Equações Diferenciais
Cálculo IV
Lista 1
Prof. Jorge J. Delgado
2007-2
1. Determine se as funções ϕ(x) são soluções das equações diferenciais dadas nos intervalos indicados.
(a) ϕ(x) = sen x, y 00 + y = 0 no intervalo I = R.
p
1 − 2x
no intervalo I = (0, 1).
(b) ϕ(x) = x(1 + x), y 0 =
2y
(c) ϕ(x) =
p
1 − 2x
y0 =
2y
x(1 − x),
(d) ϕ(x) = C1 ex + c2 e−x ,
no intervalo I = (0, 1).
y 00 − y = 0
no intervalo I = R, onde C1 , C2 ∈ R são constantes.
x
(e) ϕ(x) = e−x + , y (iv) + 4y 000 − 3y = x, no intervalo I = R.
3
Z x
2
2
2
(f) ϕ(x) = ex
e−t dt + ex , y 0 − 2xy = 1, no intervalo I = R.
0
(g) ϕ(x) = 2 ln x + 4,
y 00 − y 0 tan x −
(h) ϕ(x) = x sec x,
(i) ϕ(x) =
x2 y 00 − xy 0 + y = 2 ln x,
1
2
g
x4 ,
24m
mẍ = gx2 ,
no intervalo I = (0, +∞).
1
tan x
y = 2 y3 ,
x
x
no intervalo I = (−π/2, π/2).
no intervalo I = R.
2. Para cada uma das equações abaixo, determine o valor da constante α, para que a função ϕ(x) = eαx seja uma solução.
(a) y 0 + 2y = 0
(b) y 00 − y = 0
(c) y 000 − 3y 00 + 2y 0 = 0
3. Determine o valor da constante β, para que a função ϕ(x) = xβ , seja solução da equação x2 y00 − 4xy0 + 4y = 0, no
intervalo I = (0, +∞).
4. Quais dos problemas de valores iniciais abaixo têm solução única?
(a) y 0 + xy = 3,
y(0) = 0.
(b) xy 0 + y = 3,
y(0) = 1.
(c) y 0 = y 2/3 ,
x−y
(d) y =
,
x+y
0
y(0) = 0.
(e) xy 0 +
1
y = ln |x − 2|,
2x + 3
com cada uma das condições iniciais
(i) y(−3) = 0.
(ii) y(−1) = 5.
y(1) = −1.
(iii) y(1) = −7.
(iv) y(3) = 0.
5. A equação diferencial, abaixo, aparece em modelos matemáticos sobre a acumulação de nebulosa no sistema solar
ẋ =
ax5/6
,
(b − Bt)3/2
a, b, B ∈ R constantes, e x = x(t).
(a) Determine a região do plano tx onde esta equação possui soluções únicas.
(b) A equação diferencial acima é de variáveis separáveis. Separe as variáveis e determine a solução geral da equação.
1
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Primeira Lista de Exercícios
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6. Use o computador para visualizar aproximações gráficas das soluções dos seguintes problemas de valores iniciais.
(a) y 0 = y − x,
(b) y 0 = xy,
y(0) = 0.
y(1) = 2.
(c) y 0 = x2 + y 2 ,
y(0) = 1.
7. Volterra fez um modelo matemático para descrever a competição entre duas espécies, habitando um meio ambiente dado,
obtendo equações da forma:
ẋ =
ẏ =
x(a1 + a2 y)
y(b1 + b2 x),
onde a1 , a2 , b1 , b2 ∈ R são constantes, x = x(t), y = y(t) e t é a variável de tempo.
Usando a regra da cadeia (
dy dt
dy
=
), obtenha a equação de variáveis separáveis:
dx
dt dx
y(b1 + b2 x)
dy
=
.
dx
x(a1 + a2 y)
e determine a sua solução geral.
8. Suponha que a taxa de desintegração de uma sustância radioativa é proporcional à quantidade de sustância existente em
cada instante de tempo.
Numa amostra de Ra226 há uma perda de 50% de substância em 1600 anos.
(a) Escreva a equação diferencial que descreve o processo de desintegração.
(b) Determine a constante de desintegração do Ra226 .
(c) Determine a quantidade da amostra que desaparece em 800 anos.
(d) Em quantos anos haverá apenas 1/50 da quantidade original da amostra?
(e) A meia vida de uma substância radioativa é o tempo em que a metade de uma amostra da substância se desintegra.
Determine a meia vida do Ra226 .
(f) Use o computador para fazer o diagrama de fase da equação diferencial que descreve o processo, isto é, o gráfico
de algumas soluções no plano xt. Que conclusões você pode obter a partir do seu gráfico?
9. Determine as trajetórias ortogonais da família a 1 parâmetro de curvas:
y = cx,
(c ∈ R é o parámetro).
10. Uma colônia de bactérias aumenta sua população a uma taxa proporcional à quantidade de indivíduos presentes em cada
instante. Se em 4 horas a população triplica, em que tempo ela será 27 vezes a quantidade inicial?
11. Uma bolinha de 2 gr é jogada para cima com velocidade inicial v0 = −30 cm/s (convenção: p/cima velocidade negativa,
p/baixo velocidade positiva). Além do seu peso, o atrito com o ar impede a subida da bolinha. Suponha que tal atrito é
numericamente igual ao triplo de sua velocidade em cada instante. Descreva o movimento da bolinha. Em quanto tempo
a bolinha começará a cair? Indicação : A segunda lei de Newton diz: F =
d
(mv).
dt
12. Algumas das seguintes equações diferenciais são lineares de primeira ordem, identifique-as e calcule sua solução geral.
(a) (x2 + y 2 ) dx − 2xy dy = 0.
(b) (1 + x)y dx + x dy = 0.
(c) y 2 dy + y tan x dx = sen3 x dx.
(d) y 0 +
y
− y 2 = 0.
sen x
(e) ex dx + x3 dy + 4x2 y dx = 0.
(f) y + xy 0 = yy 0 .
GMA
2
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x
13. Determine a curva no plano que passa pelo ponto (1, 1 + e) e cuja inclinação em cada ponto (x, y) é igual a 2 − y + e .
x
x
14. Determine as trajetórias ortogonais à família de círculos x2 + y2 = R2 (R ∈ R+ é o parâmetro da família).
15. Num circuito RL, a força elétrica E é dada por E(t) = E0 sen(ωt), com E0 e ω constantes. Determine a corrente I(t)
em cada instante sabendo que I(0) = I0 . Após fazer os cálculos na mão, use o computador para desenhar o gráfico da
solução obtida (para diferentes valores de I0 ) junto com o campo de direções.
16. As equações da forma y0 + p(t)y = q(t)yn são chamadas equações de Bernoulli em homenagem a Jacob Bernoulli
(1654-1705).
(a) Discuta e determine a solução da equação de Bernoulli quando n = 0 e quando n = 1.
(b) Em 1696 Gottfried Leibniz mostrou que se n 6= 0 e n 6= 1, a mudança de variável z = y 1−n transforma a equação
de Bernoulli em uma equação linear de primeira ordem. Verifique esse fato.
(c) Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
i. y 0 − 2xy = 4xy 1/2 ,
ii. xy 0 −
y
= y2 .
2 ln x
(d) Resolva os seguintes problemas de valores iniciais:
1
2
i. y 0 − xy = (1 − x2 )e 2 x ,
y(0) = 0.
0
2
ii. (1 + x )y + 2xy = −2x,
0
y(0) = 1.
5
iii. (x − 1)y − 3y = (x − 1) ,
y(−1) = 16.
17. As equações de Ricatti são equações da forma
y 0 = f (x) + g(x)y + h(x)y 2 ,
(1)
onde f , g, e h são funções contínuas num intervalo I. Suponha que se conhece uma solução particular y1 (x) de (1).
Fazendo y(x) = y1 (x) +
1
em (1), obtenha a seguinte equação linear de primeira ordem
w(x)
w0 (x) + [g(x) + 2y1 (x)h(x)]w(x) = −h(x).
18. Resolva as equações exatas que encontrar na seguinte lista.
(a) (x − y) dx + (−x + y + 2) dy = 0.
(b) y 0 =
y−x+1
.
−x + y + 3
(c) (x2 + y 2 ) dx + (xexy + 1) dy = 0.
(d) (y + cos x) dx + (x + sen y) dy = 0.
(e) (3x2 y + y 2 ) dx + (x3 + 2xy) dy = 0.
1
(f) y 0 = y 2 .
19. Calcule as trajetórias ortogonais da família a 1 parâmetro
x3 − 3xy 2 + x + 1 = C,
20. Seja u(x, y) uma função harmônica, ou seja,
(C ∈ R é o parámetro).
∂2u
∂2u
+
= 0. Verifique que as trajetórias ortogonais da família a 1
∂x2
∂y 2
parâmetro de curvas u(x, y) = C, onde C ∈ R é o parâmetro, verificam uma equação diferencial exata.
21. Resolva os seguintes problemas de valores iniciais
(a) (x − y) dx + (−x + y + 2) dy = 0,
(b) y 0 =
GMA
y−x+1
,
y−x+3
y(1) = 1.
y(1) = 2.
3
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22. Quando a equação diferencial
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0,
(2)
não é exata (ou seja, My 6= Nx ) é possível, em alguns casos, achar uma função µ que toma valores diferentes de zero
em todo ponto, e que depende só de x ou só de y ou de ambos x e y, de modo que a equação
µM dx + µN dy = 0,
(3)
seja exata, isto é, (µM )y = (µN )x . A função µ é chamada um fator integrante da equação (2).
(a) Verifique que se ϕ(x) é solução de (3), então também é solução de (2).
(b) Verifique que µ é fator integrante de (2), se e só se, satisfaz
N µx − M µy = µ(My − Nx ).
(4)
Em geral não é fácil resolver (4) para achar µ, pois esta é uma equação diferencial parcial em µ. Sob algumas
restrições nas funções M e N é possível achar µ:
(c) Verifique que, se a função P =
1
(My − Nx ) depende apenas de x, então µ pode ser escolhida dependendo apenas
N
de de x mediante a relação
µ(x) = e
(d) Verifique que, se F =
R
P(x) dx
.
1
(My − Nx ) depende apenas de y, então µ pode-se escolher dependendo apenas de y
M
mediante a relação
µ(y) = e−
R
F (y) dy
.
(e) Determine o fator integrante para cada uma das equações seguintes, e determine a solução geral.
(i) y dx − x dy = 0.
(ii) y dx + (2x − y 2 ) dy = 0.
(iii) (x4 + y 4 ) dx − xy 3 dy = 0.
(iv) (x2 − y 2 + x) dx + 2xy dy = 0.
(v) y 0 + a(x)y = b(x).
23. Resolva as equações homogêneas que achar na seguinte lista.
(a) (5x − y) dx + 3x dy = 0.
(b) (x2 + y 2 ) dx − 2xy dy = 0.
(c) (xy + 1) dx + y 2 dy = 0.
(d) xy 0 + y = 3.
y
= 0.
x
x
y
(f) y 0 = + .
y
x
y
(e) e x + y 0 −
24. Verifique que toda equação da forma y0 =
ax + by + c
, onde a, b, c, A, B, C ∈ R são constantes tais que aB − bA 6= 0,
Ax + By + C
pode-se reduzir a uma equação homogênea fazendo a mudança x = X + x0 , y = Y + y0 , onde (x0 , y0 ) é a solução do
sistema de equações lineares
ax + by + c = 0
Ax + By + C = 0.
25. Usando o método desenvolvido no exercício anterior, determine a solução geral das seguintes equações.
(a) y 0 =
GMA
x−y
x+y+2
(b) y 0 =
5x − y − 2
x+y+4
(c) y 0 =
4
y
.
x−y−1
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26. Resolva os seguintes problemas de valores iniciais e desenhe no computador o campo de direções e a solução de cada um
deles.
(a) y 0 =
2x + y − 4
,
x−y+1
(b) y 0 =
x+y
,
x−y−1
y(2) = 2.
y(0) = 1.
27. Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes:
(a) y 00 = 9y .
(b) y 00 + 12y = 7y 0 .
(c) y 00 + 2y 0 + 10y = 0 .
(d) 4y 00 − 12y 0 + 9y = 0 .
(e) y 00 − 4y 0 + 4y = 0.
(f) y 00 + 3y 0 − 2y = 0.
(g) y 00 + y 0 + y = 0.
28. Desenhe no computador algumas soluções particulares de cada uma das equações acima. Descreva as propriedades
observadas em cada caso (por exemplo, se as soluções convergem quando a variável independente tende a ∞) e as
propriedades comuns que tais equações possuem.
29. Determine a trajetória da equação y00 + k2 y = 0 (k ∈ R constante), que é tangente à reta y = ax no ponto (x0 , y0 ).
30. (a) Se a, b, c ∈ R são constantes positivas, verifique que todas as soluções da equação ay00 + by0 + cy = 0 tendem a zero
quando t −→ +∞.
(b) Verifique que, se a > 0 , c > 0 e b = 0, a conclusão do ítem acima é falsa, mas que todas as soluções são limitadas
quando t −→ +∞.
(c) Verifique que, se a > 0 , b > 0 e c = 0, a conclusão do ítem (a) é falsa, mas que todas as soluções tendem a uma
constante que depende das condições iniciais y(0) = y0 , y 0 (0) = y00 quando t −→ +∞.
(d) Verifique que a função y(t) = sen t é uma solução da equação
y 00 + (k sen2 t)y 0 + (1 − k cos t sen t)y = 0 ,
para qualquer valor de k ∈ R. Para 0 < k < 2, verifique que 1 − k cos t sen t > 0 e que k sen2 t ≥ 0. Logo, embora
os coeficientes dessa equação sejam variáveis e não-negativos, a equação tem uma solução que não tende a zero quando
t −→ +∞, ao contrário ao que acontece no ítem (a). Este é um fenômeno muito freqüente na teoria das equações
diferenciais: duas equações muito semelhantes possuem propriedades dinâmicas completamente diferentes.
(e) Escolha valores apropriados para a , b , c e use o computador para desenhar algumas soluções particulares das equações dadas nos itens (a) - (c).
31. Dizemos que x0 ∈ I (I ⊂ R intervalo) é um zero simples de uma função f : I −→ R se, f (x0 ) = 0 e f 0 (x0 ) 6= 0.
(a) Verifique que uma solução não trivial (não identicamente nula) ϕ(x) de uma EDO linear de segunda ordem
y 00 + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0 ,
(5)
pode ter apenas zeros simples.
(b) Similarmente, verifique que duas soluções distintas de (5) não podem ter pontos de tangência.
Indicação: Use o teorema de Existência e unicidade enunciado para equações diferenciais lineares de ordem n.
32. (a) Resolva o problema de valores iniciais
(
GMA
y 00 − y = 0
y(0) = 5/4 , y 0 (0) = −3/4
5
,
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depois determine o valor mínimo da solução e o ponto onde esta se anula.
(b) Resolva o problema de valores iniciais
(
y 00 − y 0 − 2y = 0
y(0) = α , y 0 (0) = 2
,
depois determine o valor de α para que tal solução y(t) tenda a 0 quando t −→ +∞.
(c) Resolva o problema de valores iniciais
(
4y 00 − y = 0
y(0) = 2 , y 0 (0) = β
,
depois determine o valor de β para que tal solução y(t) tenda a 0 quando t −→ +∞.
Em cada um dos itens do exercício use o computador para desenhar a solução.
33. Para cada uma das equações abaixo, determine os valores de α, caso existam, de modo que todas as soluções tendam
a 0 quando t −→ +∞. Determine também todos os valores de α, caso existam, de modo que todas as soluções não
identicamente nulas tendam a ∞ quando t −→ +∞.
(a) y 00 − (2α − 1)y 0 + α(α − 1)y = 0.
(b) y 00 + (3 − α)y 0 − 2(α − 1)y = 0.
34. Considere as equações diferenciais lineares de segunda ordem dadas a seguir e faça o seguinte
(a) Verifique que as funções ϕi (x) dadas formam um conjunto de geradores do espaço de soluções da equação num certo
intervalo da reta.
(b) Dentre o conjunto de geradores do espaço de soluções dado, escolha uma base. Escreva a solução geral da equação
em termos dessa base.
(c) Se a equação tem ordem n, ache uma base {y1 , y2 , . . . , yn } do espaço de soluções que verifique as condições
iniciais:
(n)
(yi (x0 ) , yi0 (x0 ) , . . . , yi (x0 )) = ei ,
onde {e1 , e2 , . . . , en } é a base canônica de Rn .
(i) x2 y 00 − 2y = 0 ;
ϕ1 (x) = 2x2 − 1/x , ϕ2 (x) = (x3 + 1)/x , ϕ3 (x) = 3x2 ; x0 = 1 .
(ii) x3 y 000 + 2x2 y 00 − xy 0 + y = 0 ;
ϕ1 (x) = x + 1/x , ϕ2 (x) = x + x ln x , ϕ3 (x) = 1/x + x ln x , ϕ4 (x) = x(1 − ln(x)) ; x0 = e .
(iii) y 000 − y 0 = 0 ;
ϕ1 (x) = cosh x , ϕ2 (x) = e−x + senh x , ϕ3 (x) = ex + senh x , ϕ4 (x) = cosh x − 1 ; x0 = 0 .
(iv) y (iv) − 4y 000 + 7y 00 − 6y 0 + 2y = 0 ;
ϕ1 (x) = xex , ϕ2 (x) = (1 + x)ex , ϕ3 (x) = ex (1 − sen x) , ϕ4 (x) = ex (x + sen x) , ϕ5 (x) = ex cos x ; x0 = 0 .
35. (a) Verifique que as funções xα , xβ , xγ ∈ C 0 (0, +∞) são L.I. se, e somente se, α , β , γ são números reais distintos.
Isto é, verifique que, se α, β, γ ∈ R são distintos e c1 xα + c2 xβ + c3 xγ = 0, então c1 = c2 = c3 = 0.
Indicação: analise o que acontece quando x −→ +∞.
(b) Nesta parte verificaremos que as funções xα , xβ , xγ são LI em C 0 (0, +∞) se, e somente se, são L.I. em C 0 (I)
para todo intervalo I ⊂ (0, +∞):
(i) Verifique que xα , xβ , xγ são soluções de uma EDO linear da forma
x3 y 000 + a2 x2 y 00 + a1 xy 0 + a0 y = 0 ,
com a0 , a1 , a2 constantes.
GMA
6
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(ii) Verifique que
1
1
1
α
β
γ
α+β+γ−3 α
β
γ
W [x , x , x ] = x
α(α − 1) β(β − 1) γ(γ − 1)
e, portanto, W [xα , xβ , xγ ] nunca é zero em (0, +∞) ou é identicamente zero em (0, +∞)
(c) Inspirando-se nos itens acima mostre que as funções xα1 , xα2 , xα3 , . . . , xαn são L.I. em C 0 (I) para todo subintervalo I ⊂ (0, +∞) se, e somente se, os números reais α1 , α2 , . . . , αn são distintos.
36. (a) Sejam y1 e y2 soluções LI da EDO linear de segunda ordem
y 00 + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0.
Escreva os coeficientes a0 (x) e a1 (x) em termos das funções y1 (x) e y2 (x) e das suas derivadas de primeira e segunda
ordem.
(b) Use o ítem acima para determinar uma EDO linear homogênea de segunda ordem cujo espaço de soluções tenha por
bases as seguintes:
(i) {x, x2 } .
(ii) {x, ln x} .
(iii) {x, sen x} .
(iv) {x, xex } .
(c) Generalize o resultado do ítem (a) acima para ordem n ≥ 3.
37. (a) Seja I ⊂ R um intervalo de extremos a < b. Se ϕ ∈ C 1 (I) não é identicamente zero, verifique, calculando o
Wronskiano, que ϕ(x) e xϕ(x) são L.I. em C 1 (I).
(b) Se ϕ ∈ C(I) não é identicamente zero, verifique, usando a definição, que ϕ(x) e xϕ(x) são L.I. em C(I).
Observação: No ítem (b) não pode ser usado um argumento com o Wronskiano porque a função não necessariamente é derivável, mas como não é
identicamente nula e o intervalo não se reduz a um ponto, existem x1 , x2 ∈ I distintos e tais que ϕ(x1 ) 6= 0 e ϕ(x2 ) 6= 0. Use este fato para verificar
que, se c1 ϕ(x) + c2 ϕ(x) = 0 para todo x ∈ I, então c1 = c2 = 0.
38. (a) Verifique que
W [eα1 x , eα2 x , . . . , eαn x ] = e(α1 +α2 +...αn )x
1
1 . . . 1 α1 α2 . . . αn 2
α1 α22 · · · αn2 .
. . . . . . . . . . . . .
n
α1 α2n · · · αnn (b) O determinante que aparece no lado direito da igualdade do ítem anterior é chamado um determinante de Vandermonde. Verifique que o determinante de Vandermonde acima é nulo se, e somente se, algum αi é igual a algum outro αj
com i 6= j
Sugestão: O valor do determinante, “salvo sinal”, continua igual ao permutar colunas. Pode-se assumir então que i = 1 e j = 2. Desenvolva por
co-fatores pela primeira coluna para obter um polinômio em α1 e investigue se α2 é raiz desse polinômio.
39. Para cada uma das equações diferenciais lineares de segunda ordem abaixo é dada uma solução. Usando a fórmula de
Abel determine outra solução de modo a formar uma base para o espaço de soluções e escreva a forma da solução geral.
(i) y 00 − 2ay 0 + a2 y = 0 ; y1 (x) = eax , onde a ∈ R é uma constante.
(ii) 3xy 00 − y 0 = 0 ; y1 (x) = 1 .
(iii) (1 − x2 )y 00 − 2xy 0 = 0 ; y1 (x) = 1 .
(iv) (1 − x2 )y 00 − 2xy 0 + 2y = 0 ; y1 (x) = x .
GMA
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(v) y 00 + (tan x)y 0 − 6(ctg2 x)y = 0 ; y1 (x) = sen3 x .
40. (a) Se I ⊂ R é um intervalo não trivial e a, b, c, d ∈ C 1 (I), então a função f (x) definida como
a(x) b(x) .
f (x) = c(x) d(x)
é também de classe C 1 e que a sua derivada é dada por
0
a (x) b(x) a(x) b0 (x) .
f (x) = 0
+
c (x) d(x) c(x) d0 (x)
0
(b) A afirmativa do ítem acima continua válida para n > 2: Se I ⊂ R é um intervalo não trivial e aij (x) são funções de
classe C 1 no intervalo I, i, j = 1, 2, . . . , n, então a função f : I −→ R dada por
a11 (x) a12 (x)
a (x) a22 (x)
f (x) = 21
. . . . . . . . . . . .
an1 (x) an2 (x)
···
···
...
···
a1n (x) a2n (x) . . . . . .
ann (x)
é também de classe C 1 e que a sua derivada pode ser expressa como soma de n determinantes. O i-ésimo dos quais é
obtido substituindo no determinante que define f (x) as funções da i-ésima coluna pelas suas respectivas derivadas.
41. Determine, usando a fórmula de Abel, o Wronskiano de uma base do espaço de soluções para cada uma das seguintes
equações diferenciais lineares:
(i) y 000 + 2y 00 − y 0 − 3y = 0 .
(ii) y (iv) + y = 0 .
(iii) ty 000 + 2y 00 − y 0 + ty = 0 .
(iv) t2 y (iv) + ty 000 + y 00 − 4y = 0 .
(v) y (iv) − y = 0 .
42. Determine a solução geral de cada uma das equações seguintes:
(i) y 000 − 3y 00 + 3y 0 − y = 0 .
(ii) y (iv) + y = 0 .
(iii) y (iv) − 5y 00 + 4y = 0 .
(iv) y (v) − 3y (iv) + 3y 000 − 3y 00 + 2y 0 = 0 .
(v) y (viii) + 8y (iv) + 16y = 0 .
(vi) y (iv) + 6y 000 + 17y 00 + 22y 0 + 14y = 0 .
43. Determine a solução dos problemas de valores iniciais abaixo e use o computador para desenhar o gráfico da solução em
cada caso.
(
y 000 + y 0 = 0
(i)
.
y(0) = 0 , y 0 (0) = 1 , y 00 (0) = 2
(
4y 000 + y 0 + 5y = 0
(ii)
.
y(0) = 2 , y 0 (0) = 1 , y 00 (0) = −1
(
y (iv) + y = 0
(iii)
y(0) = 0 , y 0 (0) = 0 , y 00 (0) = −1 , y 000 (0) = 0
GMA
.
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Equações Diferenciais – Cálculo IV
Primeira Lista de Exercícios
(
y (iv) − 4y 000 + 4y 00 = 0
(iv)
y(1) = −1 , y 0 (1) = 2 , y 00 (1) = 0 , y 000 (1) = 0
(
y (iv) + 6y 000 + 17y 00 + 22y 0 + 14y = 0
(v)
y(0) = 1 , y 0 (0) = −2 , y 00 (0) = 0 , y 000 (0) = 3
Prof. Jorge J. Delgado
.
.
44. Para cada uma das equações abaixo, determine a solução geral usando o método dos coeficientes indeterminados para
achar uma solução particular.
(i) y 00 − y 0 = sen x .
(ii) y 00 + y 0 = 3 cos x .
(iii) y 00 + 4y 0 + 2y = xe−2x .
(iv) L[y] = 3xex , onde L = D(D2 − 2D + 10) .
(v) y 00 + y 0 = 2x + 3ex .
(vi) y 00 − 4y 0 + 8y = e2x (1 + sen(2x)) .
(vii) y 000 − 3y 00 + 2y = ex (1 − xex ) .
(viii) y (iv) + y 00 = 1 + 2xex .
(ix) y 000 + y 0 − y = sen x + cos x .
(x) y (iv) + 5y 00 + 4y = 2 cos x .
(xi) L[y] = x2 + 2x + 3 − 2ex , onde L = D(D2 − 1)(D − 2) .
45. Determine a solução dos problemas de valores iniciais abaixo usando o método dos coeficientes indeterminados e use o
computador para fazer um gráfico da solução correspondente.
(
(i)
(
(ii)
(
(iii)
y 000 + 4y 0 = t
y(0) = y 0 (0) = 0 , y 00 (0) = 1
.
y 000 − 3y 00 + 2y 0 = t + et
y(0) = 1 , y 0 (0) = −1/4 , y 00 (0) = −3/2
.
y (iv) + 2y 000 + y 00 + 8y 0 − 12y = 12 sen t − et
y(0) = 3 , y 0 (0) = 0 , y 00 (0) = −1 , y 000 (0) = 2
.
46. Em cada uma das equações seguintes, determine a forma da solução particular a ser proposta no método dos coeficientes
indeterminados. Não precisa calcular os coeficientes.
(i) L[y] = x(2e2x + x sen x) , onde L = D2 − 4D + 4 .
(ii) L[y] = x2 − 3xe−2x cos(5x) , onde L = D2 + 2D + 2 .
(iii) L[y] = x senh x + cosh(2x) , onde L = (D2 − 2D + 1)(D2 − 4)2 .
(iv) y (viii) − 2y (iv) + y = (2x − 1) cosh x + x3 sen x .
47. Use o método da variação das constantes para determinar a solução geral das equações abaixo:
(i) y 00 + 1 = 1/ cos t .
(ii) y 00 + 4y 0 + 4y = te2t .
(iii) L[y] = (t + 1)et , onde L = (D + 3)2 .
(iv) y 000 − y 00 + y 0 − y = e−t sen t .
(v) y 000 + y 0 = sec t .
GMA
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Equações Diferenciais – Cálculo IV
Primeira Lista de Exercícios
Prof. Jorge J. Delgado
(vi) y (iv) + 2y 00 + y = sen t .
(vii) y (iv) − y = x2 + 1 .
48. Em cada uma das equações abaixo é dada a solução geral da equação homogênea associada. Determine a solução geral
usando o método da variação das constantes.
(i) x2 y 00 − 2xy 0 + 2y = x3 ln x ; x > 0 , yc (x) = Ax + Bx2 .
(ii) x2 y 00 − xy 0 + y = x(x + 1) ; yc (x) = (C1 + C2 ln |x|)x .
(iii) (sen(4x))y 00 − 4(cos2 (2x))y 0 = tan x ; yc (x) = A + B cos(2x) .
2
2
(iv) xy 00 − (1 + 2x2 )y 0 = x5 ex ; yc (x) = A + Bex .
(v) x3 y 000 + x2 y 00 − 2xy 0 + 2y = 2x4 ; x > 0 , yc (x) = Ax + Bx2 + C/x .
49. Aplique o método de variação das constantes para resolver os seguintes problemas de valores iniciais e faça o gráfico da
solução no computador.
(
(i)
(
(ii)
(
(iii)
y 000 + y 0 = sec t
y(0) = 2 , y 0 (0) = 1 , y 00 (0) = −2
.
y (iv) + 2y 00 + y = sen t
y(0) = 2 , y 0 (0) = 0 , y 00 (0) = −1 , y 000 (0) = 1
L[y] = sen(ωt)
y(0) = y 0 (0) = 0
.
, L = D2 + 2aD + b2 ; a, b, ω ∈ R constantes, a < b .
(
a=0eb=ω
Considere separadamente os casos:
a 6= 0 ou b 6= ω
(
y 000 − y 0 = csc t
(iv)
.
y(π/2) = 2 , y 0 (π/2) = 1 , y 00 (π/2) = −1
.
50. Seja L o operador diferencial linear normal de segunda ordem dado por L = (D − 1)(xD + 3) e considere a equação de
segunda ordem
L[y] = ex .
Esta equação pode ser resolvida fazendo a mudança u = (xD+3)y = xy 0 +3y, e resolvendo sucessivamente as equações
de primeira ordem:
(D − 1)u = ex ,
e
(xD + 3)y = u .
Fazendo isto, verifique que a solução geral da equação L[y] = ex é
y(x) =
B
A
+ 3 (x2 − 2x + 2)ex + ex .
3
x
x
51. Aplicando a técnica do exercício acima, verifique que y(x) = xeαx é uma solução de (D − α)2 y = 0 .
GMA
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