Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Matemática IV - 2005/2006
1
.
1
Transformada de Laplace
PROBLEMAS
13. Um tanque contém 1000 litros de água com 30kg de sal dissolvidos e está ligado a duas
válvulas, A e B. A partir do instante t = 0 entram no tanque, através de A, 6L/ min
de uma solução com uma concentração de 0, 4kg/L de sal. A partir do instante t = 10 a
válvula A é fechada e passam a entrar, através de B, 6L/ min de uma solução com uma
concentração de 0, 2kg/L de sal. Existe também a válvula de saída C pela qual saiem
6L/ min de solução, mantendo-se constante o volume da solução dentro do tanque.
Suponha ainda que, em cada instante, as soluções são homogéneas.
Determine, em cada instante, a quantidade de sal dentro do tanque.
RESOLUÇÃO:
Seja x (t) a quantidade de sal dentro do tanque. Para escrevermos a equação diferencial que
traduz o problema, atendamos a que:
taxa de variacão da quantidade de sal dentro do tanque =
= taxa da quantidade de sal que entra − taxa da quantidade de sal que sai
Assim, o problema dado pode traduzir-se do seguinte modo:
(


 x0 (t) = 0.4 × 6 kg/ min , 0 ≤ t < 10 − x(t) × 6 kg/ min
1000
.
0.2 × 6 kg/ min
, t ≥ 10


x (0) = 30
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Matemática IV - 2005/2006
2
Resolvamos a equação diferencial, usando o operador de Laplace:
((
)
n
o
2.4
,
0
≤
t
<
10
x(t)
0
L {x (t)} = L
− L 1000 × 6 ⇐⇒
1.2 , t ≥ 10
⇐⇒ sL {x (t)} − x (0) +
¡
⇐⇒ s +
¡
⇐⇒ s +
3
500
3
500
¢
¢
3
L {x (t)}
500
= L {2.4 − 2.4U10 (t) + 1.2U10 (t)} ⇐⇒
L {x (t)} = L {2.4 − 1.2U10 (t)} + 30 ⇐⇒
2.4
s
L {x (t)} =
⇐⇒ L {x (t)} =
2.4
3
s(s+ 500
)
⇐⇒ L {x (t)} =
400
s
−
−
400
3
s+ 500
−
1.2
s
e−10s + 30 ⇐⇒
1.2
3
s(s+ 500
)
−
e−10s +
200 −10s
e
s
+
30
3
(s+ 500
)
⇐⇒
200
−10s
3 e
s+ 500
5t
+
30
3
(s+ 500
)
⇐⇒
3
⇐⇒ x (t) = 400 − 370 e− 100 − 200 U10 (t) + 200 e− 500 (t−10) U10 (t) ⇐⇒
(
5t
400 − 370e− 100
, 0 ≤ t < 10
⇐⇒ x (t) =
5t
3
− 100
− 500
(t−10)
400 − 370e
− 200 + 200e
, t ≥ 10
y
60
50
40
5
10
15
20
Representação gráfica de x (t)
25
30
x
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Matemática IV - 2005/2006
3
16. Uma viga uniforme de comprimento L, fixa apenas na extremidade esquerda e suportando
uma carga, por unidade de comprimento, ω (x), sofre uma deflexão y (x) que satisfaz o
problema
(
E I y (4) (x) = ω (x)
,
y (0) = 0, y 0 (0) = 0, y 00 (L) = 0, y 000 (L) = 0
onde E e I são constantes.
Supondo que a carga é dada por

L

 0 , 0≤x< 3
ω (x) =
.
k , L3 ≤ x < 2L
3


2L
0 , 3 ≤x≤L
onde k é constante, determine a deflexão y (x).
RESOLUÇÃO:
E I y (4) (x) = ω (x) ⇐⇒ E I y (4) (x) = k U L (x) − k U 2L (x) ⇐⇒
3
3
n
o
©
ª
⇐⇒ L EI y (4) (x) = L k U L (x) − k U 2L (x) ⇐⇒
3
4
3
3
2 0
⇐⇒ EI (s L {y (x)} − s y (0) − s y (0) − s y 00 (0) − y 000 (0)) =
k
s
L
e− 3 s −
k
s
e−
2L
s
3
(1)
Atendendo a que y (0) = 0, y 0 (0) = 0 e considerando y 00 (0) = C1 e y 000 (0) = C2 , tem-se
³
´
k
1 −L
1 − 2L
s
s
3 −
3
e
e
+ Cs31 + Cs42 ⇐⇒
(1) ⇐⇒ L {y (x)} = EI
s5
s5
⇐⇒ y (x) =
k
L−1
4!EI
⇐⇒ y (x) =
k
24EI
⇐⇒ y (x) =
Se
2L
3







n
4! − L
e 3s
s5
C1 2
x
2
C1 2
x
2
C1 2
x
2
C2 2
x
2
k
EI
+
3
+
+
+
+
y 00 (x) = C1 + C2 x +
y 000 (x) = C2 +
o
³¡
¡
¢4
x − L3 U L (x) − x −
C2 3
x
6
C2 3
x
6
C2 3
x
6
≤ x ≤ L, tem-se:
y 0 (x) = C1 x +
−
4! − 2L
e 3s
s5
k
6EI
k
2EI
+
+
k
24EI
k
24EI
C1 −1
L
2!
¢
2L 4
3
s3
³¡
¢2 ¡
x − L3 − x −
3
2L
3
¢¢
.
¢
2L 3
3
¢
2L 2
3
+
´
U 2L (x) +
¡
¢
L 4
x
−
3
³¡
¢4 ¡
x − L3 − x −
³¡
¢3 ¡
x − L3 − x −
¡¡
¢ ¡
x − L3 − x −
© 2! ª
´
´
C2 −1
L
3!
C1 2
x
2
© 3! ª
+
s4
⇐⇒
C2 3
x
6
⇐⇒
, 0 ≤ x < L3
L
2L
´ , 3 ≤x< 3
¢
2L 4
, 2L
≤x≤L
3
3
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Matemática IV - 2005/2006
4
Então,
³¡
(
(
¢2 ¡
¢2 ´
k
kL2
L − L3 − L − 2L
=
0
y 00 (L) = C1 + C2 L + 2EI
C1 = 6EI
3
⇐⇒
.
¡¡
¢ ¡
¢¢
kL
k
C2 = − 3EI
L − L3 − L − 2L
=
0
y 000 (L) = C2 + EI
3
Assim,
y (x) =















kL2 2
x
12EI
−
kL
x3
13EI
kL2 2
x
12EI
−
kL
x3
13EI
+
k
24EI
kL2 2
x
12EI
−
kL
x3
13EI
+
k
24EI
, 0≤x<
¡
¢4
x − L3
³¡
¢4 ¡
x − L3 − x −
¢
2L 4
3
Supondo que se trata de uma viga de aço para a qual:
´
,
L
3
,
2L
3
≤x<
• I (momento de inércia da secção transversal)= 24 × 10−4 m4 ,
• L = 6 e K = 10,
y (x) tem a seguinte representação gráfica:
y
0.0005
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
1
2
3
4
5
2L
3
≤x≤L
• E (módulo de elasticidade de Young)= 210 × 109 N/m2 ,
-1
L
3
6
x
Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Matemática IV - 2005/2006
Representações gráficas das soluções dos problemas:
14y
0.00002
0.000015
0.00001
5×10 - 6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
x
15y
0.00025
0.0002
0.00015
0.0001
0.00005
-1
x
17y
0.0003
0.00025
0.0002
0.00015
0.0001
0.00005
-1
x
5