Aula prática – Trigonometria (Resoluções)
1) Determine os valores das demais funções trigonométricas de um arco x quando:
2
2
2
2
Relações conhecidas: sen α + cos α = 1 , tg α + 1 = sec α , tgα =
sec α =
1
cos α
senα
=
, cot gα =
,
cos α
tgα senα
1
1
2
2
, cot g α + 1 = cos sec α e cos sec α =
.
cos α
senα
a) senx = −
1 3π
< x < 2π .
e
2
2
Solução. O arco é do 4º quadrante. Observando os sinais das funções neste intervalo, temos:
2
1
 1
i) cosx: sen x + cos x = 1 ⇒  −  + cos 2 x = 1 ⇒ cos 2 x = 1 − ⇒ cos x =
4
 2
2
2
senx
=
ii) tgx: tgx =
cos x
iii) secx: sec x =
1
2 = − 1. 2 = − 1 = − 1 . 3 = − 3
2 3
3
3
3
3 3
2
−
1
1
2
2
3 2 3
=
=
=
.
=
cos x
3
3
3
3 3
2
iv) cotgx: cot gx =
1
=
tgx
v) cossecx: cos sec x =
b) cos x =
3
3
=
4
2
1
−
3
3
=−
3
3
=−
3
3
.
3
3
=−
3 3
=− 3
3
1
1
=
= −2
1
senx
−
2
1
π
e 0< x< .
3
2
Solução. O arco é do 1º quadrante. Observando os sinais das funções neste intervalo, temos:
2
1
1
i) senx: sen x + cos x = 1 ⇒ sen x +   = 1 ⇒ sen 2 x = 1 − ⇒ senx =
9
 3
2
2
2
2 2
senx
2 2 3
= 3 =
. =2 2
ii) tgx: tgx =
1
cos x
3 1
3
iii) secx: sec x =
8 2 2
=
9
3
1
1
= =3
cos x 1
3
iv) cotgx: cot gx =
1
1
1
2
2
=
=
.
=
tgx 2 2 2 2 2
4
v) cossecx: cos sec x =
1
1
3
3
2 3 2
=
=
=
=
.
senx 2 2 2 2 2 2 2
4
3
c) cos sec x = − 2 e π < x <
3π
.
2
Solução. O arco é do 3º quadrante. Observando os sinais das funções neste intervalo, temos:
i) senx: senx =
1
1
1
2
2
=
=
.
=−
cos sec x − 2 − 2 2
2
2

2
2
 + cos 2 x = 1 ⇒ cos 2 x = 1 − ⇒ cos x =
ii) cosx: sen x + cos x = 1 ⇒  −

4
 2 
2
2
2
2
=−
4
2
2
senx
2 =1
=
iii) tgx: tgx =
cos x
2
−
2
−
iv) secx: sec x =
1
=
cos x
v) cotgx: cot gx =
1
−
2
2
=−
2
2
=−
2
2
.
2
2
=−
2 2
=− 2
2
1
1
= =1
tgx 1
d) tgx = 3 e 0 < x <
π
2
.
Solução. O arco é do 1º quadrante. Observando os sinais das funções neste intervalo, temos:
2
2
2
i) secx: sec x = 1 + tg x ⇒ sec x = 1 +
ii) cosx: cos x =
( 3)
2
⇒ sec 2 x = 1 + 3 ⇒ sec x = 4 = 2
1
1
=
sec x 2
2
1
1
2
2
2
2
iii) senx: sen x + cos x = 1 ⇒ sen x +   = 1 ⇒ sen x = 1 − ⇒ senx =
4
2
3
3
=
4
2
iv) cossecx: cos sec x =
v) cotgx: cot gx =
2) Sendo cos x =
1
1
2
2
3 2 3
=
=
=
.
=
senx
3
3
3
3 3
2
1
1
1
3
3
=
=
.
=
tgx
3
3
3 3
4
π
e 0 < x < , calcule o valor de sen 2 x − 3senx .
5
2
Solução. O arco é do 1º quadrante. Calculando o valor de senx e substituindo, temos:
2
16
4
sen 2 x + cos 2 x = 1 ⇒ sen 2 x +   = 1 ⇒ sen 2 x = 1 −
⇒ senx =
25
5
9
36
 3  9 9 9 − 45
Logo : sen 2 x − 3senx =
− 3  =
− =
=−
25  5  25 5
25
25
3) Sabendo que cos a = −
9
3
=
25 5
5 π
e
< a < π , calcule o valor de (1 + sena )(
. 1 − sena ) .
5
2
Solução. O produto indicado é a diferença de quadrados do tipo (a + b) (a – b) = a2 – b2. O arco é do 2º
quadrante. Temos:
2


(1 + sena )(. 1 − sena ) = 1 − sen a = cos a =  − 5  = 5 = 1 .
25 5
 5 
2
4) Dado cos x =
2
2
π
, com 0 < x < , determine o valor de sec x + cos sec x .
2
2
Solução. O arco é do 1º quadrante. Substituindo as relações conhecidas e calculando a soma, temos:
2
 2
 = 1 ⇒ sen 2 x = 1 − 2 ⇒ senx =
sen x + cos x = 1 ⇒ sen x + 

4
 2 
2
2
sec x + cos sec x =
2
2
2
=
4
2
1
1
2
2
4
4
2 4 2
+
=
+
=
=
.
=
=2 2
cos x senx
2
2
2
2
2 2
5) Se cos a =
1
π
cos sec a − sena
e 0 < a < , qual é o valor da expressão y =
?
2
2
sec a − cos a
Solução. O arco é do 1º quadrante. Substituindo as relações conhecidas e calculando o quociente, temos:
2
1
1
sen 2 a + cos 2 a = 1 ⇒ sen 2 a +   = 1 ⇒ sen 2 a = 1 − ⇒ sena =
4
2
3
3
=
4
2
2
3 4−3
1
1
−
− sena
cos sec a − sena sena
1 2
1
1
3
3
2
3
2 3
2 3
y=
=
=
=
=
=
. =
=
.
=
1
1
4 −1
3
9
sec a − cos a
2 3 3 3 3 3 3 3
− cos a
2−
cos a
2
2
2
6) Simplifique as expressões:
a) y =
sec x − cos sec x
1 − cot gx
b) y = (sec x − cos x )(
. cos sec x − senx )(
. tgx + cot gx )
Solução. Expressando os termos em senos e cossenos, temos:
1
1
senx − cos x
−
senx
senx
1
cos x senx = senx. cos x = senx − cos x .
=
=
= sec x
a) y =
cos x
senx − cos x
senx. cos x senx − cos x senx. cos x cos x
1−
senx
senx
senx cos x
1
 1
 1
 senx cos x  
 senx cos x 
y=
− cos x 
− senx 
+
−
−
+ senx cos x 
+
=

 cos x
 senx
 cos x senx   senx cos x cos x senx
 cos x senx 
 1 − sen 2 x − cos 2 x + sen 2 x cos 2 x   senx cos x   cos 2 x − cos 2 x + sen 2 x cos 2 x   senx cos x 
.
.
y = 
+
+
 = 

b)
senx cos x
senx cos x

  cos x senx  
  cos x senx 
2
2
 sen 2 x cos 2 x   senx cos x 
 senx cos x   sen x cos x senx cos x 
.

y = 
+
+
+
 = (senx cos x ).
 = 
senx
 cos x senx   cos x
 senx cos x   cos x senx 

(
)
y = sen 2 x + cos 2 x = 1
7) Determine o valor de A =
cot gx − 1
1
, dado cos x = .
cos sec x − sec x
2
Solução 1. Expressando A em senos e cossenos e substituindo o valor de cosx ao final, temos:
cos x
cos x − senx
−1
cot gx − 1
cos x − senx senx. cos x
senx. cos x
1
senx
A=
= senx
=
=
.
=
= cos x =
1
1
cos x − senx
cos sec x − sec x
senx
cos x − senx
senx
2
−
senx cos x
senx. cos x
Solução 2. Calculando os valores das funções e substituindo na expressão, temos:
1
2
2
2
2
2
i) sen x + cos x = 1 ⇒ sen x +   = 1 ⇒ senx =
3
3
=
4
2
ii) cos sec x =
2
3
=
2
3
.
3
3
=
2 3
3
1
cos x
1 2
1
1
3
3
iii) cot gx =
= 2 = .
=
=
.
=
senx
3
3 2 3
3
3 3
2
iv) sec x =
1
=2
cos x
3
3 −3
−1
3 −3
3
3 −3
3 −3
1
3
3
=
=
=
=
.
=
Logo, A =
3
2 3
2 3−6
2 3 −6 2 3 −6 2 3 −3 2
−2
3
3
(
8) Dado senx =
)
1
π
, com
< x < π , determine o valor de cot gx .
3
2
Solução. O arco é do 2º quadrante. Substituindo as relações conhecidas, temos:
2
1
8
2 2
1
=−
sen x + cos x = 1 ⇒   + cos x = 1 ⇒ cos 2 x = 1 − ⇒ cos x =
9
9
3
 3
2
cot gx =
2
cos x
=
senx
9) Para cos x =
−
2 2
3 = − 2 2 . 3 = −2 2
1
3 1
3
cos sec x − senx
1
, qual é o valor da expressão y =
+ sec x ?
cot gx. sec x
2
Solução 1. Expressando A em senos e cossenos e substituindo o valor de cosx ao final, temos:
1
cos x
1
− senx +
.
cos sec x − senx
cos sec x − senx + cot gx. sec x senx
senx cos 2 x
y=
+ sec x =
=
cos x 1
cot gx. sec x
cot gx. sec x
.
senx cos x
1 − sen 2 x
1
cos 2 x
1
cos 3 x + 1
+
+
3
3
senx. cos x = senx senx. cos x = senx. cos x = cos x + 1 . senx = cos x + 1
y = senx
1
1
1
senx. cos x 1
cos x
senx
senx
senx
2
3
1
1
9
  +1
+1
9 2 9
2
y= 
=8
= 8 = . =
1
1
1 8 1 4
2
2
2
Solução 2. Calculando os valores das funções e substituindo na expressão, temos:
2
1
i) sen x + cos x = 1 ⇒ sen x +   = 1 ⇒ senx =
2
2
2
ii) cos sec x =
iv) sec x =
2
2
3
2
2 3
.
=
3
3 3
=
3
3
3
=
4
2
1
cos x
1 2
1
1
3
3
iii) cot gx =
= 2 = .
=
=
.
=
senx
3
3 2 3
3
3 3
2
1
=2
cos x
2 3
3
4 3 −3 3
3
−
3 3
3 3
1
1+ 8 9
3
2 +2=
6
+2= 6 +2=
.
+2=
+2= +2=
=
Logo, A =
6 2 3
4
4
4
3
2 3
2 3
12 3
.2
3
3
3
10) Calcule o valor de y = senx. cos x sabendo que tgx + cot gx = 2 .
Solução. Desenvolvendo a soma mostrada em senos e cossenos substituindo depois em “y”, temos:
tgx + cot gx = 2 ⇒
y = senx. cos x =
senx cos x
sen 2 x + cos 2 x
1
+
=2⇒
= 2 ⇒ 1 = 2 senx cos x ⇒ senx cos x =
cos x senx
senx. cos x
2
1
2
11) Escreva a expressão y = senx.tgx + 2 cos x em função de cos x .
Solução. Expressando todos os termos em cossenos, temos:
y = senx.tgx + 2 cos x = senx.
senx
sen 2 x
sen 2 x + 2 cos 2 x 1 − cos 2 x + 2 cos 2 x
+ 2 cos x =
+ 2 cos x =
=
cos x
cos x
cos x
cos x
1 + cos 2 x
y=
cos x
12) Se m = senx + cos x e n = senx − cos x , prove que m 2 + n 2 = 2 .
Solução. Calculando os quadrados de “m” e “n” e efetuando a soma, temos:
m 2 = (senx + cos x )2 = sen 2 x + 2 senx. cos x + cos 2 x = sen 2 x + cos 2 x + 2 senx. cos x = 1 + 2 senx. cos x
⇒
 2
n = (senx − cos x )2 = sen 2 x − 2 senx. cos x + cos 2 x = sen 2 x + cos 2 x − 2 senx. cos x = 1 − 2 senx. cos x
m 2 + n 2 = 1 + 2 senx. cos x + 1 − 2 senx. cos x = 1 + 1 = 2
13) Se tgx =
senx
sen 2 x + senx. cos x
= t , escreva a expressão y =
em função de t. (Sugestão: use a fatoração no
cos x
sen 2 x − cos 2 x
numerador e denominador da fração.
Solução 1. Colocando em evidência senx no numerador e expressando o denominador como produto da soma
pela diferença, temos:
senx
sen 2 x + senx. cos x
senx(senx + cos x )
senx
t
cos x
y=
=
=
=
=
2
2
(senx + cos x )(. senx − cos x ) .(senx − cos x ) . senx − cos x  t − 1
sen x − cos x


 cos x cos x 
OBS: Dividindo todos os termos de
senx
por cosx, não alteramos o resultado. Observe ainda que cosx
(senx − cos x )
é diferente de zero, pois tgx = t (existe), possibilitando, assim, a divisão.
Solução 2. Escrevendo senx = t. cos x e substituindo na expressão, temos:
sen 2 x + senx. cos x t 2 . cos 2 x + (t cos x ). cos x t 2 . cos 2 x + t. cos 2 x t cos 2 x(t + 1) t (t + 1)
=
= 2
=
= 2
sen 2 x − cos 2 x
t 2 . cos 2 x − cos 2 x
t . cos 2 x − cos 2 x
cos 2 x t 2 − 1
t −1
t (t + 1)
t
y=
=
(t + 1)(. t − 1) t − 1
y=
(
) (
OBS: Foi possível cancelar cos2x no numerador e denominador, pois é diferente de zero (tgx existe).
)