Análise de Projectos
ESAPL / IPVC
Tempo, Capital, Juro e Taxa de Juro
Juros Simples e Juros Compostos
Capitalização e Factor de Capitalização
Desconto e Factor de Actualização
As aplicações do rendimento
Consumo
Não Geram
Rendimentos
Rendimento
Individual
Entesouramento
Poupança
Investimento
Geram
Rendimentos
Que conceito de Capital ?
z
z
z
z
Vimos anteriormente que do conceito de Capital se podem ter
várias ópticas, nomeadamente:
z Jurídica
z Financeira
z Económica ou Produtiva
Ainda que para os objectivos da disciplina a óptica mais
importante seja a económica ou produtiva, no âmbito deste
capítulo interessa-nos a óptica financeira.
Capital será aqui, então, todo o conjunto de meios líquidos,
cedidos durante um determinado espaço de tempo, produzindo
uma certa remuneração para o seu possuidor ou proprietário.
Transitoriamente é esta a noção de capital que nos interessa, ou
seja, vista na perspectiva das aplicações dos rendimentos
individuais, interessa-nos a poupança que é aplicada e que
assim se torna produtiva (sob o ponto de vista financeiro).
Tempo
z
z
z
O tempo refere-se ao prazo durante o qual o
capital é aplicado.
Devemos analisá-lo numa base periódica, ou
seja, sob um ponto de vista parcelar, dividido
em espaços de tempo mais curtos ou mais
longos – os espaços aos quais é referida a
remuneração do capital.
Cada um destes espaços é considerado
como uma unidade de tempo e denomina-se
período. Teremos pois períodos anuais,
semestrais, trimestrais, etc.
Juro
z
z
z
z
O juro não é mais que a remuneração
recebida, em contrapartida da cedência do
capital.
No fundo, é o preço de uso, temporário ou
definitivo, do capital alheio.
Representa o montante de valores líquidos
criados por um dado capital.
Na prática: dinheiro gera dinheiro.
Taxa de Juro
z
z
z
z
z
C
C+J
t
t+1
…
t+n
Considere-se um capital C aplicado num dado momento t;
Ao fim de um período, no espaço que vai de t a t+1, esse capital vence juros (J);
Esse juro faz com que o capital C sofra um acréscimo e se transforme, no momento
t+1, em C+J.
C+J é superior a C, uma vez que J>0.
1
1+i
t
t+1
…
t+n
Se considerarmos C=1, ao acréscimo de valor i que vai transformar o capital unitário
inicial no capital 1+i, chamamos de Taxa de Juro. Ela é portanto o acréscimo sofrido
por uma unidade de capital, aplicada durante uma unidade de tempo.
Taxa de Juro e Capitalização
z
z
z
z
Na prática, a taxa de juro costuma ser referida a
100 unidades de capital, visto ser usual apresentála na forma de uma percentagem.
Assim, dizer que uma taxa de juro é de 5% ao ano
significa que durante um ano 100 unidades de
capital produzem 5 unidades do mesmo, sob a
forma de juro.
Note-se portanto que Juro e Taxa de Juro são
conceitos distintos.
O vencimento de juros, ou seja, o incremento do
valor dum capital à medida que o tempo vai
decorrendo, representa a Capitalização. A
capitalização consiste assim num processo de
acumulação de capital ou de produção de juros.
Desconto e Taxa de Desconto
z
z
z
z
O desconto é o fenómeno inverso da capitalização e corresponde a uma redução do
valor do capital durante um determinado espaço de tempo.
Considerando o capital (C) no momento t, o desconto (D) constitui a redução desse
capital durante o período compreendido entre t-1 e t.
O desconto transforma o capital (C) referido a um dado momento t, num capital
inferior (C-D), referido a um momento anterior ao dado (t-1). Note-se que D>0.
C-D
C
C+J
t-1
t
t+1
…
t+n
À semelhança da taxa de juro, pode-se definir Taxa de Desconto (d) como sendo a
redução sofrida por uma unidade de capital descontada durante uma unidade de
tempo. Adiante veremos a extrema importância deste conceito na análise de
investimentos
1-d
1
1+i
t-1
t
t+1
…
t+n
Valor Actual e Valor Acumulado
C0
0
z
z
z
z
z
C0
Ct
Jt
t
…
t+n
Considerando o momento 0 como o momento de referência (representando a data
em que nos situamos para efeitos de cálculos) na contagem do tempo. Aí, o capital
tem o valor C0.
O capital C0 no decurso do tempo irá transformar-se no capital Ct que corresponderá
ao seu valor inicial acrescido do juro vencido no espaço de tempo entre 0 e t.
Diz-se que Ct é o valor acumulado ou capitalizado de C0 no momento t.
Diz-se que C0 é o valor actual, actualizado ou descontado no momento 0 do
capital Ct.
Normalmente designa-se por valor actual o valor do capital no momento de
referência. Em contrapartida, o valor acumulado ou capitalizado será o valor
dum capital num momento posterior ao momento de referência. Inversamente
teremos o valor descontado.
Regimes de Capitalização
z
z
z
Entende-se por regime de capitalização o processo pelo qual se vai
fazer a liquidação dos juros do capital aplicado.
Os juros produzidos dependem de dois factores: eles são função do
tempo e são função do capital.
Esta ligação tempo / capital é responsável pela distinção entre dois
processos de capitalização:
z
z
Um primeiro processo que pressupõe que o juro é dado apenas em
função do tempo, isto é, para o mesmo capital inicial é constante o juro
produzido em cada unidade de tempo: estamos perante o regime de
juro simples;
Um segundo processo que pressupõe que o juro é dado em função do
tempo e do capital, ou seja, além do capital inicial o juro vencido em
cada unidade de tempo passa imediatamente a vencer juros nas
unidades de tempo posteriores: estamos perante o regime de juro
composto.
Regime de Juro Simples
z
z
C0
C0
C0
C0
0
1
2
3
j1
j2
j3
Capital a
vencer juros
C0
…
t
jt
tempo
Juros
vencidos
Os juros são excluídos do processo de capitalização
após o vencimento.
O capital que vence juros mantém-se constante.
Regime de Juro Composto
z
z
C0
C1
C2
C3
0
1
2
3
j1
j2
j3
Ct
…
t
jt
Capital a
vencer juros
tempo
Juros
vencidos
Os juros vencidos em cada momento são
imediatamente incorporados no processo de
capitalização.
C1=C0+j1; C2=C1+j2; C3=C2+j3 … Ct=Ct-1+jt
Juro Simples
z
z
z
z
Neste regime de juros, sendo constante o capital no início de cada período,
é também constante o juro vencido em cada período.
Como referimos, isto ocorre porque o juro vencido sai do processo de
capitalização.
Há portanto uma proporcionalidade directa entre o juro de qualquer período
(j0) e o capital inicial (C0). É constante a relação j0/C0, qualquer que seja o
período.
Seja:
Neste caso, e como havíamos visto
z C0 =1
anteriormente, por definição j0=i (taxa de juro).
z t=1
z
z
j0 = juro produzido
Então j0=i ou j0/1=i. Mas como C0=1, podemos escrever
j0
=i
C0
expressão que nos permite calcular, em regime de juro simples,
a taxa de juro em função do capital e do juro periódico.
Juro Simples (contin.)
z
Da expressão anterior podemos deduzir que:
j0 = C0i
z
expressão que nos permite calcular o juro periódico vencido
pelo capital C0 aplicado em regime de juro simples, à taxa de
juro i.
Facilmente se depreende que o juro vencido durante t unidades de tempo
será dado por:
t j0 = t C0 i ou, fazendo t j0 = J t
J t = t C0 i
expressão do juro vencido durante t períodos, pelo capital C0 ,
à taxa de juro i.
Juro Simples (contin.)
z
Admitamos que o capital C0 foi aplicado no momento 0, em regime de juro
simples, durante o prazo t e vencendo juros à taxa i:
C1 = C0 + j1 = C0 + j0
C2 = C1 + j2 = C0 + j0 + j0 = C0 + 2 j0
C3 = C2 + j3 = C0 + 2 j0 + j0 = C0 + 3 j0
L
L
Ct = Ct −1 + jt = C0 + (t − 1) j0 + j0 = C0 + t j0
isto é
Ct = C0 + t j0
mas como
t j0 = J t = t C0 i
temos que
Aquele capital vai sofrendo
incrementos sucessivos de valor,
à medida que os juros se vão
vencendo. Não esqueçamos
contudo que esses juros não
entram no cálculo dos juros dos
períodos subsequentes.
Ct = C0 + t Co i
ou o que é o mesmo que
Ct = C0 (1 + i t )
Fórmula geral de capitalização em regime de juros
simples que permite relacionar o capital no momento
0 com o capital no momento t.
Juro Simples (contin.)
z
É possível provar que Jt = Ct – C0
na verdade ,
J t = t C0 i
mas como
Ct = C0 (1 + t i) = C0 + t C0 i
substituin do :
Ct = C0 + J t
ou
J t = Ct − C0
z
Outras expressões interessantes:
Ct − C0
Ct − C0
Jt
Jt
Ct
i=
t=
i=
t=
C0 =
t C0
i C0
t C0
i C0
1+ i t
Juro Composto
z
z
z
Ao contrário do que acontece em regime de juro simples, o juro produzido em cada
período de capitalização não é constante.
O juro vencido é integrado de forma contínua no processo de capitalização,
tornando-se portanto crescente. O juro vencido num período também vence juro nos
períodos seguintes.
Admita-se que foi aplicado, em regime de juro composto, o capital C0 à taxa de juro i:
C1 = C0 + j1 = C0 + C0 i = C0 (1 + i )
C2 = C1 + j2 = C1 (1 + i ) = C0 (1 + i ) 2
C3 = C2 + j3 = C2 (1 + i ) = C0 (1 + i ) 3
L
Ct = Ct −1 + jt = Ct −1 (1 + i ) = C0 (1 + i ) t
Ct = C0 (1 + i )
t
Representa a fórmula geral de capitalização em regime de juro
composto. Na sua forma directa permite calcular o capital
acumulado em função do capital inicial, da taxa e do tempo.
Juro Simples vs. Composto
z
a
pi t
Ca
C1
o–
lad
u
m
cu
la
l acu
Capita
J.
sto
po
m
co
o – J.
mulad
z
s
simple
z
C0
Capital inicial
0
1
2
tempo
São iguais os juros
produzidos ao fim do
primeiro período da taxa,
em ambos os regimes de
capitalização.
Para aplicações em
períodos inferiores ao da
taxa, é superior o juro
vencido em regime de juro
simples.
Para aplicações em
períodos superiores ao da
taxa é superior o juro
vencido em regime de juro
composto.
Juro Composto (contin.)
z
Outras expressões interessantes e úteis:
[
Jt = C0 (1+ i) t −1
]
Expressão que permite determinar o juro acumulado, ou o juro
de t períodos em função do capital inicial e da taxa.
jt = C0 (1 + i ) t −1 ⋅ i
Expressão que permite determinar o juro vencido no
t-ésimo período.
Ct
1
−t
C0 =
=
C
=
C
(
1
+
i
)
t
t
t
t
(1 + i )
(1 + i )
Expressão que permite calcular o capital inicial em função do capital acumulado ao
fim de t períodos e da taxa de juro. Trata-se no fundo de calcular o valor actual de
uma quantia futura (ao fim do tempo t) a uma determinada taxa de juro. Trata-se
também, como antes se referiu, de calcular o valor descontado ou actualizado de um
montante futuro.
Relação com a Análise de
Investimentos
z
z
z
z
Como já referimos antes, os projectos objecto de investimento devem obedecer ao
princípio económico que se traduz no máximo rendimento com o mínimo custo.
Para isso é preciso um estudo prévio que consiste em determinar se a corrente de
entradas (benefícios ou receitas) é superior à corrente de saídas (custos ou
pagamentos). A assim não ser, o projecto deve ser rejeitado. Não esqueçamos que
aqui estamos a assumir que os projectos são realizados com fins lucrativos.
Normalmente, na execução de um projecto de investimento, a corrente de entradas
produz-se em momentos de tempo distintos da corrente de saídas.
Admitindo que A é o investimento inicial, C1, C2, C3, …, Cn são as saídas e B1, B2, B3,
…, Bn são as entradas e n o período de vida do projecto, teremos então:
A
C2
C1
0
1
2
B1
Cn
C3
t
3
B2
B3
Bn
Relação com a Análise de
Investimentos (contin.)
z
Mas o dinheiro tem um valor que é variável com o tempo:
z
z
Um Euro na mão hoje, vale mais que um Euro a ser recebido em
qualquer momento no futuro.
Razões:
z
z
z
Porque esse Euro na mão tem, desde já, usos alternativos:
consumo agora versus consumo mais tarde; oportunidades de
poupança e de investimento, etc.
Porque vivemos num mundo onde há risco e incerteza e,
particularmente quando falamos de investimento, o risco e a
incerteza aumentam à medida que o futuro se torna mais distante.
Porque vivemos num mundo onde há inflação: muito provavelmente,
o Euro de hoje tem maior poder de compra que o Euro do futuro.
Relação com a Análise de
Investimentos (contin.)
z
z
z
z
Por conseguinte, não é igual que uma mesma quantidade de dinheiro esteja
disponível ou tenha de ser paga numa data ou noutra.
Para que isso seja possível, teremos de transformar essas quantidades em
quantidades equivalentes. Teremos de as homogeneizar.
Uma vez feito isso, será então possível fazer o estudo da rentabilidade de um
projecto.
Os procedimentos a seguir para conseguir esta homogeneização são precisamente
os anteriormente estudados:
z
Os montantes presentes ou actuais podem ser projectados num determinado
momento no futuro através do processo de capitalização, multiplicando-os pelo
chamado Factor de Capitalização (FC):
n
FC = (1 + i )
z
A transformação de valores futuros em quantidades equivalentes no presente
pode fazer-se mediante o processo de actualização, multiplicando-os pelo
chamado Factor de Desconto (FD) ou factor de actualização:
1
−n
FD =
=
(
1
+
i
)
(1 + i ) n
O significado da taxa i
z
z
z
A taxa i incluída nos factores de capitalização e de desconto não
tem agora que representar apenas uma taxa de juro, como
tínhamos visto até aqui.
A taxa i representa agora respectivamente a taxa de capitalização e
a taxa de actualização ou desconto desejada para o projecto de
investimento em causa.
Ela deve portanto reflectir:
z O Custo de Oportunidade do capital;
z A remuneração pretendida para o capital empregue;
z O risco associado ao investimento realizado;
z A inflação prevista para o período de vida do projecto;
z Etc.
O uso de Tabelas Financeiras
z
z
Os cálculos necessários à determinação de
valores futuros ou de valores actuais
(capitalização e actualização ou desconto) de
um qualquer montante de capital, ao fim de
um determinado período de tempo, podem
ser facilmente realizados com o auxílio das
chamadas Tabelas Financeiras.
Aceda directamente a Tabelas Financeiras
aqui, e consulte os próximos diapositivos
para conhecer o seu modo de utilização.
O uso de Tabelas Financeiras
z
Por exemplo para calcular o valor
futuro de 1000 €, ao fim de cinco
anos, a uma taxa de capitalização de
2% ao ano, bastará encontrar na
tabela o respectivo Factor de
Capitalização, e multiplicá-lo pelo
capital inicial:
VF = 1.000 € x 1,10408 = 1.104,08 €
z
z
Não esqueça que deverá estar na
folha de cálculo correspondente aos
Factores de Capitalização.
Situação semelhante poderia ser
seguida para um caso de
actualização, desde que devidamente
colocados na folha dos Factores de
Desconto.