unesp
Projeto Pró-Ciência/FAPESP
Prof. Dr. Elso Drigo Filho
Prof. Dr. José Roberto Ruggiero
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS)
Objetivo:
Observar as principais características do MHS e através do período de um
pêndulo simples determinar a aceleração da gravidade.
Teoria:
Alguns movimentos encontrados na Natureza são repetitivos ou periódicos.
A característica fundamental destes movimentos é retornar a sua condição inicial
de tempos em tempos. O tempo gasto para realizar um ciclo completo é chamado
de período (T). Como exemplo deste tipo de movimento pode-se destacar o
movimento planetário, um pêndulo e um corpo preso a uma mola oscilando.
O MHS corresponde a um movimento de oscilação com período constante.
O pêndulo simples, constituído de uma linha com uma extremidade fixa e uma
massa presa à outra, quando oscila com pequena amplitude descreve um MHS.
Pode-se estudá-lo usando as leis de Newton.
A solução das equações acima, considerando que a aceleração a depende
do ângulo θ e que este é pequeno (cos θ ≈ 1 e sen θ ≈ θ), é:
θ = θo sen (w t + δ)
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onde
w=
g
L
é
a freqüência angular do movimento, θo é a amplitude (valor
máximo do ângulo) e δ é uma fase inicial que é igual a zero quando a velocidade
inicial do pêndulo for zero. Lembrar que a posição S da massa está relacionada
com o ângulo (θ) e o comprimento do fio (L) pela própria definição de ângulo:
θ=
S
.
L
O período (T) de oscilação de pêndulo é igual ao tempo gasto para
completar um ciclo. A freqüência (f) do movimento corresponde ao número de
oscilações em um dado tempo fixo. Em outras palavras, a freqüência é dada pelo
inverso do período: f =
1
. A relação entre freqüência angular e período é
T
determinada sabendo-se que a função seno tem período 2π, assim: w.T = 2π, ou
seja, w =
2π
= 2π f .
T
Igualando as relações obtidas para a freqüência angular obtém-se que:
g 2π
=
L T
2
ou ainda
 2π 
g = L.  . Portanto, determinando o período T e o
 T
comprimento L é possível encontrar o valor da aceleração da gravidade local.
Experimento:
Propõe-se analisar o MHS efetuado por um pêndulo formado por uma linha
com uma massa atada a uma extremidade.
Um resultado interessante neste caso é que o período não depende da
massa nem da amplitude do pêndulo, isto pode ser verificado experimentalmente.
É importante lembrar que o resultado discutido é válido para pequenos
ângulos, até cerca de 20o as aproximações usadas são boas.
Fixando um comprimento, faz-se a medida do tempo necessário para uma
oscilação completa, ou seja, o período. Este tempo pode ser determinado medindo
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o tempo de um conjunto, sugere-se 10 oscilações, e é feita a média. Este
procedimento melhora os erros envolvidos na medida do período.
Com o valor do período e medindo o comprimento do pêndulo determina-se
o valor de g que pode ser comparado com o esperado (9,81 m/s2).
Observações:
1) Quanto maior o comprimento do fio maior será o período, desta forma melhor
será a precisão da medida dos tempos envolvidos. Além disto, a própria
visualização do movimento fica facilitada. Sugere-se um comprimento de mais
de 2 metros.
2) Cuidado caso use uma escada para medir o comprimento do pêndulo.
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