CÁLCULO LAMBDA
Base da programação funcional e um
modelo alternativo de
computabilidade.
Inventor: Alonzo Church
J.M.Barreto INE-CTC-UFSC
Modelos de Computabilidade
• Máquina de Turing (Alain Turing- 1936)
• Lambda cálculo (Alonzo Church - 1936)
• Linguagens While (Michael Arbib-1982)
Alan Turing provou em 1937 a equivalência
entre uma Máquina de Turing e o Cálculo
Lambda em termos de computabilidade
J. M. Barreto UFSC_INE
A. Church, Washington1903
Doutor pela Universidade de Princepton.
Após seu doutoramento foi para Harvard
trabalhar com Birkhoff e Huntington. E
foi nesta época em que Birkhoff e ele
tiveram discussões que resultaram na
Teoria das Categorias como a
conhecemos hoje. Trabalhou até 1990
quando com oitenta e sete anos parou de
dar aulas mas continuou a orientar alguns
pesquisadores selecionados, Turing tendo
sido um de seus doutorandos.
J. M. Barreto UFSC_INE
Programaçãp Funcional (1/2)
• A maioria das Linguagens de Programação Funcional
são semelhantes e diferem somente em aspectos
sintáticos. O Cálculo lambda pode ser considerado como
a ferramenta mais adequada a escrever programas
usando o paradigma funcional. Neste paradigma, em que
a solução de um problema é considerada como sendo
implementar uma função, usa nesta implementação um
conjunto de primitivas e regras de construir novas
funções a partir destas primitivas.
J. M. Barreto UFSC_INE
Programação Funcional (2/2)
• Interessantes pela sua simplicidade sintática
• Facilidade de escrever problemas recursivos.
• Maioria das implementações são poucos
aceitas devido à ineficiência em comparação
com linguagens de programação comuns.
• Novas implementações de interpretadores
e/ou compiladores e novas linguagens mais
modernas tem surgido.
J. M. Barreto UFSC_INE
Exemplos de Linguagens
Funcionais
- LISP (LISt Processing - década de 60).
Muito simples em muitos aspectos. É a mais
utilizada devendo continuar por muito
tempo.
- Miranda (Turner 1985)
- Haskell (1990)
- Orwell (Wadler 1985)
- Outras: ML, KRC, LML, SASL.
J. M. Barreto UFSC_INE
Sintaxe do Cálculo Lambda
O cálculo lambda pode ter sua sintaxe
definida como um sistema formal.
J.M.Barreto INE-CTC-UFSC
Termos do Cálculo Lambda
• A linguagem do cálculo lambda usa um
alfabeto S constituído de:
• - um conjunto de variáveis: vo, v1, v2,....vn....
• - abstrator l (lambda)
• - agrupadores (,)
• Ao conjunto de cadeias finitas sobre S
denota-se por S* e a cadeia que não contem
elementos por e. Usam-se as variáveis x, y,
z, ... para denotar cadeias de S*
J. M. Barreto UFSC_INE
Cadeias de Símbolos: definições
• Definição (Equivalência de duas cadeias)
• Duas cadeias x e y são equivalentes e se escreve
(x,y)  Eq  x = y
• Definição (Comprimento de uma cadeia)
• É uma função:
• : S*  Z+
• em que o número inteiro exprime o número de
elementos da cadeia.
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Termo Lambda: definição
• Um termo lambda, denotado pelas letras M, N, O,
P,.. é um elemento da linguagem L, onde S*  L
definido da seguinte forma:
• - vi é termo lambda;
• - dado M, (lvi M) é termo lambda;
• - dados dois termos lambda M, N então (MN) é
termo lambda;
• - e nada mais é termo lambda.
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Exemplos de Termos lambda
• Verificar quais das expressões abaixo são termos
lambda, justificando sua resposta:
• vo
• (vov1)
• (vo)
• (lvo(vov1))
• (lv1(vo(lv1(vov1))))
• (lvo(vov1)
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Notacão Lambda Simplificada
• 1-Precedência a esquerda.
((MN)L)  MNL
• 2-Sucessão de abstratores:
•
Assim (lx(ly(lz........)))  lxyz...
• 3-Separador: usa-se um ponto para designar o
final de uma lista de argumentos lambda
•
Assim lx.xly.y  (lx(x(ly.y)))
• 4-Supõe-se que letras diferentes designam
entidades diferentes.
•
Assim x  y em lx.y
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Semântica Operacional do
Cálculo l
Até agora foi descrita a sintaxe do cálculol. Sua semântica operacional diz como um
programa Lambda opera, isto é, calcula.
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O Porque da Semântica:
• Para chamá-lo de "cálculo'', deve-se porém dizer
como "calcular'' com ele. Basicamente isto é
realizado através de três regras de conversão, que
descrevem como converter uma expressão-l em
outra que lhe seja equivalente.
• Mostra também como se introduzem os
argumentos a serem usados como dados do
programa.
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Programa Lambda
• Um programa Lambda se escreve como um
conjunto de expressões lambda. Normalmente,
usando notação simplificada encontra-se o
símbolo lambda seguido de lista de variáveis.
limitando estas variáveis vem um ponto ".''
seguido pelo corpo da função. As variáveis são
chamadas de parâmetros formais e diz-se que o
lambda os liga. Exemplo:
lxy.(+ x y)
J. M. Barreto UFSC_INE
Programa Lambda
• Os dados são escritos logo depois da função
lambda, como uma lista e são consumidos
durante a operação do programa.
• Exemplos:
– > (lxy. (y x)) dia bom
– > (lxy. (+ x y)) 3 6
– > (lxy. (x y z)) 3 1 4 5
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Executar Programa Lambda
• Para executar um programa lambda é suficiente
dar valores às variáveis lambda. Assim tem-se:
• lxy.(+ x y) 3 4
• ly.(+ 3 y) 4
• (+ 3 4)
• 7
• Nota: geralmente operadores são pré-fxados. Isto
na realidade é uma conversão de uma expressão
em uma mais simples. Há 3 tipos de conversão.
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Funções embutidas
• Funções embutidas como + não existem no
cálculo lambda na sua forma mais pura. Para fins
práticos, uma extensão que as suporte é útil. Estas
incluem funções aritméticas (como +, -, *, /),
constantes (como 0, 1,...), funções lógicas (como
E, OU, NÃO,...), constantes lógicas (VERDADE,
FALSO), manipulação de listas (PRIMEIRO,
CAUDA, CONSTRUA, IGUAL) e
reconhecedoras de listas (ATOM).
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Avaliação de programa lambda
• A avaliação ocorre através da seleção repetida de uma
expressão redutível (redex) e de sua redução. Expressão
redutível é aquela que pode ser avaliada imediatamente.
No exemplo :
• (+ (* 5 6) (* 8 3))
• Que são: (* 5 6) e (* 8 3)
• A escolha do primeiro redex para redução fornece:
• (+ (* 5 6) (* 8 3)) -> (+ 30 (* 8 3))
• Do qual resulta:
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(+ 30 24) -> 54
Regras de Conversão
• Introdução à l-conversão: Variáveis atadas e
livres
• Conversão-Alfa ()
• Conversão-Beta (ß)
• Conversão-Eta ()
• Provas de Interconvertibilidade
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Variáveis atadas e livres(1/2)
• Seja a expressão-l: (lx. + x y) 4
• Para avaliar esta expressão é necessário:
• saber o valor "global'' de y.
• não é necessário saber o valor global de x,
pois é o parâmetro formal da função.
• x ocorre atado pelo lx, y não é atado por
nenhum e assim ocorre livre na expressão.
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Variáveis atadas e livres (2/2)
• .A ocorrência de uma variável é atada se há uma
expressão-l envolvente que a amarra, senão é livre.
• No exemplo a seguir, x e y ocorrem atados, z porém,
ocorre livre:
• lx. + ((ly. + y z) 7) x
• Observe que os termos atado e livre se referem a
ocorrências específicas da variável em uma expressão.
Note ainda que x é atado mas não sabe-se seu
valor para calcular a expressão-l.
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Conversão Alfa
• Usa a -congruência: duas expressões-l M e N
são -congruentes (ou -equivalentes), denotado
por M  N se ou
• M = N ou
• MN, ou
• N é obtido de M através da reposição de uma subexpressão S de M por uma expressão-l T tal que
S  T, ou existe alguma expressão-l, R tal que
M  R e R  N.
J. M. Barreto UFSC_INE
Conversão Alfa: exemplos
Exemplo 1:
Nomes de parâmetros
formais podem não ser
únicos:
(lx.( lx. + (- x 1)) x 3) 9
(lx. + (- x 1)) 9 3
+ (- 9 1) 3
11
J. M. Barreto UFSC_INE
Exemplo 2:
(lxy.+ x ((lx.- x 3) y)) 5 6
(ly.+ 5 ((lx.- x 3) y)) 6
+ 5 ((lx.- x 3) 6)
+ 5 (- 6 3)
8
Conversão Alfa: exemplos
Exemplo 3:
(lx. (ly. - y x)) 4 5
(ly. - y 4) 5
-54
1
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Exemplo 4:
Crie um exemplo
semelhante aos 3
anteriores.
Conversão beta
• Conversão beta consiste na substituição de uma
variável ligada pelo valor que foi justaposto `a
definição da função.
• Exemplo:
(lx. + x 1) 4
+41
5
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Conversão Beta
• O parâmetro formal
pode ocorrer várias
vezes no corpo:
• (lx. + x x) 5
• +55
• 10
• Pode não haver
ocorrências do
parâmetro formal no
corpo. Ex:
• (lx. 3) 5 3
• Nada a converter!
Uma variável pode possuir tanto uma ocorrência atada como uma
livre em uma expressão. Considere o exemplo:
+ x ((lx. + x 1) 4)
Aqui x ocorre livre (a primeira vez) e atada (a segunda).
J. M. Barreto UFSC_INE
Conversão eta
• Sejam: (lx. + 1 x) e (+ 1). Estas expressões se
comportam exatamente da mesma maneira,
quando aplicadas a um argumento: ambas
adicionam 1 ao argumento. Conversão-z é o nome
dado à regra que expressa essa equivalência.
Assim: (lx. + 1 x) -> (+ 1)
Formalmente: (lx. F x) -> F
desde que x não ocorra livre em F e F denote uma
função.
J. M. Barreto UFSC_INE
Conversão eta
A condição de que x não deve ocorrer livre em em
F previne conversões errôneas. Exemplo:
(lx. + x x) não é e-conversível para (+ x)
pois x ocorre livre em (+ x).
Os dois x são ligados. Assim:
• (lx. + x x) 5  ( + 5 5)  10
J. M. Barreto UFSC_INE
Teorremas de Church-Rosser
J. M. Barreto UFSC_INE
Teoremas de Church-Rosser
90
80
70
60
50
East
West
North
40
30
20
10
0
1st Qtr
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2nd Qtr
3rd Qtr
4th Qtr
Teoremas de Church-Rosser
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Funções Recursivas
• No Cálculo lambda as funções não tem nomes.
• Cálculo lambda é a base da programação
funcional.
• Um dos mecanismos mais importantes usados em
programação funcional é a recursividade.
• Recursividade exige que se nomeie funções para
que possam ser referenciadas.
• E agora? (Fico vermelho de vergonha!)
J. M. Barreto UFSC_INE
Recursividade: exemplo
introdutório
• Suponha existir a primitiva SE com duas direções e
seja a abstração:
• (lxn. SE (= n 0) (1) (* n x (-n 1)))
• Vamos dar o nome de FAC à aplicação desta
abstração à FAC; tem-se:
• FAC = (lxn. SE (= n 0) (1) (* n x (-n 1))) FAC =
(ln. SE (= n 0) (1) (* n FAC (-n 1)))
• Que é a definição recursiva desejada.
J. M. Barreto UFSC_INE
Transformação  ao inverso
Se já fosse disponível a definição recursiva:
• Seja F = (lx …. F….)
• Usando Transformação  ao contrário:
• F = (lf … (lx . f….))F
• Ou: F = H F onde H = (lf … (lx . f….))
F é dito ponto fixo de H
J. M. Barreto UFSC_INE
Combinador de Ponto Fixo
Para isto, invente-se, a título provisório, uma
função Y, a qual toma uma função como
argumento e devolve o seu ponto fixo como
resultado. Logo será: YH = F
Substituindo F por YH em F = H F tem-se:
YH = H (YH)
Esta é uma definição não recursiva de F!
J. M. Barreto UFSC_INE
Exercício: Fac 1
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
FAT = Y H onde:
H = (lfat. l n. SE (= n 0) 1 (* n (fat (- n 1))))
Assim: FAT 1
Y H 1
H (Y H) 1
(lfat. ln.SE (= n 0) 1 (* n (fat (- n 1))))(Y H) 1
(l n.SE (= n 0) 1 (* n (Y H (- n 1)))) 1
SE (= 1 0) 1 (* 1 (Y H (- 1 1)))
* 1 (Y H 0) = * 1 (H (Y H) 0)
= * 1 ((lfat.ln.SE (= n 0)1(* n(fat(- n 1))))(Y H) 0)
* 1 ((ln.SE (= n 0) 1 (* n (Y H (- n 1)))) 0)
* 1 (SE (= 0 0) 1 (* n (Y H(- 0 1))))
1
J. M. Barreto UFSC_INE
Exercícios (Redução)
J. M. Barreto UFSC_INE
Exercícios (Recursividade)
J. M. Barreto UFSC_INE
E se estas coisas fossem usadas
em uma linguagem real?
Esta linguagem existe e é
LISP!
LISP é linguagem velha: tem
40 anos...
Mas LISP se mantem jóvem
pois LISP é estensível,
suporta programação
objeto e icônica!
J. M. Barreto UFSC_INE
Noções de lisp
Lisp: LISp Processing
J.M.Barreto INE-CTC-UFSC
Qual a razão de conhecer LISP?
• Segundo McDermot e Charniac a razão ér a
mesma de aprender francês se vai estudar na
França: é a lingua natural falada pelos
franceses!
• Será isto ainda verdade?
–Nem tanto, mas...
Será a Programação Funcional?
J. M. Barreto UFSC_INE
Razões para usar LISP (1/4)
• LISP é uma linguagem funcional pobre, mas
raros são os profissionais de IA que
escolhem LISP por suas características
funcionais. Exatamente por esta razão ela é
pobre em termos funcionais: juntam-se
outras facilidades que mascaram o estilo
funcional puro!
J. M. Barreto UFSC_INE
Razões para usar LISP (2/4)
• LISP é estensível e se não se gosta de um
interface oferecido é fácil criar outro.
• LISP tem programa e dados com a mesma
estrutura de dados: listas. Logo, um programa
pode facilmente ler a ele mesmo, modificar-se
durante a execução e continuar funcionando
modificado sem interrupção: isto é, torna-se
fácil implementar algoritmos de aprendizado.
J. M. Barreto UFSC_INE
Razões para usar LISP (3/4)
• Estruturas de dados são facilmente
manipuladas em LISP.
• Por exemplo:
– A pilha é a própria lista;
– Existem primitivas para ler, juntar novo
elemento na pilha, etc.
– Árvores são implementadas como listas de
listas., s3endo fácil percorrê-las e modificá-las.
J. M. Barreto UFSC_INE
Razões para usar LISP (4/4)
• É fácil aprender LISP e seu aprendizado
ajuda a desenvolver capacidades mentais.
Foi exatamente acreditando nisto que
Papert, criou no MIT a linguagem LOGO,
subconjunto de LISP, com ênfase gráfica,
para uso do aprendizado de crianças. As
experiências tem sido animadoras.
E como nasceu esta linguagem?
J. M. Barreto UFSC_INE
Lisp: Nota histórica (1/3)
• John McCarthy vinha trabalhando há anos
em uma linguagem que fosse, como
provado por Turing, equivalente à sua
máquina. Em 1960, dando aula no MIT
demonstrou que a função “eval” era capaz
de simular a máquina de Turing, resultado
teórico de grande valor.
J. M. Barreto UFSC_INE
Lisp: Nota histórica (2/3)
• Um dos alunos de John McCarthy, Steve
Russel comentou: “sendo verdade este
teorema, basta implementar “eval” e
teremos a Máquina de Turing”, ao que
McCarthy contestou “Não confunda teoria
com prática, este é um resultado teórico,
para ter valor prático tem de percorrer um
longo caminho”.
J. M. Barreto UFSC_INE
Lisp: Nota histórica (3/3)
• Russel não se satisfez. Implementou “eval” e
algumas outras funções em Máquina IBM704,
apresentou seu trabalho e assim nasceu Lisp,
linguagem fruto do espírito prático de aluno com
grande conhecimento teórico. Guarda ainda hoje
lembranças do passado:
car: “contents of address register;
cdr: “contents of decrement register;
• Símbolos do assembler do IBM704.
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Sintaxe de Lisp
• Vocabulário de Lisp:
• Atomos: elementos indivisíveis, podendo ser:
– Números; ex: 1, 13, 15, -.35, etc.
– Identificadores: sequencias de letras e números; ex:
Lisa, Jane1, fibo, etc.
– Identificadores reservados: +, -, /, *, car, cdr, etc.
• Delimitadores: (,)
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Sintaxe de Lisp
• Linguagem Lisp:
– Lisp* = atom | lista
– Atom = identificador | identificador reservado |
número
– Lista = (atom) | (atom lista)
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Lisp Puro
• Lisp Puro contem as seguintes funções
primitivas:
–
–
–
–
Car primeiro elemento de uma lista;
Cdr: o que sobra de uma lista tirando o 1º elemento
Cons: constroi lista dado um elemento e uma lista;
Eql: retorna T se os dois elementos que se seguem são
iguais, NIL no caso contrario;
– Atom: retorna T se elemento que o segue é atomico,
NIL em caso contrário.
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Semantica operacional de Lisp Puro
Seletores: car, cdr
–
–
–
–
> (car ´(a d f))
>A
> (cdr ´(a s d f g))
> (s d f g)
Construtor:
– > (cons ‘a ‘(s d f g))
– > (a s d f g)
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Predicado atômico:
–
–
–
–
> (atom ‘jane)
>T
> (atom ‘(a s d f g))
> NIL
Predicado egalitário
–
–
–
–
> (eql ‘casa ‘casa)
>T
> (eql 10 20)
> NIL
Assignação e valor de atomo
• (set ‘a 10)
A
• (setq b 20)
B
• B
20
• ‘B
B
• (atom ‘b)
T
• (atom b)
T
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• (setq c ‘(a s d))
C
• C
(a s d)
• (car c)
A
• (cdr c)
(s d)
• (atom c)
NIL
• (atom ‘c)
T
Manipulação de listas; exemplos
• (setq ‘v ‘(e i o u))
V
• (cons ‘a v)
(a e i o u)
• (car ‘(q w e r t))
Q
• (cdr ‘(q w e r t))
(w e r t)
• (cdr (car v))
nil
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• (car (cdr (cdr ‘(a s d f g))))
D
• (caddr ‘(a s d f g))
D
• (atom v)
Nil
• (eql ‘v ‘v)
T
• (eql ‘v v)
nil
Operações aritméticas
• (+ 2 3 4 5)
14
• (+1 2)
3
• (*2 3)
6
• (* 2 3 4 )
24
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• (* (+ 2 3) (+ 1 2 3))
30
• (* 2 (* 5 6 3) 2)
360
• e assim não é
preciso chamar a
calculadora do
computador...
Novas Funções
• (defun nome-da-função (variáveis ligadas)
(corpo da definição))
• Corpos:
– Cond
– Program
– if
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Exemplos de novas funções
• Encontra o segundo elemento de uma lista:
(defun segundo (lista)
(cadr lista))
• Calcula o fatorial de um número:
(defun fat (n)
(cond (( > n 0) (‘Numero negativo não tem fatorial’))
(( = n 0) 1)
(( = n 1) 1)
(T (fat (- n 1)))))
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• Lê uma lista até um elemento dado retornando o
que sobra:
(defun resto (lista elemento)
(cond ((eql (car lista) elemento) cdr lista)
(T (resto ((cdr lista) elemento )))))
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Exercícios
• Escreva 2 funções
Lisp para juntar novos
telefones e consultar
uma lista de nomes e
de telefones.
Sugestão: use como
estrutura de dados
uma lista de pares,
(nome telefone)
J. M. Barreto UFSC_INE
• Sabendo que sua verão
de Lisp usa > e < para
ordem alfabética,
escreva função Lisp
para colocar em ordem
um lista de nomes.
• E se fosse a lista de
endereços do exercício
anterior?
Que faço com isso tudo?
Jogou!
J. M. Barreto UFSC_INE
• Não!
• Não jogue o pobre
cálculo l no lixo!
• Ele é a base das
linguagens funcionais
e de Lisp, que apesar
de todas as suas
impurezas vale o
estudo!