UFPR - Universidade Federal do Paraná
Setor de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
CM037 - Tópicos de Análise I
Prof. Zeca Eidam
Lista 1
P Limites de sequências
1. Calcule limn→∞ x n para cada sequência {x n } a seguir, justificando suas respostas:
µ
¶
p
1 1/n
n2 − 1
n
(3)
x
=
(1) x n = 5
(2)
x
=
1
+
n 4 + 2011n 3 − 5
n
n
n
2
n + (−1) n
n
p
n +1
(5) a n =
,n≥2
n −1
¶1
µ
1 2
(4) a n = 4 +
n
(7) a n =
p
p
n +1 − n
p
(10) a n = n( n 2 + 1 − n)
(13) a n =
2n + sin n
5n + 1
(8) a n =
n + (−1)n
n − (−1)n
n 3 + 3n + 1
(6) a n =
4n 3 + 2
(9) a n =
n +1
2n
−
n +1
2n
(11) a n =
sin n
n
(12) a n = sin n
(14) a n =
(n+3)!−n!
(n+4)!
(15) a n =
p
n
n2 + n
n sin(n!)
(16) a n =
n2 + 1
3n
(17) a n = n
2 + 10n
n +2
(18) a n =
n +1
(n + 1)n
(19) a n =
n n+1
(20) a n = na n , a ∈ R
(21) a n =
(22) a n = n − n 2 sin
1
n
µ
¶µ
¶ µ
¶
1
1
1
(25) a n = 1 −
1− ... 1−
2
3
n
(23) a n =
p
n
an + bn , 0 < a < b
p
n + sin(2n! − 7)
(26) a n =
p
n +3 n
(28) a n =
p
n
n
(29) a n =
(31) a n =
p
n
n!
(32) a n =
1
nα
,α∈R
en
p
n
a, a > 0
µ
¶n
n!
nn
(24) a n = (−1)n +
(27) a n =
(−1)n
n
1 1.3.5...(2n − 1)
·
n
2.4.6...(2n)
ln n
,α>0
nα
¶
µ
n −1 n
(33) a n =
n
(30) a n =
n +1
(34) a n =
n
µ
µ
¶n 2
3n + 5
(37) a n =
5n + 1
¶n µ ¶n
5
3
n +1
(35) a n =
n
µ
¶pn
µ
¶
1 n
(38) a n = 1 + 2
n
µ
3n + 5
(36) a n =
5n + 11
(39) a n = sin(
s
¶n
nπ
) cos n
2
1p
n
(40) a n =
(n + 1)(n + 2) · . . . · (2n)
n
n
(41) a n = p
n
n!
(42) a n =
n2 − 1
(43) a n = 5
n + (−1)n n 2
p
n
(44) a n = n 4 + 2012n 3 − 5
µ
¶
1 1/n
(45) a n = 1 +
n
n!2
(46) a n = 2n
n
5n
(47) a n = n
2 + 3n + 4n
p
n + 2n + 3
(48) a n = p
p
7
4
n + 17n − 8
3n 3 − n 2 + 11n
(49) a n =
n 4 − 2n 3
(52) x n =
n!
nn
µ
5n + 7
(50) a n =
3n + 8
(53) x n =
¶2n−4
(51) a n =
n
(2n)!
n!2
(2n)!
(n!)2
5n
3n + 5n + 7n
P Limite superior e inferior de sequências
2. Seja {x n } uma sequência limitada de números reais. Mostre que {x n } é convergente se e só se
lim infn→∞ x n = lim supn→∞ x n . Neste caso, este valor comum é o limite de {x n }.
3. Suponha que |x n | ≤ cos n, para todo n ∈ N. Prove que −1 ≤ lim infn→∞ x n ≤ 1.
4. Calcule os valores de aderência da sequência x n = sin n, n ∈ N.
5. Mostre que toda sequência possui uma subsequência monótona. Obtenha a partir daí uma
prova do teorema de Bolzano-Weierstrass.
6. Seja {x n } uma sequência de números reais.
|x n+1 |
< 1 então limn→∞ x n = 0.
|x n |
n→∞
|x n+1 |
­ Se lim sup
> 1 então limn→∞ |x n | = +∞.
|x n |
n→∞
|x n+1 |
® Se lim sup
= 1 então nada se pode afirmar, em geral.
|x n |
n→∞
¬ Se lim sup
7. Dada uma sequência {x n }, um termo x k chama-se termo destacado de {x n } se x k ≥ x n para todo
n ≥ k e consideremos o conjunto K = {k ∈ N : x k é um termo destacado } = {k 1 < k 2 < . . .}.
¬ Se K é infinito, mostre que a subequência {x k j } j ∈N é não-crescente.
­ Se K é finito, mostre que {x n } possui uma subsequência crescente.
® Conclua que qualquer sequência limitada possui uma subsequência monótona.
2
¯ Prove, a partir das afirmações acima, que toda sequência limitada de números reais possui
uma subsequência convergente.
8. Neste problema vamos dar outra prova do fato que toda sequência limitada de números reais
tem subsequência convergente. Para isso, seja {x n } uma sequência limitada de números reais.
¬ Seja M > 0 tal que −M ≤ x n ≤ M , para todo n ∈ N e considere o conjunto X = {x ∈ R :
x ≤ x n para uma infinidade de n ∈ N }. Mostre que α = sup X existe e α ≤ M .
­ Mostre que para qualquer ε > 0 existe uma infinidade de n ∈ N tais que α − ε < x n < α + ε.
® Conclua que α é valor de aderência de {x n }; em particular, existe uma subsequência {x n j } j ∈N
tal que lim j →∞ x n j = a.
P Limite superior e inferior de funções
9. Se f : [a, b] → R é monótona, mostre que f é contínua, exceto em um conjunto enumerável.
10. Suponhamos que lim infx→a f (x) = A e lim supx→a f (x) = B . Mostre que se x n → a então
A ≤ lim inf f (x n ) ≤ lim sup f (x n ) ≤ B .
n→∞
n→∞
11. Seja f : [a, b] → R limitada.
.
.
(a) Mostre que as funções f (x) = lim inf y→x f (y) e f (x) = lim sup y→x f (y), x ∈ [a, b] são semicontínuas inferiormente e superiormente, respectivamente.
(b) Sejam ϕ, ψ : [a, b] → R funções semi-contínuas inferiormente e superiomente, respectivamente, tais que ϕ(x) ≤ f (x) ≤ ψ(x), x ∈ [a, b]. Mostre que
ϕ(x) ≤ f (x) ≤ f (x) ≤ ψ(x) , x ∈ [a, b] .
Por esta razão, as funções f e f são chamadas de envelope inferior e envelope superior de
f , respectivamente.
12. Mostre que a função f : [0, ∞) → R dada por f (0) = 0, f (x) = 0 se x ∉ Q e f (x) = q se x = p/q com
p, q ∈ N primos entre si não é limitada superiormente em nenhum intervalo não degenerado.
13. Mostre que o conjunto dos valores de aderência de f : R → R, f (x) = sin(1/x), x 6= 0, f (0) = 0 em
x = 0 é o intervalo [−1, 1].
14. Determine o conjunto dos valores de aderência de f (x) =
x = 1.
3
cos(1/x 3 − 1)
ln |x − 1| + e 1/x−1
, x 6= 1, f (1) = 0, em