Probabilidade e Estatística, 2011/2
CCT - UDESC
Prof. Fernando Deeke Sasse
Intervalos de Confiança
Problemas Resolvidos em Maple
1. Os dados relativos a cargas de falha sobre amostras de um tipo de aço fornecem os seguintes
resultados (megapascal):
Determine o intervalo de confiança de 95% sobre a média amostral.
Solução
A média amostral é
>
>
>
(1.1)
>
(1.2)
>
Um plot normal mostra que a distribuição é aproximadamente normal:
>
18
16
14
12
10
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
O desvio padrão da população é desconhecido, de modo que devemos estimá-lo:
>
(1.3)
>
(1.4)
>
ou
>
2.919360661
>
Como a amostra é pequena, podemos utilizar a distribuição t para construir o intervalo de
confiança. Ou seja, supomos que a variável
tem distribuição t com n - 1 graus de liberdade. A distribuição t é dada por
ou seja,
(1.5)
>
(1.6)
>
Aqui
>
(1.7)
ou seja,
>
(1.8)
Devemos agora determinar o valor de t que corresponde à probabilidade acumulada /2=0.025:
>
>
>
(1.9)
De fato,
>
>
0.0250832674255764311
(1.10)
>
(1.11)
Os limites de confiança de 95% para a média são então
>
13.71333333
>
(1.12)
(1.13)
>
2 Um teste de impacto foi realizado em 20 amostras de tubo PVC. A média amostral de força de
ruptura é xm = 1.25 e o desvio padrão amostral é s=0.25. Encontre um intervalo de confiança
limitado inferiormente de 99% na média da força de ruptura. Suponha que a distribuição é
normal.
Solução
Lembramos a definição
Como a amostra é pequena devemos utilizar a distribuição t para construir o intervalo de
confiança.
>
>
>
>
>
>
(2.1)
>
0.0104208733802336924
(2.2)
>
(2.3)
>
1.109127717
(2.4)
>
3 Um teste de impacto foi realizado em 100 amostras de tubo PVC. A média amostral de força de
ruptura é xm = 1.35 e o desvio padrão amostral é s=0.2. Encontre um intervalo de confiança de
95% na média da força de ruptura. Suponha que a distribuição é normal.
Solução
Como a amostra é suficientemente grande podemos utilizar a distribuição normal para construir
o intervalo de confiança.
>
>
>
>
>
1.310800720
(3.1)
1.389199280
(3.2)
>
Cálculo usando padronização:
>
>
>
>
(3.3)
>
0.05002501792
(3.4)
>
(3.5)
>
(3.6)
Portanto, o intervalo de confiança de 95% é [
,
].
4
Uma amostra aleatória de 40 anéis tem diâmetro médio xm = 74.036 mm.
(a) Construa um intervalo de 99% de confiança na média do diâmetro do pistão.
(b) Construa um intervalo de 99% de confiança inferiormente limitado na média do diâmetro do
pistão
Solução
Como o número de amostras é suficientemente grande, podemos utilizar a distribuição normal
para construir o intervalo de confiança.
>
>
>
>
>
>
>
>
(4.1)
>
0.01002400866
(4.2)
>
(4.3)
>
(4.4)
Portanto, o intervalo de confiança é [74.0319, 74.0401].
>
(b)
>
>
>
>
(4.5)
>
0.0100359801002740511
(4.6)
>
(4.7)
>
(4.8)
5 Uma máquina produz barras de metal utilizadas em um sistema automobilístico. Uma amostra
aleatória de 15 elementos é selecionada e o diâmetro é medido. Os dados resultantes (em mm) são
os seguintes: 8.24, 8.25, 8.20, 8.23, 8.24, 8.21, 8.26, 8.26, 8.20, 8.25, 8.23, 8,23, 8.19, 8.28, 8.24.
(a) Verifique a suposição de normalidade para os diâmetros da barras.
(b) Determine um intervalo de confiança de 95% sobre o diâmetro médio das barras.
Solução
(a)
>
>
>
(5.1)
>
(5.2)
>
Um plot normal mostra que a distribuição é aproximadamente normal :
>
(b)
A média é dada por
>
(5.3)
O desvio padrão da população é desconhecido, de modo que devemos estimá-lo:
>
(5.4)
>
Como, além ter o desvio padrão desconhecido, a amostra é pequena, devemos usar a distribuição
t para estimar o intervalo de confiança de média.
>
>
>
>
(5.5)
>
(5.6)
>
(5.7)
Portanto, o intervalo de confiança de 95% sobre a média é [
]
6 Dados relativos à espessura, em angstroms, de óxido em semicondutores são listados a seguir:
.. Determine o intervalo de confiança de 95% sobre a média amostral. Suponha que
Solução
A média amostral é
>
>
>
(6.1)
>
(6.2)
>
Um plot normal mostra que a distribuição amostral é, de fato, aproximadamente normal:
>
335
330
325
320
315
310
310
315
320
325
330
335
O desvio padrão da população é desconhecido, de modo que devemos estimá-lo:
>
(6.3)
>
(6.4)
>
ou
>
8.264102166
(6.5)
>
desconhecidos, podemos utilizar a
distribuição t para construir o intervalo de confiança. A única suposição necessária é que a
distribuição seja aproximadamente normal, uma hipótese corroborada acima pelo normal plot. Ou
seja, supomos que a variável
tem distribuição t com n - 1 graus de liberdade. A distribuição t é dada por
ou seja,
>
(6.6)
>
Aqui
>
(6.7)
ou seja,
>
(6.8)
Devemos agora determinar o valor de t que corresponde à probabilidade acumulada /2=0.025:
>
>
>
(6.9)
De fato,
>
>
0.05001427102
(6.10)
>
(6.11)
Os limites de confiança de 95% para a média são então
>
323.8461538
>
(6.12)
(6.13)
>
>