Polinômios e Equações Polinomiais
Parte II
1. (Ita 2013) Considere o sistema na variável real x:
Parte I
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3
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1. (Ufsj 2012) Dado o polinômio p(x) = x – 3x – 3x + 11x –
6, é CORRETO afirmar que
a) p(10) é um número de cinco algarismos.
b) tem quatro raízes distintas.
c) na divisão por x + 2, apresenta resto igual a 4.
d) é divisível por x – 1.
 x 2 − x = α

 x − x3 = β .
a) Determine os números reais α e β para que o sistema
admita somente soluções reais.
b) Para cada valor de β encontrado em (a), determine
todas as soluções da equação x − x3 = β.
2. (Ufsj 2012) Se 2i é raiz da equação
x3 + ax 2 + bx + c = 0 (com a, b, c ∈ R), a soma das suas
duas outras raízes é
a) –a + 2i
b) –a – 2i
c) a + 2i
d) a − 2i
2. (Fgv 2012) Sendo m um número inteiro, considere a
equação polinomial 3x 4 + 2x3 + mx 2 + 4x = 0, na
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e − .
2
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Nessas condições, a menor raiz irracional da equação é
igual a
a) − 3
incógnita x, que possui uma raiz racional entre −
3. (G1 - cftmg 2010) Para um polinômio P, sabe-se que P(k)
= 0 se, e somente se, P(x) for divisível por (x – k). Sendo a, b
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e –3 as raízes do polinômio de Q(x) = x + 5x + 4x – 6,
então, a + b vale
a) – 5
b) – 4
c) – 3
d) – 2
b) − 2
c) −
d)
e)
2
2
2
3
3. (Epcar (Afa) 2012) O polinômio
4. (Ufu 2006) Seja q(x) um polinômio com coeficientes
reais, cujo coeficiente dominante (coeficiente da variável x
que apresenta o maior expoente) é igual a 1 e que tem o
número complexo i e o número real a como raízes. Se o
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polinômio p(x) = q(x)x + x + 1 tem grau 4, determine todos
os valores de a tais que p(x) não possua raízes reais.
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5. (Ufmg 2006) Considere o polinômio p(x) = x - 2mx + 2m
- 1, sendo m um número real maior que 1/2.
a) Calcule as raízes de p(x) em função de m.
b) Determine os valores de m para que p(x) tenha quatro
raízes distintas e em progressão aritmética.
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6. (Ufv 2004) O inteiro 2 é raiz do polinômio p(x) = 4x - 4x
- 11x + k, onde k é uma constante real.
a) Determine o valor de k.
b) Determine as outras raízes de p(x).
c) Determine os intervalos onde p(x) > 0.
2
3
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7. (Ufmg 1995) Sejam P(x) = x - 4 e Q(x) = x - 2x + 5x + a,
onde Q(2) = 0. O resto da divisão de Q(x) por P(x) é
a) - x - 2
b) 9x - 18
c) x + 2
d) 0
e) - 9x + 18
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P ( x ) = x 4 − 75x 2 + 250x tem uma raiz dupla.
Em relação à P(x) é correto afirmar que
a) apenas uma de suas raízes é negativa.
b) a sua raiz dupla é negativa.
c) três de suas raízes são negativas.
d) nenhuma de suas raízes é negativa.
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4. (Ita 2010) Sabe-se que o polinômio p(x) = x – ax + ax –
1, a a ∈ R , admite a raiz – i.
Considere as seguintes afirmações sobre as raízes de p:
I. Quatro das raízes são imaginárias puras.
II. Uma das raízes tem multiplicidade dois.
III. Apenas uma das raízes e real.
Destas, é (são) verdadeira(s) apenas
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e III.
e) II e III.
5. (Fuvest 1997) P(x) é um polinômio cujas raízes formam
uma progressão geométrica de razão 2 e primeiro termo 2.
O coeficiente do termo de mais alto grau de P(x) é 1 e o
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termo independente é igual a 2 . O grau do polinômio é
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a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
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Parte III: como cai na UFJF
1. (Ufjf 2012) Seja P(x) = ax 4 + bx3 + cx 2 + 3dx + e um
polinômio com coeficientes reais em que b = -1 e uma das
raízes é x = -1. Sabe-se que a < b < c < d < e formam uma
progressão aritmética crescente.
a) Determine a razão dessa progressão aritmética e os
coeficientes do polinômio P(x).
b) Encontre as demais raízes do polinômio P(x).
2. (Ufjf 2011) Dados dois polinômios A(x) e B(x) , sabe-se
que S(x) = A(x) + B(x) é um polinômio de grau 8 e que
D(x) = A(x) − B(x) é um polinômio de grau 5 . É correto
afirmar:
a) O polinômio W(x) = B(x) − A(x) tem grau 8 .
b) Os polinômios A(x) e B(x) têm o mesmo grau.
c) O polinômio C(x) = A(x) ⋅ B(x) tem grau 13.
d) O polinômio A(x) tem grau 5.
e) O grau do polinômio B(x) é menor que 7.
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3. (Ufjf 2011) Seja p(x) = x + ax + bx + c um polinômio com
coeficientes reais. Sabe-se que as três raízes desse
polinômio são o quarto, o sétimo e o décimo sexto termos
de uma progressão aritmética, cuja soma de seus vinte
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primeiros termos é igual a
e o seu décimo terceiro
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termo é igual a 3 . Encontre os valores de a, b e c.
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4. (Ufjf 2007) Sobre o polinômio f(x) = 9x + 15x - 32x + 12,
podemos dizer que:
a) possui uma raiz real e duas raízes complexas que não são
reais.
b) a soma de suas raízes é igual a 15.
c) o produto de suas raízes é igual a 12.
d) uma de suas raízes é positiva de multiplicidade 1.
e) nenhuma de suas raízes é um número natural.
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5. (Ufjf 2007) Considere o polinômio p(x) = x - 2x + x +
mx + n, onde m, n ∈ IR.
a) Para m = -8 e n = -12, escreva o polinômio como produto
de polinômios de grau 1.
b) Existem valores de m e n para os quais o polinômio p
possua quatro raízes inteiras e positivas? Justifique sua
resposta.
6. (Ufjf 2006) O polinômio p(x) é divisível por x + 3, por x - 1
e por x + 5. Podemos dizer que o seu grau g é:
a) g > 3.
b) g < 3.
c) g ≥ 3.
d) g = 3.
e) g ≤ 3.
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7. (Ufjf 2002) Sabendo que os polinômios q1(x) = x - 9 e
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q2(x)=x -5x+6 dividem o polinômio p(x)=x +ax +bx +cx+d,
onde a, b, c e d são reais, é INCORRETO afirmar que:
a) o polinômio q1(x) . q2(x) divide p(x).
b) 2, 3 e -3 são raízes de p(x).
c) o polinômio p(x) não possui raízes complexas.
d) se d = 36, então a = 0.
e) se d é irracional, então p(x) possui uma raiz irracional.
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