Matemática- 2008/09
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1. Se possível, dê exemplos de: (no caso de não ser possível explique porquê)
(a) Uma matriz do tipo 5
2; cujos elementos principais sejam 0.
(b) Uma matriz do tipo 3
5; cujo elemento na posição (4; 2) seja 5.
(c) Uma matriz de ordem três triangular inferior.
(d) Uma matriz triangular superior do tipo 3
4:
(e) Uma matriz coluna com três linhas e os elementos todos diferentes.
(f) Uma matriz de ordem dois simultaneamente triangular inferior e superior.
(g) Uma matriz diagonal não escalar e não nula de ordem 5.
(h) Duas matrizes de ordem 2, diferentes, mas cujos elementos da primeira linha e
da última coluna coincidam.
(i) Uma matriz que seja simultaneamente matriz linha e matriz coluna.
(j) Uma matriz triangular inferior cujos elementos não principais sejam todos não
nulos.
(k) Uma matriz escalar não diagonal de ordem três.
(l) Uma matriz de ordem quatro em que qualquer entrada (i; j) seja igual à entrada
(j; i) :
2. Diga, justi…cando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes a…rmações:
(a) Toda a matriz escalar é diagonal.
(b) Toda a matriz diagonal é escalar.
(c) Numa matriz triangular inferior qualquer elemento acima da diagonal principal
é zero.
(d) Numa matriz triangular superior qualquer elemento acima da diagonal principal
é diferente de zero.
(e) Uma matriz triangular superior nunca pode ser simultaneamente matriz diagonal.
(f) Existe um número in…nito de matrizes nulas.
(g) Uma matriz de ordem quatro com a entrada (2; 4) igual a
inferior.
1 pode ser triangular
(h) A matriz identidade de ordem 5 tem exactamente 20 entradas iguais a zero.
(i) É possível efectuar a soma de quaisquer duas matrizes.
(j) Qualquer que seja a matriz A do tipo m
A dá a matriz nula.
n existe uma matriz que somada com
(k) A soma de matrizes do mesmo tipo é uma operação comutativa, isto é, se A e
B são matrizes do tipo m n; A + B = B + A:
3. Em cada alínea determine matrizes A e B; diferentes, de ordem 4; cuja soma seja:
(a) O4
4
(b) I4
(c) A
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2
4. Considere a matriz
2
6
6
6
6
A=6
6
6
6
4
5
0
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
6
19
9
0
0
0
0
14
8
9
6
0
0
0
9
14
9
7
8
0
0
14
14
4
6
1
5
0
4
6
3
9
9
7
8
10
1
12
2
10
2
9
3
7
7
7
7
7
7
7
7
5
(a) Diga qual o tipo da matriz A:
(b) Sabendo que A = [aij ] ;indique o valor do elemento a58 :
(c) Diga qual a posição ocupada pelo elemento com o valor 19:
(d) Calcule a soma dos elementos da segunda linha.
(e) Calcule a soma dos elementos da sétima coluna.
(f) Escreva a matriz transposta da matriz A:
(g) A matriz A é triangular? Porquê?
5. Considere as matrizes:
2
3 1
4
A= 1 1
0 1
0
1
1
3
2
2
2 5;B = 4
0
(a) Sabendo que A = [aij ]3
4
1 0
1 2
2 2
; B = [bij ]3
(i) a12 ; a21 ; b34; c33 e b24 :
(iii) faij : i jg
(v) i e j tais que aij = bij = cij
(vii) ci(i+1) : i 2 f1; 2; 3g
(b) Determine:
(i) A + B
(iii) A + (C + B)
(v) (2A + 2B) + 2C
(vii)
( B)
4
1
1
4
3
2
2
2 5;C = 4
1
e C = [cij ]3
4
0
2
2
0
2
2
; indique:
(ii) fcii : i 2 f1; 2; 3gg :
(iv) fbij : i < jg
(vi) fcij : i = jg
(viii) i e j tais que bij =
(ii) (A + B) + C
(iv)
A B
(vi)
B
1
(viii) C
2
T
(x) A + B T
(ix) AT
1 T
(xi)
C
(xii) AT + B T
2
(c) Resolva em ordem a X as equações:
(i) A + X = O3 4
(ii)A 2X = X B:
T
1
1
1
1
3
2
1 5
1
Matemática- 2008/09
3
6. Determine, em cada alínea, a matriz A = [aij ]p
(a) p = 7; m = 3; aij = i + j:
8
< 1;
2;
(b) p = 3; m = 4; aij =
:
3;
8
< 3;
1;
(c) p = 3; m = 3; aij =
:
0;
(d) p = 4; m = 5; aij =
(e) p = 2; m = 4; aij =
2
1
2
4
7. A matriz A = 4
(
se i + j = 4
se i + j é múltiplo de 3 :
restantes casos
1; se i = 1
1)j ; se i 6= 1
( 1)i+j+1 (2i
a(i
1)j
j) ; se i = 1
+ 1; se i = 2
3
4
8 5 é:
16
3
6
12
A = [aij ]3
4
tal que ai;j =
i;
( 1)i+j 2ai;(j
A = [aij ]4
3
tal que ai;j =
j;
( 1)i+j 2a(i
A = [aij ]4
3
tal que ai;j =
i;
( 1)i+j 2ai;(j
A = [aij ]3
4
tal que ai;j =
j;
( 1)i+j 2a(i
8. Se A = [ai;j ]4
2
1
4
A= 2
3
2
6
A=6
4
2
A=4
2
1
6 2
A=6
4 3
4
3
tal que ai;j =
2
4
6
4
8
12
1
2
4
8
2
4
8
16
1
2
4
2
4
8
2
4
6
8
3
8
16 5 :
24
3
3
6 7
7:
12 5
24
por:
se i + j > 3
se i + j = 3 .
se i + j < 3:
2a(i
2
4
8
m de…nida
j;
( 1)i+j 2ai
3
3
4
6
8 5:
12
16
3
4
8 7
7:
12 5
16
:
se j = 1
:
6 1
1) ; se j =
se i = 1
:
6 1
1);j ; se i =
se j = 1
:
6 1
1) ; se j =
se i = 1
:
6 1
1);j ; se i =
se i = 1
, então:
6 1
1;j ; se i =
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9. Diga, justi…cando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes a…rmações:
(a) É possível efectuar o produto de quaisquer duas matrizes.
(b) O produto de matrizes quadradas da mesma ordem é comutativo.
(c) É possivel efectuar o produto de uma matriz não quadrada pela sua transposta.
(d) Uma matriz e a sua transposta nunca são matrizes do mesmo tipo.
10. Se possível dê exemplos de:
(a) Duas matrizes, não quadradas, cujo produto seja uma matriz de ordem 3.
(b) Uma matriz simétrica A = [aij ] ; de ordem 4, tal que a12 = 5 e a21 = 2:
(c) Uma matriz A = [aij ] ; de ordem 3, tal que A =
AT :
(d) Uma matriz triangular superior e simétrica, não nula, de ordem 4.
(e) Duas matrizes A e B, de ordem 3, tais que AB = BA:
11. Se A =
1
1
3
1
1
1
3
2
3
eB=
0
1
1
3
2
3
1 1
; então AB T é igual a:
1 0
1
1
3
1 0
1
1
3
12. Considere as matrizes de elementos reais:
2
2
3
1 2
1 0
6
1 2
3
1 1 5;C = 6
A=
;B = 4 1 1
4
0 2
1
2 1
0 2
Determine, quando seja possível:
(a) AB
(e) BC
13. Considere as
2
1 1
4
A= 1 1
1 1
(b) AE
(f) A (BC)
1 0
1
1
3
3
2
1 7
7 ; D = C T ; E = I2 :
2 5
3
(c) EA
(g) DDT
(d) (AB) C
(h) DT D
matrizes de elementos reais:
3
2
3
2
3
2
1
1
0
2
1 1 1
0
5
4
5
4
5
4
1 ;B =
0
1
2 ;C = 1 1 0 ;D = 0
1
1
1
0
1 0 0
1
Calcule:
(a) AB
(f) DC
(l) A (B + C)
0
1
1
3
1
1 5
0
(b) BA
(g) A (2B)
(m) (BC) D
(c) AC
(d) BAAC
(e) CD
(h) ( A) ( B) (i) ( 2A) (3B)
(j) (A + D) C
(n) B T B
(o) BB T
(p) B 2
8
se i = j
< 1;
2;
se i 6= j e i + j é par
14. Considere as matrizes A = [aij ]3 4 ; em que aij =
;
:
i + j; se i 6= j e i + j é ímpar
2
3
1
2
1 3
4
1
0
1
0 5:
eB=
2
1
0 1
Se possível, determine: (a) A
2B:
(b) AB:
(c) AB T :
Matemática- 2008/09
5
2 0
,B =
1 0
e a seguinte lista de a…rmações:
15. Considere as matrizes A =
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
0 0
8 1
0 0 0
2 1 1
1 2
;C =
É possível efectuar o produto BC T :
(AB)C = A (BC) :
A2 B = O 2 5 :
A soma A + BB T está de…nida.
Assinale qual a lista correcta das a…rmações verdadeiras:
(i), (ii), (iii) e (iv)
(ii), (iii) e (iv)
(ii) e (iv)
16. Se A =
"
1
1
3
1
2
1
5
1 2
, então A
3 5
#
"
1
1
1
2
3
5
#
"
5
2
3
1
p
3
2
1
2
1
1
2
18. Se A é uma matriz de ordem n; invertível, tal que A2 =
1
=
A
A
19. Considere matrizes n
B
2
2 2 2
h
1
= A2
A
1
1
p2
3
2
#
:
"
:
#
"
3
BA
2
2
3
1
2
8
3
2
3
1
(a) A entrada (2; 3) de ( A) (2B) é
0
12
(b) A é uma matriz:
diagonal
triangular superior
(c) A inversa de B é
2
3
2
3
3
2
1
1
0
0
3 7
6 2
6
7
1 7
6 1 3
6 0 1 0 7
4 2 8
4
5
3 5
3
1
1
0
0
1
2
3
2
8 4 8
3
6
7
6 0 8 0 7
4
5
0 0 0
3
2
1
2
3
2
#
0
In , então:
=A
A
A
3
0 1
#
1 0
1
2
n, A e B; em que A é simétrica e invertível. Então
i
T
A 1
AB + AT + On n A
A=
7
6
6
7
6
20. Sejam A = 6
4 0 2 0 5eB=4
0 0 0
(d) A2 =
2
3
4 4 4
6
7
6 0 4 0 7
4
5
0 0 0
(ii) e (iii).
é:
17. Se A é uma matriz tal que A 1 = AT , então A pode ser:
"
#
" p
#
" p
3
3
1
1
1
2
2
2
A
1 0 1
1
= A3 .
AB
7
3 7
5
3
11
6
triangular inferior
2
6
6
4
11
8
2
9
2
9
2
1
3
7
3 1 7
5
0 29
2 0 0
3
6
7
6 2 2 0 7
4
5
2 0 0
2
escalar.
2
3
6
6 2
4
1
8
3
2
3
1
2
3
2
3
7
3 7
5.
3
4 8 4
3
6
7
6 0 4 0 7
4
5
0 0 0
T