Cálculo 1 Prof.: Thales Vieira Material online: h$p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-­‐2011_2.html Moodle Limites Laterais f (x) =
{
x2 + 2x, x ≤ 1
2 − x, x > 1
TIC Quando x se aproxima de 1 pela esquerda, f
se aproxima de 3:
lim f (x) = 3
lim x2 − x + 2 = 4
x→2
x→1−
Quando x se aproxima de 1 pela direita, f se
aproxima de 1:
lim f (x) = 1
x→1+
Limites Laterais Escrevemos lim f (x) = L
x→a−
e dizemos que o limite à esquerda de f(x) quando x tende
a a é igual a L se pudermos tornar os valores de f(x)
arbitrariamente próximos de L , para x suficientemente
próximo de a e x menor que a. Escrevemos lim f (x) = L
x→a+
e dizemos que o limite à direita de f(x) quando x tende a
a é igual a L se pudermos tornar os valores de f(x)
arbitrariamente próximos de L , para x suficientemente
próximo de a e x maior que a. Limites Laterais lim f (x) = L se e somente se lim f (x) = L e lim f (x) = L
x→a
x→a−
TIC x→a+
Limites Laterais Calcule:
Limites Laterais Calcule:
Limites Infinitos Calcule
TIC Limites Laterais Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em a. Então lim f (x) = ∞
x→a
significa que os valores de f(x) podem se tornar arbitrariamente grandes, tomando-se x
suficientemente próximo de a, mas não igual a a. Analogamente: lim f (x) = −∞
x→a
significa que os valores de f(x) podem se tornar arbitrariamente grandes e negativos,
tomando-se x suficientemente próximo de a, mas não igual a a. Limites Laterais As seguintes definições também são válidas:
Assíntotas ver@cais A reta x = a é chamada assíntota vertical da curva y = f(x) se pelo menos uma das
seguintes condições estiver satisfeita:
Exemplo: TIC Assíntotas ver@cais Calcule
e
Quando x se aproxima de 3 mas é maior que 3: x-3 é um número pequeno sempre positivo; 2x se aproxima de 6. Logo, 2x / (x-3) se torna um número grande sempre positivo. Quando x se aproxima de 3 mas é menor que 3: x-3 é um número pequeno sempre negativo; 2x se aproxima de 6. Logo, 2x / (x-3) se torna um número grande sempre negativo. TIC Assíntotas ver@cais Encontre as assíntotas verticais de f(x) = tg x
TIC Um quociente pode ficar arbitrariamente grande quando seu denominador se aproxima
de zero e seu numerador não. Candidatos a assíntotas verticais: x = a, tal que cos a = 0 Quando
,
e sen x é positivo próximo de 1. Quando
,
e sen x é positivo próximo de 1. Logo: Assíntotas ver@cais Encontre as assíntotas verticais de f(x) = tg x
TIC Daí concluímos que x = π / 2 é assíntota vertical.
Este comportamento se repete sempre que x se aproxima de (2n + 1) π/2, para n inteiro.
Logo,
, n inteiro, representa as assíntotas verticais de tg(x).