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SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO CABO EXTENSÍVEL PELO MÉTODO DAS LINHAS
Camila Gonçalves Costa 1, Messias Meneguette Júnior2
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Pós MAC - Matemática Aplicada e Computacional - UNESP, Presidente Prudente - SP, [email protected]
DEMEC - Departamento de Matemática Estatística e Computação - UNESP, Presidente Prudente - SP, [email protected]
Resumo: Um modelo matemático interessante descreve o
movimento de um cabo, que geralmente é usado em muitas
aplicações, incluindo a suspensão de pontes, sistemas de
trens e aplicações na engenharia oceânica. A equação do
modelo aqui estudado se dá na forma de um sistema de
equações diferenciais em duas dimensões.
Palavras-Chave: Cabo Extensível, Método das Linhas,
Aplicações de Engenharia.
1. INTRODUÇÃO
A equação envolvida neste trabalho é a equação do
movimento de um cabo extensível restrito a um plano, dada
em todo tempo t pelo seguinte sistema de equações
diferenciais parciais não lineares:
(Equações Diferenciais Ordinárias) após a discretização das
derivadas em s.
Para fazer a discretização transformamos o sistema (1)
que é um problema de valor inicial e de fronteira em um
Problema de Cauchy de primeira ordem e supomos que as
soluções são suficientemente suaves. Utilizamos então o
método de Discretização por Segmentos, que consiste em
discretizar o cabo em n segmentos extensíveis de tamanho
(1 + e)h. Discretizamos primeiramente todas as variáveis
espaciais (em s) de primeira ordem usando diferenças finitas
regressiva e progressiva, e nas derivadas de segunda ordem
usamos diferenças finitas centrais.
Damos duas alternativas de simplificar as equações e
chegar em um sistema de EDO's conforme pede o Método
das Linhas, e verificamos que a alterativa que elimina a
incógnita e das equações é mais eficiente, pois reduz o
número de EDO's para (n – 2), resultando em (5n-14)
equações.
3. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Aqui s denota o comprimento do arco ao longo do cabo,
N o shear, T a tensão, e o módulo de elasticidade, C a
constante de rigidez flexível, ρ a densidade linear, θ o
angulo com a horizontal (sendo também função de s e t), λ é
positivo e 1 + e > 0 (e ≠ 0). Para as condições de fronteira
da equação, assumimos que o cabo está preso em ambas as
extremidades. Vale também lembrar que o comprimento do
arco deve ser igual a 1 (um), ou seja, s deve estar entre 0 e 1.
As soluções são x=x(s,t) e y=y(s,t).
2. MÉTODOS
Olhando para o sistema (1) acima vemos 4 equações e 4
incógnitas x, y, e e θ, todas funções de s e t, e até
poderíamos pensar que se pode resolver o sistema nesta
forma, porém esta não é uma forma adequada para usarmos
o Método das Linhas. Precisamos de uma sistema de
primeira ordem em t para usarmos métodos para EDO's
Após obter o problema de valor inicial de primeira
ordem implementamos um código no software MATLAB.
Fizemos vários experimentos numéricos para resolver o
problema do cabo extensível para diferentes condições
iniciais e parâmetros λ. Usamos no código a alternativa onde
(5n-14) EDO's são integradas usando o integrador ode15s.
Testamos também a ferramenta ode23 e vários parâmetros
de tolerância. Os resultados nos mostraram que a
estabilidade do método das linhas é condicional e depende
dos parâmetros e do integrador de EDO's usados,
observando principalmente que quando reduzimos os
parâmetros de tolerância temos melhor precisão. Isto nos
mostra que o Método das Linhas é bem posto na solução
deste problema.
Tomando como condição inicial a curva ______
podemos observar nas figuras (1) e (2) abaixo o movimento
do cabo no início e fim da perturbação respectivamente.
Seria interessante deixar a sugestão como trabalho futuro
de uma investigação não aprofundada em relação a
instabilidade que neste trabalho não está completamente
resolvida, e também a possibilidade de considerar forças
externas no modelo que fica na forma da equação (2)
abaixo:
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SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO CABO EXTENSÍVEL PELO MÉTODO DAS LINHAS
Camila Gonçalves Costa, Messias Meneguette Júnior
AGRADECIMENTOS
Agradecemos aos apoio financeiro da CAPES –
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de nível
Superior.
REFERENCIAS
Onde FX e FY denotam os componentes dos eixos x e y
das forças aplicadas no cabo, e para resolver essas equações
usamos as mesmas condições iniciais e de fronteira que
antes.
[1] A. V. Wouwer, P. Saucez, W. E. Schiesser (eds.)
“Adaptive Method of Lines”. Chapman & Hall CRC
Press, 2001.
[2] B. Benhammouda “Stability of Finite-Difference
Schemes for an Initial-Value Problem in Partial
Differential Equations”. MSc. Report. Linacre College,
Oxford University, 1985.
[3]LI L. F. Shampine, I. Gladwell, S. Thompson “Solving
ODEs with MATLAB”. Cambridge UP, 2003.
[4]LI U. M. Ascher “Numerical Methods for Evolutionary
Differential Equations”. University of British Columbia.
Vancouver, British Columbia, Canada, 2008.
[5] W. E. Sshiesser, W. G. Griffiths “A Compendium of
Partial Differential Equation Models: Method of Lines
Analysis with MATLAB”. Cambridge UP, 2009.
Fig. 1. Movimento do Cabo no Início do tempo
Fig. 2. Movimento do Cabo no Final do tempo