✬
✩
Estabilidade Entrada-Saı́da
Considere o sistema linear SISO invariante no tempo, causal e relaxado
em t = 0, descrito por
y(t) =
0
t
g(t − τ )u(τ )dτ =
0
t
g(τ )u(t − τ )dτ
g(t) : resposta ao impulso do sistema, ou seja, a saı́da do sistema no
tempo t para um impulso aplicado na entrada no instante τ
Uma entrada u(t) é limitada se
| u(t) | ≤ um < ∞ para todo t ≥ 0
• Um sistema relaxado é BIBO estável (Bounded-Input —
Bounded-Output) se para qualquer entrada limitada a saı́da também for
limitada.
Teorema
Um sistema SISO relaxado descrito por
y(t) =
0
t
g(τ )u(t − τ )dτ
é BIBO-estável se e somente se g(t) for absolutamente integrável no
intervalo [0, ∞), isto é, se existir uma constante M tal que
0
t
| g(t) | dt ≤ M < ∞
✫
✪
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
estabilidade.tex 1
✬
✩
Prova: primeiramente, mostra-se que se g(t) é absolutamente integrável,
toda entrada limitada causa uma saı́da também limitada. Seja u(t)
arbitrária com | u(t) | ≤ um < ∞ para todo t ≥ 0. Então,
t
| y(t) | = g(t)u(t − τ )dτ ≤
0
t
| g(t) | | u(t − τ ) | dτ
0
≤ um
0
t
| g(t) | dτ ≤ um M
e portanto a saı́da é limitada.
Agora, mostra-se (intuitivamente) que se g(t) não for absolutamente
integrável, então o sistema não ’e BIBO estável. Se g(t) não é
absolutamente integrável, existe t1 tal que
t
0
| g(τ ) | dτ = ∞
Escolhendo a entrada limitada

 +1 se g(t) ≥ 0
u(t1 − t) ==
 −1 se g(t) < 0
tem-se, no entanto, a saı́da ilimitada
y(t1 ) =
0
t1
g(τ )u(t − τ )dτ ==
0
t1
| g(τ ) | dτ = ∞
e portanto o sistema não é BIBO estável.
✫
✪
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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✩
• Uma função absolutamente integrável pode não ser limitada ou pode
não tender a 0 quando t → ∞
Exemplo: considere a função
f (t − n) =

4
3


 n + (t − n)n para n − 1/n ≤ t ≤ n



n − (t − n)n4 para n < t ≤ n + 1/n3
deﬁnida para n = 2, 3, . . . com área sob cada triângulo igual a 1/n2 .
n
n
2
n3
A integral do valor absoluto da função é
∞
(1/n2 ) < ∞.
n=2
=⇒ A função é absolutamente integrável mas não é limitada nem tende
a zero quando t → ∞
✫
✪
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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✩
Teorema
Se uma sistema com resposta ao impulso g(t) é BIBO estável, então,
quando t → ∞
• A resposta a uma entrada u(t) = a, para t ≥ 0, tende a G(0)a
• A resposta a uma entrada u(t) = sin(ω0 t), para t ≥ 0, tende a
| G(jω0 ) | sin(ω0 t + θ) ;
θ ∠G(jω0 )
sendo G(s) a transformada de Laplace de g(t), isto é
∞
g(τ ) exp(−sτ )dτ
G(s) =
0
Se u(t) = a,
t
y(t) =
0
g(τ )u(t − τ )dτ = a
y(t) → a
t
g(τ )dτ
0
∞
g(τ )dτ = aG(0)
0
Se u(t) = sin(ω0 t),
y(t) =
0
=
0
t
t
g(τ ) sin[ω0 (t − τ )]dτ =
g(τ )[sin(ω0 t) cos(ω0 τ ) − cos(ω0 t) sin(ω0 τ )]dτ =
= sin(ω0 t)
0
t
g(τ ) cos(ω0 τ )dτ − cos(ω0 t)
0
t
g(τ ) sin(ω0 τ )dτ
✫
✪
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
estabilidade.tex 4
✬
✩
Quando t → ∞
y(t) → sin(ω0 t)
∞
0
g(τ ) cos(ω0 τ )dτ − cos(ω0 t)
∞
0
g(τ ) sin(ω0 τ )dτ
Por outro lado, em s = jω,
G(jω) =
0
∞
g(τ )[cos(ωτ ) − j sin(ωτ )]dτ
Como assume-se implicitamente que g(t) (resposta ao impulso) é real,
tem-se
∞
g(τ ) cos(ωτ )dτ
Re G(jω) =
0
Im G(jω) = −
∞
g(τ ) sin(ωτ )dτ
0
Substituindo na expressão para y(t), tem-se
y(t) → sin(ω0 t)Re G(jω0 ) + cos(ω0 t)Im G(jω0 )
y(t) → | G(jω0 ) | sin(ω0 t + θ)
−1
θ ∠G(jω0 ) = tan
Im G(jω0 )/Re G(jω0 )
✫
✪
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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✬
✩
Teorema
Um sistema SISO com função de transferência racional própria G(s) é
BIBO estável se e somente se todos os pólos de G(s) têm parte real
negativa ou, equivalentemente, estão no semi-plano esquerdo do plano
complexo.
• Se G(s) tem um pólo pi com multiplicidade mi , a expansão em frações
parciais de G(s) contém fatores
1
1
1
;
;
.
.
.
;
s − pi
(s − pi )2
(s − pi )mi
e portanto a transformada inversa de Laplace contém os fatores
exp(pi t) ; t exp(pi t) ; . . . , ; tmi −1 exp(pi t)
Como pode ser veriﬁcado, cada um desses termos é absolutamente
integrável se e somente se pi tem parte real negativa.
Teorema
Um sistema MIMO com matriz resposta ao impulso G(t) = [gij (t)] é
BIBO estável se e somente se todo gij (t) for absolutamente integrável em
[0, ∞)
Teorema
Um sistema MIMO com matriz de transferência própria G(s) = [Gij (s)] é
BIBO estável se e somente se todo pólo de Gij (s) tiver parte real negativa.
✫
✪
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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✬
✩
Estabilidade BIBO de Equações Dinâmicas
Considere o sistema
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
cuja matriz de transferência é dada por
G(s) = C(sI − A)−1 B + D
A resposta ao estado nulo é BIBO estável se e somente se todo pólo de
G(s) tiver parte real negativa (isto é, todos os pólos dos elementos Gij (s)
da matriz de transferência).
G(s) =
1
C[Adj (sI − A)]B + D
det(sI − A)
então todo pólo de G(s) é também um autovalor de A. Assim, se todo
autovalor de A tem parte real negativa, então o sistema é BIBO estável.
• Nem todo autovalor de A é pólo de G(s) (cancelamentos).
• Portanto, A pode ter autovalores nulos ou com parte real positiva e
ainda assim o sistema pode ser BIBO estável.
Exemplo:

ẋ = 
g(s) =

1
0
1 −1
1
s+1

x + 

0
u ;
1
;
y=
1 1
x
g(t) = exp(−t) BIBO-estável
✫
✪
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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✩
Exemplo: considere o circuito
+
i
1Ω
+
u
x
1Ω
−
−1 F
1Ω
y
−
1Ω
Equações:
(u − i) + x − i = 0 ; x + (i − ẋ) − (u − i + ẋ) ; y = i
Equação de estado:
ẋ = x
;
y = 0.5x + 0.5u
Função de transferência:
G(s) = 0.5(s − 1)−1 0 + 0.5 = 0.5
O autovalor positivo 1 da matriz dinâmica não é um pólo da função de
transferência; a função de transferência é igual a uma constante 0.5 (nào
tem pólo, e portanto não tem que satisfazer nenhuma condição).
=⇒ O sistema é BIBO estável.
✫
✪
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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✩
Sistemas Discretos
O sistema discreto SISO decrito por
y(k) =
k
g(k − m)u(m) =
m=0
k
g(m)u(k − m)
m=0
sendo g(k) a resposta ao impulso, ou equivalentemente, a saı́da para uma
seqüência impulsiva aplicada em k = 0.
Uma seqüência u(k) é limitada se u(k) não cresce (ou descresce)
indeﬁnidamente, ou seja, se existe uma constante um tal que
| u(k) | ≤ um < ∞ para k = 0, 1, 2, . . .
Um sistema é BIBO estável se toda seqüência limitada aplicada na
entrada provocar uma seqüência limitada na saı́da.
Teorema
Um sistema discreto SISO é BIBO-estável se e somente se g(k) for
absolutamente somável no intervalo [0, ∞), isto é, se existir uma
constante M tal que
∞
| g(k) | ≤ M < ∞
k=0
Teorema
Se um sistema discreto SISO com resposta ao impulso g(k) é BIBO
estável, então, quando k → ∞
✫
✪
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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✩
• A resposta a uma entrada u(k) = a, para k ≥ 0, tende a G(1)a
• A resposta a uma entrada u(k) = sin(ω0 k), para k ≥ 0, tende a
| G[exp(jω0 )] | sin(ω0 t + θ) ;
θ ∠G[exp(jω0 )]
sendo G(z) a transformada Z de g(k), isto é G(z) =
∞
g(m)z −m
m=0
Teorema
Um sistema discreto SISO com função de transferência racional própria
G(z) é BIBO estável se e somente se todos os pólos de G(z) têm
magnitude menor do que 1 ou, equivalentemente, estão no interior do
cı́rculo unitário do plano complexo z.
• Se G(z) tem um pólo pi com multiplicidade mi , a expansão em frações
parciais de G(s) contém fatores
1
1
1
;
;
.
.
.
;
z − pi
(z − pi )2
(z − pi )mi
e portanto a transformada inversa Z contém os fatores
pki ; kpki ; . . . , ; k mi −1 pki
Como pode ser veriﬁcado, cada um desses termos é absolutamente
somável se e somente se pi tem magnitude menor do que 1.
• No caso contı́nuo, uma função absolutamente integrável não
necessariamente é limitada nem tende a zero quando t → ∞.
• Para sistemas discretos, se g(k) é absolutamente somável, então g(k) é
limitada e tende a zero quando k → ∞. No entanto, o contrário pode não
ser verdadeiro.
✫
✪
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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✩
Exemplo: considere um sistema discreto invariante no tempo com a
resposta ao impulso dada pela seqüência g(k) = 1/k, para k = 1, 2, . . . e
g(0) = 0. Calculando a soma
S
∞
| g(k) | =
k=0
1
=1+ +
2
1 1
+
3 4
∞
1
k=0
+
k
=1+
1
1
+ ··· +
5
8
1 1 1
+ + + ···
2 3 4
+
1
1
+ ··· +
9
16
+ ···
Para cada termo dentro de parênteses, a soma é sempre maior que 1/2 e
portanto
S >1+
=⇒
1 1 1 1
+ + + + ··· = ∞
2 2 2 2
sistema não é BIBO estável
No entanto, esta seqüência resposta ao impulso é limitada e tende a zero
quando k → ∞
Teorema
Um sistema discreto MIMO com matriz resposta ao impulso
G(k) = [gij (k)] é BIBO estável se e somente se todo gij (k) for
absolutamente somável.
Teorema
Um sistema MIMO com matriz de transferência própria G(z) = [Gij (z)] é
BIBO estável se e somente se todo pólo de Gij (z) tiver magnitude menor
que 1.
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EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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✩
Estabilidade BIBO de Equações Dinâmicas Discretas
Considere o sistema
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
y(k) = Cx(k) + Du(k)
cuja matriz de transferência é dada por G(z) = C(zI − A)−1 B + D
A resposta ao estado nulo é BIBO estável se e somente se todo pólo de
G(z) tiver magnitude menor do que 1 (isto é, todos os pólos dos
elementos Gij (z) da matriz de transferência).
Como
G(z) =
1
C[Adj (zI − A)]B + D
det(zI − A)
então todo pólo de G(z) é também um autovalor de A. Assim, se todo
autovalor de A tem magnitude menor do que 1, então o sistema é BIBO
estável.
• Como no caso contı́nuo, nem todo autovalor de A é pólo de G(z) (pode
haver cancelamentos).
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EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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✩
Estabilidade Interna
A BIBO estabilidade é deﬁnida para a resposta ao estado inicial nulo.
Para se estudar a resposta à entrada nula, considere o sistema
ẋ(t) = Ax(t)
com uma condição inicial não nula x0 . A solução é dada por
x(t) = exp(At)x0
• A resposta à entrada nula de um sistema linear invariante no tempo ou
a equação ẋ(t) = Ax(t) é marginalmente estável ou estável no
sentido de Lyapunov se para toda possı́vel condição inicial x0 ﬁnita a
resposta é limitada. É assintoticamente estável se para toda possı́vel
condição inicial x0 ﬁnita a resposta é limitada e tende a zero quando
t → ∞.
Teorema
• A equação ẋ(t) = Ax(t) é marginalmente estável se e somente se todos
os autovalores de A tem parte real igual a zero ou negativa e aqueles que
têm parte real igual a zero são raı́zes de multiplicidade 1 do polinômio
mı́nimo de A.
• A equação ẋ(t) = Ax(t) é assintoticamente estável se e somente se
todos os autovalores de A tem parte real negativa.
✫
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EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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✩
• As transformações de equivalência não afetam a estabilidade de uma
equação de estado. Deﬁnindo x̄ = P x, com P não singular, ẋ = Ax é
equivalente a x̄˙ = Āx̄ = P AP −1 x̄
• Como P é não singular, se x é limitado, então x̄ também o é; se x tende
a zero quando t → ∞, o mesmo ocorre com x̄.
• A estabilidade de A pode ser estudada através de Ā.
A solução de x̄˙ = Āx̄ para x̄(0) é dada por x̄(t) = exp(Āt)x̄(0). Se Ā está
na forma de Jordan, pode-se mostrar que:
• Se um autovalor tem parte real negativa, cada elemento do bloco de
Jordan associado é limitado e tende a zero quando t → ∞.
• Se um autovalor tem parte real igual a zero e nenhum bloco de Jordan
de ordem 2 ou maior, então o elemento correspondente é constante ou
senoidal para todo t e portanto limitado.
• Se um autovalor tem parte real positiva, cada elemento do bloco de
Jordan associado cresce indeﬁnidamente; se um autovalor tem parte real
igual a zero e algum bloco de Jordan de ordem 2 ou maior, então pelo
menos um elemento cresce indeﬁnidamente.
• Para ser assintoticamente estável, todo elemento tem que tender a zero
quando t → ∞, e assim, nenhum autovalor com parte real 0 ou positiva é
permitido.
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EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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✩
Exemplo


0 0 0



ẋ = 
 0 0 0 x
0 0 −1
∆(λ) = λ2 (λ + 1) (polinômio caracterı́stico)
O polinômio mı́nimo é dado por φ(λ) = λ(λ + 1) e portanto λ = 0 é uma
raı́z simples (multiplicidade 1). Os autovalores da matriz A são 0, 0 e 1 e
a equação é marginalmente estável.
Já o sistema

0 1

ẋ = 
 0 0
0


0 
x
0 0 −1
não é marginalmente estável, pois seu polinômio mı́nimo é dado por
φ(λ) = λ2 (λ + 1) e λ = 0 não é uma raı́z simples.
• Todo pólo da matriz de transferência
G(s) = C(sI − A)−1 B + D
é também um autovalor de A. Assim, a estabilidade assintótica implica
na BIBO estabilidade.
• A BIBO estabilidade não implica, em geral, na estabilidade assintótica.
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EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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Estabilidade Interna de Sistemas Discretos
x(k + 1) = Ax(k)
Solução para x(0) = x0 é dada por x(k) = Ak x0 .
O sistema é marginalmente estável ou estável no sentido de Lyapunov se
toda condição inicial ﬁnita x0 implicar em uma resposta limitada. É
assintoticamente estável se, além disso, a resposta tende a zero quando
k → ∞.
Teorema
• A equação x(k + 1) = Ax(k) é marginalmente estável se e somente se
todos os autovalores de A tem magnitudes menores ou iguais a 1 e
aqueles que tiverem magnitudes iguais a 1 forem raı́zes simples do
polinômio mı́nimo de A.
• A equação x(k + 1) = Ax(k) é assintoticamente estável se e somente se
todos os autovalores de A tem magnitudes menores do que 1.
Assim como no caso contı́nuo, as transformações equivalentes não afetam
a estabilidade do sistema, e as formas de Jordan podem ser usadas no
estudo da estabilidade. A estabilidade assintótica implica em BIBO
estabilidade mas o contrário não é verdadeiro.
✫
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EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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✩
Teorema de Lyapunov - Caso Contı́nuo
Todos os autovalores de A têm parte real negativa se e somente se para
qualquer matriz simétrica deﬁnida positiva N a equação de Lyapunov
A M + M A = −N
tiver uma única solução simétrica M e M for deﬁnida positiva.
Corolário
Todos os autovalores de uma matriz n × n A têm parte real negativa se e
somente se para qualquer matriz N̄ m × n com m < n tal que




rank 


N̄
N̄ A
..
.




 = n (rank completo de colunas)


N̄ An−1
a equação de Lyapunov
A M + M A = −N̄ N̄ −N
tiver uma única solução simétrica M e M for deﬁnida positiva.
• Para qualquer N̄ , a matriz N = N̄ N̄ é semideﬁnida positiva.
• O teorema e seu corolário são válidos para qualquer escolha de N .
✫
✪
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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✩
Prova do Teorema
(Necessidade): a equação de Lyapunov é um caso especial da equação de
Sylvester. Como A e A têm os mesmos autovalores, se A for estável, não
existem dois autovalores tais que
λi + λj = 0
e portanto a equação de Lyapunov é não singular e possui uma única
solução M . Deﬁna
∞
M=
exp(A t)N exp(At)dt
0
Substituindo na equação, obtém-se
∞
A M + MA =
0
A exp(A t)N exp(At)dt+
∞
+
exp(A t)N exp(At)Adt =
0
=
0
∞
d
dt
exp(A t)N exp(At) dt =
∞
exp(A t)N exp(At) t=0
= 0 − N = −N
pois exp(At) = 0 para t → ∞ se A tem autovalores com parte real
negativa. Com isso, prova-se que M dada acima é solução da equação. É
claro que se N for simétrica, M também o é. Como N é não singular,
pode ser decomposta na forma N = Ñ Ñ com Ñ não singular. Portanto,
∞
x exp(A t)Ñ Ñ exp(At)xdt =
x Mx =
0
0
∞
Ñ exp(At)x|22 dt
que é positiva para qualquer x = 0 (Ñ e exp(At) são não singulares), o
que mostra que M é deﬁnida positiva.
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EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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✩
(Suﬁciência): Agora, mostra-se que se N e M são deﬁnidas positivas, A é
estável. Seja λ um autovalore de A associado ao autovetor v. Então,
Av = λv. Pré e pós multiplicando a equaçào de Lyapunov por v ∗ e v,
respectivamente, tem-se
−v ∗ N v = v ∗ A M v + v ∗ M Av = (λ∗ + λ)v ∗ M v = 2Re (λ)v ∗ M v
Como v ∗ N v e v ∗ M v sào reais positivos, =⇒ Re (λ) < 0.
Prova do Corolário
Segue os mesmos passos da prova do teorema. Note que N̄ é uma matriz
m × n, com m < n, e que portanto N = N̄ N̄ é semideﬁnida positiva.
Ainda assim, M pode ser deﬁnida positiva se o integrando N̄ exp(At)x
não for identicamente nulo para todo t.
Por absurdo, suponha que N̄ exp(At)x ≡ 0 para todo t. Derivando em
relação ao tempo, tem-se N̄ A exp(At)x ≡ 0; fazendo a derivada n − 1
vezes:







N̄
N̄ A
..
.




 exp(At)x = 0


N̄ An−1
Como por hipótese o rank da matriz acima é n e exp(At) é não singular
para todo t, o único x solução seria x = 0. Assim, o integrando
N̄ exp(At)x não pode ser identicamente nulo para nenhum x = 0 e M é
deﬁnida positiva. Mostrou-se assim a necessidade.
✫
✪
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
estabilidade.tex 19
✬
✩
Considere agora Av = λv e
2Re (λ)v ∗ M v = −v ∗ N̄ N̄ v = −N̄ v22
Note que A2 v = λAv = λ2 v, . . . , An−1 v = λn−1 v. Assim,


N̄






N̄ A
..
.







v = 




N̄ An−1
N̄ v
N̄ Av
..
.


 
 
 
=
 
 
N̄ An−1 v
N̄ v
λN̄ v
..
.







λn−1 N̄ v
Com a hipótese de rank completo de colunas, o vetor da esquerda é não
nulo para v = 0 e portanto N̄ v (que compõe o vetor da direita) é um
vetor não nulo.
=⇒ Re (λ) < 0
• Na prova do teorema de Lyapunov e do colorário, usou-se a expressão
da solução M
M=
∞
exp(A t)N exp(At)dt
0
Esse resultado é estabelecido como teorema, e usado para mostrar a
unicidade da solução da equação de Lyapunov.
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✪
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Teorema
Se todos os autovalores de A têm parte real negativa, então a equação de
Lyapunov
A M + M A = −N
tem uma única solução para todo N dada por
M=
∞
exp(A t)N exp(At)dt
0
Prova de Unicidade
Suponha que M1 e M2 são soluções. Então
A (M1 − M2 ) + (M1 − M2 )A = 0
exp(A t) A (M1 − M2 ) + (M1 − M2 )A exp(At) =
d
=
exp(A t)(M1 − M2 ) exp(At) = 0
dt
Integrando de 0 a ∞
∞
exp(A t)(M1 − M2 ) exp(At) = 0
0
0 − (M1 − M2 ) = 0
=⇒
M1 = M2
• Mesmo para A não estável, uma solução única existe se λi + λj = 0,
mas não da forma M acima. Se A for singular (pelo menos um autovalor
nulo), a equação de Lyapunov é singular e soluções podem ou não existir
(dependendo se N está ou não no range da equação).
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Teorema de Lyapunov - Caso Discreto
• Equação discreta
M − AM B = C
sendo A ∈ Rn×n , B ∈ Rm×m e C ∈ Rn×m . Como no caso contı́nuo, pode
ser expressa na forma (conjunto de equações lineares)
Ym=c
;
Y ∈ Rnm×nm , m, c ∈ Rnm×1
Seja ηk um autovalor de Y . Nesse caso,
ηk = 1 − λi µj
para i = 1, 2, . . . , n ; j = 1, 2, . . . , m
com λi e µj autovalores de A e B respectivamente.
• Para veriﬁcar esse fato, deﬁna S(M ) M − AM B. A equação pode
então ser escrita S(M ) = C e um escalar η é um autovalor de S(M ) se
S(M ) = ηM .
Considere u um autovetor à direita de A associado ao autovalor λi e v um
autovetor à esquerda de B associado ao autovalor µj
Au = λi u ;
vB = µj v
Assim
S(uv)uv − AuvB = (1 − λi µj )uv
• Se não existir i e j tais que λi µj = 1, a equação é não singular e para
cada C a solução M é única.
• Se λi µj = 1 para algum i e j, para C dado, a solução pode ou não
existir.
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EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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Teorema de Lyapunov (Caso Discreto)
Todos os autovalores de A tem magnitude menor do que 1 se e somente
se para qualquer matriz deﬁnida positiva N ou para N = N̄ N̄ com N̄
uma matriz m × n com m < n tal que




rank 



N̄



 = n (rank completo de colunas)


N̄ A
..
.
N̄ An−1
a equação discreta de Lyapunov
M − A M A = N
tiver uma solução única M e M for deﬁnida positiva.
• Para N > 0, se todos os autovalores de A (iguais aos de A ) têm
magnitude menor que 1, | λi λj | < 1 para todo i, j, a equação é não
singular e uma única solução existe. Considere
M=
∞
(A )m N Am
m=0
Como | λi | < 1 para todo i, esta série inﬁnita converge. Substituindo
∞
(A )m N Am − A
m=0
∞
(A )m N Am A =
m=0
=N+
∞
m=1
m
(A ) N A −
m
∞
(A )m N Am = N
m=1
e se N for simétrica, M também o é. Isso mostra a necessidade.
✫
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EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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✩
Para mostrar a suﬁciência, considere λ um autovalor de A associado ao
autovetor v = 0 (Av = λv). Assim,
v ∗ N v = v ∗ M v − v ∗ A M Av =
= v ∗ M v − λ∗ v ∗ M vλ = (1− | λ |2 )v ∗ M v
Como os dois lados da equação são números reais e positivos, conclui-se
que (1− | λ |2 ) ou | λ |2 < 1. Isso estabelece o resultado para N > 0. O
caso N ≥ 0 pode ser mostrado de maneira similar.
Teorema
Se todos os autovalores de A têm magnitude menor do que 1, então a
equação discreta de Lyapunov
M − A M A = N
tem uma única solução para todo N dada por
M=
∞
(A )m N Am
m=0
• Se A tem um ou mais autovalores com magnitude maior do que 1, uma
solução única ainda existe se λi λj = 1 para todo i, j, mas não pode ser
computada pela série acima.
✫
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EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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✩
Relação entre os Casos Contı́nuo e Discreto
A condição de estabilidade do caso contı́nuo requer que todos os
autovalores estejam no semi-plano esquerdo aberto do plano complexo s.
A correspondente condição no caso discreto é que todos os autovalores
estejam contidos no interior do cı́rculo unitário do plano complexo z.
Essas condições se relacionam pela transformação bilinear
s=
z−1
z+1
;
z=
1+s
1−s
que deﬁne um mapeamento do semi-plano esquerdo aberto para o interior
do cı́rculo unitário e vice-versa.
Escrevendo as equações de Lyapunov (o subescrito d designa o caso
discreto)
A M + M A = −N
Md − Ad Md Ad = Nd
;
Usando a transformação bilinear
A = (Ad + I)−1 (Ad − I)
;
Ad = (I + A)(I − A)−1
Substituindo e manipulando, obtém-se
A Md + Md A = −0.5(I − A )Nd (I − A)
que, comparada com a equação de Lyapunov do caso contı́nuo, fornece
A = (Ad + I)−1 (Ad − I) ; M = Md ; N = 0.5(I − A )Nd (I − A)
• Um método numérico de resolução da equação de Lyapunov do caso
contı́nuo pode ser usado para o caso discreto.
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EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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Critério de Routh-Hurwitz
A BIBO estabilidade de um sistema está associada aos pólos de sua
matriz de transferência. Cada elemento Gij (s) pode ser escrito na forma
N (s)
D(s)
função racional de s
e se N (s) e D(s) não possuı́rem fatores comuns, as raı́zes de D(s) são os
pólos de Gij (s).
Um polinômio é Hurwitz se todas as raı́zes do polinômio têm parte real
negativa
BIBO-estável
⇐⇒
D(s) é Hurwitz
• A BIBO estabilidade pode ser inferida a partir do cálculo das raı́zes de
D(s).
• O cálculo das raı́zes pode ser numericamente dispendioso.
• A localização exata das raı́zes não é necessária para se concluir sobre a
BIBO estabilidade.
• O critério de Routh-Hurwitz fornece condições para se testar se um
polinômio é ou não Hurwitz sem o cálculo explı́cito das raı́zes.
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EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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Considere o polinômio com coeﬁcientes reais
D(s) = a0 sn + a1 sn−1 + a2 sn−2 + · · · + an−1 s + an
= a0
,
(a0 > 0)
(s + αk ) (s + βi + jωi )(s + βi − jωi )
i
k
= a0 (s + αk ) (s2 + 2βi s + βi2 + ωi2 )
i
k
αk > 0 , βi > 0
D(s) Hurwitz
ai > 0 , i = 1, 2, . . . , n
=⇒
• O inverso no entanto não é verdadeiro.
s3 + s2 + 11s + 51 = (s + 3)(s − 1 + j4)(s − 1 − j4)
não é Hurwitz
Separe D(s) em dois polinômios
D(s) = D0 (s) + D1 (s)
D0 (s) = a0 sn + a2 sn−2 + · · ·
D1 (s) = a1 sn−1 + a3 sn−3 + · · ·
;
com o grau de D0 (s) = grau de D1 (s) + 1. Por exemplo,
D(s) = s4 + 2s3 + 6s2 + 4s + 1
D0 (s) = s4 + 6s2 + 1
;
D1 (s) = 2s3 + 4s
✫
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EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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✩
Considere a seguinte expansão (expansão de Stieljes)
s4 + 6s2 + 1
1
1
D0 (s)
=
=
s
+
1
1
D1 (s)
2s3 + 4s
2
s+
1
8
2
s+
7
7
s
2
α1 =
1
1
8
7
; α2 =
; α3 =
; α4 =
;
2
2
7
2
No caso geral,
D0 (s)
= α1 s +
D1 (s)
1
1
α2 s +
α3 s +
1
...
+
1
αn−1 s +
1
αn s
Teorema
O polinômio D(s) é Hurwitz se e somente se os n números α1 , α2 , . . . , αn
são positivos.
✫
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EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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✩
Tabela de Routh
Assuma que n é par e deﬁna n n
2
D0 (s) = a00 sn + a01 sn−2 + · · · + a0n −1 s2 + a0n
D1 (s) = a10 sn−1 + a11 sn−3 + · · · + a1n −1 s
Padrão:
ak+2
i
sn
a00
a01
a02 · · · a0n −1 a0n
sn−1
a10
a11
a12 · · · a1n −1
sn−2
a20
a21
a22 · · · a2n −1
sn−3
a30
a31
a32 · · · a3n −2
..
.
..
.
..
.
s2
an−2
an−2
0
1
s1
an−1
0
s0
an0
..
.
k
k k+1
ak+1
0 ai+1 − a0 ai+1
=
ak+1
0
=
aki+1
−
αk+1 ak+1
i+1
;
αk+1
ak0
k+1
a0
✫
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EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
estabilidade.tex 29
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✩
Prova
Assuma que todos os αi são diferentes de 0 e considere a função racional
g(s) D1 (s)
1
D1 (s)
=
=
D(s)
D0 (s) + D1 (s)
1 + D0 (s)/D1 (s)
A hipótese αi = 0 implica que não há fatores comuns entre D0 (s) e D1 (s)
e, conseqüentemente, não há fatores comuns entre D1 (s) e D(s) (g(s) é
irredutı́vel).
Uma realização de g(s) é dada por

ẋ1


 ẋ2



 ẋ3

 ..
 .


 ẋ
 n−1

ẋn


0

  −1
 
 
  αn−1
 
  0
 
=
 
..
 
.
 
 
 
  0
 

0
1
αn
0
1
0
−1
αn−2
..
.
αn−1
0
···
0
0
0
···
0
0
0
···
0
0
0
..
.
−1
α2
..
.
..
.
1
α2
−1
α1
..
.
0
0
···
0
0
···
0
0
−1
α1
y=



















x1
x2
x3
..
.
xn−1
xn
 
 
 
 
 
 
 
 
+
 
 
 
 
 
 
 
0
0
0
..
.
0
1








u







0 0 0 ···
0 0 1
x
• O polinômio caracterı́stico de A é igual ao denominador de g(s).
• O teorema de Lyapunov pode ser utilizado para analisar a estabilidade
de ẋ = Ax através da solução da equação
A M + M A = −N
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EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
estabilidade.tex 30
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✩
• A equação A M + M A = −N é satisfeita para




M =



αn
0
0 αn−1
..
..
.
.
0
0
0
0
···
···
0
0
..
.
· · · α2
··· 0








0 
α1



N −



0
0
..
.
;

0 ··· 0 0

0 ··· 0 0 
.. .. 
..
. . 
.


0 0 ··· 0 0 
0 0 ··· 0 2
0
0
..
.
• Neste caso, N é uma matriz semideﬁnida positiva e portanto o
resultado do corolário do teorema de Lyapunov pode ser usado.
• O sistema ẋ = Ax é assintoticamente estável se e somente se M for
deﬁnida positiva ou, equivalentemente, se e somente se os n números α1 ,
α2 , . . . , αn forem positivos. Portanto, ẋ = Ax é assintoticamente estável
se e somente se todos os autovalores têm parte real negativa ou,
equivalentemente, se todas as raı́zes de D(s) têm parte real negativa.
Caso nem todos os αi sejam diferentes de zero ou, em outras palavras,
alguns dos coeﬁcientes da primeira coluna da tabela de Hurwitz são 0.
Suponha a20 = 0. Se todos os coeﬁcientes da linha sn−2 forem zero, então
D0 (s) e D1 (s) têm pelo menos um fator comum, que é uma função ı́mpar
ou uma função par em s, por exemplo, f (s), e D(s) pode ser fatorado na
forma f (s)D̄(s). Como nem todas as raı́zes de uma função par ou de uma
função ı́mpar podem ter parte real negativa, D(s) não é Hurwitz. Se, por
outro lado, nem todos os coeﬁcientes da linha sn−2 forem zero, pode-se
trocar a20 = 0 por a20 = -, - > 0 pequeno, e prosseguir completando a
tabela. Se algum αi for negativo, pelo menos uma das raı́zes de D(s)
--modiﬁcado tem parte real negativa, e como as raı́zes são funções
contı́nuas dos coeﬁcientes de um polinômio, quando - → 0, pelo menos
uma das raı́zes de D(s) tem parte real nula ou positiva.
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EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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Exemplos:
1) s4 + 2s3 + 6s2 + 4s + 1
s4 1 6 1
s3 2 4
s2 4 1
s1 3.5
s0 1
Hurwitz
2) 3s7 + 2s6 + 2s5 + s4 + 3s3 + s2 + 1.5s + 1
2 3 1.5
s7 3
1 1 1
s6 2
s5 0.5 1.5 0
..
..
.
.
não é Hurwitz
3) 2s4 + 2s3 + s2 + 3s + 2
s4 2
1 2
3
s3 2
s2 −2 · · ·
..
.
não é Hurwitz
4) 2s4 + 5s3 + 5s2 + 2s + 1
s4 2 5 1
s3 5 2
s2 4.2 5
s1 17
s0 5
Hurwitz
✫
✪
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
estabilidade.tex 32
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✩
Estabilidade de Sistemas Variantes no Tempo
Considere um sistema SISO variante no tempo descrito por
t
y(t) =
g(t, τ )u(τ )dτ
t0
Este sistema é BIBO estável se toda entrada limitada causa uma saı́da
também limitada.
O sistema acima é BIBO estável se e somente se existir uma constante M
tal que
t
| g(t, τ ) | dτ ≤ M < ∞
t0
para todo t, t0 com t ≥ t0 .
• Caso multivariável
t
G(t, τ )u(τ )dτ
y(t) =
t0
A condição para BIBO estabilidade é que cada elemento de G(t, τ )
satisfaça a relação acima. Essa condição pode ser expressa em termos de
normas.
✫
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EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
estabilidade.tex 33
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✩
A condição necessária e suﬁciente para que um sistema multivariável seja
BIBO estável é que exista M constante tal que
t
G(t, τ )dτ ≤ M < ∞
t0
para todo t, t0 com t ≥ t0 .
Considerando uma descrição por equações de estado
ẋ = A(t)x + B(t)u
y = C(t)x + D(t)u
tem-se que a matriz resposta ao impulso é dada por
G(t, τ ) = C(t)Φ(t, τ )B(τ ) + D(t)δ(t − τ )
e a resposta ao estado inicial nulo é
t
C(t)Φ(t, τ )B(τ )dτ + D(t)u(t)
y(t) =
t0
Assim, a resposta ao estado inicial nulo da equação dinâmica é BIBO
estável se e somente se existirem constantes M1 e M2 tais que
D(t) ≤ M1 < ∞
t
C(t)Φ(t, τ )B(τ )dτ ≤ M2 < ∞
t0
para todo t, t0 com t ≥ t0 .
✫
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EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
estabilidade.tex 34
✬
✩
Estabilidade da Resposta à Entrada Nula
ẋ = A(t)x
é marginalmente estável se toda condição inicial ﬁnita provoca uma
resposta limitada. Como a solução é governada por
x(t) = Φ(t, t0 )x(t0 )
tem-se que resposta à entrada nula é marginalmente estável se e somente
se existir uma constante M tal que
Φ(t, t0 ) ≤ M < ∞ para todo t0 e t ≥ t0 .
A equação ẋ = A(t)x é assintoticamente estável se a resposta à toda
condição inicial ﬁnita for limitada e tender a zero quando t → ∞, isto é
Φ(t, t0 ) → 0
para t → ∞
• No caso invariante no tempo, ẋ = Ax é assintoticamente estável se
todos os autovalores de A têm parte real negativa. Isso não é verdade no
caso variante no tempo.

ẋ = A(t)x = 
−1 exp(2t)
−1
0

x
Polinômio caracterı́stico: ∆(λ) = (λ + 1)2 ; Autovalores: −1 e −1

Φ(t, 0) = 
exp(−t) 0.5(exp(t) − exp(−t))
0


exp(−t)
O elemento (1, 2) cresce indeﬁnidamente (sistema não é estável).
✫
✪
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
estabilidade.tex 35
✬
✩
• Todas as propriedades de estabilidade de um sistema invariante no
tempo se preservam sob transformações de equivalência.
• No caso variante no tempo a BIBO estabilidade se preserva pois a
matriz resposta ao impulso não se altera com uma transformação de
equivalência.
• Como entretanto é possı́vel transformar ẋ = A(t)x em x̄˙ = A0 x̄ com A0
constante, a estabilidade marginal e a assintótica não se preservam sob
qualquer transformação de equivalência.
Teorema
As estabilidades marginal e assintótica de ẋ = A(t)x se preservam sob
qualquer transformação de Lyapunov equivalente.
Como P (t) e Ṗ (t) são contı́nuas, e P (t) é não singular para todo t, então
x̄ = P (t)x é uma transformação algébrica. Se além disso P (t) e P −1 (t)
são limitadas para todo t, x̄ = P (t)x é uma transformação de Lyapunov.
As matrizes fundamentais de ẋ = A(t)x e x̄˙ = Ā(t)x̄ se relacionam por
ψ̄(t) = P (t)ψ(t)
e portanto
Φ̄(t, τ ) = ψ̄(t)ψ̄ −1 (τ ) = P (t)ψ(t)ψ −1 (τ )P −1 (τ ) =
= P (t)Φ(t, τ )P −1 (τ )
Como P (t) e P −1 (t) são limitadas, se Φ(t, τ ) é limitada, Φ̄(t, τ )
também o é; se Φ(t, τ ) → 0 quando t → ∞, o mesmo ocorre com
Φ̄(t, τ ).
✫
✪
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
estabilidade.tex 36
✬
✩
• Em sistemas invariantes no tempo, a estabilidade assintótica da
resposta à entrada nula implica na BIBO estabilidade da resposta ao
estado inicial nulo.
• Não necessariamente é verdade para sistemas variantes no tempo.
A estabilidade assintótica ocorre se
Φ(t, τ ) → 0 quando t → ∞
para todo t, t0 com t ≥ t0 .
A BIBO estabilidade ocorre se
t
C(t)Φ(t, τ )B(τ )dτ < ∞
t0
para todo t, t0 com t ≥ t0 .
• No entanto, uma função que tende a zero pode não ser absolutamente
integrável.
• Se Φ(t, τ ) tende a zero rapidamente e se B(t) e C(t) são limitadas, a
estabilidade assintótica implica na BIBO estabilidade.
✫
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EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I
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