Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens
L IGA D ELFOS 2014-2015
27 de Março de 2015
J ORNADA 4
Geometria Olímpica
1. Seja ABCD um quadrilátero cíclico com AD = BD. Seja E a interseção das diagonais AC e BD, seja I o incentro de BCE e seja N a interseção do circuncírculo
de BIE com AE. Mostrem que AN · N C = CD · BN .
2. Seja △ABC tal que CA > BC > AB. Sejam O o circuncentro e H o ortocentro.
⌢
⌢
Sejam D e E os pontos médios dos arcos AB e AC do circuncírculo a que não pertencem C e B, respetivamente. Sejam D′ a reflexão de D sobre AB e E ′ a reflexão
de E sobre AC. Provem que OHD′ E ′ é cíclico sse A, D′ , E ′ forem colineares.
3. △ABC é acutângulo e AB > BC. Seja Ω o seu circuncírculo e M o ponto médio
do lado AC. As tangentes a Ω em A e C intersetam-se em P . O segmento BP e o
lado AC intersetam-se em S. Seja AD uma altura de ABP , seja ω o circuncírculo
de CSD e seja K 6= C a outra interseção de ω e Ω. Mostrem que ∠CKM = 90◦ .
4. △ABC é acutângulo, não-equilátero. Sejam, P ∈ AB, o pé da altura do vértice
C; H o ortocentro; O o circuncentro; D a interseção da reta CO com AB e E o
ponto médio de CD. Mostrem que a reta EP interseta OH no seu ponto médio.
5. Num triângulo ABC, K ∈ AB e M ∈ AC, são tais que sendo L a interseção
de M B e KC, AKLM and KBCM são cíclicos e os seus circuncírculos têm
diâmetros congruentes. Determinem as amplitudes dos ângulos internos de ABC.
6. Em △ABC sejam M ∈ BC, B1 ∈ AC e C1 ∈ BC tais que AM é mediana e BB1
e CC1 são alturas de ABC. A reta que passa em A e é perpendicular a AM interseta
as retas BB1 e CC1 nos pontos E e F , respetivamente. Seja C o circuncírculo
de EF M . Sejam C1 e C2 duas circunferências tangentes ao segmento EF e ao
⌢
arco EF de C que não contém M . Suponham que estas duas circunferências se
intersetam em dois pontos, P e Q. Mostrem que então P , Q e M são colineares.
7. Seja C uma circunferência de diâmetro o segmento BC e seja A não pertencente
a C . Determinem o lugar geométrico do ortocentro do triângulo ABC quando se
faz variar o segmento BC entre os diâmetros de C .
Jorge Neves
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