FORTRAN 95 - LÚDICO
LENZI, Orlando
QUADRADO MÁGICO - ORDEM 4
CONCEITO
Partindo da definição original, os QUADRADOS MÁGICOS devem satisfazer três condições:
a) tabela ou matriz quadrada (número de linhas igual ao número de colunas);
b) domínio:
com elementos assumindo valores consecutivos a partir de 1, ou seja,
D={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}
c) as somas dos elementos de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal têm sempre um mesmo valor.
Quando pelo menos uma das condições acima não é satisfeita, eles passam a ser chamados DEFEITUOSOS, IMPERFEITOS ou
NÂO PUROS. O seu domínio é: .
Sobre a origem, a história, as curiosidades, os misticismos e as particularidades dos QUADRADOS MÁGICOS e dos NÃO PUROS
deve-se consultar as REFERÊNCIAS abaixo.
OBJETIVO
Sugerimos codificar um programa que trate os QUADRADOS MÁGICOS de ordem 4 e não puros de ordem 4, de modo equivalente
ao sugerido para os quadrados de ordem 3.
BASE MATEMÁTICA
Conforme citado na página do QUADRADO MÁGICO de ordem 3:
Série de valores: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,ord2
CONSTANTE = 34 (demonstração: veja quadrado de ordem 3)
e1
e5
e9
e13
com valores literais, podemos verificar algumas
e2
e6
e10
e14
relações numéricas.
e3
e7
e11
e15
e4
e8
e12
e16
Preenchendo, por coluna, o QUADRADO MÁGICO
O QUADRADO MÁGICO não tem um elemento central, mas tem um quadrado central, representado pelos elementos e6 e7 e10 e11.
O número 4 é realmente muito especial. Veja a que se pode fazer com este número ou algarismo e algumas operações aritméticas
na página de Matemáticas na parte Lúdicos. Aqui ele também simplifica muito a geração manual do QUADRADO MÁGICO.
Embora existam 7040 QUADRADOS MÁGICOS de ordem 4 é muito simples gerar um exemplo.
Vamos adiantar a título de curiosidade, pois não necessitaremos de nenhuma informação matemática além do valor da
CONSTANTE = 34 e um pouco de observação para trocar os elementos que não tornam a CONSTANTE verdadeira na distribuição
dos valores do PRIMEIRO passo. Veja a série, I M E N S A , de passos e operações:
ATUALIZADO: mai/2013
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*---------------- PRIMEIRO PASSO --------------*
*-------- ÚLTIMO PASSO: sabendo que a CONSTANTE é igual a 34 ---------*
Preencher em sequência a série de números
A primeira coluna tem os maiores números e a quarta coluna tem os
em ordem decrescente ou crescente e por
menores números. Para obtermos a CONSTANTE precisamos permutar
por linha ou coluna.
valores pequenos da primeira coluna por valores grandes da quarta. Pode-
Vamos optar: preenchimento = por coluna e
se conseguir esta troca invertendo-se os valores em cada diagonal.
ordem = decrescente.
16
12
8
4
1
12
8
13
15
11
7
3
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6
10
3
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10
6
2
14
7
11
2
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9
5
1
4
9
5
16
Para os que gostam de matemática, o assunto da ordem 4 continua.
Vamos buscar algumas das particularidades ou relações numéricas dos QUADRADOS MÁGICOS com esta ordem.
PARTICULARIDADES
1) SOMA = 34 DO ELEMENTO CENTRAL, QUE É UM QUADRADO COM OS ELEMENTOS
Considerando o QUADRADO MÁGICO com elementos
e1
e5
e9
e13
literais, podemos formar 6 equações que contêm dois
e2
e6
e10
e14
elementos do centro e que no conjunto contêm todos
e3
e7
e11
e15
os elementos da matriz.
e4
e8
e12
e16
e6
e10
e7
e11
Desejamos provar ou obter:
Sabemos que a soma de todos os números é igual a 136. Este valor é
obtido pela fórmula da soma de progressões aritméticas ou pelo valor
da CONSTANTE multiplicado pelo valor da ordem.
Somando as equações e agrupando de modo conveniente, obtemos
Substituindo a soma de todos os elementos pelo seu valor:
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2) SOMA = 34 - ELEMENTOS DOS CANTOS - elementos (e1 + e4 + e13 + e16)
É uma consequência da particularidade anterior, pois os elementos dos cantos e os do quadrado central formam exatamente as
duas diagonais. Selecionando as equações que correspondem às diagonais.
Fazendo a soma das equações e organizando os elementos dos cantos do quadrado central.
Substituindo o valor da soma do quadrado central e calculando:
3) DISTRIBUIÇÃO DOS ALGARISMOS POR LINHA, COLUNA OU DIAGONAL
A soma dos elementos de cada linha, coluna ou diagonal é um número PAR e tem 4 PARCELAS.
Pode-se obter este resultado nos casos de:
a) 4 números ímpares;
b) 4 números pares
e
c) 2 números pares e 2 números ímpares (mais frequente).
Todas as linhas e colunas são formadas por de 2 números pares e 2 números ímpares.
As diagonais podem ter, ambas, 2 números pares e 2 números ímpares ou uma diagonal pode ter 4 números ímpares e a outra 4
números pares.
4) OUTROS AGRUPAMENTOS QUE SOMAM 34
Partindo das equações básicas do QUADRADO MÁGICO (somas das linhas, das colunas e das diagonais) , do quadrado central e
dos cantos, vários agrupamentos de quatro dezenas também somam 34 e contêm 2 números pares e 2 números ímpares.
Como exemplo, indicamos as equações que envolvem os números centrais das
linhas 1 e 4 e dos números centrais das colunas 1 e 4.
5) ALGUMAS IGUALDADES ENTRE AS SOMAS DE NÚMEROS
e1
e5
e9
e13
e2
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e10
e14
e3
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e11
e15
e4
e8
e12
e16
Partindo da mesma origem do ítem anterior, encontramos:
6) RELAÇÕES DOS ELEMENTOS DOS CANTOS EM FUNÇÃO DE OUTROS ELEMENTOS
Partindo das relações do ítem anterior e operando convenientemente conjuntos de 3 delas, obtemos:
ou
ou
ou
ou
Analogamente, podemos deduzir equações para os elementos do quadrado central: e6, e7, e10 e e11.
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7) RELAÇÃO DE QUADRADOS DE CANTOS COM 4 NÚMEROS
Soma dos elementos de A é igual a soma dos elementos de D,
e analogamente a soma dos elementos de C é igual a soma dos
elementos de B.
SA = SD
e
e1
e5
e9
e13
e2
e6
e10
e14
e3
e7
e11
e15
e4
e8
e12
e16
A
B
C
D
S B = SC
Os quadrados A e C são formados pelas colunas 1 e 2 ------> SA + SC = 68
Os quadrados C e D são formados pelas linhas 3 e 4
Subtraindo as equações e operando:
SA - SD = 0
-------> SC + SD = 68
ou
SA = SD
USO DAS EQUAÇÕES ACIMA
A apresentação dessas equações tem por objetivo fornecer informações para desenvolvimento vários algorítmos de preenchimento
dos QUADRADOS MÁGICOS 4x4. Os exemplos de equações acima, embora representem apenas uma pequena parte, eles já
apresentam interdependência entre si e portanto deve-se escolher o conjunto que parecer mais apropriado para desenvolver um ou
outro algorítmo de preenchimento.
ATENÇÃO:
Para usar as equações desenvolvidas nos ítens acima, é necessário respeitar as equações básicas (somas de linhas, de
colunas e de diagonais, iguais a CONSTANTE) e as regras (sequência de números) pois somente sob estas condições os seus
resultados se aplicam aos QUADRADOS MÁGICOS PUROS.
TOTALIZAÇÕES
a) números de 1 a 16, em quadrados de ordem 4:
PERMUTAÇÕES sem repetição: P(16) ou P(16;16) = 20.922.789.888.000
b) números de 1 a 16, no quadrado central (4 elementos: e6, e7, e10 e e11):
PERMUTAÇÕES sem repetição de 16 números em 4 posições: P(16;4) = 43.680
COMBINAÇÕES sem repetição de 16 números em 4 posições: C(16;4) = 1.820
c) números de 1 a 16, no quadrado central com soma igual a CONSTANTE = 34
PERMUTAÇÕES: 2.064
;
COMBINAÇÕES: 86
d) números de 1 a 16, no quadrado central que permitem gerar QUADRADOS MÁGICOS
PERMUTAÇÕES: 976
ATUALIZADO: mai/2013
;
COMBINAÇÕES:50
4
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e) QUADRADOS MÁGICOS PUROS de ordem 4:
TOTAL: 7040
OBSERVAÇÃO: Estudo semelhante pode ser desenvolvido para os CANTOS (e1, e4, e13 e e16)
f) nos quadrados mágicos puros: total de ocorrências dos números no elemento e1 (linha 1, coluna 1):
núm.
1
2
3
4
total
416
400
404
476
núm.
5
6
7
8
total
432
456
460
476
núm.
9
10
11
12
total
476
460
456
432
núm.
13
14
15
16
total
476
404
400
416 total: 7040
g) nos quadrados mágicos puros: total de ocorrências do número 1 em todos os elementos:
416
464
464
416
464
416
416
464
464
416
416
464
416
464
464
416
h) nos quadrados mágicos puros: total de ocorrências do número 2 em todos os elementos:
400
480
480
400
480
400
400
480
480
400
400
480
400
480
480
400
i) nos quadrados mágicos puros: total de ocorrências do número 6 em todos os elementos:
456
424
424
456
424
456
456
424
424
456
456
424
456
424
424
456
j) nos quadrados mágicos puros: total de ocorrências do número 11 em todos os elementos:
456
424
424
456
424
456
456
424
424
456
456
424
456
424
424
456
Pode-se observar que a soma dos 2 primeiros elementos e dos 2 últimos elementos de linha ou coluna é sempre igual a 880.
Por analogia a partir dos valores do ítem f, pode-se deduzir os quadros de totais dos demais números.
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GERAÇÃO DE QUADRADOS MÁGICOS
Tratando um QUADRADO MÁGICO como uma matriz podemos aplicar operações elementares e geração de transposta.
O QUADRADO MÁGICO base foi gerado por um algoritmo que utiliza as fórmulas de cálculo dos elementos (itens 5 e 6 da página 3
deste texto) e completa os demais valores considerando as fórmulas básicas do
QUADRADO MÁGICO (somas de cada linha, de
cada coluna e de cada diagonal igual a CONSTANTE do QUADRADO MÁGICO) e suas particularidades (soma dos cantos, do
quadrado central (4 elementos), quantidade de números pares por linha e coluna, etc.
O QUADRADO MÁGICO do exemplo tem todos os quadrados dos cantos (4 números) com soma igual a 34. Neste caso obtivemos,
por meio das operações com matrizes, 31 outros QUADRADOS MÁGICOS, totalizando 32 para esse caso.
10
3
15
6
5
16
4
9
8
13
1
12
11
2
14
7
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linhas
2e3
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3
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5
4
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9
8
1
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11 trocar 10 8 5
14 colunas 15 1 4
2e3
2
3 13 16
7
6 12 9
11
14
2
7
trocar
linhas
2e3
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3
15
6
8
13
1
12
5
16
4
9
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2
14
7
trans
posta
10
5
8
11
3
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13
2
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4
1
14
6 trocar 10 15
9 colunas 5 4
2e3
12
8 1
7
11 14
3
16
13
2
6
9
12
7
trocar
linhas
2e3
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5
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4
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2
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7
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linhas
1e4
6
3
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10
9
16
4
5
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12
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7 trocar 6 12 9
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2
3 13 16
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10 8 5
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posta
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4
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10 trocar 6 15
5 colunas 9 4
2e3
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12 1
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7 14
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1
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3
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10 trocar 11 8 5
15 colunas 14 1 4
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2 13 16
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7 trocar 11 14
9 colunas 5 4
2e3
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16
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3
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linhas
2e3
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linhas
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4
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5
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1
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8
6 trocar 7 12 9
15 colunas 14 1 4
2e3
3
2 13 16
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11 8 5
6
15
3
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trocar
linhas
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5 colunas 9 4
2e3
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10
6 15
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trocar
linhas
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trocar
linhas 1 e 4
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trocar
linhas
2e3
trocar
colunas
1e4
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2
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7
trans
posta
Em casos especiais (em todas as linhas os dois
elementos centrais e os dois cantos somam 17)
2
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7
12
podemos trocar os dois elementos centrais das
linhas e das colunas de contorno, sem alterar
os valores do quadrado central. Exemplificando:
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12
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BRINCAR E APRENDER, UMA BOA FORMA DE DESENVOLVER-SE.
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QUADRADO MÁGICO - ORDEM 4
QUADRADOS DE ORDEM 4 NÃO PUROS OU IMPERFEITOS
Uma maneira de gerar quadrados não puros é utilizar uma sequência que comece por um número diferente de 1. Também
podemos utilizar séries ou progressões aritméticas com razão diferente de 1.
Para o cálculo da CONSTANTE do quadrado não puro, utiliza-se a mesma fórmula dos QUADRADOS MÁGICOS.
Os valores do quadrado central (4 elementos) podem ser referenciados aos 4 elementos centrais da série e algumas
particularidades do QUADRADO MÁGICO PURO podem não ser satisfeitas.
EXEMPLOS
1) Para a série: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 e 32.
Se fizermos a correspondência com a série do QUADRADO
teremos: 1 2 3 4
5
6
7
8
MÁGICO
9 10 11 12 13 14 15 16
8
11
10
5
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32.
Então é só substituir os números respeitando a ordem de
15
1
4
14
2
16
13
3
NÃO PURO (K=68)
9
6
7
12
16
22
20
10
30
2
8
28
4
32
26
6
18
12
14
24
correspondência.
2) Para a série: -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
MÁGICO
8
15
2
9
11
1
16
6
10
4
13
7
5
14
3
12
IMPERFEITO (K=2)
0
7
-6
1
3
-7
8
-2
2
-4
5
-1
-3
6
-5
4
Estamos no exemplo 2, usando um outro QUADRADO MÁGICO como base ou referência.
Podemos concluir duas regras:
1) Quando multiplicamos por um mesmo número todos os números de um QUADRADO MÁGICO, geramos um quadrado não puro
com K igual ao do QUADRADO MÁGICO multiplicado pelo número.
No exemplo 1: K do QUADRADO MÁGICO=34 ; K do quadrado não puro=68
Conferindo: (34x2)=68
2) Quando somamos um mesmo número a todos os números de um QUADRADO MÁGICO, geramos um quadrado não puro com
K igual ao do QUADRADO MÁGICO mais o produto da ordem pelo número somado.
No exemplo 2: K do QUADRADO MÁGICO=34 ; K do quadrado não puro=-3
Conferindo: (34+4(-8))=34-32=2
GENERALIZAÇÃO
As regras acima valeram para os quadrados imperfeitos ou não puros de ordem 3 e 4. Podemos pensar, por analogia, que as
mesmas valem para os quadrados imperfeitos das ordens seguintes: 5, 6, etc.
ATUALIZADO: mai/2013
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QUADRADO MÁGICO - ORDEM 4
ALGORITMOS PARA PROGRAMAÇÃO FORTRAN
Os dados acima foram obtidos por meio de dois algorítmos diferentes.
O primeiro bastante elementar e demorado, mas seguro por utilizar o mínimo de comandos de condições. Ele foi construído
associando-se cada uma das posições do QUADRADO MÁGICO a um comando de repetição. Em cada estrutura a partir da
segunda, por meio de comandos de decisão eliminam-se os números já gerados nos comandos de repetição anteriores.
As verificações do valor da CONSTANTE serão feitas a partir do comando de repetição que complete uma linha ou coluna ou
quadrado central ou cantos.
O número de quadrados gerados e não MÁGICOS PUROS é muito grande (bom teste para especificar variáveis INTEGER*8) e isto
torna o algorítmo lento. Para completar a tarefa, no meu ambiente computacional, o tempo foi aproximadamente 90 minutos.
Então, um segundo algorítmo foi desenvolvido utilizando-se as relações aritméticas entre os elementos, as ocorrências de números
pares e ímpares, sempre satisfazendo as condições básicas dos QUADRADOS MÁGICOS ou seja satisfazendo a CONSTANTE.
Este algoritmo executa a tarefa, no mesmo ambiente computacional em, aproximadamente, 12 segundos ou em 6,94 segundos. No
primeiro caso o programa mostra, no vídeo, todos os 7040 resultados e gera o arquivo em disco. No segundo somente gera o
arquivo em disco. Também é um bom exercício para utilizar os comandos de DATA, TEMPO e CLOCK (relógio do sistema).
O tempo acima melhorou bastante, mas ainda é possível especificar um algoritmo com execute com um tempo menor.
DESAFIOS
1) Complete os QUADRADOS MÁGICOS PUROS de acordo com a quantidade de soluções possíveis.
a)
b)
9 16
13 4
4
8
12
c)
14
7
1
9
16
9
e)
13 16
2 soluções
15
1 solução
9
2 soluções
1
8
15
10
14 7
3 10
10
3
f)
14
11
10
1 solução
d)
16 soluções
10 soluções
2) Não existe QUADRADO MÁGICO PURO com os valores indicados. Indique qual é ou quais são as impossibilidades.
a)
7
16 4
9
2
b)
c)
d)
7
6
8 10
7 12 4
ATUALIZADO: mai/2013
13
e)
11
13
6
2
4
9
3
6
4
11
8
f)
5 11
7
2
16
16
1
15
9
8
olenzi @ orlandolenzi . eng. br
BRINCAR E APRENDER, UMA BOA FORMA DE DESENVOLVER-SE.