X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
ANALISANDO QUESTÕES EM LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA DE
SÉRIES FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL, ACERCA DO RACIOCÍNIO
COMBINATÓRIO.
Ademilton Gleison de Albuquerque
Universidade Federal de Pernambuco
[email protected]
José Valério Gomes da Silva
Universidade Federal de Pernambuco
[email protected]
Resumo: O presente estudo tem como objetivo analisar nas atividades propostas de
raciocínio combinatório em livros didáticos de Matemática dos anos finais do Ensino
Fundamental aprovados no PNLD 2008 a presença dos tipos de problema (produto
cartesiano, arranjo, permutação, combinação), para atingirmos o objetivo foi mapeado as
questões, classificando e identificando uma possível evolução nas cinco coleções
analisadas. Tomamos como fundamentação teórica os estudos de Vernaud (1986),
Batanero (1997), Roa & Navarro (2001), Pessoa e Borba (2009) e outros que explicitam a
importância dessa temática. Inicialmente foram eleitas algumas variáveis de análise dentro
da disciplina de Tópicos de Ensino da Estatística e Probabilidade, no 2º semestre de 2009
do curso de pós graduação em Educação Matemática e Tecnológica - EDUMATEC, onde
em duplas, organizou-se um banco de dados na plataforma moodle, partindo desse banco
de dados, cada equipe definiu seu objeto de pesquisa. Cruzando os dados observou-se de
forma conclusiva que não existe uma distribuição homogênea dos tipos de problemas nas
coleções analisadas.
Palavra - chave: Livro Didático; Raciocínio Combinatório; Arranjo; Combinação;
Permutação.
1.INTRODUÇÃO
Como apontado por Inhelder e Piaget (1955) para o desenvolvimento do raciocínio
lógico matemático de alunos, a combinatória desenvolve papel importante. Várias
pesquisas (Godino e Batanero, 2005; Esteves, 2001; Roa e Navarro-Nelayo, 2001) indicam
que uma forma de simplificar a abordagem no Ensino Médio seria começar o trabalho com
análise combinatória nas séries iniciais de maneira não sistematizada. Os alunos que
apresentam maiores dificuldades com relação ao tema são os que nunca tiveram contato
com o conteúdo desde as séries iniciais. Com isso é proposto pelos PCNS do ensino médio
que:
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Os Parâmetros Curriculares Nacionais destacam, entre outros
conteúdos, o papel importante do raciocínio combinatório na formação
dos alunos do Ensino Médio. As habilidades de descrever e analisar um
grande número de dados, realizar inferências e fazer predições com base
numa amostra de população, aplicar as idéias de probabilidade e
combinatória a fenômenos naturais e do cotidiano são aplicações da
Matemática em questões do mundo real que tiveram um crescimento
muito grande e se tornaram bastante complexas. Técnicas e raciocínios
estatísticos e probabilísticos são, sem dúvida, instrumentos tanto das
ciências da Natureza quanto das Ciências Humanas. Isto mostra como
será importante uma cuidadosa abordagem dos conteúdos de contagem,
estatística e probabilidades no Ensino Médio [...]
(BRASIL, 1998, p.257).
O conceito de combinatória nos Livros Didáticos, ao longo dos anos, em sua
maioria, se apresenta de forma “mecânica”, causando por vezes um distanciamento desses
conteúdos pelos professores e conseqüentemente pelos alunos. Tais dificuldades têm
gerado discussões em meios acadêmicos chegando a caracterizar novas abordagens para o
ensino do campo: Tratamento da Informação, particularmente, para o ensino da
combinatória. Como apresentado por Rufino e Silva (2004):
A maneira mecânica e limitada como vem sendo apresentado o conceito
de Combinatória, assim como em outros campos do conhecimento, têm
promovido, em geral temor ou desagrado ao invés de satisfação e
interesse para grande parte dos alunos e professores. Tais dificuldades
têm impulsionado discussões que chegam a caracterizar novas maneiras
que podem ser usadas para reformular o ensino de Matemática como um
todo, mais especificamente, o de Combinatória.
Outro aspecto discutido nas academias é que no ensino fundamental não são
explorados adequadamente os princípios aditivo1 e multiplicativo2 e no ensino médio o
raciocínio combinatório fica limitado na aplicação das fórmulas de arranjo3, permutação4 e
combinação5.
1
Princípio Aditivo - Suponha que A e B são dois conjuntos disjuntos, se o conjunto A pode realizar-se de m maneiras e o
conjunto B de n maneiras, então o conjunto A ou o conjunto B poderá realizar-se de m + n maneiras distintas. (Merayo,
2001).
2
Princípio Multiplicativo - Seja C um conjunto que possa ser decomposto em duas etapas sucessivas A e B
independentes entre si, suponhamos que a etapa A possa se realizar de m maneiras, e que a B possa se realizar de n
maneiras independentes de qual seja o resultado obtido na etapa A. Então, o conjunto poderá se realizar de m x n
maneiras distintas seguindo todas as formas possíveis das duas etapas citadas. (Merayo, 2001).
3
Arranjo de n elementos tomados p a p, onde n ≥ 1 e p um número positivo tal que 1 ≤ p ≤ n, são todos os grupos de p
elementos distintos, que diferem entre si pela ordem e pela natureza dos p elementos que compõem cada grupo. (Santos,
1995 p. 42)
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Os PCNs apresentam a importância de se desenvolver o raciocínio
combinatório em alunos do Ensino Médio. De acordo com as
experiências das autoras é comum o ensino desse conteúdo através
de fórmulas e padrões, porém essas formas nem sempre garantem
uma aprendizagem significativa. Assim se faz necessário romper
com essa forma tradicional de ensino
(Almeida; Ferreira, 2008).
Esta pesquisa objetiva classificar e analisar atividades propostas de raciocínio
combinatório, extraídas de coleções de livros didáticos de matemática das séries finais do
Ensino Fundamental aprovados no PNLD/2008, a classificação é dada em função dos tipos
de problema (produto cartesiano, arranjo, permutação, combinação) e como essa temática
vem sendo tratada nos volumes da coleção.
Para atingirmos os objetivos da pesquisa partimos da hipótese de que os tipos de
problemas com raciocínio combinatório não são bem distribuídos ao longo dos volumes
nas coleções de livros didáticos, privilegiando apenas alguns tipos de problemas, em
detrimento a outros raciocínios que ao invés de se tornarem mais elaborados de um ano
para o outro tendem a desaparecer. Pensando nisso pretendemos responder a seguinte
questão: Quais os tipos de problemas que envolvem o raciocínio combinatório nos livros
didáticos de matemática das séries finais do Ensino Fundamental aprovados no PNLD
2008 e como eles evoluem ao longo das coleções?
No decorrer desse artigo é apresentada a análise de cinco coleções didáticas de
matemática, fazendo um apanhado criterioso de todas as questões que envolvem raciocínio
combinatório, destacando os tipos de problemas e por fim explicitando como essa temática
vem sendo tratada ao longo dos volumes.
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA:
A Análise Combinatória é um dos núcleos centrais da matemática discreta
e
parte importante da Probabilidade. Hadar e Hadass (1981 apud ROA e NAVARROPELAYO, 2001) destacando as dificuldades dos alunos ao resolver problemas
combinatórios e pontuando tais problemas da seguinte forma:
- Dificuldade em reconhecer o conjunto correto a enumerar;
4
Uma permutação de n objetos distintos é qualquer agrupamento ordenado desses objetos. (Santos, 1995 p.32)
Combinação de n elementos tomados p a p, onde n ≥ 1 e p um número natural tal que 1≤ p ≤ n, são todas as escolhas
não ordenadas de p desses n elementos. (Santos, 1995 p. 46).
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- Escolher uma notação apropriada, o que é agravado com diferentes textos utilizando
diferentes notações;
- Fixar uma ou mais variáveis;
- Generalizar a solução.
Algumas pesquisas trabalham acerca da divisão dos tipos de problemas que
envolvem o raciocínio combinatório. Segundo Pessoa (2006), os problemas de raciocínio
combinatório estão divididos em: Produto Cartesiano, Permutação, Arranjo e Combinação
cujas definições foram apresentadas na Introdução dessa pesquisa segundo Santos (1995).
Baseando-se na classificação de Pessoa (2006) consideramos nesse artigo que os
tipos de problemas de arranjo com repetição, permutação com repetição e combinação com
restrição estão respectivamente inseridos em arranjo, permutação e combinação.
Os exemplos abaixo ilustram cada tipo de problema.
Exemplo 1: Tipo de problema: Produto cartesiano.
Fonte: Coleção Construindo consciências, volume 6, p.61.
Exemplo 2: Tipo de problema: Arranjo.
Fonte: Coleção Matemática em movimento, volume 9, p.15.
Exemplo 3: Tipo de problema: Permutação.
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Fonte: Coleção Matemática na Medida Certa, volume 6, p.9.
Exemplo 4: Tipo de problema: Combinação.
Fonte: Coleção Matemática Hoje é Feita Assim, volume 6, p.39.
Os exemplos acima é um recorte das coleções analisadas. Estudos como: Pessoa e
Borba (2009) contribuíram para construção de estratégias utilizadas por alunos do 6º ao 9º
ano, na resolução de problemas envolvendo raciocínio combinatório (produto cartesiano,
arranjo, permutação e combinação); Roa e Navarro-Pelayo (2001), de acordo com o
tamanho da resolução, as dificuldades em relação aos problemas aumentam.
Eizenberg e Zaslavsky (2002) ressaltam importância do domínio conceitual de
combinatória no dia a dia das pessoas e nas suas práticas profissionais, deixando clara a
relação dessa temática com outras áreas (genética, computação, estatística).
Para Vergnaud (1986) a construção de um conceito só ganha sentido para o aluno a
partir de sua experiência com a variedade de situações, que raramente podem ser
entendidas com base em um conceito isolado, e nem tampouco, um conceito se restringe a
única situação.
Diante dos estudos mencionados acima, nota-se a importância da temática
“raciocínio combinatório” onde são destacadas em algumas falas, as dificuldades dos
alunos ao resolverem problemas de raciocínio combinatório, a classificação dos tipos de
problemas, estratégias utilizadas pelos alunos na resolução de problemas, a relação do
raciocínio combinatório com outras áreas de conhecimentos e a construção conceitual com
a finalidade subsidiar os autores de livros didáticos no que diz respeito ao capítulo de
tratamento da informação e probabilidade.
3. OBJETIVOS:
3.1 Geral:
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Analisar nas atividades propostas de raciocínio combinatório em livros didáticos de
matemática dos anos finais aprovados no PNLD/2008 a presença dos tipos de problema
(produto cartesiano, arranjo, permutação, combinação).
3.2 Específicos:
- Mapear as atividades propostas que envolvam o raciocínio combinatório;
- Classificar as atividades propostas de raciocínio combinatório em produto
cartesiano, arranjos, permutação e combinação;
- Identificar sua evolução ao longo das coleções dos anos finais do ensino
fundamental
4. METODOLOGIA:
Esta pesquisa surge do processo avaliativo da disciplina de Tópicos do Ensino da
Estatística e probabilidade – TEEP no segundo semestre de 2009, do programa de
Educação Matemática e tecnológica (EDUMATEC) da Universidade Federal de
Pernambuco - UFPE, ministrada pela professora Drª.Verônica Gitirana onde todos os
alunos da disciplina foram responsáveis por preparar um resumo de um artigo que tivesse
como
foco
o
raciocínio
combinatório
disponibilizando
na
plataforma
http://www.gente.pro.br/moodle , no intuito de termos uma espécie de arcabouço de
fundamentação teórica e revisão bibliográfica acerca desse tema.
Os alunos foram organizados em duplas e cada uma das duplas ficou responsável
pela análise de uma coleção didática de Matemática de séries iniciais ou finais aprovadas
pelo PNLD 2008 (séries finais) / PNLD 2010 (séries iniciais). A escolha das coleções foi
feita de maneira aleatória.
Um dos objetivos da atividade de análise foi fazer uma busca mapeando todas as
questões que envolvessem o raciocínio combinatório nessas coleções, posteriormente
analisando essas questões por Critérios e Categorias a serem utilizadas em função das
variáveis de identificação da atividade (coleção, volume, página, atividade), e variáveis de
análise (tipo de problema, princípio aditivo, campo do saber onde aparece, tipo de
atividade que requisita, esquema utilizado para o aluno, esquema utilizado na resolução
para o professor, quantidade de elementos selecionados, ordem de grandeza da quantidade
de possibilidades, contexto da atividade, indução ao erro, distratores, explicitação dos
dados, explicitação do tipo de problema, invariantes).
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Todos esses dados foram coletados de maneira compartilhada entre os alunos da
turma e colocados em um banco de dados virtual no google docs, sendo sistematizados
pela professora e disponibilizado para todos discentes da disciplina.
A etapa seguinte foi à escolha do objeto de pesquisa de cada dupla a partir das
variáveis envolvidas no banco de dados, tal escolha aconteceu de forma aleatória a partir
de uma lista de questões pré - estabelecidas. No que se refere ao recorte deste artigo,
busca-se analisar os tipos de problema (produto cartesiano, arranjo, combinação e
permutação) abordado em cinco coleções das séries finais do ensino fundamental.
Destacam-se abaixo as coleções analisadas:
AUTORES
1. BIGODE, A. J. L.
TÍTULO DA COLEÇÃO
EDITORAS
EDIÇÃO/ANO
Matemática Hoje é Feita Assim
FTD
2ª
(coleção I)
2. JAKUBOVIC,
LELLIS,
M.
C.
edição
atualizada/2006.
J.
Matemática na Medida certa
T
(coleção G)
Scipione
10ª edição/2007.
&CENTURIÓN, M. R.
3. LONGEN, A.
Matemática
em
Movimento
(coleção E)
4. SOARES,
E.
&
RIBEIRO, J. S.
5. SOUZA, M. H. S. &
Editora
do
1ª edição / 2006
Brasil
Construindo
Consciências
Scipione
1ª edição/2008.
Ática
2ªedição
Matemática (coleção F)
Matemática.(coleção H)
SPINELLI, W.
/1ªtiragem/2005.
Posteriormente é construído o cruzamento dos dados para produção de gráficos
usando-se como ferramenta o programa SPSS.
5. ANÁLISE DOS RESULTADOS:
A partir do cruzamento de algumas variáveis, foram construídos os gráficos que
seguem abaixo:
GRÁFICO:
TIPO
DE
PROBLEMA X COLEÇÕES
Tipo de problema
Significado
0
Produto cartesiano
1
Arranjo
2
Permutação
3
Combinação
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20
10
tipo com quatro
0
Count
1
2
3
0
E
F
G
H
I
Coleção de livros
Figura 1: tipos de problema x coleções
Como primeiro resultado de análise destaca-se o gráfico (tipo de problema x
coleção). Onde se faz uma relação do número de tipos de problemas (produto cartesiano,
arranjo, permutação e combinação) encontrados em cada coleção didática de matemática
(Matemática Hoje é Feita Assim, Matemática na Medida certa, Matemática em
Movimento, Construindo Consciências Matemática, Matemática).
Este processo de análise foi constituído com o uso do programa SPSS.
Considerando os tipos de problemas em função das coleções, concluímos que:
PRODUTO CARTESIANO: Se faz presente em três (E, G, H) das cinco (E, F, G, H, I)
coleções, com destaque na coleção G com maior número de questões e na coleção E, com
menor número de questões. Arranjo: Encontra-se quase na totalidade das coleções, quatro
(F, G, H, I) das cinco analisadas, com destaque na coleção F, com número bem reduzido de
questões.
Permutação: Esse tipo de problema se faz presente em três coleções (E, G, I), com ênfase
na coleção I pelo maior número de questões encontradas. Combinação: Por fim, os
problemas do tipo combinação expressa duas peculiaridades, se faz presente em todas as
coleções (E, F, G, H, I) e se destaca pelo maior número de questões em uma coleção (G)
dentre todas.
Os gráficos seguintes mostram a evolução dos tipos de problema ao longo dos
volumes nas cinco coleções analisadas:
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Figura 2: coleção E x tipos de problema
Figura 3: coleção F x tipos de problema
Figura 4: coleção G x tipos de problema
Figura 5: coleção H x tipos de problema
Figura 6: coleção I x tipos de problema
Figura 7: média x volumes das coleções
Observando todos os gráficos (Figuras 2,3,4,5,6) referente as cinco coleções
(E,F,G,H,I), destaca-se a ausência de um tipo de problema ao longo dos quatro volumes
(6º,7º,8º, 9º), como também, apenas na coleção G, especificamente no 8º ano, verifica-se os
quatro tipos de problemas presentes é coleção G que apresenta 16 questões de combinação
no 8º ano configurando-se o maior número entre as coleções e os tipos de problemas. Em
relação à figura 7 destacam-se os problemas do tipo (combinação) pela presença em todos
os volumes (6º, 7º, 8º, 9º) das coleções analisadas, com ênfase para o 8º ano das coleções
onde sua média do número de atividades supera a soma dos outros três anos em referência
a esse tipo de problema.
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6. CONSIDERAÇÕES FINAIS
De acordo com nossa análise, observamos que não existe uma sequência de
distribuição homogenia nos volumes de cada uma das cinco coleções analisadas, observase também que na maioria das coleções o quantitativo de questões por volume é pequeno e
em alguns casos o volume não contempla alguns tipos de problemas.
7. REFERÊNCIAS:
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ano do Ensino Médio. In: Anais do IX EBRAPEM , Goânia –GO, 2008.
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EIZENBERG, M. M. e ZASLAVSKY, O. Undergraduate student’s verification strategies
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ESTEVES, I
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Magina, S. Investigando os fatores que influenciam o raciocínio
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Mathematics, 60: 3–36, 2005.
INHELDER, B. e PIAGET, J. De la lógica del niño a la lógica del adolescente. (M. T.
Cevasco, Trad.). Buenos Aires: Paidos, 1972 (Trabalho original publicado em 1955).
MERAYO, F.. Matemática Discreta. Madrid: Paraninfo, 2001.
PESSOA, C. A; BORBA, R. E. Resolução de problemas de raciocínio combinatório por
alunos do 6º ao 9º ano. Anais do 19º Encontro de Pesquisa Educacional do Norte e
Nordeste (EPENN), João Pessoa - PB, 2009.
RUFINO, M. A. S. e SILVA, J. R. Resignificando o compreender e o fazer matemático a
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SANTOS, J. et al. Introdução à Análise Combinatória. São Paulo: UNICAMP, 1995.
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