ISBN 978-85-8015-053-7
Cadernos PDE
VOLUME I I
Versão Online
2009
O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOS
DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
Produção Didático-Pedagógica
Ficha catalográfica Produção Didático-Pedagógica
Professor PDE/2008
Título
Práticas avaliativas em Matemática:
aspectos do que a escola tem feito.
Autor
Profª Rosa Maria Pampuch Pilatto.
Escola de Atuação
Colégio Estadual da Colônia Murici.
Município da escola
São José dos Pinhais.
Núcleo Regional de Educação
Área Metropolitana Sul.
Orientador
Profª Drª Tania Teresinha Bruns Zimer.
Instituição de Ensino Superior
Universidade Federal do Paraná.
Área do Conhecimento
Matemática.
alguns
Produção
Didático-Pedagógica Unidade didática.
(indicar
o tipo de produção
conforme Orientação 03/2008
disponível na página do PDE)
Relação Interdisciplinar (indicar,
caso
haja,
as
diferentes
disciplinas compreendidas no
trabalho)
Público Alvo ( indicar o grupo Alunos do 1º Ano do Ensino Médio.
com o qual o professor PDE
desenvolveu
o
trabalho:
professores,
alunos,
comunidade...)
Localização (identificar nome e Rua: João Lipinski; 71
endereço
da
escola
de Bairro: Colônia Murici.
implementação)
Apresentação:
(descrever
justificativa,
objetivos
metodologia
utilizada.
informação deverá conter
a
e
A
no
Planejamento e avaliação são atitudes que
andam na mesma via que por vezes são
dissociadas, dificultando o aprendizado. Em
algumas situações o planejamento não reflete os
resultados esperados na avaliação, visto que,
máximo 1300 caracteres, ou 200
palavras, fonte Arial ou Times
New Roman,
tamanho 12 e
espaçamento simples)
como já disse Luckesi (2005), o planejamento é a
construção, enquanto a avaliação subsidia a
análise do que se construiu. Sendo dessa forma o
planejamento, uma escolha do que e do como se
trabalhar este ou aquele conceito. Ao passo que, a
avaliação, é a crítica que se obtém pelos seus
resultados em relação ao que foi planejado. Frente
a esse quadro, pensar a avaliação em Matemática
conduz mais a indagações do que a respostas.
No processo de avaliar é importante analisar: o
que os alunos sabem, como sabem e o que
pensam;
se
compreende
conceitos
e
procedimentos; observar a criatividade nas
soluções dadas. Evitando dar maior ênfase ao que
o aluno não sabe, na memorização pela
memorização, na classificação dos alunos.
Dessa forma é importante lembrar e pensar
que, ensinar e aprender também fazem parte do
ato de avaliar. A avaliação, infelizmente, está
fortemente ligada à realização de provas e ao ato
de aprovar ou reprovar alunos
Palavras-chave ( 3 a 5 palavras)
Classificação;
planejamento;
avaliação; verificação.
aprendizagem;
ESTADO DO PARANÁ
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
CONTRATO DE CESSÃO GRATUITA DE DIREITOS AUTORAIS
Pelo presente instrumento particular, de um lado Rosa Maria
Pampuch Pilatto, brasileira, casada, professora, portadora do CPF nº
742702659-49, Cédula de Identidade RG nº 4783658-1, residente e domiciliado à
Rua: Julio Cesar Cetenareski, nº 1020, na cidade de São José dos Pinhais,
Estado do Paraná, denominado CEDENTE, de outro lado a Secretaria de Estado
da Educação do Paraná, com sede na Avenida Água Verde, nº 2140, Vila Izabel,
na cidade de Curitiba, Estado do Paraná, inscrita no CNPJ sob nº
76.416.965/0001-21, neste ato representada por seu titular Yvelise Freitas de
Souza Arco-Verde, Secretária de Estado da Educação, brasileiro, portadora do
CPF nº 392820159-04, ou, no seu impedimento, pelo seu representante legal,
doravante denominada simplesmente SEED, denominada CESSIONÁRIA, têm
entre si, como justo e contratado, na melhor forma de direito, o seguinte:
Cláusula 1ª – O CEDENTE, titular dos direitos autorais da obra da Produção
Didático-Pedagógica sob o título Práticas avaliativas em Matemática: alguns
aspectos do que a escola tem feito, cede, a título gratuito e universal, à
CESSIONÁRIA todos os direitos patrimoniais da obra objeto desse contrato,
como exemplificativamente os direitos de edição, reprodução, impressão,
publicação e distribuição para fins específicos, educativos, técnicos e culturais,
nos termos da Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998 e da Constituição Federal de
1988 – sem que isso implique em qualquer ônus à CESSIONÁRIA.
Cláusula 2ª – A CESSIONÁRIA fica autorizada pelo CEDENTE a publicar a obra
autoral ao qual se refere a cláusula 1.ª deste contrato em qualquer tipo de mídia,
como exemplificativamente impressa, digital, audiovisual e web, que se fizer
necessária para sua divulgação, bem como utilizá-la para fins específicos,
educativos, técnicos e culturais.
Cláusula 3ª – Com relação a mídias impressas, a CESSIONÁRIA fica autorizada
pelo CEDENTE a publicar a obra em tantas edições quantas se fizerem
necessárias em qualquer número de exemplares, bem como a distribuir
gratuitamente essas edições.
Cláusula 4ª – Com relação à publicação em meio digital, a CESSIONÁRIA fica
autorizada pelo CEDENTE a publicar a obra, objeto deste contrato, em tantas
cópias quantas se fizerem necessárias, bem como a reproduzir e distribuir
gratuitamente essas cópias.
Cláusula 5ª - Com relação à publicação em meio audiovisual, a CESSIONÁRIA
fica autorizada pelo CEDENTE a publicar e utilizar a obra, objeto deste contrato,
tantas vezes quantas se fizerem necessárias, seja em canais de rádio, televisão
ou web.
Cláusula 6ª - Com relação à publicação na web, a CESSIONÁRIA fica autorizada
pelo CEDENTE a publicar a obra, objeto deste contrato, tantas vezes quantas se
fizerem necessárias, em arquivo para impressão, por escrito, em página web e
em audiovisual.
Cláusula 7ª – O presente instrumento vigorará pelo prazo de 05 (cinco) anos
contados da data de sua assinatura, ficando automaticamente renovado por igual
período, salvo denúncia de quaisquer das partes, até 12 (doze) meses antes do
seu vencimento.
Cláusula 8ª – A CESSIONÁRIA garante a indicação de autoria em todas as
publicações em que a obra em pauta for veiculada, bem como se compromete a
respeitar todos os direitos morais do autor, nos termos da Lei 9.610 de 19 de
fevereiro de 1998 e da Constituição Federal de 1988.
Cláusula 9ª – O CEDENTE poderá publicar a obra, objeto deste contrato, em
outra(s) obra(s) e meio(s), após a publicação ou publicidade dada à obra pela
CESSIONÁRIA, desde que indique ou referencie expressamente que a obra foi,
anteriormente, exteriorizada (e utilizada) no âmbito do Programa de
Desenvolvimento Educacional da Secretaria de Estado da Educação do Paraná –
SEED-PR.
Cláusula 10ª – O CEDENTE declara que a obra, objeto desta cessão, é de sua
exclusiva autoria e é uma obra inédita, com o que se responsabiliza por
eventuais questionamentos judiciais ou extrajudiciais em decorrência de sua
divulgação.
Parágrafo único – por inédita entende-se a obra autoral que não foi cedida,
anteriormente, a qualquer título para outro titular, e que não foi publicada ou
utilizada (na forma como ora é apresentada) por outra pessoa que não o seu
próprio autor.
Cláusula 11ª – As partes poderão renunciar ao presente contrato apenas nos
casos em que as suas cláusulas não forem cumpridas, ensejando o direito de
indenização pela parte prejudicada.
Cláusula 12ª – Fica eleito o foro de Curitiba, Paraná, para dirimir quaisquer
dúvidas relativas ao cumprimento do presente contrato.
E por estarem em pleno acordo com o disposto neste instrumento
particular a CESSIONÁRIA e o CEDENTE assinam o presente contrato.
Curitiba, 30 de julho de 2010.
______________________________________
ROSA MARIA PAMPUCH PILATTO.
RG nº 4783658-1
______________________________________
CESSIONÁRIA
______________________________________
MARCELO VALMIR PILATTO.
RG nº 3404909-2
______________________________________
MARIA ELISETE PAMPUCH.
RG nº 4985658-0
Parecer do orientador
PRODUÇÃO DIDÁTICA
1) DADOS DE IDENTIFICAÇÃO:
Professor PDE: Rosa Maria Pampuch Pilatto.
Área do PDE: Matemática.
NRE: Área Metropolitana Sul.
Professor Orientador IES: Tania Teresinha Bruns Zimer.
IES vinculada: Universidade Federal do Paraná.
Escola de Implementação: Colégio Estadual da Colônia Murici.
Público objeto da intervenção: Alunos do 1º Ano do Ensino Médio.
2) CONTEÚDO ESTRUTURANTE.
Funções.
2.1) Conteúdo específico
Função Exponencial.
3) JUSTIFICATIVA.
Ao pensar nas práticas avaliativas utilizadas nas escolas e na maneira
como os alunos vêem a avaliação é que elaboro esta unidade didática.
De acordo com BOTH (2008) e VILLAS BOAS (2006), o portfólio é um
instrumento de avaliação que propicia tanto ao aluno quanto ao professor um
diagnóstico do caminhar de cada aluno, afinal nele o aluno expressa suas
dificuldades e suas habilidades, no pensar e no realizar soluções de problemas.
Visto que esses problemas podem ser apresentados pelo professor ou não,
dando abertura para que o aluno seja capaz de acrescentar ainda, no portfólio,
suas pesquisas, produções, críticas, descobertas, enfim toda e qualquer forma de
expressar seu aprendizado. Não eximindo o professor da tarefa de solicitar aos
alunos que anexem produções as quais julgar importantes. Sendo assim, o
portfólio torna-se uma construção contínua e compartilhada, entre: o professor e o
aluno; o professor e os alunos e/ou a turma; os professores; equipe pedagógica;
enfim, pode envolver toda a comunidade escolar. Uma vez que sua construção
não tem um ponto finalizador, tão pouco uma data única para sua entrega, ou
seja, pode ser solicitado e/ou apresentado em qualquer período, época do ano e
ainda podendo ser utilizado ano após ano.
Nesta perspectiva de construção do conhecimento como um processo
contínuo é que fora escolhido o conteúdo de função exponencial para a aplicação
do Projeto de Intervenção Pedagógica com a construção desta unidade didática,
com a utilização de diversos instrumentos avaliativos e, das concepções de
avaliação formal e informal. Na escolha deste conteúdo, existem ainda dois outros
fatores motivadores. O primeiro, por estar na grade curricular, sendo estudado no
período de retorno à escola e da aplicação do projeto de intervenção pedagógica,
o segundo, por perceber em anos anteriores, a dificuldade que os alunos
apresentam em relacionar este conceito com fatos aplicáveis e reais. O uso dos
fractais para a apresentação dos conceitos vem comprovar a aplicação e a
existência da Matemática em diversas situações reais. Através da associação
entre os fractais e diversos instrumentos avaliativos, tem-se a intenção de
contribuir para a aplicação e assimilação dos conceitos estudados.
Afinal, a avaliação, ainda está fortemente associada à realização de
provas, testes e ao ato de aprovar ou reprovar alunos. Sendo por muitas vezes, a
avaliação, utilizada como forma de punição, de classificação ou desclassificação
de pessoas. Com a intenção de modificar esta realidade é que lanço mão desta
proposta de trabalho, associando uma prática avaliativa diferenciada com a
apresentação do conteúdo fundamentado em situações reais pesquisadas pelos
alunos.
Pensar e preparar os alunos para a prática da cidadania, respeitá-lo como
ser consciente, ativo, crítico e criativo, são algumas das atitudes desenvolvidas
pela Escola, enquanto instituição e transmissora de saberes. Torna-se importante
que as situações avaliativas caminhem na mesma direção. Sendo assim, o uso de
diversos instrumentos avaliativos fará com que o aluno tenha condições de
demonstrar suas habilidades e não somente a repetição de informações. Com
auxílio da auto-avaliação, o ser humano, o aluno, é capaz de diagnosticar suas
dificuldades, e porque não dizer, de reconduzir seu caminhar.
4) OBJETIVOS.
Analisar as ações e as práticas do professor e dos alunos com relação ao
ato de ensinar, de aprender e de avaliar, e os resultados esperados durante e
após a aplicação desta unidade didática serão pautados em objetivos tanto no
professor quanto no aluno. Sendo assim:
4.1) Objetivos focando o aluno:
Construir o portfólio;
Realizar pesquisas estabelecendo relações entre a matemática dos fractais
e a matemática aplicada;
Compreender, através dos fractais, a existência das funções exponenciais;
Aplicar os conceitos de potenciação e construção gráfica, para a solução
de problemas com a função exponencial;
Perceber a avaliação como continuidade do processo de ensino e de
aprendizagem.
4.2) Objetivos focados no professor:
Utilizar material diferenciado nas aulas;
Apresentar os instrumentos avaliativos, principalmente a auto-avaliação e a
construção do portfólio;
Aplicar diversos instrumentos avaliativos;
Possibilitar a reflexão a respeito dos trabalhos realizados e apresentados;
Analisar se o uso de variados instrumentos avaliativos, contribuem para a
aprendizagem;
Mapear os instrumentos avaliativos que melhor se adaptam a cada turma;
Desmistificar a atividade avaliativa, enquanto punitiva e classificatória.
5) ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO.
Para melhor direcionar o encaminhamento da prática de sala de aula, esta
proposta de trabalho vem dividida em 6 (seis) etapas, de acordo com o
desenvolvimento do conteúdo de função exponencial. Em cada etapa será
realizado um relato das atividades, revisões, exercícios, pesquisas, registros no
portfólio, debates, enfim uma breve descrição de como pretendo conduzir, desde
a apresentação da ideia da função exponencial aos alunos até sua conclusão que
se dará com a entrega dos portfólios. Para, só então, ter condições de mapear e
diagnosticar o sucesso desta prática pedagógica e do uso do portfólio como
instrumento sinalizador das dificuldades ou não apresentadas pelos alunos no
decorrer da aplicação desta unidade didática. Assim, faz-se necessário antes de
qualquer atividade que se faça um esclarecimento sobre os vários instrumentos
avaliativos, bem como sobre os conceitos de avaliação, avaliação formal,
avaliação informal e auto-avaliação, e ainda sobre o que é portfólio e sua
construção. Explicando como e quando serão utilizados os instrumentos
avaliativos, ou seja, da construção de um contrato didático.
Sendo assim:
Na primeira etapa, será realizado o contrato didático, os esclarecimentos a
respeito da proposta de trabalho, bem como, da construção do portfólio e
do processo avaliativo;
Na segunda etapa, os alunos serão levados ao laboratório de informática,
onde será realizada uma primeira pesquisa sobre os fractais e a
construção do fractal floco de neve, para então distribuir os grupos;
Na terceira etapa, será o momento destinado para as apresentações que
cada grupo realizou, sobre o fractal pesquisado, a construção das tabelas
que geram o fractal escolhido e pesquisado;
Na quarta etapa, é o momento em que os alunos deverão estabelecer as
relações matemáticas a qual cada fractal está relacionado;
Na quinta etapa, acontecerá à apresentação formal do conteúdo de
equação exponencial, com a realização de exercícios e problemas,
fazendo sempre as relações com os fractais pesquisados e apresentados;
Na sexta etapa, os alunos fazendo uso das tabelas construídas na terceira
etapa e aplicando os conceitos desenvolvidos na quinta etapa, realizarão
as construções gráficas. Ainda, nesta etapa, será entregue o portfólio.
Paralelamente ao período de pesquisa extraclasse e das apresentações
dos alunos, o professor deve conduzir revisões sobre a potenciação, resolução de
exercícios e problemas com a aplicação das propriedades da potencia, que pode
ser feita com o auxílio do livro didático, GIOVANNI & BONJORNO (2005, p.225228). O referido livro é fornecido aos alunos do ensino médio, do Colégio Estadual
da Colônia Murici, pela Secretaria de Educação do Estado do Paraná.
CRONOGRAMA DE ATIVIDADES:
Aula
Descrição da atividade proposta
1ª
Aplicação do questionário, inicial, para análise das concepções
prévias que os alunos têm a respeito da avaliação.
2ª
Apresentação da proposta de trabalho com o esclarecimento dos
instrumentos de avaliação e a construção do contrato didático.
3ª
Utilização do laboratório de informática para pesquisa dos fractais.
4ª
Distribuição dos grupos para pesquisa extraclasse e a construção do
fractal floco de neve, com a construção da tabela gerada por ele.
5ª
Revisão dos conceitos de potenciação e suas propriedades, com a
solução de exercícios e problemas.
6ª
Exercícios e problemas com as propriedades de potências, bem
como suas devidas correções feitas pelo professor e/ou alunos.
7ª
Avaliação com aplicação das propriedades de potência.
Início do seminário para apresentação dos fractais pesquisados.
8ª
Entrega das avaliações corrigidas e a discussão das soluções
encontradas. Apresentação das pesquisas no seminário.
9ª
Conclusão do seminário sobre os fractais pesquisados.
10ª
Debate para estabelecer a equação que gera o fractal floco de neve,
e os demais fractais pesquisados.
11ª
Concluir o debate que identifica as equações geradoras dos fractais
pesquisados e apresentados.
12ª
Apresentação do conteúdo de função exponencial, com exemplos,
exercícios e problemas.
13ª
Construção dos gráficos da função exponencial e a classificação.
14ª
Solução de exercícios e problemas com a função exponencial.
15ª
Construir os gráficos com a utilização dos fractais apresentados no
seminário.
16ª
Avaliação com os conceitos e a construção gráfica da função
exponencial.
17ª
Entrega das avaliações corrigidas com a discussão das soluções
apresentadas.
Entrega do portfólio – instrumento avaliativo desenvolvido nessa
18ª
unidade didática.
Aplicação do questionário, final, para análise das respostas coletadas
no questionário inicial e final, no intuito de comparar as concepções
sobre avaliação.
5.1) ETAPA 1
Nesta etapa faz-se necessário que o professor realize um esclarecimento
de como se dará o desenvolvimento desta unidade didática. Dos instrumentos
avaliativos utilizados, como será a construção do portfólio e da explicação da
auto-avaliação. Estabelecendo um contrato didático com os alunos.
Através de uma conversa informal com os alunos, explicar os motivos da
realização desta proposta de trabalho, sendo que sua intenção principal é a
utilização da avaliação com a função de mapear e diagnosticar as habilidades
desenvolvidas e as dificuldades encontradas pelos alunos no decorrer do
conteúdo, na apresentação dos conceitos e na solução de exercícios.
Assim a realização de provas, pesquisas, apresentações das pesquisas,
resolução de exercícios e problemas propostos, serão utilizados para diagnosticar
o aprendizado dos alunos. Bem como, definir os critérios para a construção e
entrega do portfólio, afinal para a grande maioria é um instrumento avaliativo
novo. Segundo VILLAS BOAS (2006), a construção do portfólio se dá pela
seleção que o aluno faz de suas produções, sejam elas, desenhos, histórias,
provas, trabalhos, pesquisas, entre outras, organizado de acordo com a crítica
realizada pelo exercício da auto-avaliação. De acordo com BOTH (2008), para a
apresentação (entrega) do portfólio, este, deve estar organizado em uma pasta
individual contendo: a identificação do aluno, do professor, da instituição de
ensino; folha de rosto onde o aluno pode colocar um pensamento ou uma frase
que expresse a construção deste instrumento, ou a respeito da aplicação deste
projeto em sua aprendizagem; índice de suas coletâneas; desenvolvimento do
material. Dessa forma, o aluno participa ativamente de sua elaboração e
construção, avaliando seu progresso e identificando suas habilidades e
dificuldades, possibilitando o desenvolvimento do pensamento crítico de cada um.
Dentre os critérios para a construção, o professor deve deixar claro quais as
produções que serão obrigatórias, ou seja, aquelas que o professor julgar
fundamental para o aprendizado, e que existem produções opcionais, ou seja,
onde o aluno acrescentará toda e qualquer atividade que julgar interessante e
importante para sua coletânea de produções acadêmicas. Em cada etapa estarão
descritas as atividades obrigatórias.
No contrato didático, estabelecido entre o professor e os alunos, existem
alguns pontos que devem ser definidos para que o desenvolvimento do trabalho
pedagógico não seja prejudicado, tais como: prazos para entrega do material
produzido tanto individual como em grupo; como se darão as apresentações das
pesquisas realizadas; construção e entrega do portfólio; compromisso com o
trabalho pedagógico; entre outros. O professor deve deixar claro que a função da
avaliação é a de auxiliar o aluno a desenvolver-se, e que a relação professoraluno e aluno-aluno sejam de encorajamento e nunca de competição. Ainda no
contrato didático, deve ser estabelecido que o professor, no decorrer da unidade
didática, pode solicitar a entrega de alguns portfólios para a análise e
acompanhamento do aprendizado dos alunos, onde será possível reavaliar a
prática de sala de aula, apontando as falhas e os conceitos que devem ser
retomados.
É de suma importância que no contrato didático, estejam claros os critérios
de avaliação. Ou seja, os alunos serão avaliados utilizando os conceitos de
avaliação formal, avaliação informal, fazendo uso da auto-avaliação e da
construção do portfólio. Assim, a nota e/ou conceito a ser atribuída poderá ser
constituída em relação a cada tipo de instrumento e/ou etapa. Sendo assim:
Seminário de apresentação das pesquisas ao professor e aos colegas,
onde serão analisadas, além da pertinência dos questionamentos
levantados as construções realizadas com relação à Matemática;
Entrega da pesquisa escrita, que será realizada em grupos de no
máximo quatro alunos, a ser realizada fora do horário de aula, onde será
analisada a criatividade, o texto explicativo, as construções, a relação com
a realidade e a Matemática;
Solução de exercícios e problemas tanto de sala de aula como os de
casa, onde não somente serão levadas em consideração as soluções
corretas, mas se houve empenho em suas soluções, as correções podem
ser realizadas pelo professor e/ou pelos alunos.
Realização de provas objetivas e dissertativas, testes, com data préestabelecida, onde serão analisadas as soluções dos exercícios e
problemas propostos, a partir dos diversos registros, tais como: as
construções gráficas; a classificação de cada função; as respostas
explicativas, não sendo primordial o resultado final e sim, todo o
desenvolvimento apresentado em cada exercício. Esta avaliação será
realizada individualmente.
Construção e entrega do portfólio, onde os alunos apresentarão suas
produções, conforme estabelecidas no contrato didático. Ou seja, aquelas
que
o
aluno
interessantes,
julgar necessárias,
curiosas;
os
que lhe parecem importantes,
trabalhos
apresentados
sejam
eles
desenvolvidos pelo aluno ou pelos colegas; exercícios e problemas
resolvidos; desenhos; colagens; pesquisas; provas, testes; comentários;
enfim toda e qualquer situação a qual o aluno desejar anexar no portfólio,
conforme os critérios pré-estabelecidos no contrato didático. Lembrando
que essa produção somente será entregue após a conclusão de todas as
atividades a respeito deste conteúdo, da realização de todos os demais
instrumentos avaliativos sejam eles formais ou informais. Este instrumento
é realizado individualmente, em casa e entregue ao professor sempre que
solicitado.
A recuperação dos conceitos não compreendidos de forma satisfatória se
dará em paralelo ao desenvolvimento das aulas, por meio de orientações para a
realização de exercícios complementares com o respectivo acompanhamento
das produções apresentadas. De acordo com o desenvolvimento das atividades,
de listas de exercícios a serem resolvidos pelos alunos que demonstrarem
alguma dificuldade e a todos os demais que desejarem realizar, bem como um
atendimento maior em sala de aula, afinal ninguém apresenta dificuldade de
aprendizagem somente no momento da avaliação. Dessa forma, cabe ao
professor estar atento a todos os alunos e às dificuldades apresentadas, durante
o processo de ensino para que a aprendizagem aconteça e seja eficiente a qual
será encaminhada pela observação/análise dos portfólios parciais ao final de
cada etapa. Durante o desenvolvimento desta unidade didática, é função do
professor deslocar-se pela sala observando, analisando e intervindo sempre que
necessário com aqueles alunos que apresentam maior dificuldade em realizar as
atividades propostas. Como é de conhecimento de todos, muitos alunos sentemse mais a vontade em perguntar, suas dúvidas, aos colegas do que ao professor,
dessa forma os alunos, que assim desejarem, podem realizar as atividades
propostas em sala de aula em duplas, para que um auxilie o outro. Cabe lembrar
que estas duplas serão formadas pelos alunos, sem a interferência do professor,
caso contrário, pode, o professor, estar prejudicando o andamento das
atividades. Afinal o ser humano sente-se mais a vontade para discutir e para
assumir suas deficiências com seus amigos, e não quando lhe é imposto um
grupo de discussões.
5.1.1) Planos das aulas 01 e 02.
PLANO DE AULA 01
Assunto: Aplicar questionário aos alunos do 1º ano do Ensino Médio.
Conteúdo: Concepções prévias que os alunos têm a respeito da avaliação em
Matemática.
Objetivo da aula:
Investigar as concepções que os alunos têm sobre a avaliação e sua
função, em Matemática;
Verificar os instrumentos utilizados nas avaliações de Matemática;
Analisar a freqüência com que são realizadas as avaliações em
Matemática.
Série: 1º ano do Ensino Médio.
Tempo: 50 minutos.
Recursos: Questionários impressos; caneta.
Desenvolvimento da aula: Através de uma conversa informal com os alunos, do
1º ano do Ensino Médio, investigar quais noções eles têm a respeito do que são
instrumentos de avaliação, com perguntas que conduzam os estudantes a
concluir que, toda e qualquer atividade que eles realizam, cujo intuito seja de
diagnosticar se o aprendizado está ou não acontecendo, pode se constituir em um
instrumento capaz de sinalizar as falhas ocorridas no processo de ensino e de
aprendizagem. Assim, as perguntas a serem propostas são: Vocês fazem
avaliação em Matemática? Como, geralmente, são avaliados em Matemática?
Quem sabe o que são instrumentos de avaliação? Cite pelo menos um exemplo.
Após esta conversa inicial, deixar claro a importância no preenchimento
dos questionários para o desenvolvimento das atividades posteriores. Distribuir os
questionários, primeira atividade, que deve ser respondidos individualmente. Se
houver alguma dúvida, quanto à interpretação dos questionamentos, realizar as
devidas explicações, mas tomando o cuidado para não induzir as respostas. Ao
término da realização destes questionários, eles serão recolhidos para análise
das respostas escritas pelos alunos. Deixar claro, aos alunos, que os resultados
desta pesquisa serão relatados em material impresso, que será discutido e
entregue ao professor orientador, para posterior publicação dos dados coletados
e que será garantido o sigilo das respostas, isto é, não será revelado quem são os
autores das respostas analisadas.
Questionário:
LEIA
COM
ATENÇÃO
CADA
QUESTÃO
E
MARQUE
TODAS
AS
ALTERNATIVAS QUE RESPONDAM, PARA VOCÊ, AO QUESTIONAMENTO
PROPOSTO.
1 - Para mim, a avaliação de Matemática serve para:
( ) dar uma nota
( ) encontrar os erros dos alunos
( ) verificar o que aprendi
( ) ver se precisa fazer recuperação
( ) premiar os alunos
( ) punir os alunos
( ) analisar o que os alunos sabem e o que não sabem
( ) o professor rever a forma de dar aula
( ) verificar se é necessário fazer revisão
2 - As avaliações de Matemática são:
( ) muito extensas
( ) só de resolução de exercícios
( ) a resolução de problemas
( ) somente provas
( ) a repetição dos exercícios do caderno
( ) aplicação de fórmulas
( ) muito cansativas e estressantes
( ) muito difíceis
( ) exercícios e problemas que não foram trabalhados em sala de aula
( ) aplicados diferentes instrumentos avaliativos
3 - Como você sugere que sejam as avaliações de Matemática?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
4 – Qual instrumento avaliativo, você acredita, que facilita a solução das questões
propostas pelo professor?
( ) múltipla escolha
( ) questão aberta
( ) debate
( ) apresentação de trabalho
( ) seminário
( ) pesquisa
( ) solução de exercícios e problemas
( ) outra. Qual ____________________________________________________
5- Quantas avaliações, em média, são realizadas em Matemática a cada
trimestre?
( )1
( )2
(
)3
( )4
( )5
( ) 6 ou mais
6 - Quando o professor de Matemática faz as revisões de conteúdo:
( ) antes de realizar as avaliações
( ) depois de realizar as avaliações
( ) antes de realizar a recuperação
( ) sempre que os alunos pedem
( ) antes de iniciar um conteúdo novo
( ) não são realizadas revisões
( ) durante o desenvolvimento do conteúdo
7 – Relacione as avaliações de Matemática, que você lembra ter feito neste ano.
Qual delas você mais gostou e a que menos gostou de fazer? Por quê?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
Avaliação com relação ao objetivo da aula: Ao realizar este questionário tenho
a intenção de mapear as concepções que os alunos já trazem a respeito da
avaliação, principalmente em Matemática, para poder aplicar minha proposta de
trabalho que tem como intuito desmistificar a avaliação enquanto processo
punitivo e classificatório.
Reflexão pós-aula:
Este espaço é destinado ao professor para este possa realizar a autoavaliação acerca da proposta de trabalho, onde serão realizadas: observações;
análises; levantamento dos pontos positivos e negativos; proposta de alteração e
ajustes necessários; exercícios; problemas; questionamentos; enfim, todos os
enfoques que não estão contemplados na descrição do plano de aula de maneira
a enriquecer a produção após sua aplicação.
PLANO DE AULA 02
Assunto: Apresentação da proposta de trabalho e dos instrumentos avaliativos,
construção do contrato didático.
Conteúdo: Contrato didático e instrumentos avaliativos.
Objetivo da aula:
Analisar instrumentos de avaliação;
Apresentar os instrumentos avaliativos que serão utilizados, durante o
desenvolvimento desta unidade didática e explicar seus conceitos;
Debater sobre os instrumentos avaliativos;
Explorar o uso do portfólio bem como a sua construção e aplicação;
Construir o contrato didático, com os alunos.
Série: 1º ano do Ensino Médio.
Tempo: 50 minutos.
Recursos: Exemplares de instrumentos de avaliação para a discussão, análise e
aplicação dos instrumentos apresentados.
Desenvolvimento da aula: Através de questionamentos, analisar quais os
instrumentos avaliativos que os alunos conhecem, quando são mais aplicados.
Por exemplo: Qual é o instrumento mais utilizado nos concursos? Qual o principal
motivo dessa escolha? O que aconteceria se o instrumento utilizado fosse prova
dissertativa? Dessa forma, conduzir as discussões sobre a utilização do debate,
pesquisa, seminário, portfólio, relatórios, entre outros. Sendo assim, diagnosticar
o conhecimento que os alunos têm a cerca de cada instrumento e de sua
aplicação, elencando os pontos positivos e negativos na realização e aplicação de
cada instrumento. Investigando quais os instrumentos que os alunos mais utilizam
e quais os que eles têm maior preferência em usar, interrogando os porquês
dessa escolha.
Propor a construção do portfólio, exemplificando que: os médicos fazem
uso desse instrumento para realizar as anotações sobre cada paciente; os
músicos têm seu portfólio para armazenar suas músicas; entre outros. Enfim,
mostrar que o portfólio é utilizado por vários segmentos da sociedade na tentativa
de armazenar o maior número de informações tidas como obrigatórias e as
opcionais. Sendo assim, a construção do portfólio, no desenvolvimento dessa
unidade didática, terá como prioridade organizar os conceitos, exemplos,
exercícios, pesquisas e outras atividades que, professor e aluno julguem
importantes ser arquivadas.
Após todas essas discussões, os alunos junto com o professor devem
elaborar o contrato didático que será o fio condutor da aplicação dessa unidade
didática. No contrato didático serão definidos os instrumentos avaliativos a serem
utilizados e quando cada um será aplicado. Por exemplo, após o período de
pesquisa: como serão realizadas as apresentações no seminário; quantos alunos
farão parte de cada equipe; como se dará a utilização do laboratório de
informática; de que forma serão entregues os trabalhos escritos; o que fará parte
do portfólio e quando se dará sua entrega parcial e final; como e quando serão
realizadas as avaliações formais. Entre outros questionamentos que podem surgir
durante as discussões e a construção do contrato didático.
Avaliação com relação ao objetivo da aula: Com as discussões é importante
que se compreenda e diferencie o uso e aplicação de cada instrumento avaliativo,
os porquês desse ou daquele instrumento ser escolhido e utilizado, quais as
vantagens e desvantagens da utilização de cada um. Esclarecer como será a
construção do portfólio, conduzindo os alunos ao entendimento de que o portfólio
servirá para que professor, aluno, pais, equipe pedagógica, possam acompanhar
o desenvolvimento de cada aluno a qualquer período do ano letivo.
Reflexão pós-aula:
5.2) ETAPA 2
Para que seja possível uma nova postura com relação ao conteúdo de
função exponencial serão utilizados os conceitos de fractais. Os alunos serão
levados ao laboratório de informática, pelo professor, para conhecerem alguns
fractais. Para tanto será solicitado aos estudantes que acessem os seguintes
links:
www.ime.unicamp.br/~calculo/modulos/floco/
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fractal
http://mathworld.wolfram.com/Fractal.html
www.catolicismo.com.br/materia/materia.cfm?IDmat=F95FD93A3048-313C-2E6CEE6464BC1200&mes=Maio2009
http://my.opera.com/parolin/blog/2009/04/11/fractais-ciencia-earte?prevpoll=1
A visualização desses fractais tem a intenção de instigar a curiosidade de cada
aluno e/ou grupo de alunos para a posterior pesquisa. Após a utilização do
laboratório de informática os alunos formarão os grupos, de no máximo 4 alunos,
para a realização de um trabalho de pesquisa sobre um fractal que depois será
exposto aos demais alunos da turma em forma de seminário, esta pesquisa não
será realizada em sala de aula. Na pesquisa deve ser contemplada a construção
do fractal e de sua tabela.
Durante o período de pesquisa, será realizada em sala de aula, a
construção do fractal floco de neve de Koch, com a utilização de réguas e
compasso, fazendo uso de construções geométricas tais como divisão de
segmento em partes iguais, triângulos eqüiláteros, entre outros. O diálogo entre o
professor e os alunos deve ser conduzido no intuito de analisar o comportamento
do fractal onde é observado o aumento do número de partes e de lados,
paralelamente as construções montar as tabelas por ele geradas. A utilização do
laboratório de informática, bem como a construção do floco de neve e sua tabela,
devem ser registradas no portfólio, que pode ser em forma de texto, desenho,
colagens, enfim, como cada aluno acreditar ser a melhor forma de expor o que lhe
chamou mais atenção. E ainda nesse período em que os alunos estarão
realizando suas pesquisas, o professor realizará exercícios e problemas com os
conceitos e propriedades da potência. Neste trabalho de revisão serão
recordadas as propriedades da potência e sua devida solução, onde a base é um
número real e o expoente pode ser natural, inteiro ou racional. Quando o
expoente for irracional fazer uso da calculadora ao mesmo tempo revisar as
regras de aproximação de números irracionais. Para as atividades de revisão
serão realizados exercícios, expressões numéricas e a solução de problemas. As
atividades devem ser enriquecidas de acordo com a realidade de cada aluno ou
grupo de alunos. Os alunos devem registrar no portfólio pelo menos um caso de
cada propriedade revisada. Tais conceitos, já estudados no ensino fundamental,
são necessários para que sejam compreendidos os conceitos de função
exponencial. Ao concluir as revisões e as correções das atividades propostas,
será realizada uma prova dissertativa, em dupla, onde os alunos ao resolverem os
problemas propostos estarão aplicando as propriedades da potenciação
revisadas. Paralelamente ao período de pesquisa e de revisão, o professor estará
orientando os grupos a respeito de sua futura apresentação, onde o professor e
os alunos irão definir momentos de discussão e construção das apresentações.
Deve ser anexada no portfólio a avaliação bem como uma cópia desta corrigida
se for o caso, ou com as devidas observações.
5.2.1) Planos das aulas 03; 04; 05 e 06
PLANO DE AULA 03
Assunto: Utilização do laboratório de informática.
Conteúdo: Fractais.
Objetivo da aula:
Realizar pesquisa na internet a respeito dos fractais;
Acessar os links sugeridos pelo professor;
Perceber a existência dos fractais na natureza, nas artes, enfim ao nosso
redor.
Série: 1º ano do Ensino Médio.
Tempo: 50 minutos.
Recursos: Laboratório de informática; caderno para anotações; lápis; caneta.
Desenvolvimento da aula: Com uma breve conversa, orientar os alunos com
relação à utilização do laboratório de informática, repassando os links a serem
acessados na primeira etapa da pesquisa, que será direcionada ao que se
pretende investigar, evitando assim que seja perdido o foco de interesse:
http://mathworld.wolfram.com/Fractal.html;
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fractal;
www.catolicismo.com.br/materia/materia.cfm?IDmat=F95FD93A-3048313C-2E6CEE6464BC1200&mes=Maio2009;
http://my.opera.com/parolin/blog/2009/04/11/fractais-ciencia-earte?prevpoll=1;
www.ime.unicamp.br/~calculo/modulos/floco/.
Ainda em sala de aula repassar as informações a respeito do que se pretende
pesquisar, anotando: quais os pontos que mais chamam atenção; que
curiosidades foram observadas; onde estes fractais podem ser encontrados; sua
reprodução é possível, fazendo uso dos materiais que se tem em sala de aula ou
em casa; entre outras observações que eles possam estar fazendo a respeito da
pesquisa. Ao retornarem à sala de aula os alunos devem anexar no portfólio suas
observações realizadas. O professor deve propiciar uma discussão sobre as
anotações realizadas pelos alunos, caso os alunos não tenham percebido a
existência da Matemática nos fractais pesquisados direcionar questionamentos
para que os alunos percebam tais relações. Os fractais, que você acessou,
existem? Onde eles podem ser encontrados? Você é capaz de reproduzir esses
fractais? Quais? Por quê? Existe alguma figura geométrica nos fractais
acessados? Você observou a existência de fórmulas matemáticas em alguns
fractais pesquisados. Será que, para todo fractal, existe uma fórmula matemática?
Como será possível encontrá-la? Supondo que tenhamos a fórmula, como
construir o fractal?
Durante as aulas nº 04; nº 05; nº 06, de revisão e de resolução dos
exercícios propostos nesta unidade, estará ocorrendo em paralelo às atividades
de orientação com relação à apresentação do seminário. Onde os grupos podem
trazer suas dúvidas a respeito da pesquisa que está sendo realizada, com relação
à forma de apresentação, a construção das tabelas, enfim o professor estará
auxiliando e orientando cada grupo no desenvolvimento da pesquisa a ser
apresentada no seminário. Orientar ainda, os grupos com relação a materiais que
podem ser utilizados na apresentação.
Avaliação com relação ao objetivo da aula: Com a pesquisa realizada, por
sugestão do professor, os alunos serão conduzidos a perceberem que a
Matemática é parte integrante da construção dos fractais e ainda, que essas
construções, podem ser simples ou complexas, sendo que algumas podem ser
construídas com uso de réguas e compasso e outras somente com auxílio de um
programador e uso do computador. Alguns fractais são do convívio dos alunos, no
entanto, pode ser que o aluno não tenha conhecimento da nomenclatura, ou
porque não dizer, que alguns nem se deram conta de sua existência.
Reflexão pós-aula:
PLANO DE AULA 04
Assunto: Floco de neve ou floco de neve de Koch.
Conteúdo: Triângulos
Objetivo da aula:
Reconhecer o triângulo eqüilátero;
Construir triângulo eqüilátero;
Perceber o triângulo eqüilátero como base para a construção do fractal;
Construir o fractal floco de neve, utilizando réguas e compasso;
Criar uma tabela que represente o aumento da quantidade de triângulos a
cada nova etapa da construção.
Série: 1º ano do Ensino Médio.
Tempo: 50 minutos.
Recursos: Para a construção do fractal cada aluno deverá ter o seu material:
papel sulfite; régua; esquadros; transferidor; compasso; lápis e lápis de cor. O
professor deve contar com: quadro de giz; giz branco e colorido; apagador; TV
pendrive e pendrive.
Desenvolvimento da aula: Apresentar na TV pendrive o fractal floco de neve de
Koch, construído, para o caso da TV não funcionar. O professor deve ter uma
cópia do floco impressa para, então, fixar no quadro a reprodução do floco de
neve, de modo a permitir aos alunos questionarem, sobre como eles imaginam
que seja possível a sua construção. Caso não haja sugestões que possibilitem a
construção do fractal, o professor começa dando pistas, como por exemplo, sobre
a necessidade de um triângulo eqüilátero e da divisão de seus lados em partes
iguais. Assim, com a utilização das réguas e do compasso, ou com as réguas e o
transferidor, construir um triângulo eqüilátero com 27 cm de lado. Marcar nos
lados do triângulo um terço e dois terços do lado, realizando nova construção de
triângulos eqüiláteros, agora com 9 cm de lado. Com o mesmo processo refazer o
mesmo processo várias vezes. Conforme as divisões vão aumentando não é mais
possível a divisão exata da medida do lado do triângulo, sendo necessário
relembrar o processo da divisão do segmento em partes iguais, com auxílio do
par de esquadros.
A cada nova construção que se realiza no triângulo, os alunos devem ir
anotando em uma tabela a quantidade de triângulos construídos, ou seja, na
primeira construção tem-se 1 triângulo, na segunda temos 4 triângulos, na terceira
aparecem 16 triângulos e assim sucessivamente. Podem surgir outras tabelas,
onde os alunos elencam outros pontos de observação, nesta etapa o professor
não deve induzir a tabela geradora do fractal, mas incentivar que seja observada
alguma forma no aumento no número de figuras, que até mesmo pode surgir com
relação à medida do lado do triângulo.
Ao ser concluída a construção do fractal, o professor deve sugerir que os
alunos utilizem o lápis de cor, para colorir a construção de forma a ressaltar o
resultado final. Após a conclusão do fractal ele deve ser arquivado no portfólio,
onde os alunos farão suas observações a respeito da construção da figura, da
tabela, suas dificuldades e facilidades, curiosidades, enfim os pontos positivos e
negativos da atividade desenvolvida.
Avaliação com relação ao objetivo da aula: Analisar se os alunos sabem
manusear as réguas e compasso, bem como a construção e identificação do
triângulo eqüilátero, da divisão do segmento em partes iguais com o uso do par
de esquadros. Observar se os alunos estabelecem relação entre, a construção do
fractal e a potência se constroem a tabela para cada etapa e qual a regra que eles
estabelecem para as próximas etapas sem necessário realizar a construção.
Reflexão pós-aula:
PLANO DE AULA 05
Assunto: Revisão dos conceitos de potência e suas propriedades.
Conteúdo: Potenciação e aplicação das propriedades.
Objetivo da aula:
Revisar as definições e propriedades da potenciação;
Aplicar as propriedades da potência na solução de exercícios e problemas;
Reconhecer o uso e aplicação das propriedades da potência na solução de
exercícios e problemas;
Traduzir os enunciados dos problemas em expressões ou equações
matemáticas.
Série: 1º ano do Ensino Médio.
Tempo: 50 minutos.
Recursos: Caderno; livro didático público; caneta; lápis; borracha; listas de
exercícios; quadro de giz; giz branco e colorido; apagador; calculadora com apoio
científico.
Desenvolvimento da aula: Iniciar a aula perguntando aos alunos se na tabela
construída, na aula anterior, é possível identificar o número de triângulos em cada
etapa sem a construção do fractal, por exemplo: na 3ª etapa quantos triângulos
foram construídos? Na 4ª etapa qual a quantidade de figuras? Na 7ª etapa qual
será o número de triângulos? Será possível calcular o número de triângulos em
cada fase sem a construção do fractal? Conduzindo a discussão para a revisão
dos conceitos de potência.
Após esta primeira conversa, escrever no quadro as definições de potência
e sua solução, ou seja, quando: a base for 1; o expoente for 1; a base for 0; o
expoente for 0; a base for 10, realizar alguns exemplos e exercícios com estas
propriedades. Em seguida, solicitar aos alunos que observem no livro didático
público GIOVANNI & BONJORNO (2005, p.225-228) as demais definições e
propriedades da potência, onde são relembradas as propriedades em que a base
e o expoente são números reais. E ainda as propriedades operatórias: produto
e/ou quociente de bases iguais e expoentes diferentes; produto e/ou quociente de
bases diferentes e expoentes iguais. Lembrando que se faz necessário, relembrar
os casos em que o expoente é negativo e quando é fracionário. O uso da
calculadora deve ser estimulado, enquanto ferramenta de auxílio nos cálculos a
serem efetuados, que por vezes produzem números grandes e o cálculo pelo
cálculo aqui não tem significado, mas seu uso adequado e racional para obter as
conclusões de modo mais rápido e prático.
Apresentação das propriedades da potência a serem revisadas, bem como
a apresentação de alguns exemplos e exercícios que serão apresentados aos
alunos.
Propriedades:
1. Propriedades operatórias da potência: sendo a base (a; b) um número real
diferente de zero e o expoente (m; n) um número inteiro, assim:
Produto de bases
a m. a n= a
m+n
iguais
Quociente de
expoentes
a m : a n = a m-n
bases iguais
Potência de
potência
copiam-se a base e adicionam-se os
copiam-se a base e subtraem-se os
expoentes
( a m) n = a m.n
copiam-se a base e multiplicam-se os
expoentes
Produto de bases
(a . b )n= a n . b n copiam-se as bases, elevando-se cada
diferentes
fator ao expoente dado
Quociente de
(a/b ) n = a n /b n
bases diferentes
Expoente negativo
copiam-se as bases, elevando-se numerador e denominador ao expoente dado
a - n = 1/a n
ao inverter-se a base o expoente tornase positivo
E ainda tem-se:
na potência com expoente racional: a
m/n
= n√ a m , neste caso n deve
ser um número natural, maior que 1.
na potência com expoente irracional, usaremos uma calculadora
com apoio científico, devido às aproximações.
Exemplos:
2. Observe os exemplos:
6-1 = 1/6
23. 25. 2 = 2 3+5+1 = 29
(32)4 = 3 2 . 4 =3 8
54 : 53 = 5 4-3 = 5
Aplicando as propriedades, resolva os exemplos:
1 – Qual é o resultado mais simples para, ( 6 4 . 6 5 ) : 6 7 ?
Aplicando a propriedade do produto de bases iguais, temos:
( 6 4. 6 5 ) : 6 7 = ( 6 4+5 ) : 6 7 = 6 9:6 7
Aplicando, agora a propriedade do quociente de bases iguais, temos:
6 9 : 6 7 = 6 9 - 7 = 6 2= 36
2 – Qual é o valor numérico da expressão: ( 3/4 )
2
+ 2 -3 - 8 0 = ?
Ao aplicarmos a propriedade do expoente negativo e a propriedade do expoente
zero, teremos:
( 3/4 ) 2 + 2 - 3 - 8 0 = ( 3/4 ) 2 + ( 1/2 ) 3 - 8 0 =
Aplica-se a propriedade do quociente de bases diferentes, para termos:
( 3/4 ) 2 + ( 1/2 ) 3 - 8 0 = 3 2 / 4 2 + 1 3 / 2 3 – 8 0 =
Agora, basta resolver cada uma das potências indicadas:
3 2 / 4 2 + 1 3 / 2 3 – 8 0 = 9/16 + 1/8 - 1 =
Calcula-se o mmc, para que se possam resolver às frações e conseqüentemente
as operações com os números fracionários:
9 + 1 - 1 = 9 + 2 - 16
16
8
16
16
= ( 9 + 2 ) -16
16
= 11 – 16 = - 5
16
16
16
Agora é sua vez, vamos resolver os exercícios propostos. Lembrando que os que
não forem resolvidos em sala de aula devem ser realizados em casa e que serão
corrigidos na próxima aula.
Exercícios:
1– Aplique as propriedades e calcule:
a) 27 2/3 = 3√ 27 2 = 3 √ ( 3 3 ) 2
b) 64 -3/4 = ( 1/64 ) 3/4 =
=
4
√ (1/2)
16 + 2
4
=
3
√ (1/64) 3
= 4√ 1/2
16
. 1/2 2
√ ( 3 2) 3
= 32 =9
= 4√ 13 / 643
=
4
√ 1/2
= 4√ 1 / ( 2 6 ) 3
16
.4√ 1/2 2
= 4√ 1/ 2 18
= 1/2 4 .
2
√ 1/2
= 1/16 . √ 1/2
c) 81 3/4 = 4√ 81 3
d) ( - 6 )
-2
= ( - 6)
= 4√ (3 4 ) 3
1/2
=√-6
= 4√ (3 3 ) 4
= 4√ 27 4
= 27
= ?, que não existe solução, pois temos uma raiz
de índice par e base negativa.
e) (9/4) 0,5 = como 0,5 = 1/2, temos: (9/4) 0,5 = (9/4) 1/2 = √ 9/4 = 3/4
f) 2 4 . 2 3 . 2 -5 . 2 = 2 4 + 3 + ( - 5 ) + 2 = 2 4 + 3
–5+2
= 2 4 = 16
g) 1012 :10 8 = 10 12 – 8 = 10 4 = 10 000
h) [ ( 2 ) 3 ]
i) 3 x - 1 : 3
2
x-3
= ( 2 ) 3 . 2 = 2 6 = 64
= 3 (x – 1 ) – ( x – 3 ) 3
x–1–x+3
= 32 = 9
2 – Simplifique as expressões, fazendo uso das propriedades da potência:
a)
( 0,1 ) - 1 - ( 0,8 ) 0
8/3 . ( 2/3 ) - 3 . ( -1/3 ) - 1
=
9
=
8 . 3/4 . ( - 3 )
( 1/10) – 1
=
- 1
=
10 - 1
8/ 3 . (3/2) 3 . ( - 3 )1
9
=
8/3 . 9/4 . ( - 3)
= 9 . ( - 4/72) = - 36 / 72 = - 1/2
- 72 / 4
b) 0,0001 . (0,001)2 .102 = 10 – 4 . (10 – 3) 2 . 10 2 = 10 – 4 . 10 – 6 . 10 2 =
(10 – 2 ) 3
(0,01) 3
= 10 – 4 + ( - 6 ) + 2 = 10 – 4 – 6 + 2 =
10 – 6
10 – 8
10 – 6
10 – 6
= 10 – 8 – ( - 6 ) = 10 – 2 = ( 1/10) 2 = 0,01
10 – 6
c) ( 2 - 2 – 2 0 ) : 4-1 . (0,5) - 3 = [( 1/2) 2 – 1 ] : (1/4) . (1/2)
-3
= (1/4 - 1 ) : 1/4 . 23
= - 3/4 : 1/4 . 8 = - 3 . 8 = - 24
d) 3 0 + ( - 2) 2 – (1/3) - 1 =
( 1/2 ) – 2
1 + 4 - 3 = 2 = 1 ou 0,5
22
4
2
e) [( 5 7 . 5 2 . 5 - 3 ) : ( 5 6 : 5 2 )] 1/4 = [ 5 7 + 2 + ( - 3 ) : 5 6 – 2 ]
= ( 5 6 – 4 ) 1/4 = ( 5 2) 1/4 = 5
f)
7 15 – 714 – 7 13 =
714 + 7 13 + 7 13
2 . 1/4
1/4
= ( 5 6 : 5 4 ) 1/4 =
= 5 1/2 = √ 5
7 13 + 2 - 7 13 + 1 – 7
7 13 + 1 + 7 13 + 7
13
13
=
7 13 . 7 2 – 7 13 . 7 – 7 13
713 . 7 + 7 13 + 7 13
=
= 7 13 ( 7 2 – 7 – 1 )
7 13 ( 7 + 1 + 1 )
=
49 – 7 - 1
= 41
7+1+1
9
3 – Seja x = 10-3 e y = 10-2 , calcule o valor da expressão abaixo:
x.y
-2
. ( x -1 .y 2 ) 4 . ( x . y - 1 ) =
x - 3 . y .( x 2 . y - 2) . ( x - 1 . y )
Neste exercício existem duas maneiras para iniciar a resolução, ou seja, é
possível primeiro fazer as substituições de x e de y e depois aplicar as
propriedades, ou primeiro aplicar as propriedades para só então fazer as
substituições. Eu vou resolver pela segunda situação proposta.
x.y
-2
. ( x -1 .y 2 ) 4 . ( x . y - 1 )
x - 3 . y .( x 2 . y - 2) . ( x - 1 . y )
x . y8 . x . x3 . y2. x
y.x2.y.y2.x4.y
=
x . y –2. x–4 . y 8 . x . y–1
x
= x 1+1+3+1 . y 8+2
x2+4 . y1+1+2+1
-3
=
. y . x2. y–2 . x–1 . y
= x 6 . y 10 = x 6 – 6 . y 10 – 5 = y 5
x
6
.y5
assim, como y = 10 – 2 temos: y 5 = (10 – 2 ) 5 = 10 – 10 = 0,000 000 0001
Lembrando que existem outras formas de realizar a solução do mesmo exercício
proposto aplicando em primeiro lugar outra propriedade.
4 – Seja a = ( 3 2 ) 3 , b = 9 3 , c = 27 2 então, a . b . c = ?
Neste exercício farei primeiro a substituição dos valores de a, b, c para depois
aplicar as propriedades, lembrando que se pode iniciar de outras formas.
a . b .c = ( 3 2 ) 3 . 9 3 . 27 2 = 3 6 . ( 3 2 ) 3 . ( 3 3 ) 2 = 3 6 . 3 6 . 3
6
= 3
6+6+6
=
3 18 = 387 420 489
(Para que esse cálculo seja realizado faz-se necessário o uso de uma calculadora
científica, onde o professor pode e deve indagar seus alunos quanto ao uso desse
instrumento, ou seja, qual tecla, primeiro, deve ser acionada? De que maneira
podemos calcular esse valor? Existe uma única maneira de efetuar esse cálculo,
fazendo uso da calculadora? Se não fosse possível usar a calculadora, o que
deve ser feito para encontrar o resultado? Entre outros questionamentos que
podem surgir dessa discussão com os alunos.)
5 – Fazendo uso da calculadora, encontre os valores para os valores abaixo. Não
se esqueça de justificar o processo aplicado, ou seja, quais funções da
calculadora foram acionadas e em que ordem e de fazer a aproximação com
quatro casas decimais:
a) 5 1,5 = 11,180 339 887 499 ~ 11, 1803
b) 12 1/2 = 3,4641016151378 ~ 3, 4641
c) 28 1/4 = 2,3003266337912 ~ 2, 3003
d) 4 3,6 =
147,03338943962 ~ 147, 0334
e) (4/5) 1,25 = 0,5349922439811 ~ 0, 5350
Neste exercício não será sugerida uma solução, uma vez que os alunos devem
justificar suas respostas em função das teclas acionadas no uso, manunseio de
suas calculadoras. Somente será descrito o resultado final.
6 – Escreva na forma de uma única potência, descrevendo quais as propriedades
aplicadas:
a) [ ( √ 5 ) 3 ] 1/6 = [( 5 1/2 ) 3 ] 1/6 = (5 3/2 ) 1/6 = 5 3/12 = 5 1/4
b) 4√ 103 = 10 3/4
c) 10√ 8 4 = 10√ ( 2 3 ) 4
=
10
√2
d) 6 √ 27 4 = 6√ ( 3 3 ) 4 = 6√ 3 12
12
= 2 12/10 = 2 6/5
= 3 12/6
= 32
Lembrando que existe mais de uma maneira de iniciar a solução, em cada
exercício proposto, dessa forma estarei apenas apresentando o resultado final.
7 – É possível escrever 5 6 como o quadrado de um número? Como?
Sim é possível escrever o número 5
6
como um número elevado ao quadrado,
para tanto basta que seja aplicada a propriedade da multiplicação dos expoentes,
assim teremos: 5 6 = (5 3 ) 2 , e a partir desse resultado que se resolva o valor que
está indicado entre parênteses. Então teremos: ( 5 3 ) 2 = 125 2.
Portanto: 5 6 = 125 2
8 – Para resolver uma expressão numérica formada por cinco termos, Carlos
copia a base e soma os expoentes encontrando como resposta 5 145. Analise as
informações abaixo e resolva cada item:
a) Qual propriedade, Carlos fez uso?
Carlos fez uso da propriedade da multiplicação de potências de bases iguais.
b) Represente a afirmação por meio de uma expressão numérica;
5 a . 5 b . 5 c . 5 d . 5 e = 5 145
( Neste caso os alunos podem estar fazendo uso de qualquer letra, sendo que, o
importante é a aplicação da base 5 e da multiplicação entre as bases. )
c) Caso os expoentes sejam números consecutivos;
Como os números consecutivos são contados de 1 em 1, podemos escrever a
expressão abaixo:
5a . 5 a+1 . 5
a+ 2
.5
a+3
.5
a+4
=5
145
( o uso da letra dependerá da escolha de
cada aluno)
5 a + a +1 + a + 2 + a + 3 + a + 4 = 5 145 ( aplicação da propriedade da potência)
5
5a + 10
= 5
145
( como as bases são iguais, pode-se desprezar as bases e
resolver a expressão indicada pelos expoentes)
5 a + 10 = 145
→
5 a = 145 – 10
→
a = 135 : 5
→
a = 27
Portanto os expoentes são 27; 28; 29; 30 e 31.
d) Suponha que os expoentes sejam números ímpares consecutivos.
Como os números ímpares são contados de 2 em 2, teremos a expressão abaixo:
5b+b+2+b+4+b+6+b+8 = 5
145
( a variável pode ser escolhida de acordo com a
escolha de cada aluno.)
Ao fazer uso das mesmas propriedades do item anterior, pode-se escrever:
5 b + b + 2 + b + 4 + b + 6 + b + 8 = 5 145
→
5 b = 145 – 20
→
→
5 5 b + 20 = 5
b = 125 : 5
145
→
→
5 b + 20 = 145
b = 25
Assim, os expoentes são 25; 27; 29; 31 e 33.
e) Existe solução, quando os expoentes forem números pares e consecutivos?
Neste caso não há solução, isto é, utilizando o resultado do item anterior, temos
para resposta o número 25 que é ímpar, assim, supondo que a resposta fosse 24,
teríamos: 24 + 26 + 28 + 30 + 32 = 140 e não 145 e se lançarmos mão da
seqüência: 26 + 28 + 30 + 32 + 34 = 150. Ou seja, impossível encontrar uma
solução para expoentes pares e consecutivos.
Os exercícios e exemplos aqui propostos são baseados e/ou extraídos dos
livros didáticos que se fazem listados nas referências desta unidade didática.
Avaliação com relação ao objetivo da aula: Nesta aula os alunos devem ter
relacionado o fractal e sua construção com a potência, reconhecendo neste
conteúdo um aliado para a solução de problemas. Recordar as propriedades da
potenciação e sua aplicação na solução de exercícios e problemas, percebendo
nas propriedades, facilitadores do processo de resolução, encurtando caminhos e
diminuindo a quantidade de cálculos a serem realizados. A utilização da
calculadora, enquanto aliada dos cálculos é de grande valia, devendo ser vista
como uma ferramenta de auxílio e não como solução para os problemas de
matemática.
Reflexão pós-aula:
PLANO DE AULA 06
Assunto: Resolução de exercícios e problemas com a utilização da potenciação.
Conteúdo: Potenciação e suas propriedades.
Objetivo da aula:
Aplicar corretamente as propriedades da potência;
Reconhecer as propriedades que devem ser aplicadas na solução de cada
situação proposta;
Solucionar exercícios e problemas com aplicação dos conceitos e das
propriedades da potenciação;
Discutir os critérios avaliativos que serão utilizados na prova, bem como os
que farão parte do seminário.
Série: 1º ano do Ensino Médio.
Tempo: 50 minutos.
Recursos: Caderno; livro didático público; caneta; lápis; borracha; listas de
exercícios; quadro de giz; giz branco e colorido; apagador; calculadora com apoio
científico.
Desenvolvimento da aula: Realizar a correção dos exercícios que foram
propostos na aula anterior e/ou de casa. Propor aos alunos a solução de
exercícios e problemas que envolvem a potenciação e a aplicação de suas
propriedades. Reconhecendo em cada situação proposta, qual a solução que
melhor se adapta e quais propriedades facilitam o desenvolvimento do trabalho,
percebendo no manuseio da calculadora um facilitador nos cálculos a serem
efetuados. Todos os exercícios e problemas propostos devem ser corrigidos pelo
professor e quando essas correções são feitas pelos alunos devem estar sobre a
orientação do professor, apontando as reflexões necessárias em cada solução
proposta pelos alunos, indagando se ela é a única forma de solução. Durante a
solução dos exercícios o professor estará em constante movimentação pela sala
de aula, para observar como os alunos estão desenvolvendo o que está sendo
proposto e ainda, para analisar e intervir nas soluções quando os alunos
apresentarem dificuldades para encontrar um caminho de solução, não sendo
função do professor, dizer como se faz, mas dando dicas de como encontrar as
soluções.
Os alunos, que assim desejarem, podem resolver suas atividades em
duplas ou trios. Visto que, pela minha prática em sala de aula, muitas vezes os
alunos percebem no colega um aliado para formularem suas discussões,
realizando seus questionamentos de forma mais aprofundado, sentindo maior
liberdade em “admitir” o fato de não ter compreendido da mesma forma que o
colega, por estar com dúvidas na solução e/ou aplicação das propriedades e
ainda, por não conseguir compreender a explicação do professor e com o colega
essas indagações surge de maneira natural. Estando o professor atento a essas
discussões tem condições de reconduzir sua prática de sala de aula com relação
ao conteúdo explicado, aos exemplos apresentados e às atividades propostas. A
auto-avaliação do professor é constante para que se atinja o aprendizado de
maneira eficiente.
No portfólio devem ser colocadas as definições e as propriedades, bem
como pelo menos um exemplo da aplicação de cada propriedade. Além dos
exercícios e problemas que os alunos julgarem interessantes arquivar, justificando
sua escolha. Com o auxílio desses registros torna-se mais fácil revisar os
conceitos e definições para que, os alunos, possam estudar para a avaliação,
onde será analisado o reconhecimento e a aplicação das propriedades na solução
das atividades propostas.
Ao final da aula o professor deve orientar os alunos com relação à
realização de uma avaliação formal que será realizada na próxima aula,
explicando de que forma ela será, ou seja, que será uma avaliação individual com
questões dissertativas e também com questões objetivas. Questionar os alunos
sobre a existência ou não de dúvidas com relação ao conteúdo revisado.
O professor deve promover uma discussão a respeito dos critérios de
avaliação que serão utilizados por ele na correção do instrumento. Assim com
relação à prova, os critérios são: o reconhecimento e a aplicação correta das
propriedades da potência; a solução dos exercícios propostos, ou seja, não serão
consideradas respostas finais sem a descrição dos passos aplicados. Com
relação ao seminário, os critérios são: a entrega de uma pesquisa escrita, com os
devidos referenciais consultados; a exposição do fractal pesquisado, que pode ser
impresso ou construído pelo grupo, salientando que sua exposição deve ser clara
e de fácil visualização; justificativa dos motivos que levaram o grupo na escolha
do fractal pesquisado e onde ele pode ser encontrado; apresentação da tabela
gerada pelo fractal pesquisado; questionamentos, dos ouvintes, com relação ao
fractal apresentado. Não será considerado como critério de avaliação o grau de
dificuldade na construção, ou seja, a avaliação não deve premiar as pesquisas
que escolherem fractais mais elaborados, mas sim a explicação e exposição da
pesquisa realizada.
Exercícios:
1 – Calcule o valor de x para que a equação, x = ( 3 - 2 - 2 0 ) : 9 -1 ,
2 –3
x = ( 3 - 2 - 2 0 ) : 9 -1
→
2 –3
x = - 2/3 : 3 – 2
( 1/2 ) 3
x = ( 1/3 – 1 ) : ( 3 2 ) – 1
→
( 1/2 ) 3
→
x = - 2/3 : ( 1/3 ) 2
(1/2 ) 3
→
x = -6
1/8
→
x = - 48.
a) seja verdadeira;
Assim para que a equação seja verdadeira o valor de x deve ser – 48.
b) seja falsa;
Portanto para que a igualdade seja falsa, basta utilizar qualquer valor para x
diferente de – 48.
2 – Calcule o valor numérico da expressão
m 5. n 2
, quando:
4.m–n3
Para que seja resolvido qualquer um dos itens abaixo, faz-se necessário que, na
expressão, sejam feitas as substituições numéricas indicadas para as incógnitas
m, n e aplicar as propriedades da potência.
a) m = 1/2 e n = - 1/2
b) m = 3 e n = - 3
c) m = 2 - 2 e n = 0
d) m ≠ ? e n ≠ ?
Avaliação com relação ao objetivo da aula: Com a solução das atividades
propostas pelo professor aos alunos, e das discussões levantadas, perceber se
há necessidades de mais exercícios ou não, sendo que de nada adianta a
memorização nas soluções apresentadas, ou seja, de nada adianta a solução de
muitos exercícios no estilo, siga o modelo, sendo assim os exercícios devem
promover a curiosidade em solucionar os problemas e não sua solução como
meta de cumprimento de atividade.
Reflexão pós-aula:
5.3) ETAPA 3
Nesta etapa serão realizadas as apresentações, na forma de seminário,
que se dará com a exposição da pesquisa realizada pelo grupo e a construção
das tabelas sobre o fractal pesquisado. O professor irá conduzindo o debate entre
os alunos sobre o que está sendo apresentado, quando se fizer necessário. No
caso de haverem dois trabalhos com o mesmo fractal, realizar a apresentação em
conjunto. Ao final de cada apresentação será avaliado o trabalho de acordo com
os critérios que os alunos e o professor estabelecerem no contrato didático. Deve
fazer parte do portfólio um relatório individual a respeito de cada apresentação
realizada.
5.3.1) Planos das aulas 07; 08 e 09.
PLANO DE AULA 07
Assunto: Avaliação com as definições, conceitos e propriedades da potência.
Seminário com os fractais pesquisados.
Conteúdo: Potenciação.
Objetivo da aula:
Verificar a coerência na utilização das propriedades da potência na solução
de exercícios e problemas;
Observar quais as propriedades que os alunos mais fazem uso na solução
das atividades propostas.
Série: 1º ano do Ensino Médio.
Tempo: 50 minutos.
Recursos: Avaliação impressa; caneta; lápis; borracha; calculadora com apoio
científico (opcional); papel para rascunho (opcional).
Desenvolvimento da aula: O professor ao entrar na sala de aula, deve
questionar os alunos sobre a existência ou não de dúvidas com relação ao
conteúdo a ser avaliado. Caso haja dúvidas, sanar antes da entrega do
instrumento. Antes da entrega do instrumento avaliativo, os estudantes que assim
desejarem, podem formar duplas, para a solução da avaliação, os alunos que não
quiserem, realizarão a atividade individualmente. Ao ser entregue o instrumento o
professor deve solicitar que os alunos observem e analisem se há compreensão
com relação ao que está proposto. Solicitar que sua resolução seja individual e
sem consulta ao material revisado. Como a avaliação é composta por poucas
questões, ao serem devolvidas ao professor, pelos alunos, iniciam-se as
apresentações no seminário sobre os fractais pesquisados.
O seminário será realizado com a apresentação dos grupos de pesquisa,
que durante o decorrer da pesquisa, das aulas de revisão, fizeram suas inscrições
com relação à ordem das exposições, lembrando que se houverem dois ou mais
trabalhos a respeito do mesmo fractal eles devem acontecer em paralelo, ou seja,
propiciando uma discussão em conjunto, no sentido de enriquecer cada
apresentação. Os alunos terão seus relatos fixados no portfólio. Elaborando em
forma de texto, desenho, enfim como cada aluno julgar mais eficiente suas
anotações a respeito de cada apresentação realizada no seminário. O grupo que
realiza a apresentação terá sua pesquisa, na integra, no portfólio. Caso não
surjam questionamentos o professor deve promover estes momentos de debate.
Avaliação: Prova composta por questões objetivas e dissertativas, que visam
analisar o reconhecimento e a aplicação das propriedades da potência.
1 – Relacione as colunas, analisando qual a propriedade que pode ser aplicada
em cada caso:
( A ) 8 4 . 8 2 . 23
( B ) 62
( B ) (4:6)2:(2:6)4
( E )
( C ) 9 2 : 9 - 4 . 271/3
( A ) 2 21
( D ) 0,00001 . 10 3 : 10
( D ) 10 - 3
( E ) [( 216 1/3 ) 2 ] – 1/2
( C )
6-1
313
2 – Complete cada igualdade com V se for verdadeira e F se for falsa, levando em
consideração as propriedades da potência:
(
F ) 8 3/5 = 3 √ 85
( V ) ( 5 . 3 ) 4 = 54 . 3 4
( V ) 2 4 : 23 = 2 - 1
( F ) [ ( 7 –2) -1] 3= 7 -6
( V ) ( 3 / 4 ) -3 = ( 4 / 3 ) 3
( V ) 3 5. 34 = 39
3 – Resolva as expressões, aplicando as propriedades da potência:
a) 103 . (0,00001) – 2 = 10 3 . ( 10 – 5 ) – 2 = 10
105 . 102
10 7
3
. 10 10 = 10 13 – 7 = 10 3 = 1000
10 7
b) [ ( 9 5 . 9 . 9 4 ) : ( 9 2 . 9 5 ) ] 1/6 = [ ( 9 10 ) : ( 9 7 ) ] 1/6 = ( 9 3 ) 1/6 = 9 1/2 = √ 9 = 3
Avaliação com relação ao objetivo da aula: Através da avaliação com a análise
das respostas construídas pelos alunos, perceber se é possível iniciar o conteúdo
de função exponencial, ou se há necessidade de retomar as revisões, afinal o
conceito de potência é a base para o bom desenvolvimento dessa unidade de
ensino. Nas primeiras apresentações podem surgir momentos de insegurança,
por parte dos alunos, cabe ao professor propiciar um ambiente favorável a esta
atividade.
Reflexão pós-aula:
PLANO DE AULA 08
Assunto: Seminário sobre os fractais pesquisados.
Conteúdo: Potenciação.
Objetivo da aula:
Discutir as respostas construídas na avaliação de revisão;
Analisar as associações feitas pelos alunos em suas apresentações;
Organizar as apresentações para que não haja fuga do assunto proposto;
Mapear as relações construídas entre os fractais e a Matemática;
Observar o interesse com relação ao seminário, enquanto instrumento de
avaliação.
Série: 1º ano do Ensino Médio.
Tempo: 50 minutos.
Recursos: Os recursos aqui necessários vão depender das pesquisas realizadas
e do material que os grupos irão solicitar, cabendo ao professor relacionar durante
o período de pesquisa o que cada grupo vai precisar.
Desenvolvimento da aula: Ao iniciar a aula entregar as provas corrigidas,
fazendo as devidas observações e discussões das soluções apresentadas pelos
alunos. Cada aluno deve anexar no portfólio à avaliação corrigida, dessa forma os
estudantes que realizaram a avaliação em dupla, um deles deve ter anexado no
portfólio uma cópia xerocada e os alunos que tiverem alguma questão errada
devem anexar também uma cópia da prova com as questões resolvidas de
corretamente.
Após as correções iniciam-se as apresentações. Cada grupo deve mostrar
o fractal pesquisado e construído, bem como a tabela por ele produzida. O
professor deve conduzir os questionamentos com relação a sua construção,
utilidade, aplicação, entre outros, sempre que os ouvintes não o fizerem. Cabe ao
professor estar atento a todas as informações repassadas evitando que fiquem
dúvidas nas apresentações e nas discussões, dessa forma é prudente que saiba
um mínimo a respeito de cada fractal apresentado. Assim, os alunos terão maior
segurança durante o seminário, não no sentido de ser mais um integrante do
grupo, mas sendo o apoio, caso o grupo precise. Lembrando que as anotações
devem ser realizadas e anexadas no portfólio.
Avaliação com relação ao objetivo da aula: Discutir as soluções apresentadas
para que os alunos percebam que existem outras formas de solucionar a mesma
questão proposta na prova. O professor deve realizar uma análise das
apresentações, de acordo com os critérios pré-estabelecidos com os alunos com
relação às pesquisas, e das associações feitas entre o fractal e suas aplicações,
seja na Matemática, nas artes, na arquitetura, entre outras. Utilizando os mesmos
critérios os alunos devem fazer suas anotações no portfólio. Através do seminário,
o professor pode observar o grau de envolvimento dos integrantes do grupo, os
questionamentos realizados pelos ouvintes, as curiosidades e as aplicações
apresentadas, os recursos utilizados, bem como as construções e tabelas
apresentadas.
Reflexão pós-aula:
PLANO DE AULA 09
Assunto: Seminário com os fractais pesquisados.
Conteúdo: Potenciação.
Objetivo da aula:
Analisar as associações feitas pelos alunos em suas apresentações;
Organizar as apresentações para que não haja fuga do assunto proposto;
Mapear as relações construídas entre os fractais e a Matemática;
Observar o interesse dos alunos, com relação ao uso do seminário como
instrumento de avaliação;
Concluir a existência da Matemática além da sala de aula e dos cálculos.
Série: 1º ano do Ensino Médio.
Tempo: 50 minutos.
Recursos: Os recursos aqui necessários vão depender das pesquisas realizadas
e do material que os grupos irão solicitar, cabendo ao professor relacionar durante
o período de pesquisa o que cada grupo vai precisar.
Desenvolvimento da aula: No decorrer do seminário, o professor deve estar
atento para que as apresentações sejam coerentes, evitando que se perca o foco
de discussão, conduzindo questionamentos sempre que se fizerem necessários.
Com o encerramento do seminário, propor aos alunos um novo debate, agora
com relação ao que os alunos perceberam no decorrer das apresentações, ou
seja, as anotações que os estudantes fizeram com relação a cada apresentação.
Assim os alunos devem ser conduzidos a falarem sobre os pontos positivos e
negativos das apresentações no seminário; a respeito do tempo para realização
da pesquisa e da apresentação; ao trabalho em equipe; aos registros no portfólio;
e finalmente se os alunos perceberam a existência da avaliação no decorrer do
seminário. E mais, o professor deve questionar os alunos sobre a existência da
Matemática além da sala de aula e dos cálculos, ou seja, com as apresentações
dos fractais, verificar se os alunos são capazes de identificar outras aplicações da
Matemática, que não são percebidas de maneira tão imediata e/ou isolada,
dissociada da realidade. Cada aluno deve acrescentar no portfólio um relato sobre
o seminário.
Avaliação com relação ao objetivo da aula: Ao final desta etapa da aplicação
da unidade didática os alunos devem ter percebido que em Matemática, também
são possíveis outras formas de avaliação, que são utilizadas por outros
professores em outras disciplinas. Que a Matemática é encontrada em vários
lugares e que sempre acontece uma associação, neste caso essa associação se
refere aos fractais e a potenciação.
Reflexão pós-aula:
5.4) ETAPA 4
Nesta etapa, o professor fará uso da tabela construída com base no fractal
floco de neve, para induzir os alunos na identificação da equação matemática que
o gera. Após tais conclusões, propor aos alunos que escrevam as equações que
geram os fractais apresentados no seminário, podendo ser expresso por uma
equação matemática envolvendo a potenciação. E ainda, sendo possível a
construção de uma tabela de forma a analisar o comportamento matemático de
qualquer fractal e seu crescimento sem necessariamente realizar a construção
por completo. Ao serem concluídas as identificações das equações matemáticas,
se por acaso, os alunos ainda não tiverem estabelecido as relações envolvendo a
potenciação, matemática dos fractais com a matemática aplicada e a realidade, o
professor deve conduzir o diálogo para que se chegue a tais conclusões.
5.4.1) Planos das aulas 10 e 11.
PLANO DE AULA 10
Assunto: Construção da equação gerada pelos fractais apresentados.
Conteúdo: Equações exponenciais.
Objetivo da aula:
Relacionar os fractais com a potenciação, fazendo uso das tabelas geradas
nas apresentações;
Reconhecer os conceitos de potenciação para escrever a equação
exponencial geradora do fractal;
Construir a equação geradora do fractal floco de neve;
Estabelecer relação entre os fractais e a equação geradora.
Série: 1º ano do Ensino Médio.
Tempo: 50 minutos.
Recursos:
Tabelas construídas com base
nos
fractais pesquisados e
apresentados no seminário; caderno; caneta; lápis; calculadora com apoio
científico; quadro de giz; giz branco e colorido; apagador.
Desenvolvimento da aula: Partindo do fractal floco de neve e da tabela gerada
por ele, construir a equação geradora do fractal, ou seja: na primeira construção
existe 1 triângulo eqüilátero que é dado, logo não será aqui considerada como a
primeira construção, visto que ele pode ser impresso e entregue aos alunos.
Assim, será considerada a primeira construção quando os alunos, partindo do
triângulo inicial, começam a construção efetiva do fractal. Portanto na primeira
construção existem 4 triângulos eqüiláteros; na segunda 8 triângulos eqüiláteros;
na terceira16 triângulos; e assim sucessivamente. Logo, a conclusão que se pode
tirar, é da aplicação da potência de base 2. Onde, na primeira construção temos 1
triângulo o qual é definido sua quantidade, portanto não entra na tabela; já na
segunda construção temos a base 2 e o expoente 2; na terceira temos base 2
com expoente 3; sendo a base 2 e o expoente a etapa de construção, excetuando
a primeira construção.
Construção
1ª construção
2ª construção
3ª construção
nª construção
Quantidade
4 triângulos
8 triângulos
16 triângulos
? triângulos
Potência
22
23
24
2?
Incentivar os alunos a encontrar as equações geradoras dos fractais
pesquisados e apresentados no seminário. Para que se evitem longas discussões
entre os grupos, o professor deve ter elaborado a seqüência de questionamentos
que induzam as primeiras conclusões com relação às construções das equações,
dessa forma, os alunos terão maior confiança em debater a respeito da
formulação das respostas. Assim, para o fractal floco de neve, vamos definir que c
é o número de construções e t o número de triângulos. Logo, teremos por
equação geradora da quantidade de triângulos, t = 2 c + 1.
Solicitar que os alunos consultem suas anotações, feitas no portfólio, com
relação às apresentações no seminário, para que seja possível, com base nas
tabelas, construir as equações geradoras e ainda analisar se os argumentos
utilizados pelos grupos possibilitam a construção das equações geradoras. Para
esta análise serão definidos, pelo professor em conjunto com os alunos, os
critérios, de forma a concluir cada equação geradora. Entre os critérios de análise
podemos sugerir: existe relação entre o fractal, a tabela e a equação; os
argumentos apresentados, pelo grupo, induzem ou comprovam a aplicação de tal
equação.
As equações matemáticas, aqui construídas devem ser anexadas no
portfólio com as devidas observações que cada aluno julgar importante.
Avaliação com relação ao objetivo da aula: O principal foco dessa aula é
observar a capacidade dos alunos em perceberem a aplicação da Matemática na
construção dos fractais, uma vez que, a primeira impressão que se tem é a de
que o fractal tem efeito decorativo, curioso, difícil, e por que não dizer sem
aplicação de conceitos matemáticos.
Reflexão pós-aula:
PLANO DE AULA 11
Assunto: Debate sobre as equações geradoras dos fractais apresentados
durante o seminário.
Conteúdo: Equação exponencial.
Objetivo da aula:
Observar os argumentos apresentados na apresentação da equação
geradora do fractal;
Analisar as relações estabelecidas entre os conceitos matemáticos e os
fractais;
Identificar as equações geradoras dos fractais apresentados no seminário.
Série: 1º ano do Ensino Médio.
Tempo: 50 minutos.
Recursos:
Tabelas construídas com base
nos fractais pesquisados e
apresentados no seminário; caderno; caneta; lápis; calculadora com apoio
científico; quadro de giz; giz branco e colorido; apagador.
Desenvolvimento da aula: Através das discussões entre professor e alunos
estabelecer as relações entre as tabelas construídas com base nos fractais
apresentados no seminário e a equação que gera cada fractal. O professor deve
levantar todas as possibilidades de solução antes para que, ele possa orientar
adequadamente o trabalho dos alunos de modo a obterem, chegarem às
conclusões necessárias. Tais conclusões relacionam os fractais com os conceitos
matemáticos e sempre que possível recair nas equações exponenciais que será o
foco das próximas discussões.
Nesta aula, deve concluir-se a atividade de estabelecer as relações entre
os fractais, os conceitos matemáticos e suas tabelas geradoras e encaminhar-se
as considerações a serem anotadas para posterior discussão sobre as
construções gráficas para os fractais pesquisados.
Orientar os alunos para acrescentarem, no portfólio, as observações
realizadas a respeito das discussões geradas no debate realizado com base nos
fractais apresentados. Sendo que cada aluno deve anotar, suas: críticas;
sugestões; dificuldades apresentadas; facilidades percebidas durante o processo
de pesquisa e de apresentação; construção das tabelas e da equação geradora;
enfim realizar um relato sobre os pontos positivos e negativos por ele percebido.
Lembrando que, os pontos levantados são com relação ao seu trabalho individual
e no grupo, bem como com relação às demais apresentações.
Avaliação com relação ao objetivo da aula: Acompanhar as discussões e as
conclusões a respeito das relações estabelecidas entre os fractais e os conceitos
matemáticos. Observar o envolvimento dos alunos com a atividade proposta e as
anotações realizadas.
Reflexão pós-aula:
5.5) ETAPA 5
Encerradas as apresentações com as devidas conclusões de que cada
fractal apresentado é gerado por uma equação matemática, retornar ao livro
didático, para a apresentação das definições formais de equação exponencial e
suas soluções, com a realização de exemplos, exercícios e a solução de
problemas, bem como suas correções. As correções das atividades podem ser
realizadas tanto pelo professor quanto pelos alunos. Ao término das correções e
verificando-se a não existência de dúvidas, para então realizar uma prova com
questões objetivas e dissertativas a respeito das equações exponenciais e suas
soluções. Quando entregues as avaliações, as soluções devem ser comentadas
com os alunos, a fim de sanar qualquer dúvida com relação à correção. No
portfólio os alunos podem registrar exemplos, exercícios e/ou problemas que
exemplifiquem e/ou expliquem o conteúdo estudado. As avaliações e suas
devidas correções também devem ser anexadas no portfólio.
Realizadas todas estas atividades, apresentar aos alunos as definições de
função exponencial, com os exemplos apresentados no livro didático, exercícios
e problemas, tanto em sala de aula como em casa. Estes exercícios devem ser
corrigidos pelo professor e/ou pelos alunos com a discussão das soluções
encontradas. O professor deverá trazer exercícios e problemas extraídos de
outras fontes além do livro didático, sejam eles de outros livros didáticos, de
concursos, com a construção das tabelas e dos gráficos. Ao término dessas
atividades, realizar uma avaliação dissertativa com os conceitos da função
exponencial, sua construção gráfica, classificação, entre outras.
5.5.1) Planos das aulas 12; 13 e 14.
PLANO DE AULA 12
Assunto: Conceitos e definições de função exponencial, com exemplos e
exercícios.
Conteúdo: Função exponencial.
Objetivo da aula:
Apresentar os conceitos e definições sobre a função exponencial;
Observar os exemplos resolvidos com os conceitos de função exponencial;
Reconhecer os conceitos para solucionar as atividades propostas;
Resolver exercícios e problemas com a função exponencial;
Discutir as soluções apresentadas na solução das atividades propostas.
Série: 1º ano do Ensino Médio.
Tempo: 50 minutos.
Recursos: Caderno; livro didático público, caneta; lápis; borracha; calculadora
com apoio científico (opcional); quadro de giz; giz branco e colorido; apagador.
Desenvolvimento da aula: Iniciar a aula com uma breve revisão sobre os
conceitos de função. Questionando os alunos sobre: O que é uma função? Como
se reconhece uma função? Quais os tipos de função que vocês já estudaram?
Como se resolve uma função? Existe alguma classificação para as funções? O
que diferencia uma função de 1º grau da função de 2º? O que é domínio,
contradomínio e imagem? Como se constrói o gráfico de uma função? Após esta
breve revisão dos conceitos já estudados o professor terá condições de verificar
se há necessidade de exercícios de revisão realizados no caderno dos alunos ou
se a revisão realizada em coletivo será suficiente, ou seja, podendo ser realizada
no quadro de giz com solução oral pelo professor e pelos alunos.
Solicitar aos alunos que em duplas, ou individualmente caso algum aluno
assim sinta-se mais a vontade, leiam o texto apresentado no livro didático público,
GIOVANNI & BONJORNO (2005, p.233-234) onde é apresentada a definição da
função exponencial, bem como os dois casos que classificam a função em
crescente ou decrescente. Ou seja, quando a base for maior que um a função é
dita crescente e quando a base estiver compreendida entre zero e um a função é
chamada decrescente, analisando os gráficos apresentados nestes casos.
Explicar aos alunos que se a base for menor que zero pode cair nos casos em
que aqui neste nível de ensino não podem ser resolvidas. Por exemplo: ( - 2 ) 1/2,
se a base for - 2 com expoente 1/2, que ao ser resolvida, recai numa raiz
quadrada de número negativo, o que para o primeiro ano do ensino médio ainda
não tem solução, da mesma forma que não eram resolvidas as subtrações do
tipo, 5 – 8 = ?, até a 6ª série não tinham solução por não ser conhecido o conjunto
dos números inteiros.
Cada aluno escolhe algumas atividades a serem acrescentadas no
portfólio, podendo refletir suas dificuldades e/ou facilidades encontradas, podem
vir acompanhadas de explicações sobre o porquê dessa escolha.
Realizar alguns exemplos com a resolução de equações exponenciais,
neste caso, serão usados os exemplos propostos no livro didático público, que se
encontram na página 231 - 232.
Exemplos:
1 – Determine o conjunto solução da equação:
a) 4 x – 5 . 2 x + 4 = 0
Para que seja possível resolver a equação, faz-se necessário aplicar as
propriedades da potência.
4 x – 5 .2 x + 4 = 0
→ ( 22) x – 5 . 2 x + 4 = 0
→ ( 2 x ) 2 – 5 . 2x+ 4 = 0
Para que se possa concluir a solução teremos que substituir 2 x por alguma outra
variável, que não seja x, a qual usarei m, ou seja, faremos 2 x = m.
(2x)2–5.2x +4=0
→
m2–5.m+4=0
Ao realizarmos essa alteração, recaímos numa equação de 2º grau completa,
portanto ao resolvermos pelo processo que melhor cada um sabe fazer teremos
por solução m1 = 4 e m2 = 1. Aqui o professor pode revisar todos os processos ou
somente aquele ao qual os alunos preferem aplicar. Encontrados os valores para
m, basta retornar a igualdade 2 x = m e substituir os valores de m.
Quando m = 4, temos: 2 x = m
→ 2x=4
→ 2x=22 → x=2
m = 1, temos: 2 x = m
→ 2x=1
→ 2x=20 → x=0
Portanto o conjunto solução será formado pelos valores de x que satisfazem a
equação.
Assim, o conjunto solução é: S = { 0; 2 }
b) 5x – 5 2 – x = 24
Novamente iniciamos aplicando as propriedades da potência, para que seja
possível resolver.
5x – 5 2 – x = 24
5 x – 5 2 . 5 – x = 24
→
5x – 25 . 1 = 24
→
→
5 x – 25 . (1/5) x = 24
5 x – 25 = 24
5x
5
x
Aplicando a técnica de substituir 5 x por alguma outra variável, ou seja, aqui usarei
para 5 x = t, passamos a ter a equação:
Façamos 5 x = t
5 x – 25 = 24
→
5x
→
t – 25 = 24
t
Como encontramos uma equação fracionária, devemos calcular o mmc, para
eliminarmos os denominadores da equação. Neste caso o mmc é t.
t – 25 = 24
t
→
t2 – 25 = 24 t
t
t
Ao cancelarmos os denominadores e deixando a equação igual a zero podemos
resolver a equação, que outra vez recai numa equação de 2º grau.
t 2 - 25 – 24 . t = 0
t 2 – 24 . t – 25 = 0
→
Resolvendo a equação do 2º grau encontramos como resposta, t 1 = 25 e t2 = - 1.
Logo, quando: t = 25, temos: 5
x
=t
t = - 1, temos: 5
x
5 x = 25
→
5x=52
→
x=2
5 x = - 1, que aqui não pode ser
→
=t
→
resolvida, por estarmos trabalhando no conjunto dos números reais.
Assim, o conjunto solução é formado apenas por uma das soluções.
S={2}
c) 2 x – 1 + 2
x+3
+2
x–2
+ 2 x = 2496
Aplicando as propriedades da potência, teremos:
2x–1 + 2
x+3
+2
x–2
+ 2 x = 2496
→ 2x. 2
–1
+ 2 x . 2 3 + 2 x . 2 – 2 + 2 x = 2496
Como o termo 2 x é termo comum, podemos colocá-lo em evidência, dessa forma,
temos:
2 x . 2 – 1 + 2 x . 2 3 + 2 x . 2 – 2 + 2 x = 2496 → 2 x ( 2 – 1 + 2 3 + 2 – 2 + 1) = 2496
Resolvendo a expressão que está entre parênteses e isolando o termo 2 x , temos:
2 x ( 2 – 1 + 2 3 + 2 – 2 + 1) = 2496
2 x . 2 + 32 + 1 + 4 = 2496
→
2 x (1/2 + 8 + 1/4 + 1) = 2496
→
2 x . 39 = 2496
4
→
4
→
2 x = 2496 . 4
39
Ao substituirmos o termo 2 x por alguma outra variável, aqui usarei p, passamos a
ter uma equação de 1º grau, assim:
Portanto: 2 x = p
→
p = 2496 . 4 / 39
→
p = 256
Dessa forma podemos então calcular o valor de x retornando a igualdade 2 x = p e
fatorando o número 256 torna-se possível a solução, ou seja:
2x=p
2 x = 256
→
2 x = 28
→
→
x=8
Portanto o conjunto solução é: S = { 8 }
Agora é sua vez, vamos resolver os exercícios propostos.
Exercícios:
1 – Resolva os exercícios, aplicando as propriedades da potência e escreva o
conjunto solução.
Para iniciar a solução deve-se substituir a expressão contendo x por qualquer
outra variável que desejar, lembrando que neste caso não é possível que seja
utilizada a variável x por fazer parte do enunciado. Assim
a) 3 2 x – 28 . 3 x + 27 = 0
3 2 x – 28 . 3 x + 27 = 0
a 2 – 28 . a + 27 = 0
→
(3 x) 2 . 3 x – 28 . 3 x + 27 = 0 ( tome 3
→
2
3
x
3
x
= 1 ( retornando a igualdade inicial onde 3
= a
→
1
3
→
x
a 1 = 27 e
→
= a, temos)
→
= 27
3x=1
→
= a2
x
=a)
a 2 – 28 a + 27 = 0 (aplicando qualquer dos
→
processos de solução da equação do 2º grau, temos )
a
x
3
→
x
3
=3
x
=3
3
, logo x = 3
0
, logo x = 0
Portanto o conjunto solução será: S = { 0 ; 3 }
b) 2 2 x + 32 = 12 . 2 x
2
→
→
→
2x
+ 32 = 12 . 2
x
→
b 2 + 32 = 12 . b
2 x = b1
x
2 =b
→
→
2
(2
x
) 2 + 32 = 12 . 2
b 2 – 12 b + 32 = 0
→
2x=8
→
x
2 =4
→
→
2x = 2
x
x
( sendo 2
x
=b)
b1=8eb2=4
3
2
→
x=3
→
x=2
2 2 x . 2 – 3 . 2 x . 2 2 = 32
→
2 =2
Assim o conjunto solução será: S = { 2 ; 3 }
c) 2 2 x + 1 – 3 . 2 x + 2 = 32
22x+1 – 3 . 2
x+2
( 2 x) 2 . 2 – 3 . 2
= 32
x
→
4 = 32 ( seja 2 x = c )
→
c2 . 2 – 3 . c . 4 – 32 = 0
→
2 c 2 – 12 c – 32 = 0 (aplicando qualquer dos processos de solução da equação do
2º grau completa calcula-se os valores para c)
→
c1 = 8 e c2 = - 2
2x = c1
→
→ 2
x
2x = 8
→
= c2 → 2
x
2x = 23
→
→
x=3
= - 2 que não é possível resolver uma vez que não existe
nenhuma potência de base 2 que resulte em um número negativo.
Portanto o conjunto solução é : S = { 3 }
d) 7 x – 3 + 7
7
x–3
x–2
+7
+ 7x–2+ 7
7 x ( 7–3 + 7
→
–2
x–1
x–1
+7
= 57
–1
7 x . 7 - 3 + 7 x . 7 - 2 + 7 x . 7 - 1 = 57
→
= 57
) = 57 ( tome 7 x = d)
7x=d
→
d . 57/343 = 57
→
d = 343 (como tomamos d = 7 x, teremos para x)
→
d = 57 : 57/343
d [(1/7) 3 + (1/7) 2 + 1/7 ] = 57
→
→
d ( 1/343 + 1 / 49 + 1/7) = 57
→
7 x = 343
→
7 x = 7 3 portanto, o conjunto
→
solução será: S = { 3 }
2 – Sabendo que 3 x – 3 2 – x = 8, calcule o valor para:
Antes de iniciar a solução dos itens propostos devemos resolver a equação
proposta no enunciado, isto é, calcular o valor de x para que seja possível
resolver os itens abaixo. Assim na equação, 3
x
– 3
2 – x
= 8, aplicaremos as
propriedades para encontrar o valor da incógnita x. Portanto:
3x– 3
2–x
=8
→
3
x
→
(z 2 – 9 ) : z = (8 . z) : z
→
z1 = 9 e z 2 = - 1
→
x=2
→
– 3 2 : 3 x = 8 ( tome 3
→
→
=z)
z2– 9–8z=0
3x= z1
3x = z2
x
→
→
→
→
3x= 9
z–9:z=8
z
2
→
–8z-9=0
3x=3
2
3 x = - 1 que não existe.
Assim o número 2 satisfaz a condição para o valor de x dada pela equação
descrita no enunciado.
a) (15 – x 2 ) 2 = ?
( 15 – x 2 ) 2 = ( 15 – 2 2 ) 2 = ( 15 – 4 ) 2 = 11 2 = 121
b) 15 – ( x 2 ) 2 = ?
15 – ( x 2 ) 2 = 15 – ( 2 2 ) 2 = 15 – 4 2 = 15 – 16 = 1
c) ( x – 15 ) 2 = ?
( x – 15 ) 2 = ( 2 – 15 ) 2 = ( - 13 ) 2 = 169
d) x 2 – 15 = ?
x 2 – 15 = 2 2 – 15 = 4 – 15 = - 11
Todos os exercícios serão corrigidos em sala de aula, sendo muito importante
uma discussão com relação ao segundo exercício, uma vez que ao mesmo
resultado de x é proposta mais de uma interpretação. .
Avaliação com relação ao objetivo da aula: Através de exercícios e problemas,
resolvidos no livro didático público e/ou pelo professor, estabelecer relações entre
as funções já estudadas e a função exponencial, bem como entre os conceitos de
potenciação e a função exponencial. Resolver os exercícios e problemas
propostos aplicando corretamente os conceitos estudados.
Reflexão pós-aula:
PLANO DE AULA 13
Assunto: Construção dos gráficos para a função exponencial.
Conteúdo: Função exponencial.
Objetivo da aula:
Manusear corretamente a régua na construção gráfica;
Construir os gráficos que representam as funções propostas em exercícios
e problemas;
Analisar se há coerência entre o gráfico construído e a atividade proposta;
Classificar os gráficos.
Série: 1º ano do Ensino Médio.
Tempo: 50 minutos.
Recursos: Caderno; livro didático público, caneta; lápis; borracha; calculadora
com apoio científico (opcional); quadro de giz; giz branco e colorido; apagador;
réguas.
Desenvolvimento da aula: Revisar as construções gráficas da função afim e
quadrática (essa revisão vai depender do grau de dificuldades encontrada em
cada turma, sendo assim não serão propostos exercícios de revisão, pois o
professor deve avaliar a necessidade das atividades), estender os conceitos para
a função exponencial e sua construção gráfica. Assim, os alunos percebem que
para que o gráfico reflita a função é necessário que sejam obedecidas as relações
com a escala utilizada e ainda o uso de retas paralelas e perpendiculares, bem
como os pontos, as linhas leves e o reforço para o resultado final. Ao construir os
exemplos o estudante deve perceber a necessidade de o traçado gráfico ser a
mão livre, dessa forma faz-se necessário que este preste atenção ao marcar os
pontos para que o traçado final projete a resposta adequada.
Observar os exemplos propostos, no livro didático público GIOVANNI &
BONJORNO (2005, p.234-236) onde são analisadas aplicações reais da função
exponencial e que os gráficos fazem parte dos relatos apresentados, pela mídia.
Realizar a solução para os exercícios, que podem ser realizados individualmente
ou em duplas conforme cada aluno assim desejar.
As correções dos exercícios devem ser sempre propiciadas aos alunos.
Durante as correções o professor deve promover momentos de discussão quanto
à possibilidade de outras formas de solução. Caso exista exercício que os alunos
não queiram resolver, o professor deve solicitar idéias de como resolver a
atividade proposta, incentivando os estudantes na prática da oralidade e da
defesa de suas idéias, quanto aos procedimentos aplicados, os conceitos
utilizados, enfim os caminhos percorridos, justificando suas escolhas.
No portfólio os alunos podem registrar exemplos, exercícios, problemas
que caracterizem sua análise com relação às construções gráficas, à
classificação, ao domínio, contradomínio e imagem, bem como aos casos em que
a solução é restrita a um determinado subconjunto, com as devidas observações.
Exemplo:
1 – Uma pessoa deposita R$ 500,00 na caderneta de poupança e, mensalmente,
são creditados juros de 2% sobre o saldo. Sabendo que o montante é igual ao
capital mais o juro, determine:
a) a função que permite encontrar o montante M dessa aplicação após x meses.
Antes de iniciar a solução do problema, indagar os alunos quanto à veracidade
desse problema. Como por exemplo: O juro pago pelos bancos na aplicação da
caderneta de poupança é realmente de 2%? Todos os bancos pagam a mesma
porcentagem para esse tipo de aplicação? Qual a vantagem em ter uma
caderneta de poupança? Quais são outras formas de aplicação financeira? Os
juros são os mesmos da caderneta de poupança? Entre outros questionamentos
que podem surgir de acordo com cada turma. Incentivar os alunos a procurarem
no dicionário o que significa montante, caso os estudantes não saibam. Caso seja
necessário, relembrar a fórmula de juro. Assim:
1º mês: M = C + j, onde o capital é 500
M = 500 + 2% de 500
→
M = 500 + 0,02 . 500
Colocando o termo 500 em evidência, temos:
M = 500 + 0,02 . 500 → M = 500 (1 + 0,02) → M = 500 . 1,02
→
j = 10
2º mês: M = C + j, onde o capital é 500 . 1,02
M = 500 . 1,02 + 2% de 500 . 1,02
→
M = 500 . 1,02 + 0,02 . 500 . 1,02
Colocando o termo 500 . 1,02 em evidência, temos:
M = 500 . 1,02 + 0,02 . 500 . 1,02
→
M = 500 . 1,02 . 1,02
→
→
M = 500 . 1,02 (1 + 0,02)
M = 500 . 1,02 2
→
j = 20,20
3º mês: M = C + j, onde o capital é 500 . 1,02 2
M = 500 . 1,02 2 + 2% de 500 . 1,02 2 →
M = 500 . 1,02 2 + 0,02 . 500 . 1,02 2
Colocando em evidência, o termo 500 . 1,02 2, temos:
M = 500 . 1,02 2 + 0,02 . 500 . 1,02 2
M = 500 . 1,02 2 . 1,02
→
M = 500 . 1,02 2 ( 1 + 0,02)
→
→
M = 500 . 1,02
3
→
j = 30,60
Seguindo o mesmo raciocínio podemos concluir que:
xº mês: M = 500 . 1,02 x
M = C . ( 1 + j ) t, onde t é o tempo.
→
b) o montante após 1 ano.
Como 1 ano equivale a 12 meses e fazendo uso de uma calculadora é possível
calcular o montante após um ano de aplicação:
M = 500 . 1,02 x
→
M = 500 . 1,02 12
→
M ~ 634,12
c) o rendimento (juro) no primeiro ano.
Como o juro é o valor pago além do capital, basta retirar do montante o capital.
Assim:
M=C+j
→
j=M–C
→
j = 634,12 – 500
→
j = 134,12
Portanto o juro recebido por um ano de aplicação nas condições descritas no
problema é de R$ 134,12.
d) Construa o gráfico que representa essa situação.
Eixo x
Eixo y
(x;y)
1
10
( 1 ; 10 )
2
20,20
( 2 ; 20,20 )
3
30,60
( 3 ; 30,60 )
35
30
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
Exercícios com a solução iniciada em sala de aula e concluídos em casa
para posterior correção, ou seja, na próxima aula.
Exercícios:
1 – Esboce o gráfico para as funções abaixo:
Para a construção do gráfico a solução pode ser elaborada na forma de uma
tabela, onde os valores de x são escolhidos pelo aluno e os valores de y são
calculados com o uso da função descrita em cada exercício.
a) f(x) = 4 x
TABELA
GRÁFICO
Eixo x
Eixo y
(x;y)
-1
1/4
( - 1 ; 1/4 )
0
1
(0;1)
1
4
(1;4)
2
16
( 2 ; 16 )
b) g(x) = 2 x + 2
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
-2
-1
0
1
2
3
TABELA
GRÁFICO
Eixo x
Eixo y
(x;y)
-2
1
(-2;1)
10
8
6
-1
2
(-1;2)
0
4
(0;4)
1
8
(1;8)
4
2
0
-3
-2
-1
0
1
2
c) h(x) = 2 - x + 1
TABELA
GRÁFICO
Eixo x
Eixo y
(x;y)
-2
5
(-2;5)
-1
3
(-1;3)
6
5
4
3
2
1
3/2
( 1 ; 3/2 )
2
5/4
( 2 ; 5/4 )
1
0
-4
-2
0
2
4
2 – Identifique as funções exponenciais como sendo crescentes ou decrescentes,
justificando sua resposta.
a) f(x) = 3 x a função é dita crescente, pois o valor 3 é maior que 1
b) g(x) = 4 – x a função é chamada decrescente, pois 4 – x é equivalente a (1/4) x,
portanto o valor 1/4 está entre 0 e 1.
c) h(x) = ( √ 6 ) x a função é crescente
d) t(x) = 0,5 x a função é decrescente
e) p(x) = 2 x/3 a função é crescente
f) k(x) = ( 3/4 ) - x a função é decrescente
3 – Sejam f(x) = 3 x – 1, g(x) = 3
x
e s(x) = f(x) + g(x). Qual é o valor de x, tal que
s(x) = 4? (GIOVANNI & BONJORNO, 2005, p.236)
s(x) = f(x) + g(x)
→
3 x : 3 + 3 x = 4 ( tome 3 x = y)
→
f(x) + g(x) = s(x)
→
y = 1( como 3 x = y, temos)
y:3+y=4
→
3x=1
→
→
→
3
x–1
+3x= 4
y+3y=4
3 x = 30
→
→ 4y=4
→
x = 0.
Portanto o valor de x que satisfaz a condição dada no enunciado é o valor zero.
4 – Supondo que você tenha aplicado R$ 300,00 na caderneta de poupança que
rende 1% ao mês, por um ano. E seu amigo aplica a mesma quantia em outra
forma de aplicação que rende 2% ao mês, mas ele deixa aplicado somente por
seis meses. Qual o rendimento que cada um recebeu? Qual a aplicação mais
vantajosa? Justifique sua opção na aplicação. E se a aplicação fosse ao contrário,
ou seja, se você aplicasse por seis meses e seu amigo por um ano. Qual seria o
rendimento de cada um? Esboce o gráfico que representa a aplicação de cada
um dos amigos.
Na solução desse exercício faremos uso da fórmula deduzida no exemplo
realizado no início de nossa aula. Assim, temos: M = C + j, onde M é o montante;
C é o capital, nesse caso de R$ 300,00; e o juro para você é de 1% ( 0,01) e para
seu amigo de 2% (0,02) com um tempo que varia de 1 ano (12 meses) para você
e de 6 meses para seu amigo. Portanto, temos:
Você
M = C . ( 1 + j ) t → M = 300 . (1 + 0,01) 12 → M = 300 . 1,01 12 → M = 338,05
Amigo
M = C . ( 1 + J ) t → M = 300 . ( 1 + 0,02 )
6
→ M = 300 . 1,02 6 → M = 337,85
Neste momento o professor deve questionar os alunos sobre, por exemplo: O
resultado que você chegou era o esperado? O que você imaginou concluir? Qual
dos dois amigos fez a melhor opção de aplicação? Por quê? Qual delas você
faria? Por quê? Entre outros questionamentos que podem surgir.
TABELA – Você
TABELA - Amigo
Eixo x
Eixo y
(x;y)
Eixo x
Eixo y
(x;y)
1
303
( 1 ; 303 )
1
306
( 1 ; 306 )
2
306,03
( 2 ; 306,03 )
2
312,12
( 2 ; 312,12 )
3
309,09
( 3 ; 309,09 )
3
318,36
( 3 ; 318,36 )
4
312,18
( 4 ; 312,18 )
4
324,73
( 4 ; 324,73 )
Gráfico
330
325
320
315
Você
Amigo
310
305
300
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5 – Qual é o valor de x que torna verdadeira a sentença 2 . 2 x = √ 8 . 4√ 2 . 6√ 2 ?
(DANTE, 2008, p.114)
2 . 2 x = √ 8 . 4√ 2 . 6√ 2
x
3/2
x
11/12
2 =(2
2 =2
.2
1/4
. 2
1/6
→
):2
2.2
x
x
=√2
. 4√ 2 . 6√ 2
→
3/2 +1/4 + 1/6 – 1
→
2
→
x = 11/12
=2
3
→
6 – A população de uma cidade, em 2000, era de 60 000 habitantes. Se a taxa de
crescimento anual ficar em torno de 2,5 %.
a) Qual será a população aproximada no ano 2010?
Questionar os alunos quanto aos procedimentos que podem ser utilizados para
solucionar esse problema. Uma primeira forma de solução é:
1º ano → 60 000 + 2,5% de 60 000 = 60 000 + 0,025 . 60 000 = 61 500
2º ano → 61 500 + 2,5% de 61 500 = 61 500 + 0,025 . 61 500 = 63 037
3º ano → 63 037 + 2,5% de 63 037 = 63 037 + 0,025 . 63 037 = 64 613
E assim sucessivamente até que se calcule o 10º ano.
Outra maneira de solucionar o problema seria o de equacionar o problema para
então resolver o que está proposto. Assim, proponha a equação: P = P 0 .( 1 + i ) t,
onde cada estudante escolhe as incógnitas e serem utilizadas, neste caso chamo
P de população final; P0 de população inicial; i de taxa de crescimento anual; t de
tempo em anos. Portanto:
P = P0 .( 1 + i ) t
→
P = 60 000 . ( 1 + 0,025 )
10
→
P = 76 805
b) Faça um gráfico para mostrar o crescimento dessa população.
TABELA
GRÁFICO
Eixo x
Eixo y
(x;y)
1
61 500
( 1 ; 61 500 )
65000
64000
63000
2
63 037
( 2 ; 63 037 )
3
64 613
( 3 ; 64 613 )
62000
61000
0
1
2
3
4
c) Suponha que a taxa de crescimento anual não seja alterada. É possível
concluir que em 1 século a população será de aproximadamente:
P = P0 .( 1 + i ) t
→
P = 60 000 . ( 1 + 0,025 )
100
→
P = 708 823
d) Descreva o que irá acontecer após um milênio. Existe algum impacto
ambiental? Qual será a taxa de crescimento no Brasil? E no mundo?
Neste item a resposta será pessoal.
7 – Aplicado durante 8 meses, um capital de R$ 7 000,00 resulta um montante de
R$ 7 840,00.
a) Escreva a equação geradora dessa situação.
M=C.(1+i)t
b) Determine a taxa de juro simples dessa operação.
M=C.(1+i)
t
→
7 840 : 7 000 = ( 1 + i )
→
1,014 = 1 + i
8
7 840 = 7 000 . ( 1 + i )
→
1,12 = ( 1 + i )
1,014 – 1 = i
→
8
→
8
→
8
i = 0,014
√1,12 = 1 + i →
→
j = 1,4%
c) Calcule o montante após 1 ano e meio de aplicação.
Lembrar que 1 ano equivale a 12 meses e que meio ano equivale a 6 meses,
assim tem-se que 1 ano e meio ao ser representado em meses tem o mesmo
significado que 18 meses. Portanto:
M=C.(1+i)
t
M = 7 000 . 1,014
→
18
→
M = 7 000 . ( 1 + 0,014 )
M = 7 000 . 1,28
→
18
→
M = 8960
Avaliação com relação ao objetivo da aula: Análise da solução dos exercícios e
problemas propostos. Pela observação das discussões durante as correções,
analisar a compreensão dos conceitos e a possibilidade de outras formas de
solução.
Reflexão pós-aula:
PLANO DE AULA 14
Assunto: Exercícios e problemas com a função exponencial
Conteúdo: Função exponencial.
Objetivo da aula:
Resolver as atividades propostas;
Construir os gráficos para os exercícios e problemas propostos;
Classificar as funções exponenciais, com relação aos gráficos construídos.
Série: 1º ano do Ensino Médio.
Tempo: 50 minutos.
Recursos: Caderno; livro didático público, caneta; lápis; borracha; calculadora
com apoio científico (opcional); quadro de giz; giz branco e colorido; apagador;
réguas.
Desenvolvimento da aula: Iniciar a aula corrigindo os exercícios de casa. Caso
exista algum exercício que os alunos não tenham resolvido, orientar os alunos
para que a solução seja construída, permitindo que a resolução seja realizada
antes do professor concluir as correções. Terminadas as correções e sanadas às
dúvidas com relação aos exercícios de casa, passar novos exercícios e
problemas para que sejam resolvidos em sala de aula, no sentido de orientar e
diagnosticar as dificuldades existentes sanando-as de imediato. Após a realização
de cada exercício, realizar a correção, que pode ser feita pelo professor ou pelos
alunos. A aula de exercícios tem por finalidade avaliar as dificuldades
encontradas pelos alunos, onde essas dificuldades podem ser na interpretação,
na “escolha” da propriedade e/ou conceito a ser aplicado, na aplicação de
conceitos anteriores a este conteúdo, ou ainda de concentração. Nesse sentido, a
observação do professor é de suma importância para que os alunos percebam
que estão sendo orientados em suas dificuldades. No portfólio, os alunos estarão
anotando os pontos que mais lhe chamam atenção, seja com relação ao
enunciado, a interpretação, a solução, a aplicação dos conceitos, sendo que
essas anotações referem-se às atividades de casa. Assim, as observações
devem ser realizadas em paralelo com as soluções dos exercícios.
Exercícios:
Nesta lista proposta, vamos encontrar exercícios e problemas que já foram
utilizados em concursos.
1 – (UFMS) Dada a função y = f(x) = a x, com a > 0 e a ≠ 1, determine a soma dos
números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s).
01) O domínio da função f é IR.
(V)
02) A função f é crescente em seu domínio quando 0 < a < 1.
(F)
04) Se a = 2, então f( - 1) = 1/2.
(V)
08) O gráfico de f passa pelo ponto P ( 0; 1).
(V)
16) Se a = 1/3 e f(x) = 243, então x = 81.
(F)
Assim, como são verdadeiras as proposições 01; 04; 08 têm-se soma 13.
01) O domínio da função são todos os valores de x que podem ser utilizados na
solução da função e como x representa o expoente, temos que qualquer valor
numérico pode ser tomado.
02) Como “a” é à base da potência e por definição sempre que “a” for maior que
zero e menor que um temos uma função decrescente.
04) Seja a = 2, x = - 1 na função f(x) = a x, teremos: f( - 1) = 2 – 1 →
f ( - 1) = 1/2
08) Como P ( 0 ; 1) = P ( x; y ) e y = f(x), podemos então aplicar a função no ponto
P, ou seja, f (x) = a
x
→
f ( 0) = a 0
→
1 = a0
→
1=1
16) Tome a = 1/3 e f( x) = 243 então, f(x) = a x → 243 = (1/3) x , ao fatorar o valor
243 encontramos 3 5, assim → 3
5
= (1/3) x, que não é possível, afinal as bases
são diferentes, ou ainda se aplicarmos a propriedade onde a base é invertida
teremos: 3 5 = 3 – x , onde, da mesma forma, o valor de x é diferente de 81.
2 – ( UEL – PR) A solução da equação 2
a) Primo
(F)
b) Múltiplo de 3
(F)
c) Divisível por 4
(V)
d) Múltiplo de 5
(F)
e) Divisível por 7
(F)
2
x–1
–2
x+2
= - 56
→
y = - 112 : (- 7)
→
→ 2 x = 16
→
– 2 x + 2 = - 56 é um número:
2 x : 2 – 2 x . 2 2 = - 56 (tome 2 x = y)
→
y : 2 – y . 4 = - 56
x–1
y – 8 . y = - 112
→
→
- 7 . y = - 112 →
y = 16 (retornando a igualdade 2 x = y, temos)
2 x = 2 4, portanto x = 4, que torna verdadeira a alternativa c.
3 – ( UFMA ) resolva a equação 2 x - 1 + 2
a) x = 8
(V)
b) x = 6
(F)
c) x = 7
(F)
d) x = 9
(F)
e) x = - 7
(F)
x+3
+ 2 x – 2 + 2 x = 2496.
2 x- 1 + 2
x+3
+ 2 x – 2 + 2 x = 2 496
( tome 2 x = m)
→
2 m + 32 m + m + 4 m = 9 984
→
2 x : 2 + 2 x . 2 3 + 2 x : 2 2 + 2 x = 2 496
m : 2 + m . 8 + m : 4 + m = 2 496
→
m = 256 (retomando a igualdade, 2 x = m, temos)
39 m = 9 984
→
→
→
2 x = 256 →
2 x = 2 8, assim o valor de x é 8, sendo a alternativa a verdadeira.
Avaliação com relação ao objetivo da aula: Analisar os procedimentos
aplicados na solução dos exercícios de casa e os de sala de aula, diagnosticando
as possíveis dificuldades e orientando os caminhos que podem ser seguidos.
Reflexão pós-aula:
5.6) ETAPA 6
Retomar as tabelas construídas nas apresentações com os fractais e
realizar as construções dos gráficos, para cada fractal exposto pelos alunos.
Concluindo dessa forma se ele, o fractal, representa uma função crescente ou
decrescente, e ainda qual o domínio, o contradomínio e a imagem de cada função
gerada pelo fractal apresentado. Estas construções gráficas devem fazer parte do
portfólio. Existe ainda nesta obra um tópico ao final de cada capítulo intitulada
“recordando”, que faz uma revisão do capítulo estudado com exercícios e
problemas, sendo assim, os alunos a utilizam como forma de revisão dos
conceitos apresentados.
Encerra-se esta unidade didática com a conclusão dos exercícios e dos
problemas sugeridos pelo professor e dos construídos pelos alunos em suas
apresentações, com a construção das tabelas, das equações matemáticas, das
construções gráficas, da classificação de cada função exponencial, dos conjuntos
domínio, contradomínio e imagem.
5.6.1) Planos das aulas 15; 16; 17 e 18.
PLANO DE AULA 15
Assunto: Construção dos gráficos para os fractais apresentados no seminário.
Conteúdo: Função exponencial.
Objetivo da aula:
Construir os gráficos para os fractais pesquisados;
Classificar as funções geradas pelos fractais;
Discutir as relações entre os fractais e os gráficos reproduzidos;
Estabelecer relações entre o fractal pesquisado e o gráfico construído.
Série: 1º ano do Ensino Médio.
Tempo: 50 minutos.
Recursos: Caderno; livro didático público, caneta; lápis; borracha; calculadora
com apoio científico (opcional); quadro de giz; giz branco e colorido; apagador;
réguas.
Desenvolvimento da aula: Utilizar os exercícios resolvidos em sala de aula, para
as construções gráficas, analisando os conjuntos domínio, contradomínio e a
imagem, em que as atividades estavam propostas. Dessa forma, os alunos
percebem que nem sempre os conjuntos são dados de maneira explícita e que,
nos problemas reais eles, pode se dizer, nunca são referenciados. Nesta
atividade cabe ao professor indagar os alunos, não somente com relação às
construções e às interpretações matemáticas, mas estabelecer um paralelo entre
a realidade e a aplicação dos conceitos matemáticos.
Sendo assim, as construções gráficas dos fractais pesquisados e
apresentados em seminário são uma excelente maneira de demonstrar que, os
problemas reais não são apresentados como vêem nos livros didáticos e nas
avaliações. E que a interpretação é o principal argumento de solução coerente.
As observações com relação às construções gráficas dos fractais serão
acrescentadas no portfólio e/ou algumas construções, de acordo com o que cada
estudante preferir. Os alunos deverão colocar no portfólio a construção gráfica a
respeito do fractal apresentado por ele, e ainda pelo menos mais um gráfico de
outro fractal ao qual desejar.
As construções gráficas aqui não serão colocadas, pois dependem da pesquisa
realizada pelos alunos, no entanto a única que será realizada é o gráfico para o
fractal floco de neve de Koch, uma vez que fora proposto como base para
desencadear, estimular as pesquisas.
Construção do gráfico para o fractal floco de neve de Koch.
Retomar a tabela construída na 10ª aula, revisando a construção do fractal, onde
o primeiro passo foi a construção de um triângulo, como ele pode ser entregue já
construído aos alunos, na tabela apresentamos como sendo o valor para x = 0,
pois encontramos apenas um triângulo. Assim, na tabela, chamo eixo x a
construção feita e eixo y a quantidade de triângulos em cada construção, não
sendo entendido como o número de triângulos construídos em cada etapa, mas o
total de triângulos.
TABELA
GRÁFICO
Eixo x
Eixo y
( x ; y)
0
1
(0 ; 1)
1
4
(1 ; 4)
2
8
(2 ; 8)
3
16
(3 ; 16)
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
Agora é sua vez, construa os gráficos, para os fractais que foram apresentados
no seminário. Não se esqueça de classificá-los e de escrever o domínio, o
contradomínio e a imagem.
Exercício:
1 – Em grupo, construa o gráfico para o fractal ao qual você e seu grupo
apresentaram no seminário, para ser exposto em sala de aula. Contendo a tabela,
o gráfico, os conjuntos domínio, contradomínio e imagem.
Neste item cada aluno representará graficamente o fractal pesquisado e
apresentado no seminário.
2 – Escolha três fractais apresentados no seminário e realize as construções
gráficas.
Cada estudante irá escolher três ou mais fractais que foram apresentados no
seminário e representará graficamente estes fractais.
Avaliação com relação ao objetivo da aula: Através das construções gráficas,
sejam dos exercícios propostos e/ou dos fractais, analisar o desenvolvimento dos
alunos com relação à aplicação dos conceitos que já existem na construção
gráfica e percebendo que as interpelações entre os conjuntos domínio,
contradomínio e imagem estão em constante análise. Além de verificar as
construções realizadas enquanto, uso de escala, uso das réguas, construção de
retas paralelas e perpendiculares.
Reflexão pós-aula:
PLANO DE AULA 16
Assunto: Prova com os conceitos da função exponencial.
Conteúdo: Função exponencial.
Objetivo da aula:
Verificar as relações estabelecidas entre a potenciação e a função
exponencial;
Analisar a coerência na solução das atividades propostas;
Classificar as funções exponenciais;
Reconhecer o domínio, o contradomínio e a imagem das funções
propostas;
Escrever os conjuntos domínio, contradomínio e imagem para cada função
proposta.
Série: 1º ano do Ensino Médio.
Tempo: 50 minutos.
Recursos: Avaliação impressa; caneta; lápis; borracha; calculadora com apoio
científico (opcional); réguas.
Desenvolvimento da aula: Entregar as avaliações, solicitando que os alunos
leiam e verifiquem se há alguma dúvida, quanto à interpretação dos enunciados.
Sanadas as dúvidas, os estudantes resolvem o instrumento individualmente,
entregando ao professor, ao ser concluída a atividade avaliativa.
Avaliação: Prova com questões que já foram utilizadas em concursos e também
com a construção gráfica da função exponencial. A solução da avaliação
encontra-se na aula 17.
1 – ( UFPR ) Para se verificar a igualdade 2 √ 4 2 x ² + 3
= 256, x deve valer:
a) 0
b) 1
c) – 1
d) ± 1
e) ± 2
2 – Construa o gráfico para as funções abaixo, contendo a tabela, a classificação,
os conjuntos domínio, contradomínio e imagem.
a) f(x) = 5 x – 3
b) g(x) = 0,5 x - 1
Avaliação com relação ao objetivo da aula: Analisar as respostas dadas e os
gráficos construídos para cada situação proposta.
Reflexão pós-aula:
PLANO DE AULA 17
Assunto: Entrega da prova corrigida, realizada aplicando os conceitos de função
exponencial.
Conteúdo: Função exponencial.
Objetivo da aula:
Verificar se houve compreensão dos conceitos de função exponencial;
Analisar as construções gráficas para as funções exponenciais propostas.
Série: 1º ano do Ensino Médio.
Tempo: 50 minutos.
Recursos: Avaliação corrigida; quadro de giz; giz branco e colorido; apagador;
caneta lápis; borracha; caderno.
Desenvolvimento da aula: Entregar a prova corrigida, para que: sejam
analisadas as respostas escritas pelos alunos; as questões com maior e menor
incidência de respostas diferentes, questionando os alunos sobre os motivos que
os levaram a ter estas resoluções; as questões que mais geraram dúvidas na
solução e, que caminhos foram usados para chegar às respostas; as questões
que são julgadas mais simples, e os motivos para tais conclusões; o grau de
dificuldade das questões; questionar os alunos com relação à avaliação ter
refletido seu aprendizado; pontos positivos e negativos nesta avaliação e nesse
instrumento avaliativo. Com esses questionamentos o professor terá condições de
refletir sobre o trabalho realizado e sobre os pontos que devem ser retomados. Os
alunos indicando os pontos falhos e os pontos de sucesso conduzem e
reconduzem o trabalho em sala de aula, sinalizando novas práticas de ensino e
de aprendizagem, que culminam na prática avaliativa. Com as sugestões dos
alunos é possível perceber pontos que podem conduzir a falência do processo de
ensino, que uma vez distante das perspectivas dos estudantes geram o
desinteresse, a desmotivação, o desequilíbrio entre os alunos que desejam
aprender e os que querem passar de ano, enfim é importante que os alunos
percebam na ação de aprender uma atividade prazerosa, para tanto o professor
deve conduzir esse trabalho o mais próximo possível dos anseios dos alunos,
criando uma ação interativa e participativa. Não sendo a avaliação vista como “a
hora da verdade” entre os que estudam e os que assistem aulas.
Solução da avaliação:
1 – ( UFPR ) Para se verificar a igualdade 2 √ 4 2 x ² + 3
= 256, x deve valer:
Podemos começar isolando a raiz quadrada, dessa forma teremos:
2 √ 4 2x² +3
= 256
→
√ 4 2 x ² + 3 = 256 : 2
→
√4
2x² +3
= 128
É necessário que sejam fatorados os valores 4 e 128 e que sejam aplicadas as
propriedades da potência, assim:
√ 4 2 x ² + 3 = 128
→
→
( 2 4 x ² + 6 ) 1/2 = 2 7
√ ( 2 2) 2x² +3
→
2
= 27
2x²+3
√ 2 4x² +6 = 27
→
=27
Como a base em ambos os lados da igualdade são iguais pode-se desconsiderar
a base e resolver a igualdade dos expoentes, é possível resolver a equação:
2x2+3=7
2
x =2
2 x2 = 7 – 3
→
→
2x2=4
→
→
x2 = 4 : 2
→
x=±√2
Mas, ainda é possível que seja resolvida com a aplicação das propriedades da
potência, assim:
2 √ 4 2x² +3
= 256
→
2 ( 4 2x² +3)
½
= 256
→
2(4
x ² + 3/2
) = 256
Aplicando, agora a fatoração e novamente as propriedades da potência, teremos:
2 ( 4 x ² + 3/2 ) = 256
→
→
2 2x²+3 = 28 : 2
2(2
→
2 ( x ² + 3/2 )
) = 28
22x² +3 = 2 8– 1
→
2 ( 22x²+3) = 28
22x² +3 = 2 7
→
Como pelo processo anterior, basta que igualemos os expoentes para que seja
possível resolver a equação que assim surge:
22x²+3 = 2
→
7
x2=2
2x2+3=7
→
→
→
2x
2
x=±√2
Portanto o valor de x deve ser ± √ 2 , ou seja, letra e.
=7–3
→
2x2=4
2 – Construa o gráfico para as funções abaixo, contendo a tabela, a classificação,
os conjuntos domínio, contradomínio e imagem.
a) f(x) = 5 x - 3
Eixo x
Eixo y
(x;y)
1
1/25
(1 ; 1/25)
2
1/5
( 2 ; 1/5 )
6
5
4
3
2
3
1
(3;1)
4
5
(4;5)
1
0
-1 0
2
4
6
Ao observarmos a função exponencial é fácil perceber, que a base é maior que 1
dessa forma, trata-se de uma função crescente, o que se comprova através do
gráfico. O conjunto domínio ( D ), contradomínio ( CD ) e imagem ( Im ) dessa
função serão: D = IR; CD = IR; Im = IR*+, ou seja, encontraremos valores sempre
positivos e maiores que zero.
b) g(x) = 0,5 x – 1
Eixo x
Eixo y
(x;y)
5
-1
4
( -1 ; 4 )
4
3
0
2
(0;2)
1
1
(1;1)
2
1/2
( 2 ; 1/2 )
2
1
0
-2
-1
0
1
2
3
Ao observarmos a função exponencial é fácil perceber que a base está entre 0 e
1, dessa forma trata-se de uma função decrescente o que se comprova através
do gráfico. O conjunto domínio ( D ), contradomínio ( CD ) e imagem ( Im ) dessa
função serão: D = IR; CD = IR; Im = IR*+, ou seja, encontraremos valores sempre
positivos e maiores que zero.
Avaliação com relação ao objetivo da aula: Através de uma conversa sobre os
resultados da avaliação, não resultados numéricos, mensuráveis, mas os
resultados construídos e discutidos, buscar os pontos positivos e negativos no
processo de ensino, de aprendizagem e de avaliação. As ações precisam ser
percebidas como continuidade e não como ponto final no processo de
aprendizagem.
Reflexão pós-aula:
PLANO DE AULA 18
Assunto: Aplicar o questionário final sobre as concepções de avaliação utilizadas
e a entrega do portfólio.
Conteúdo: Instrumentos de avaliação.
Objetivo da aula:
Analisar as concepções que os alunos têm a respeito da avaliação;
Mapear os instrumentos que os alunos julgam refletir melhor o seu
aprendizado;
Diagnosticar se houve alteração entre as concepções, a respeito da
avaliação, que os alunos tinham antes e após a aplicação desta unidade
didática;
Observar qual foi o significado do portfólio para os alunos, enquanto
instrumento avaliativo;
Mapear se houve alteração com relação à avaliação, enquanto processo
de verificação de resultados para o de analise do desenvolvimento, do
aprendizado;
Verificar se o processo avaliativo foi compreendido como parte do processo
de ensino e de aprendizagem.
Série: 1º ano do Ensino Médio.
Tempo: 50 minutos.
Recursos: Questionário final; caneta.
Desenvolvimento da aula: Entregar os questionários aos alunos que devem ser
respondidos individualmente, com o intuito de verificar se, com a aplicação desta
unidade didática, os estudantes alteraram suas concepções com relação ao
processo de avaliação, sendo percebido como parte do processo de ensino e de
aprendizagem.
Dessa forma os questionários serão entregues e o professor deve orientar
os alunos para que leiam as perguntas e verifiquem se há alguma dúvida quanto
ao que está proposto nos questionamentos, caso haja dúvidas o professor deve
procurar saná-las tomando o cuidado para não induzir resultados. Ao término do
preenchimento dos questionários, deve-se recolher para análise das respostas
obtidas, que serão comparadas com as relatadas no questionário realizado no
início da apresentação desta unidade.
Questionário:
LEIA
COM
ATENÇÃO
CADA
QUESTÃO
E
MARQUE
TODAS
AS
ALTERNATIVAS QUE RESPONDAM, PARA VOCÊ, AO QUESTIONAMENTO
PROPOSTO, NO QUE SE REFERE A APLICAÇÃO DESTE PROJETO DE
PESQUISA.
1 - Para mim, a avaliação de Matemática serve para:
( ) dar uma nota
( ) encontrar os erros dos alunos
( ) verificar o que aprendi
( ) ver se precisa fazer recuperação
( ) premiar os alunos
( ) punir os alunos
( ) analisar o que os alunos sabem e o que não sabem
( ) o professor rever a forma de dar aula
( ) verificar se é necessário fazer revisão
2 - As avaliações de Matemática são:
( ) muito extensas
( ) só de resolução de exercícios
( ) a resolução de problemas
( ) somente provas
( ) a repetição dos exercícios do caderno
( ) aplicação de fórmulas
( ) muito cansativas e estressantes
( ) muito difíceis
( ) exercícios e problemas que não foram trabalhados em sala de aula
( ) aplicados diferentes instrumentos avaliativos
3 – Qual instrumento avaliativo, você acredita, que facilita a solução das questões
propostas pelo professor?
( ) múltipla escolha
( ) questão aberta
( ) debate
( ) apresentação de trabalho
( ) seminário
( ) pesquisa
( ) solução de exercícios e problemas
( ) outra. Qual ____________________________________________________
4 - Quantas avaliações, em média, foram realizadas em Matemática durante a
aplicação deste projeto?
( )1
( )2
(
)3
( )4
( )5
( ) 6 ou mais
5 - Quando o professor de Matemática faz as revisões de conteúdo:
( ) antes de realizar as avaliações
( ) depois de realizar as avaliações
( ) antes de realizar a recuperação
( ) sempre que os alunos pedem
( ) antes de iniciar um conteúdo novo
( ) não são realizadas revisões
( ) durante o desenvolvimento do conteúdo
6 – Relacione as avaliações de Matemática, que você fez na aplicação deste
projeto. Qual delas você mais gostou e a que menos gostou de fazer? Por quê?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
7 - Dê sua opinião a respeito da construção e utilização do portfólio?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
Avaliação com relação ao objetivo da aula: Analisar os dados obtidos através
deste questionário e a comparação com os dados coletados no questionário
anterior, aplicado na primeira aula desta unidade didática, para que se possa
estabelecer um comparativo entre as concepções que os alunos tinham e agora
relatam a respeito do processo avaliativo e da aplicação de alguns instrumentos,
entre eles a construção e o uso do portfólio.
Reflexão pós-aula:
6) RECURSOS DIDÁTICOS.
Para a execução desta unidade didática será necessário que os alunos
tenham: réguas; compasso; tesoura; papel sulfite para a construção, por exemplo,
do fractal floco de neve de Koch; o acesso e a utilização do laboratório de
informática, para as primeiras pesquisas a respeito dos fractais; pesquisa
extraclasse realizada pelos alunos sobre os fractais; elaboração de um trabalho a
ser apresentado ao professor e aos colegas de classe, com um fractal de escolha
do grupo; livro texto; pasta para construção do portfólio; calculadora; entre outros
aqui não previstos, mas que podem surgir durante a execução e implementação
deste projeto de pesquisa.
7) CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO.
Segundo BOTH (2008), “Um processo avaliativo será mais valoroso quanto
mais instrumentos, conceitos e concepções cristalinas de avaliação conseguirem
complementar-se mutuamente.” (p.25). Sendo assim, durante a realização desta
unidade didática os alunos serão avaliados utilizando-se os conceitos de
avaliação formal e informal, bem como a construção do portfólio.
Afinal, segundo ESTEBAN (2001), “São múltiplos os modos de observar,
interpretar e atuar na realidade...” (p.163) encontrada em cada ambiente escolar,
ou seja, cada sala de aula apresenta características diferentes e específicas.
Dessa forma, cabe ao professor adequar sua prática de ensinar e de avaliar cada
realidade encontrada. Com efeito, o interesse do professor ao avaliar os
estudantes não deve ser o de identificar erros e acertos, mas o que sabem e o
que não sabem os alunos, no processo de ensino e aprendizagem, ou seja, ao
conectar-se “... à idéia de avaliação com a prática de inclusão, superando a idéia
de classificação que vem caracterizando a dinâmica atual.” (ibdem, p.143). e
ainda, ao romper com a “... visão classificatória da avaliação – que privilegia o
consolidado, a comparação da resposta dada a um padrão certo ou admissível ...”
assumindo a “... perspectiva da avaliação como parte do processo de construção
de conhecimentos.”, permitindo que a avaliação deixe de ser a classificação de
respostas certas e erradas, sendo utilizada “... para a indagação do conhecimento
existente e em construção.” (ibdem, p.148-149).
E ainda, de acordo com HOFFMANN (2008), é importante lembrar que não
deve existir
“... a preocupação com critérios precisos e definidos, porque o instrumento de avaliação
representa um ponto de partida, um questionamento que se faz à espreita de muitas
respostas inéditas, diferentes, imprevistas. Perguntar, questionar o aluno para saber o que
sabe e até onde sabe ou de que jeito está aprendendo (...) não para saber se ele sabe
determinada resposta.” (p.121-122).
Dessa forma, segundo HOFFMAN (2008), não deve existir critérios rígidos,
previamente definidos, no entanto, devem ser claras as intenções do que se quer
investigar, quanto aos instrumentos devem ser bem elaborados para que o
professor tenha condições de mapear as situações vivenciadas em sala de aula.
Ou seja, as avaliações devem ser “... planejadas tendo como referência principal
a sua finalidade, a clareza de intenções do professor sobre o uso que fará de
seus resultados.” (ibdem, p.122). Caso contrário o que pode acontecer é que pela
“... falta de clareza sobre esse instrumento de avaliação, que acaba desvirtuado
para o sentido classificatório, de apresentação de resultados.” (ibdem, p. 133).
Sendo assim, para que seja mensurada uma nota/conceito os alunos
serão avaliados, como já descrito no item 5.1,ou seja: por pesquisa realizada,
entregue e apresentada pelos grupos de acordo com o fractal escolhido, na forma
de seminário; pela solução dos exercícios e problemas; com a realização de
provas e testes; com a construção e entrega do portfólio; e por situações
avaliativas que aqui não estão sendo mencionadas, mas que podem surgir no
decorrer da aplicação desta unidade didática. Lembrando que a correção e a
discussão de cada instrumento avaliativo aplicado devem ser logo após sua
realização, promovendo momentos de questionamentos para que a “recuperação”
dos conceitos não compreendidos, de forma satisfatória, seja de maneira
integrada e nunca isolada.
8) REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BONJORNO, J. R.; BONJORNO, R. A.; OLIVARES, A. Matemática: fazendo a
diferença. 1ª edição. São Paulo, SP: Editora FTD, 2006.
BOTH, I. J. Avaliação planejada, aprendizagem consentida é ensinando que
se avalia, é avaliando que se ensina. 2ª edição. Curitiba, PR: Editora Ibpex,
2008.
DANTE, L. R. Matemática, volume único. 1ª edição. São Paulo, SP: Editora
Ática, 2008.
ESTEBAN, M. T. O que sabe quem erra? Reflexões sobre avaliação e o
fracasso escolar. 2ª edição. Rio de Janeiro, RJ: Editora DP&A, 2001.
GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática completa. 2ª edição. São
Paulo, SP: Editora FTD, 2005.
HOFFMANN, J. Avaliar para promover: as setas do caminho. 10ª edição. Porto
Alegre, RS: Editora Mediação, 2008.
SMOLE, K. C. S.; SMOLE, M. I. S. V. D. Matemática: Ensino médio. 5ª edição.
São Paulo, SP: Editora Saraiva, 2005
VILLAS BOAS, B. M. F. Portfólio, avaliação e trabalho pedagógico. 3ª edição.
Campinas, SP: Editora Papirus, 2006.