanabhan e T.P. Singh,
Am.J.Phys. 56, 1036 (1988).