UNIVERSIDADE PARANAENSE - UNIPAR: 2004
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral
Professor
ADILANDRI MÉRCIO LOBEIRO
Departamento de Matemática - UNIPAR
Umuarama, fevereiro de 2004
Capı́tulo 1
SEQÜÊNCIAS E SÉRIES
NUMÉRICAS
1.1
1.1.1
SEQÜÊNCIAS
Introdução
A palavra seqüência é usada em linguagem corrente para significar uma sucessão de coisas
dispostas numa ordem definida. Aqui, nós estamos interessados em seqüências de números
como
1, 3, 5, 7, 9
ou
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, · · ·
Cada número em separado que aparece na seqüência é chamado de termo da seqüência.
Uma seqüência tendo apenas um número finito de termos (assim como a seqüência
1, 3, 5, 7, 9 ) é chamada de seqüência finita. Observe que a seqüência 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, · · ·
(cujos termos são os “quadrados perfeitos” dispostos em ordem crescente) envolve um
número infinito de termos e é, portanto, uma seqüência infinita. Como não podemos listar todos os termos de uma seqüência infinita, lançamos mão da convenção de escrever uns
poucos primeiros termos e, então colocamos pontos para significar “e assim por diante”.
1
Definição 1.1 Uma seqüência é uma aplicação
f : IN − {0} → A
n
7→ f (n)
onde IN é o conjunto dos números naturais e A é um conjunto qualquer.
Se A ⊂ IR, a seqüência é dita real.
Os números na imagem de uma seqüência são chamados de elementos da seqüência.
Se o n-ésimo elemento for dado por f (n), então a seqüência será o conjunto de pares
ordenados da forma (n, f (n)), onde n é um inteiro positivo. Neste curso, os elementos na
imagem da seqüência serão sempre reais.
Exemplo 1.1 Fazer um esboço do gráfico da sequência
f : IN − {0} → IR
n
7→ f (n) =
1
n
Observação 1.1 Como o domı́nio de toda sequência é o mesmo, podemos, usar a notação
{f (n)} para denotar uma sequência. Também usamos a notação {an } para denotar a
seqüência para a qual {f (n) = an }. Além disto, an é chamado termo geral, termo de
ordem n ou n-ésimo termo da seqüência.
Exemplo 1.2 Observe as seguintes sequênciais:
1. an = n denota a seqüência {1, 2, 3, 4, · · ·} e denotamos {an } = {1, 2, 3, 4, · · ·}
½
¾
1
1 1 1
2. an = é a seqüência 1, , , , · · ·
n
2 3 4
½
¾
(−1)n + 1
1
1
3. an =
é a seqüência 0, 1, 0, , 0, , · · ·
n
2
3
½
¾
1 1 1
1
4. Se {an } =
, , , · · · então o termo geral da seqüência é an =
ou an =
2 3 4
n+1
1
, n≥2
n
5. Se {an } = {−1, 1, −1, 1, · · ·} então an = (−1)n
2
1.1.2
Limite de uma seqüência
Definição 1.2 Dada a seqüência {an } e um número L, dizemos que L é o limite de {an }
se, para cada número positivo ², existir um número positivo N tal que
|an − L| < ² sempre que n > N
o que é equivalente a escrever
lim an = L
n→+∞
Exemplo 1.3 Use a definição (1.2) para provar que:
1.
1
=0
n→+∞ n
2.
n
1
=
n→+∞ 2n + 1
2
3.
lim
lim
lim an = c onde an = c
n→+∞
1.1.3
Limites infinitos
Definição 1.3 Dizemos que lim an = +∞ se, para cada k > 0, pudermos determinar
n→+∞
um número N > 0, tal que an > k sempre que n > N .
Exemplo 1.4 Use a definição (1.3) para provar que lim 2n = +∞
n→+∞
Definição 1.4 Dizemos que lim an = −∞ se, para cada k > 0, pudermos determinar
n→+∞
um número N > 0, tal que an < −k sempre que n > N .
Exemplo 1.5 Use a definição (1.4) para provar que lim −3n = −∞
n→+∞
1.1.4
Convergência e Divergência de uma seqüência
Se {an } tem limite L, finito, dizemos que a seqüência é convergente e que converge para
L (escrevemos an → L). Se não existe o limite ou se lim an = ±∞, dizemos que a
n→+∞
seqüência é divergente.
3
Exemplo 1.6 Mostre que
½
¾
1 1 1
1. Se {an } = 1, , , , · · · então {an } é convergente.
2 3 4
½
¾
1 1
1
, , · · · , n , · · · então {an } é convergente.
2. Se {an } =
2 4
2
3. Se {an } = 2n então {an } é divergente.
Observação 1.2 Se {an } é uma seqüência e f (x) é uma função definida para todo
número real x ≥ 1 e se f é tal que f (n) = an então, se lim f (x) = L, temos que
x→+∞
lim an = L. Isso nos permite aplicar a limites de seqüência os teoremas sobre limites
n→+∞
de funções quando x → +∞, e, em especial, a regra de L’Hospital.
Exemplo 1.7 Determine o limite da seqüência an =
1.1.5
5n
e2n
Seqüências Monótonas
Definição 1.5 Uma seqüência an é crescente se, para todo n, an ≤ an+1 . Se an < an+1 ,
para todo n, a seqüência é estritamente crescente.
Definição 1.6 Uma seqüência an é decrescente se, para todo n, an ≥ an+1 . Se an > an+1 ,
para todo n, a seqüência é estritamente decrescente.
Chamamos de sequência monótona uma seqüência que seja crescente ou decrescente.
Exemplo 1.8 Verifique que
1. {an } = {2, 4, 8, · · · , 2n , · · ·} é uma seqüência estritamente crescente.
½
¾
1 1
1
2. {an } = 1, , , · · · , , · · · é uma seqüência estritamente decrescente.
2 3
n
½
¾
1 1
1
3. {an } = −1, − , − , · · · , − , · · · é uma seqüência estritamente crescente.
2 3
n
4
1.1.6
Seqüências Limitadas Superiormente e Inferiormente
Definição 1.7 Uma seqüência an é dita limitada superiormente se, existe um número M
tal que an ≤ M , ∀n. Neste caso, M é chamado limitante superior.
Definição 1.8 Uma seqüência an é dita limitada inferiormente se, existe um número m
tal que an ≥ m, ∀n. Neste caso, m é chamado limitante inferior.
Definição 1.9 Uma seqüência an é dita limitada se, existe um número k tal que |an | ≤ k,
∀n. Chamamos k de limitante da seqüência e k = max {|M |, |m|}.
Exemplo 1.9 Nos itens abaixo, determine se a seqüência é limitada superiormente, limitada inferiormente e limitada.
½ ¾
1
1. {an } =
n
2. {an } = {(−1)n n}
Definição 1.10 Dizemos que M é o supremo (sup), ou menor limitante superior da
seqüência {an } se
1. M é um limitante superior de {an } e
2. ∀ ² > 0, ∃ n0 tal que an0 ∈ (M − ², M ]
Observe que sup{an } pode ou não pertencer a seqüência. Se M = an0 , para algum n0 ,
isto é, M é um elemento da seqüência então, M é chamado máximo da seqüência.
Definição 1.11 Dizemos que m é o ı́nfimo (inf), ou maior limitante inferior da seqüência
{an } se
1. m é um limitante inferior de {an } e
2. ∀ ² > 0, ∃ n0 tal que an0 ∈ [m, m + ²)
Observe que inf{an } pode ou não pertencer a seqüência. Se m = an0 , para algum n0 , isto
é, m é um elemento da seqüência então, m é chamado mı́nimo da seqüência.
5
Exemplo 1.10 Nos itens abaixo, determine o supremo e o ı́nfimo da seqüência {an }.
½ ¾
1
1. {an } =
n
½
¾
1
2. {an } = −
n
½
¾
1
n
3. {an } = (−1) +
n
4. {an } = {(−1)n (2n − 1)}
1.1.7
Teoremas sobre Seqüências
A definição de uma seqüência como uma função permite a aplicação de muitas das idéias
previamente desenvolvidas para funções diretamente nas seqüências. Omitindo as demonstrações, porque elas são análogas às demonstrações dos correspondentes teoremas para
funções, estabelecemos alguns, na terminologia de seqüências.
Teorema 1.1 Se o limite de uma seqüência existe, ele é único.
Teorema 1.2 Se {an } e {bn } são seqüências convergentes, isto é,
lim an = L1 e
n→+∞
lim bn = L2 e se c é uma constante, valem:
n→+∞
1.
2.
3.
lim c = c
n→+∞
lim can = c lim an = cL1
n→+∞
n→+∞
lim (an ± bn ) = lim an ± lim bn = L1 ± L2
n→+∞
n→+∞
n→+∞
µ
4.
lim (an · bn ) =
n→+∞
µ
5.
lim
n→+∞
an
bn
¶
¶µ
lim an
n→+∞
lim an
=
n→+∞
lim bn
n→+∞
=
¶
lim bn
n→+∞
= L1 · L2
L1
se L2 6= 0
L2
Teorema 1.3 Todo seqüência convergente é limitada.
Observação 1.3 A recı́proca é falsa, pois basta observar a seqüência {an } = {(−1)n }.
Basta então verificar que uma seqüência não é limitada para concluir que ela não converge.
6
Teorema 1.4 Todo seqüência monótona e limitada é convergente.
½
Exemplo 1.11 Use o teorema (1.4) para provar que a seqüência {an } =
2n
n!
¾
é
convergente.
Teorema 1.5 (Teorema do anulamento) Se lim an = 0 e {bn } é limitada, então
n→+∞
lim (an · bn ) = 0
n→+∞
n
Exemplo 1.12 Determine o limite da seqüência dada por
cos n o
an =
.
n
Teorema 1.6 (Teorema do Sanduı́che) Se {an }, {bn } e {cn } são seqüências tais que
{an ≤ bn ≤ cn } ∀n e, se lim an = L = lim cn então lim bn = L.
n→+∞
n→+∞
n→+∞
½
Exemplo 1.13 Determine o limite da seqüência dada por
¾
cos2 n
an =
.
3n
Teorema 1.7 Seja {an } uma seqüência. Se lim |an | = 0 então lim an = 0.
n→+∞
n→+∞
½
Exemplo 1.14 Determine o limite da seqüência dada por
Teorema 1.8 Seja an > 0 e
an = (−1)
n+1 1
¾
n
.
an+1
−→ c, onde c < 1, então an −→ 0.
an
Teorema 1.9 Se |a| < 1 ⇒ lim an = 0 e se |a| > 1 ⇒ |an | diverge.
n→+∞
1a Lista de Exercı́cios
1. Considere a seqüência {1, 2, 3, 3, · · · , · · ·} na qual s1 = 1, s2 = 2 e sn = 3 para
cada número natural n ≥ 3. Dê exemplos de outras duas seqüências que possuam a
mesma imagem.
2. Seja c um número real dado que é o primeiro termo da seqüência {an } e seja {an =
c + (n − 1)d}, onde d é um número dado. Escreva os cinco primeiros termos desta
seqüência. (Tal seqüência é chamada uma seqüência aritmética).
3. Seja a 6= 0 um número real dado que é o primeiro termo da seqüência {gn } e seja
{gn = aq n−1 }, onde r é um número real dado. Escreva os cinco primeiros termos
desta seqüência. (Tal seqüência é chamada uma seqüência geométrica).
7
4. Se 1 são os dois primeiros termos de uma seqüência {an } onde {an = an−1 + an−2 },
∀n ≥ 3. Por exemplo, a3 = 1 + 1 = 2. Escreva os sete primeiros termos desta
seqüência. (Esta seqüência é chamada uma seqüência Fibonacci).
5. Esboce o gráfico das seguintes seqüências:
µ
¶n
1
(a) an = 1 +
n
1
(b) an = 2 − 2
n
(−1)n
(c) an = √
n
³ nπ ´
√
(d) an = n sin
2
n
4
(e) an =
n!
Nos exercı́cios de 06 a 10 encontre o termo geral de cada seqüência.
6. {2, 1; 2, 01; 2, 001; 2, 0001; · · ·}
7. {0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, · · ·}
½
¾
2
4 5
8. − , 1, − , , −2, · · ·
3
3 3
½
¾
1 3 7 15
9.
,− , ,− ,···
2 4 8 16
10. {0, 0, 8, 0, 24, 0, 48, 0, 80, · · ·}
Nos exercı́cios de 11 a 13, use a definição (1.2) de limite para demonstrar que a
seqüência dada tem o limite L.
½
¾
3
11.
; L=0
n−1
½
¾
8n
12.
; L=4
2n + 3
½
¾
5−n
1
13.
; L=−
2 + 3n
3
Nos exercı́cios de 14 a 25, determine se a seqüência é convergente ou divergente. Se
as seqüências convergem, encontre seus limites.
8
½
14.
n2 + 1
n
¾
½
15.
16.
17.
18.
19.
20.
¾
2n2 + 1
3n2 − n
½
¾
ln n
n2
¾
½
expn
n
¾
½
n
nπ
sin
n+1
2
½
¾
1
1
−
n n+1
n√
√ o
n+1− n
21. {(0, 9)n }
½µ
¶n ¾
1
22.
1+
3n
½µ
¶n ¾
2
23.
1+
n
¾
½Z n
−x
24.
exp dx
0
½Z
1
25.
1/n
dx
√
x
¾
Sugestão Para o (22) e (23), use que lim (1 + x)1/x = exp.
n→0
Nos exercı́cios de 26 a 35 discuta a monotonicidade e a limitação da seqüência
dada. Determine, se possı́vel, o sup, inf, o máximo e o minı́mo de cada seqüência.
Justifique.
½
¾
3n − 1
26.
4n + 5
27. {sin nπ}
½ n ¾
2
28.
1 + 2n
½ ¾
n!
29.
3n
9
30.
31.
32.
33.
34.
35.
nno
2n
©
ª
(−1)n n + n2
¾
½
2
nn
(−1) n
3
½
¾
5n
1 + 52n
½ n¾
n
n!
½
¾
n!
1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1)
Nos exercı́cios de 36 a 41 demonstre que a seqüência dada é convergênte. Sugestão:
Use o teorema (1.4).
36. A seqüência do exercı́cio (26)
37. A seqüência do exercı́cio (28)
38. A seqüência do exercı́cio (30)
39. A seqüência do exercı́cio (33)
40. A seqüência do exercı́cio (35)
½ 2¾
n
41.
2n
Nos exercı́cios de 42 a 49 verifique se é possı́vel encontrar exemplos (diferentes dos
exemplos dados em aula) e exiba-os.
42. Uma seqüência convergente e não limitada.
43. Uma seqüência limitada e não convergente.
44. Uma seqüência que não possui máximo (ou mı́nimo) que seja convergente.
45. Uma seqüência sem sup e sem inf.
46. Uma seqüência {an } tal que lim |an | = L e divergente.
n→∞
10
47. Uma seqüência convergente mas não monótona.
48. Uma seqüência monótona mas não limitada.
49. Uma seqüência decrescente limitada e convergente.
1.2
SÉRIES
1.2.1
Séries Infinitas de Termos Constantes
Definição 1.12 Dada uma seqüência (u1 , u2 , u3 , · · · , un ) denomina-se série a soma infinita
u1 + u2 + u3 + · · · + un + · · · =
+∞
X
un
n=1
Definição 1.13 Dada uma série
+∞
X
un , denomina-se seqüência das somas parciais da
n=1
série dada à seqüência {Sn }n∈IN definida por
S 1 = u1
S 2 = u1 + u2
S 3 = u1 + u2 + u3
S 4 = u1 + u2 + u3 + u 4
..
.
S n = u1 + u2 + u3 + u 4 + · · · + un
Definição 1.14
1. Dada a série
+∞
P
un , dizemos que ela é convergente quando a seqüência
n=1
das somas parciais é uma seqüência convergente. Neste caso, sua soma é
+∞
X
un = S = lim Sn
n→+∞
n=1
2. Quando {Sn }n∈IN é divergente, dizemos que a série é divergente.
Exemplo 1.15 Dada a seqüência
un =
1
2n−1
11
temos a série infinita
+∞
X
+∞
X
1
un =
n−1
2
n=1
n=1
1. determine os quatro primeiros elementos daa seqüência das somas parciais {Sn }n∈IN .
2. determine a fórmula para {Sn }n∈IN , em termos de n.
3. determine se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, obtenha
sua soma.
Quando {Sn }n∈IN é uma seqüência de somas parciais,
Sn−1 = u1 + u2 + u3 + u4 + · · · + un−1
assim
Sn = Sn−1 + un
usaremos essa fórmula no exemplo a seguir.
Exemplo 1.16 Dada a série infinita
+∞
X
un =
n=1
+∞
X
n=1
1
n(n + 1)
1. determine os quatro primeiros elementos daa seqüência das somas parciais {Sn }n∈IN .
2. determine a fórmula para {Sn }n∈IN , em termos de n.
3. determine se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, obtenha
sua soma.
Teorema 1.10 Se
+∞
X
un é convergente então lim un = 0
n→+∞
n=1
O Teorema 1.10 fornece um teste simples para divergência, pois se
podemos conclui que
+∞
X
un é divergente.
n=1
Exemplo 1.17 Prove que as duas séries seguintes são divergentes.
12
lim un 6= 0
n→+∞
1.
+∞ 2
X
n +1
n=1
2.
n2
+∞
X
(−1)n+1 · 3
n=1
O inverso do Teorema 1.10 é falso. Isto é, se lim un = 0, então não é necessarin→+∞
amente verdadeiro que a série seja convergente. Um exemplo disso é a chamada Série
Harmônica, que
+∞
X
1
1 1 1
1
= 1 + + + + ··· + + ···
n
2 3 4
n
n=1
Obviamente,
1
= 0. Provaremos no exemplo (1.18) que a série harmônica
n→+∞ n
lim
diverge.
Definição 1.15 Uma seqüência {un }n∈IN é de Cauchy quando para cada ² > 0, ∃ n0 ∈ IN
tal que se m, n ≥ n0 então
|um − un | < ²
Teorema 1.11 Se {un }n∈IN é uma seqüência de números reais. Então {un }n∈IN converge
se, e somente se {un }n∈IN é de cauchy.
Teorema 1.12 (Critério de Cauchy) Seja
+∞
P
un
n=1
+∞
P
somas parciais da série dada. Então a série
uma série e {Sn }n∈IN a seqüência das
un converge se, e somente se, ∀² > 0,
n=1
∃n0 ∈ IN tal que se m, n ≥ n0 então |Sm − Sn | < ².
Exemplo 1.18 Vamos provar que a série harmônica
+∞
X
1
1 1 1
= 1 + + + + ···
n
2 3 4
n=1
é divergente.
Uma série geométrica é da forma
+∞
X
arn−1 = a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + · · · + arn−1 + · · ·
n=1
Teorema 1.13 A série geométrica converge para a soma
a
se |r| < 1 e a série
1−r
geométrica diverge se |r| ≥ 1.
Exemplo 1.19 Expresse a dı́zima perı́odica 0, 333 · · · como uma fração comum.
13
1.2.2
Quatro Teoremas Sobre Séries Infinitas
Teorema 1.14 Sejam
+∞
P
n=1
an e
+∞
P
n=1
bn tais que ∃n0 ∈ IN tal que an = bn , ∀n ≥ n0 . Então
ambas convergem ou ambas divergem.
Exemplo 1.20 Determine se a série infinita é convergente ou divergente
+∞
X
n=1
1
n+4
Teorema 1.15 Seja c uma constante não-nula.
1. Se a
+∞
P
un for convergente e sua soma for S, então a série
n=1
+∞
P
c · un também será
n=1
convergente e sua soma será c · S.
2. Se a série
+∞
P
un for divergente, então a série
+∞
P
c · un também será divergente.
n=1
n=1
+∞
X
1
Exemplo 1.21 Determine se a série infinita é convergente ou divergente
4n
n=1
Teorema 1.16 Se
+∞
X
an e
n=1
respectivamente, então
1.
+∞
X
+∞
X
bn são séries infinitas convergentes com somas A e B,
n=1
(an + bn ) é uma série convergente e sua soma é A + B.
n=1
2.
+∞
X
(an − bn ) é uma série convergente e sua soma é A − B.
n=1
Teorema 1.17 Se a série
série
+∞
X
+∞
X
an for convergente e a série
n=1
+∞
X
bn for divergente, então a
n=1
(an + bn ) será divergente.
n=1
¶
+∞ µ
X
1
1
Exemplo 1.22 Determine se a série infinita é convergente ou divergente
+
4n 4n
n=1
14
2a Lista de Exercı́cios (1.2.1)
1. Encontre os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais {Sn }, e
obtenha uma fórmula para {Sn } em termos de n. Determine também se a série
infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
(a)
+∞
X
n=1
(b)
+∞
X
1
(2n − 1)(2n + 1)
ln
n=1
n
n+1
2. Encontre a série infinita que produz a seqüência de somas parciais dada. Determine
também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre
sua soma.
½
¾
2n
(a) {Sn } =
3n + 1
(b) {Sn } = {ln(2n + 1)}
3. Escreva os quatro primeiros termos da série infinita dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
+∞
X
n
n+1
n=1
+∞ µ ¶n
X
2
(b)
3
n=1
(a)
(c)
+∞
X
e(−n)
n=1
4. Expresse a dı́zima periódica decimal como uma fração ordinária.
(a) 0, 272727 · · ·
(b) 1, 234234234 · · ·
5. A trajetória de cada oscilação de um pêndulo é 0, 93 do comprimento da trajetória
da oscilação anterior (de um lado até o outro). Se a trajetória da primeira oscilação
mede 56 cm de comprimento e se a resistência do ar leva o pêndulo ao repouso,
quanto mede o caminho percorrido pela pêndulo até que ele pare?
15
6. Um triângulo equilátero tem lados medindo 4 unidades de comprimento. Portanto, o
seu perı́metro é 12 unidades. Outro triângulo equilátero é construı́do com segmentos
de reta traçados através dos pontos médios dos lados do primeiro triângulo. Esse
triângulo tem lados medindo 2 unidades de comprimento e seu perı́metro é de 6
unidades. Se o procedimento puder ser repetido um número ilimitado de vezes, qual
será o perı́metro total de todos os triângulos formados?
3a Lista de Exercı́cios (1.2.2)
1. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a sua
soma.
(a)
+∞
X
n=1
1
n+2
+∞
X
2
(b)
3n
n=3
+∞
X
2
3n
n=1
µ ¶n
+∞
X
4 5
(d)
3 7
n=1
¶
+∞ µ
X
1
1
(e)
+ n
2n
2
n=1
(c)
(f)
+∞
X
¡
e−n + en
¢
n=1
2. Dê um exemplo para mostrar que mesmo sendo
que
+∞
X
+∞
X
n=1
an · bn seja convergente.
n=1
16
an e
+∞
X
n=1
bn divergentes, é possı́vel
1.2.3
Séries Infinitas de Termos Positivos
Teorema 1.18 Uma série infinita de termos positivos será convergente se e somente se
sua seqüência de somas parciais tiver uma limitante superior.
+∞
X
1
Exemplo 1.23 Prove que a série
é convergente
n!
n=1
Teorema 1.19 (Teste de Comparação)
1. Sejam
+∞
X
un e
n=1
série
+∞
X
+∞
X
vn séries de termos positivos tais que un ≤ vn , ∀n ∈ IN. Se a
n=1
vn é convergente então
n=1
2. Sejam
série
+∞
X
un também é convergente.
n=1
+∞
X
n=1
+∞
X
un e
+∞
X
wn séries de termos positivos tais que wn ≤ un , ∀n ∈ IN. Se a
n=1
wn é divergente então
n=1
Exemplo 1.24 Determine se a série
+∞
X
un também é divergente.
n=1
+∞
X
n=1
4
é convergente ou divergente
3n + 1
+∞
X
1
√ é convergente ou divergente
Exemplo 1.25 Determine se a série infinita
n
n=1
Teorema 1.20 (Teste de Comparação com Limite) Sejam
+∞
X
n=1
mos positivos.
un e
+∞
X
vn séries de ter-
n=1
un
= c > 0, então ambas as séries convergem, ou ambas divergem.
n→+∞ vn
1. Se lim
+∞
+∞
X
X
un
= 0 e se a série
vn converge, então a série
un converge.
2. Se lim
n→+∞ vn
n=1
n=1
+∞
+∞
X
X
un
= +∞ e se a série
vn diverge, então a série
un diverge.
n→+∞ vn
n=1
n=1
3. Se lim
Exemplo 1.26 Resolva o exemplo 1.24, usando o teste de comparação com limite.
Exemplo 1.27 Resolva o exemplo 1.25, usando o teste de comparação com limite.
17
Teorema 1.21 Se
+∞
X
un for uma série de termos positivos e covergente, então a ordem
n=1
dos termos pode ser rearranjada e a série resultante será também convergente e terá a
mesma soma.
Uma série freqüentemente usada no teste de comparação é aquela conhecida como série p
ou série hiper-harmônica. Ela é
+∞
X
1
1
1
1
1
1
= 1 + p + p + p + p + ··· + p + ···
p
n
2
3
4
5
n
n=1
Exemplo 1.28 A série hiper-harmônica
+∞
X
1
1
1
1
1
1
= 1 + p + p + p + p + ··· + p + ···
p
n
2
3
4
5
n
n=1
• Se p ≤ 1 a série é divergente.
• Se p > 1 a série é convergente.
Exemplo 1.29 Determine se a série infinita é convergente ou divergente.
+∞
X
n=1
(n2
1
+ 2)1/3
4a Lista de Exercı́cios (1.2.3)
1. Determine se a série dada é convergente ou divergente.
(a)
+∞
X
1
n2n
n=1
(b)
+∞
X
3n + 1
2n2 + 5
n=1
(c)
(d)
(e)
+∞
X
n=1
+∞
X
n=1
+∞
X
1
ln(n + 1)
| sin n|
n2
sin
n=1
2. Se
+∞
X
n=1
an e
1
n
+∞
X
bn são duas séries convergentes de termos positivos, use o teste de
n=1
comparação com limite para provar que a série
+∞
X
n=1
18
an · bn também é convergente.
1.2.4
O Teste Da Integral
Teorema 1.22 (O Teste da Integral) Seja f uma função contı́nua, decrescente e com
valores positivos para todo x ≥ 1. Então, a série infinta
+∞
X
f (n) = f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + · · · + f (n) + · · ·
n=1
será convergente se a integral imprópria
Z+∞
f (x)dx
1
Zb
f (x)dx = +∞.
existir e será divergente se lim
b→+∞
1
Exemplo 1.30 Use o teste da integral para mostrar que a série p (série hiper-harmônica)
+∞
X
1
1
1
1
1
1
=
1
+
+
+
+
+
·
·
·
+
+ ···
p
p
p
p
p
p
n
2
3
4
5
n
n=1
diverge se p ≤ 1 e converge se p > 1.
1.2.5
Séries Alternadas
Definição 1.16 Se an > 0 para todo n inteiro positivo, então a série
+∞
X
(−1)n+1 an = a1 − a2 + a3 − a4 + · · · + (−1)n+1 an + · · ·
n=1
e a série
+∞
X
(−1)n an = −a1 + a2 − a3 + a4 − · · · + (−1)n an + · · ·
n=1
são chamadas de séries alternadas.
+∞
X
Teorema 1.23 (Teste de Séries Alternadas) Considere a série alternada
(−1)n+1 an
n=1
" +∞
#
X
ou
(−1)n an , onde an > 0 e an+1 < an para todo n inteiro positivo. Se lim an = 0,
n→+∞
n=1
a série alternada converge.
19
Exemplo 1.31 Prove que a série alternada é convergente
+∞
X
1
(−1)n+1
n
n=1
Exemplo 1.32 Determine se a série é convergente ou divergente:
+∞
X
n+2
(−1)n
n(n + 1)
n=1
5a Lista de Exercı́cios (1.2.5)
1. Determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
(a)
+∞
X
(−1)n+1
n=1
(b)
+∞
X
(−1)n
1
n2
(−1)n
1
ln n
n=1
(c)
+∞
X
n=1
1.2.6
1
2n
Convergência Absoluta e Condicional, O Teste da Razão
e o Teste da Raiz
+∞
X
Definição 1.17 Dizemos que a série infinita
série
+∞
X
un será absolutamente convergente se a
n=1
|un | for convergente.
n=1
Definição 1.18 Dizemos que a série infinita
+∞
X
un é condicionalmente convergente quando
n=1
ela é convergente, mas não absolutamente convergente
+∞
X
|un |(diverge).
n=1
Teorema 1.24 Se a série
+∞
X
n=1
un for absolutamente convergente, ela será convergente e
¯ +∞ ¯ +∞
¯X ¯ X
¯
¯
|un |
an ¯ ≤
¯
¯
¯
n=1
n=1
20
Exemplo 1.33 Determine se a série é convergente ou divergente
+∞
X
cos nπ
3
n=1
Teorema 1.25 (Teste da Razão) Seja
+∞
X
n2
un uma série infinita dada para a qual todo un
n=1
é não-nulo. Então,
¯
¯
¯ un+1 ¯
¯
¯ = L < 1, a série dada é absolutamente convergente;
1. Se lim ¯
n→+∞
un ¯
¯
¯
¯
¯
¯ un+1 ¯
¯ un+1 ¯
¯
¯
¯
¯ = +∞, a série dada é divergente;
= L > 1 ou se lim ¯
2. Se lim ¯
n→+∞
n→+∞
un ¯
un ¯
¯
¯
¯ un+1 ¯
¯
¯ = 1, nenhuma conclusão quanto à convergência pode ser tirada do
3. Se lim ¯
n→+∞
un ¯
teste.
Exemplo 1.34 Determine se a série é convergente ou divergente
+∞
X
n
(−1)n+1 n
2
n=1
Exemplo 1.35 No exemplo 1.32 ficou provado que a série
+∞
X
n+2
(−1)n
n(n + 1)
n=1
é convergente. Essa é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente?
Teorema 1.26 (Teste da Raiz) Seja
p
n
|un | = L < 1, a série dada é absolutamente convergente;
n→+∞
2. Se lim
n→+∞
3. Se lim
n→+∞
un uma série infinita para a qual un é diferente
n=1
de zero. Então,
1. Se lim
+∞
X
p
n
|un | = L > 1 ou se lim
n→+∞
p
n
p
n
|un | = +∞, a série é divergente.
|un | = 1, nenhuma conclusão relativa à convergência pode ser tirada do
teste.
21
Exemplo 1.36 Use o teste da raiz para determinar se a série é convergente ou divergente
+∞
X
(−1)n
n=1
32n+1
n2n
Exemplo 1.37 Determine se a série é convergente ou divergenteNo
+∞ ·
X
n=1
1
ln(n + 1)
¸n
6a Lista de Exercı́cios (1.2.6)
1. Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
(a)
+∞
X
(−1)n
n=1
(b)
2n
n3
+∞ 2
X
n
n!
¢2n
+∞ ¡
X
1 + n1
(c)
en
n=1
n=1
(d)
+∞
X
n=1
1.2.7
(−1)n
n2 + 1
n3
Sumário dos Testes de Convergência ou Divergência para
uma Série Infinita
Para concluir o estudo das séries infinitas de termos constantes, vamos resumir os vários
testes que podem ser usados para determinar a convergência ou divergência de uma série
dada. Vimos alguns desses testes e para desenvolver a habilidade de reconhecer e aplicar
o teste apropriado é necessário uma prática considerável. Vamos dar aqui uma lista dos
testes. Você deve tentar cada um deles, na ordem indicada. Se uma determinada etapa
não se aplica ou não leva a conclusão alguma, você deverá tentar a seguinte. É claro que
em alguns casos mais de um teste é aplicável, mas você deve selecionar o mais eficiente.
22
1. Calcule lim un . Se lim un 6= 0, então a série diverge. Se lim un = 0, nenhuma
n→+∞
n→+∞
n→+∞
conclusão pode ser tirada.
2. Examine a série para determinar se ela faz parte de algum dos tipos especiais:
(a) Uma série geométrica:
+∞
P
arn−1 . Ela converge para a soma
n=1
diverge se |r| ≥ 1.
a
se |r| < 1 e
1−r
+∞
X
1
(b) A série p (série hiper-harmônica):
(onde p é uma constante). Ela connp
n=1
verge se p > 1 e diverge se p ≤ 1.
+∞
+∞
X
X
(c) Uma série alternada: (−1)n+1 an ou
(−1)n an . Aplique o teste de séries
n=1
n=1
alternadas: se an > 0 e an+1 < an para todo n inteiro positivo, e lim an = 0,
n→+∞
então a série alternada é convergente.
3. Tente o teste da razão: seja
+∞
X
un uma série infinita dada, para a qual todo un é
n=1
não-nulo. Então,
¯
¯
¯ un+1 ¯
¯ = L < 1, a série dada é absolutamente convergente;
(a) se lim ¯¯
n→+∞
un ¯
¯
¯
¯
¯
¯ un+1 ¯
¯ un+1 ¯
¯
¯
¯ = +∞, a série dada é divergente;
¯
(b) se lim ¯
= L > 1 ou se lim ¯
n→+∞
n→+∞
un ¯
un ¯
¯
¯
¯ un+1 ¯
¯ = 1, nenhuma conclusão quanto à convergência pode ser tirada
(c) se lim ¯¯
n→+∞
un ¯
do teste.
4. Tente teste da raiz: seja
não-nulo. Então,
(a) Se lim
+∞
X
un uma série infinita dada, para a qual todo un é
n=1
p
n
|un | = L < 1, a série dada é absolutamente convergente;
p
p
(b) Se lim n |un | = L > 1 ou se lim n |un | = +∞, a série é divergente;
n→+∞
n→+∞
p
(c) Se lim n |un | = 1, nenhuma conclusão quanto à convergência pode ser tirada
n→+∞
n→+∞
do teste.
23
5. Tente o teste da integral: seja f uma função contı́nua, decrescente e com valores
positivos para todo x ≥ 1. Então, a série infinta
+∞
X
f (n) = f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + · · · + f (n) + · · ·
n=1
será convergente se a integral imprópria
Z+∞
f (x)dx
1
Zb
existir, e será divergente se lim
f (x)dx = +∞.
b→+∞
1
6. Tente o teste de comparação: seja
+∞
X
un uma série de termos positivos
n=1
(a) Se
+∞
X
vn for uma série convergente de termos positivos já conhecida e un ≤ vn
n=1
para todo n inteiro positivo, então
+∞
X
un será convergente.
n=1
(b) Se
+∞
X
wn for uma série divergente de termos positivos já conhecida e wn ≤ un ,
n=1
para todo n inteiro positivo, então
+∞
X
un será divergente.
n=1
7. Tente o teste de comparação com limite: sejam
+∞
X
n=1
positivos.
un e
+∞
X
vn duas séries de termos
n=1
un
= c > 0, então ambas as séries convergem, ou ambas divergem.
n→+∞ vn
+∞
+∞
X
X
un
(b) Se lim
= 0 e se a série
vn converge, então a série
un converge.
n→+∞ vn
n=1
n=1
(a) Se lim
+∞
+∞
X
X
un
(c) Se lim
= +∞ e se a série
vn diverge, então a série
un diverge.
n→+∞ vn
n=1
n=1
24
1.2.8
Séries de Potências
Estudamos até o momento séries infinitas de termos constantes. Veremos agora séries
cujos termos contém variável.
Uma série infinita da forma
+∞
X
cn (x − a)n = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + · · · + cn (x − a)n + · · · (1)
n=0
onde a, c0 , c1 , · · · , cn são constantes, é chamada uma série de potências em (x − a), ou,
simplesmente, série de potências. O número a é chamado centro da série. Quando a = 0,
a série (1) transforma-se numa série de potências em x:
+∞
X
cn xn = c0 + c1 x + c2 x2 + · · · + cn xn + · · · (2)
n=0
Quando trabalhamos com série infinita de termos constantes estudamos a questão da
convergência ou divergência dessas séries. Considerando uma série de potências estamos
interessados em saber para que valores de x, se existir algum, a série de potências converge.
Podemos observar que quando x = a a série converge e sua soma é c0 .
O teste da razão pode ser utilizado para determinar os valores de x, para os quais uma
série de potências é convergente.
Exemplo 1.38 Encontre os valores de x para os quais a série de potências dada é convergente.
+∞
X
xn
1.
n3n
n=1
Exercı́cio 1.1 Ache os valores de x para os quais a série de potências é convergente.
1.
+∞
X
nxn
(−1)n n
2
n=0
+∞
X
2n xn
2.
(−1)n+1 n
n3
n=1
3.
+∞ n
X
x
n=0
n!
25
Definição 1.19 O conjunto I de todos os números x para os quais uma série de potências
+∞
X
cn (x − a)n é convergente é chamado intervalo de convergência.
n=0
Observação 1.4
1. Para qualquer série de potência
vergência I tem uma das seguintes formas:
+∞
X
cn (x − a)n o intervalo de con-
n=0
(a) I = IR
(b) I consiste de um único elemento I = {a}
(c) I é um intervalo limitado com extremos a − R e a + R onde R é um número
real positivo chamado raio de convergência.
2. Em (a) dizemos que R é infinito e em (b) R = 0
3. A série de potências sempre converge absolutamente no intervalo (a − R, a + R),
diverge se x < a − R ou se x > a + R e pode convergir ou não quando x = a − R ou
x = a + R.
Exemplo 1.39 Determine o intervalo de convergência das séries de potências:
+∞
X
(x − 5)n
1.
(−1)n
n+2
n=0
Exercı́cio 1.2 Determine o intervalo de convergência das séries de potências:
1.
+∞
X
n=1
2.
+∞
X
2n
(x − 3)n
n2
n(x − 2)n
n=1
3.
+∞
X
n=1
xn
2 + n2
26
1.2.9
Representação de Funções através de Série de Potências
Para cada valor de x, para o qual a série de potências
+∞
X
cn (x − a)n é convergente, existe
n=0
um número a ele associado: a soma da série. Assim, podemos definir uma função f ,
com domı́nio no intervalo de convergência, que associa a cada valor de x a soma da série
numérica, ou seja,
f (x) =
+∞
X
cn (x − a)n
n=0
e dizemos que
+∞
X
cn (x − a)n é uma representação de f por uma série de potências.
n=0
Exemplo 1.40 Encontre a função definida pela série de potências
+∞
X
xn .
n=0
Observação 1.5 A série de potências
+∞
X
xn pode ser usada para determinar outras
n=0
séries de potências cujas somas podem ser determinadas.
A representação de funções através de séries de potências possibilita a resolução de
problemas que envolvam derivadas e integrais, usando técnicas diferentes das estudadas
até agora.
Uma função f representada por uma série de potências tem propriedades análogas às
dos polinômios.
Teorema 1.27 Seja
+∞
X
cn (x − a)n uma série de potências cujo raio de convergência é
n=0
R > 0. Seja f (x) a função definida por
f (x) =
+∞
X
cn (x − a)n
n=0
então:
1. f 0 (x) existirá para todo x ∈ (a − R, a + R), sendo dada por
0
f (x) =
+∞
X
n=1
27
ncn (x − a)n−1
2. f será integrável em todo subintervalo fechado de (a − R, a + R) e calculamos a
integral de f integrando termo a termo a série de potências dada, isto é, se x ∈
(a − R, a + R), teremos
Z
Z
x
x
f (t)dt =
a
a
3. As três séries de potências:
" +∞
X
#
n
cn (t − a)
n=0
+∞
X
cn (x − a)n ,
n=0
+∞
X
cn
(x − a)n+1
dt =
n
+
1
n=0
+∞
X
ncn (x − a)n−1 e
n=1
tem o mesmo raio de convergência R.
Exemplo 1.41 Seja f a função definida por f (x) =
+∞
X
n=0
+∞
X
cn
(x − a)n+1
n
+
1
n=0
xn+1
.
(n + 1)2
1. Ache o domı́nio de f .
2. Escreva a série de potências que define a função f 0 e determine o domı́nio de f 0 .
Exemplo 1.42 Obtenha uma representação em série de potências para a função dada
1
por f (x) =
(1 − x)2
¡ ¢
Exemplo 1.43 Calcule arc tan 14 com precisão de quatro casas decimais.
x
Exemplo 1.44 Mostre que e =
+∞ n
X
x
n=0
n!
∀ x ∈ IR
Exercı́cio 1.3 Calcule com precisão de três casas decimais o valor da integral
Z1
2
e−x dx
0
Exercı́cio 1.4 Ache uma série de potências para xex e então integre a série termo a
termo de 0 a 1, mostrando que
+∞
X
n=1
1
1
=
n!(n + 2)
2
28
1.2.10
Série de Taylor
Vimos que uma série de potências
fine uma função f por f (x) =
+∞
X
+∞
X
cn (x − a)n com raio de convergência R > 0 de-
n=0
cn (x − a)n . Agora estudaremos o processo inverso,
n=0
começando com uma função f , queremos obter uma série de potências que convirja para
f , isto é, vamos expandir f como uma série de potências.
Teorema 1.28 Seja f uma função tal que f (x) =
+∞
X
cn (x − a)n , isto é, que possa ser
n=0
representada por uma série de potências, para todo x ∈ (a − R, a + R). Então
f (x) = f (a)+f 0 (a)(x−a)+
f 00 (a)
f 000 (a)
f (n) (a)
(x−a)2 +
(x−a)3 +· · ·+
(x−a)n +· · · (∗)
2!
3!
n!
Observação 1.6 A série de potências (∗) é denominada Série de Taylor de f em a.
Quando a = 0 a Série de Taylor é denominada Série de Maclaurin.
Exemplo 1.45 Encontre a Série de Maclaurin para f (x) = ex
Observação 1.7 A representação de uma função em série de potências é única. Logo,
se uma função tem uma representação em série de potências em x − a, essa série deve
ser sua série de Taylor em a. Assim, a série de Taylor para uma função não precisa ser
obtida pela fórmula
f (a) + f 0 (a)(x − a) +
f 000 (a)
f (n) (a)
f 00 (a)
(x − a)2 +
(x − a)3 + · · · +
(x − a)n + · · · (3)
2!
3!
n!
qualquer método que resulta em uma série em x − a represntando a função será a série
de Taylor da função em a.
Exemplo 1.46 Ache a série de Taylor para ex em 3, usando a série de maclaurin para
ex .
Exercı́cio 1.5 Obtenha o desenvolvimento da função em potências de x ou de (x − a)
como indicado; determine também o intervalo de contergência da série.
1. e−2x , potências de x.
2. sin x, potências de x.
3. ln(1 + x); potências de x.
29
Capı́tulo 2
Introdução Às Equações Diferenciais
As palavras equação e diferencial sugerem certamente algum tipo de equação que envolve
derivadas. Da mesma forma que um curso de álgebra e trigonometria, nos quais um bom
tempo é gasto na resolução de equações como x2 + 5x + 4 = 0 para a incógnita x, neste
curso uma de nossas tarefas será resolver equações diferenciais como y 00 + 2y 0 + y = 0 para
a função incógnita y = φ(x).
O primeiro parágrafo acima nos fala algo, mas não tudo, sobre o curso que você está
prestes a começar. No decorrer do curso, você verá que há mais no estudo de equações
diferenciais que tão somente o domı́nio de métodos idealizados por alguém para resolvêlas. Mas, em primeiro lugar, para ler, estudar e familiarizar-se com esse assunto tão
especializado, é necessário conhecer algumas definições e terminologias básicas sobre o
mesmo.
2.1
Terminologia e Definições Básicas
No curso de cálculo, você aprendeu que, dada uma função y = f (x), a derivada
dy
0
= f (x)
dx
é também, ela mesma, uma função de x e é calculada por regras apropriadas. Por exemplo,
2
se y = ex , então
dy
dy
2
= 2xex ou
= 2xy
dx
dx
30
O problema com o qual nos deparamos neste curso não é: dada uma função y =
dy
f (x) encontre sua derivada. Nosso problema é: dada uma equação como
= 2xy,
dx
encontre, de algum modo, uma função y = f (x) que satisfaça a equação. O problema
é mais ou menos equivalente ao familiar problema inverso do cálculo diferencial: dada
uma derivada, encontrar uma antiderivada. Em outras palavras, nós queremos resolver
equações diferenciais.
Definição 2.1 (Equação Diferencial) Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis
independentes, é chamada de equação diferencial (ED).
Para poder discuti-las melhor, classificaremos as equações diferenciais por tipo, ordem e linearidade.
2.1.1
Classificação pelo Tipo
Se uma equação contiver somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável independente, ela será chamada de equação
diferencial ordinária (EDO). Por exemplo,
dy
− 5y
dt
2
dy
dy
− 2 + 6y
2
dx
dx
(y − x)dx + 4xdy
du dv
−
dx dx
= 1
= 0
(2.1.1)
= 0
= x
são equações diferenciais ordinárias. Uma equação que envolve as derivadas parciais de
uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes é chamada
de equação diferencial parcial (EDP). Por exemplo,
∂v
∂u
= −
∂y
∂x
∂u
∂u
x
+y
= u
∂x
∂y
∂ 2u
∂ 2u
∂u
=
−2
2
2
∂x
∂t
∂t
são equações diferenciais parciais.
31
(2.1.2)
As derivadas ordinárias serão escritas ao longo deste texto como a notação de Leibniz
dy d2 y d3 y
,
,
, · · · ou com a notação linha y 0 , y 00 , y 000 , · · ·. Usando a última notação,
dx dx2 dx3
podemos escrever as duas primeiras equações diferenciais em (2.1.1) um pouco mais compactamente como y 0 − 5y = 1 e y 00 − 2y 0 + 6y = 0. Na realidade, a notação linha é
usada somente para denotar as três primeiras derivadas; a quarta derivada é escrita como
dn y
0000
y (4) , em vez de y . Em geral, a n-ésima derivada é escrita como
ou y (n) . Embdxn
ora seja menos conveniente para escrever e imprimir, a notação de Leibniz tem, sobre a
notação linha, a vantagem de explicitar claramente as variáveis dependentes e independ2 x
dentes. Por exemplo, na equação 2 + 16x = 0 vê-se imediatamente que o sı́mbolo x
dt
representa uma variável dependente e t, uma variável independente. Derivadas parciais
são freqüentemente denotadas por uma notação em subscrito indicando as variáveis
independentes. Por exemplo, com a notação em subscrito, a terceira equação em (2.1.2)
torna-se uxx = utt − 2ut .
2.1.2
Classificação pelo Ordem
A ordem de uma equação diferencial (EDO) ou (EDP) é a ordem da maior derivada
na equação. Por exemplo,
d2 y
+5
dx2
µ
dy
dx
¶3
− 4y = ex
é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem (ou de ordem dois). Como a
equação diferencial (y − x)dx + 4xdy = 0 pode ser escrita na forma
4x
dy
+y =x
dx
dividindo-se pela diferencial dx, trata-se então de uma equação diferencial ordinária de
primeira ordem. A equação
a2
∂ 4u ∂ 2u
+ 2 =0
∂x4
∂t
é uma equação diferencial parcial de quarta ordem.
Embora as equações diferenciais parciais sejam muito importante, seu estudo demanda
um bom conhecimento da teoria de equações diferenciais ordinárias. Portanto, na discussão que se segue, limitaremos nossa atenção às equações diferenciais ordinárias.
32
Uma equação diferencial ordinária geral de n-ésima ordem é frequentemente representada pelo simbolismo
µ
¶
dy
dn y
F x, y, , · · · , n = 0
dx
dx
onde x é a variável independente.
µ
¶
dy
dy
dy
Por exemplo, F em 4x + y = x fica F x, y,
= 4x + y − x = 0
dx
dx
dx
2.1.3
Classificação como Linear e Não-Linear
Uma equação diferencial é chamada de linear quando pode ser escrita na forma
an (x)
dn y
dn−1 y
dy
+
a
(x)
+ · · · + a1 (x) + a0 (x)y = g(x)
n−1
n
n−1
dx
dx
dx
Observe que as equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades:
• A variável dependente y e todas as suas derivadas são do primeiro grau: isto é, a
potência de cada termo envolvendo y é 1.
• Cada coeficiente depende apenas da variável independente x.
Uma equação que não é linear é chamada de não-linear.
As equações
xdy + ydx = 0
00
y − 2y 0 + y = 0
d3 u
d2 y
dy
x3 3 − x2 2 + 3x + 5y = ex
dx
dx
dx
são equações diferenciais ordinárias de primeira, segunda e terceira ordens, respectivamente. Por outro lado,
yy 00 − 2y 0 = x e
d3 y
+ y2 = 0
dx3
são equações diferenciais ordinárias não-lineares de segunda e terceira ordens, respectivamente.
Como mencionado antes, nosso objetivo neste curso é resolver ou encontrar soluções
para equações diferenciais.
33
Definição 2.2 (Solução para uma Equação Diferencial) Qualquer função f definida
em algum intervalo I, que, quando substituı́da na equação diferencial, reduz a equação a
uma identidade, é chamada de solução para a equação no intervalo.
Em outras palavras, uma solução para uma equação diferencial ordinária
F (x, y, y 0 , · · · , y (n) ) = 0
é uma função f que possui pelo menos n derivadas e satisfaz a equação; isto é,
F (x, f (x), f 0 (x), · · · , f (n) (x)) = 0
para todo x no intervalo I
Exemplo 2.1 Verifique se y =
x4
é uma solução para a equação não-linear
16
dy
= xy 1/2
dx
no intervalo (−∞, +∞).
Exemplo 2.2 Verifique se y = xex é uma solução para a equação linear
y 00 − 2y 0 + y = 0
no intervalo (−∞, +∞).
Note que, nos exemplos (2.1) e (2.2), a função constante y = 0 também satisfaz a
equação diferencial dada para todo x real. Uma solução para uma equação diferencial
que é identicamente nula em um intervalo I é em geral referida como solução trivial.
Nem toda equação diferencial que escrevemos possui necessariamente uma solução.
Exemplo 2.3 As equações diferenciais de primeira ordem
µ ¶2
dy
+ 1 = 0 (y 0 )2 + y 2 + 4 = 0
dx
não possuem solução. Por quê? A equação de segunda ordem
00
(y )2 + 10y 4 = 0
posuui somente uma solução real. Qual?
34
2.1.4
Soluções Explı́citas e Implı́citas
Você deve estar familiarizado com as noções de funções explı́citas vistas em seu estudo
de cálculo. Similarmente, soluções de equações diferenciais são divididas em explı́citas
ou implı́citas. Uma solução para uma equação diferencial ordinária (EDO) que pode ser
escrita na forma y = f (x) é chamada de solução explı́cita. Vimos em nossa discusão inicial
dy
x4
que y = ex é uma solução explı́cita de
= 2xy. Nos exemplos (2.1) e (2.2), y =
dx
16
dy
00
x
1/2
0
e y = xe são soluções explı́citas de
= xy
e y − 2y + y = 0, respectivamente.
dx
Dizemos que uma relação G(x, y) = 0 é uma solução implı́cita de uma equação diferencial
em um intervalo I, se ela define uma ou mais soluções explı́citas em I.
Exemplo 2.4 Verifique que para −2 < x < 2, a relação x2 + y 2 − 4 = 0 é uma solução
implı́cita para a equação diferencial
dy
x
=−
dx
y
Além disso, note que qualquer relação da forma x2 + y 2 − c = 0 satisfaz, formalmente,
dy
x
= − para qualquer constante c. Porém, fica subentendido que a relação deve sempre
dx
y
fazer sentido no sistema dos números reais; logo, não podemos dizer que x2 + y 2 + 1 = 0
determina uma solução da equação diferencial.
Como a distinção entre uma solução explı́cita e uma solução implı́cita é intuitivamente
clara, não nos daremos ao trabelho de dizer “aqui temos uma solução explı́cita (implı́cita)”.
Número de Soluções - Você deve se acostumar com o fato de que uma dada equação
diferencial geralmente possui um número infinito de soluções.
Exemplo 2.5 Verifique que para qualquer valor de c, a função y =
c
+ 1 é uma solução
x
da equação diferencial de primeira ordem
x
dy
+y =1
dx
no intervalo (0, +∞).
Em alguns casos, quando somamos duas soluções de uma equação diferencial, obtemos
uma outra solução.
35
Exemplo 2.6 a) Verifique se as funções y = c1 cos 4x e y = c2 sin 4x, em que c1 e c2 são
constantes arbitrárias, são soluções para equação diferencial
00
y + 16y = 0.
b) Verifique se a soma das duas soluções da parte (a), ou seja y = c1 cos 4x + c2 sin 4x,
00
também é uma solução para y + 16y = 0.
Observação 2.1 Nem sempre a soma de duas soluções de uma E.D.O é uma solução
da E.D.O. Para exemplificar isto, basta tomar no exemplo (2.5), c1 e c2 números reais
diferentes de zero.
Exemplo 2.7 Verifique se
y = ex , y = e−x , y = c1 ex , y = c2 e−x e y = c1 ex + c2 e−x
são todas soluções da equação diferencial linear de segunda ordem
00
y − y = 0.
O próximo exemplo mostra que uma solução de uma equação diferencial pode ser uma
função definida por partes.
Exemplo 2.8 a) Verifique que qualquer função da famı́lia y = cx4 é uma solução para a
equação diferencial
xy 0 − 4y = 0.
b) Verifique se a função definida por partes

 −x4 se x < 0
y=
 x4 se x ≥ 0
também é uma solução.
Mais Teminologia - O estudo de equações diferenciais é semelhante ao cálculo integral. Quando calculamos uma antiderivada ou integral indefinida, utilizamos uma única
constante de integração. De maneira análoga, quando resolvemos uma equação diferencial de primeira ordem F (x, y, y 0 ) = 0, normalmente obtemos uma famı́lia de curvas ou
36
funções G(x, y, c) = 0, contendo um parâmetro arbitrário tal que cada membro da famı́lia
é uma solução da equação diferencial. Na verdade, quando resolvemos uma equação de nd(n) y
0
(n)
(n)
ésima ordem F (x, y, y , · · · , y ) = 0, em que y significa
, esperamos uma famı́lia
dxn
a n-parâmetros de soluções G(x, y, c1 , · · · , cn ) = 0.
Uma solução para uma equação diferencial que não depende de parâmetros arbitrários
é chamada de solução particular. Uma maneira de obter uma solução particular é
escolher valores especı́ficos para o(s) parâmetro(s) na famı́lia de soluções. Por exemplo,
é fácil ver que y = cex é uma famı́lia a um parâmetro de soluções para a equação de
primeira ordem y 0 = y. Para c = 0, −2 e 5, obtemos as soluções particulares y = 0, y =
−2ex e y = 5ex , respectivamente.
Às vezes, uma equação diferencial possui uma solução que não pode ser obtida especificandose os parâmetros em uma famı́lia de soluções. Tal solução é chamada de solução singular.
Por exemplo, provaremos no futuro próximo que uma famı́lia a um parâmetro de soluções
¶2
µ 2
x
0
1/2
+ c , quando c = 0, a solução particular resultante
para y = xy é dada por y =
4
x4
é y = . Neste caso, a solução trivial y = 0 é uma solução singular para a equação, pois
16
ela não pode ser obtida da famı́lia através de uma escolha do parâmetro c.
Revisão - Classificamos uma equação diferencial quanto ao tipo: ordinária ou parcial; quanto à ordem; e quanto à linearidade: linear ou não-linear.
Uma solução para uma equação diferencial é qualquer função relativamente diferenciável que satisfaça a equação em algum intervalo.
Quando resolvemos uma equação diferencial ordinária de n-ésima ordem, esperamos
encontrar uma famı́lia de soluções a n-parâmetros. Uma solução particular é qualquer
solução, não dependente de parâmetros, que satisfaça a equação diferencial. Uma solução
singular é qualquer solução que não pode ser obtida da famı́lia de soluções a n-paâmetros
através de escolha dos parâmetros. Quando uma famı́lia de soluções a n-parâmetros
fornece todas as soluções para uma equação diferencial em algum intervalo, ela é chamada
solução geral, ou completa.
37
1a - LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê
também a ordem de cada equação,
(a) (1 − x)y 00 − 4xy 0 + 5y = cos x; (Resp.: linear, segunda ordem)
(b) yy 0 + 2y = 1 + x2 ; (Resp.: não-linear, primeira ordem)
(c) x3 y (4) − x2 y 00 + 4xy 0 − 3y = 0; (Resp.: linear, quarta ordem)
s
µ 2 ¶2
dy
dy
(d)
= 1+
; (Resp.: não-linear, segunda ordem)
dx
dx2
(e) (sin x)y 000 − (cos x)y 0 = 2; (Resp.: linear, terceira ordem).
2. Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. (c1 e c2 são
constantes).
(a) 2y 0 + y = 0; y = e−x/2
dy
(b)
− 2y = e3x ; y = e3x + 10e2x
dx
(c) y 0 = 25 + y 2 ; y = 5 tan 5x
1
1
(d) y 0 + y = sin x; y = sin x − cos x + 10e−x
2
2
1
(e) x2 dy + 2xydx = 0; y = − 2
x
1
(f) y 0 − y = 1; y = x ln x, x > 0
x
dX
2−X
(g)
= (2 − X)(1 − X); ln
=t
dt
1−X
¡
¢
¡
¢
(h) x2 + y 2 dx + x2 − xy dy = 0; c1 (x + y)2 = xey/x
(i) y 00 − 6y 0 + 13y = 0; y = e3x cos 2x
dy
d2
= 0; y = c1 + c2 x−1
(j) x 2 + 2
dx
dx
(k) x2 y 00 − 3xy 0 + 4y = 0; y = x2 + x2 ln x , x > 0
(l) y 000 − 3y 00 + 3y 0 − y = 0; y = x2 ex

 −x2 se x < 0
3. Verifique se a função definida por partes y =
é solução para a
 x2 se x ≥ 0
equação diferencial xy 0 − 2y = 0.
38
4. Verifique que uma famı́lia a um parâmetro de soluções para
y = xy 0 + (y 0 )2 é y = cx + c2
Determine um valor de k para que y = kx2 seja uma solução singular para a equação
diferencial. (Resp.: k = − 14 )
5. Encontre valores de m para que y = emx seja uma solução para equação diferencial
y 00 − 5y 0 + 6y = 0. (Resp.: m = 2 e m = 3)
6. Mostre que y1 = x2 e y2 = x3 são ambas soluções para
x2 y 00 − 4xy 0 + 6y = 0
As funções c1 y1 e c2 y2 , com c1 e c2 constantes arbitrárias, são também soluções? A
soma y1 + y2 é uma solução?
7. Por inspeção, determine, se possı́vel, uma solução real para a equação diferencial
dada.
¯ dy ¯
¯ ¯
(a) ¯ ¯ + |y| = 0; (Resp.: y = 0)
dx
¯ dy ¯
¯ ¯
(b) ¯ ¯ + |y| + 1 = 0; (Resp.: nenhuma solução real)
dx
¯ dy ¯
¯ ¯
(c) ¯ ¯ + |y| = 1; (Resp.: y = 1 ou y = −1)
dx
39
Capı́tulo 3
Equações Diferenciais de Primeira
Ordem
Estamos agora em posição de resolver algumas equações diferenciais. Começamos com as
equações diferenciais de primeira ordem.
Se uma equação diferencial de primeira ordem puder ser resolvida, veremos que a
técnica ou método para resolvê-la depende do tipo da equação de primeira ordem com que
estamos lidando. Durante anos, muitos matemáticos se esforçaram para resolver diversos
tipos particulares de equações. Por isso, há vários métodos de solução: o que funciona
para um tipo de equação de primeira ordem não se aplica necessariamente a outros tipos de
equação. Embora consideremos métodos de solução para sete tipos clássicos de equações
neste capı́tulo, centralizamos nossa atenção em quatro tipos de equações. Alguns desses
quatro tipos são importantes nas aplicações.
3.1
3.1.1
Teoria Preliminar
Problema de Valor Inicial
Estamos interessados em resolver uma equação diferencial de primeira ordem
dy
= f (x, y)
dx
40
sujeita à condição inicial y(x0 ) = x0 , em que x0 é um número no intervalo I e y0 é um
número real arbitrário. O problema
dy
= f (x, y)
dx
Sujeita a : y(x0 ) =
y0
Resolva :
(3.1.1)
é chamado de problema de valor inicial PVI. Em termos geométricos, estamos procurando uma solução para a equação diferencial, definida em algum intervalo I tal que o
gráfico da solução passe por um (x0 , y0 ) determinado a priori.
dy
= y no intervalo
dx
(−∞, ∞). Encontre uma solução para o problema de valor inicial (PVI).

 dy = y
dx
 y(0) = 3
Exemplo 3.1 Vimos que y = cex é uma famı́lia de soluções para
A questão fundamental surge quando consideramos um problema de valor inicial como
(3.1.1):
Existe uma solução para o problema?
Se existe uma solução, ela é única?
dy
= f (x, y) possui uma solução cujo gráfico
dx
passa pelo ponto (x0 , y0 )? E será que essa solução, se existir, é única?
Em outras palavras, a equação diferencial
Exemplo 3.2 Verifique se cada uma das funções y = 0 e y =
x4
satisfaz o problema de
16
valor inicial (PVI).

 dy = xy 1/2
dx
 y(0) =
0
Em geral, deseja-se saber, antes de considerar um problema de valor inicial, se uma
solução existe e, quando existe, se é a única solução para o problema.
Teorema 3.1 (Existência de uma Única Solução - Teorema de Picard)
Seja R uma região retangular no plano xy definida por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, que
∂f
são contı́nuas em R, então
contém o ponto (x0 , y0 ) em seu interior. Se f (x, y) e
∂y
existe um intervalo I centrado em x0 e uma única função y(x) definida em I que satisfaz
o problema de valor inicial (3.1.1).
41
Exemplo 3.3 Use o teorema (3.1) para verificar a existência de uma única solução para
o problema de valor inicial (P V I)


dy
= xy 1/2
dx
 y(x ) = y
0
0
Exemplo 3.4 Use o teorema (3.1) para garantir a existência de uma única solução para
o problema de valor inicial (P V I)

 dy = y
dx
 y(0) = 3
Exemplo 3.5 Use o teorema (3.1) para garantir a existência de uma única solução para
o problema de valor inicial (P V I)

 dy = x2 + y 2
dx
 y(x ) =
y0
0
2a - LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Determine uma região do plano xy para a qual a equação diferencial teria uma única
solução passando por um ponto (x0 , y0 ) na região.
dy
= y 2/3 ; (Resp.: semiplano definido por y > 0 ou y < 0)
dx
dy
(b) x
= y ; (Resp.: semiplano definido por x > 0 ou x < 0)
dx
(c) (4−y 2 )y 0 = x2 ; (Resp.: As regiões definidas por y > 2,y < −2 ou −2 < y < 2)
(a)
(d) (x2 + y 2 )y 0 = y 2 ; (Resp.: Qualquer região que não contenha (0, 0))
dy
(e)
= x3 cos y; (Resp.: O plano xy todo)
dx
2. Determine,
por inspeção, pelo menos duas soluções para o problema de valor inicial

0
 y
= 3y 2/3
; (Resp.: y = 0, y = x3 )
 y(0) =
0

 y0 = y3
3. Por inspeção, encontre uma solução para o problema de valor inicial
 y(0) = 0
A solução é única? ; (Resp.: Há algum intervalo em torno de x = 0 no qual a
única solução é y = 0)
42
4. Verifique que y = cx é uma solução para a equação diferencial xy 0 = y para todo
valor do parâmetro c. Encontre pelo menos duas soluções para o problema de inicial

 xy 0 = y
 y(0) = 0

 0 se x < 0
Observe que a função definida por partes y =
 x se x ≥ 0
satisfaz a condição y(0) = 0. Ela é uma solução para o problema de valor inicial? (Resp.: y = 0 ou y = x. Não, a função não é diferenciável em x = 0)
5. Verifique se o Teorema (3.1) garante unicidade de solução para a equação diferencial
p
y 0 = y 2 − 9, passando pelo ponto dado.
(a) (1, 4)
(Resp.: sim)
(b) (2, −3) (Resp.: não)
3.2
Variáveis Separáveis
Suponha que seja dada uma equação diferencial de 1a ordem
dy
= F (x, y)
dx
então pensando em
(3.2.1)
dy
como um quociente de diferenciais, a equação pode ser escrita na
dx
forma
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
(3.2.2)
x − 3y
dy
=
dx
2y − 5x
(3.2.3)
(x − 3y)dx + (5x − 2y)dy = 0
(3.2.4)
Assim, por exemplo,
pode também ser escrita como
43
onde M (x, y) = x − 3y, N (x, y) = 5x − 2y. O problema de resolver equações diferenciais
de 1a ordem depende da solução da equação (3.2.1) ou da solução da equação (3.2.2). Um
tipo simples que aparece com frequência é a que pode ser escrita na forma
f (x)dx + g(y)dy = 0
(3.2.5)
onde um termo envolve somente x enquanto o outro termo envolve somente y. Esta
equação pode ser resolvida por integração imediata. Assim, a solução geral é
Z
Z
f (x)dx + g(y)dy = 0
(3.2.6)
onde c é a constante de integração. Podemos, é claro, retornar à equação (3.2.5) diferenciando ambos os membros de (3.2.6).
Como este método depende de escrevermos (3.2.1) ou (3.2.2) na forma (3.2.5), onde
as variáveis estão “separadas” em dois termos, ele é chamado de Método de Separação
de Variáveis, e as variáveis são ditas separáveis. Nem sempre, no entanto, essa situação
privilegiada ocorre, isto é, nem sempre podemos separar as variáveis. Por exemplo, não
existe nenhuma maneira através da qual a equação (3.2.4) pode ser escrita na forma
(3.2.5). Nestes casos, somos obrigados a usar outros métodos. A procura de tais métodos
é nosso objetivo neste capı́tulo.
Exemplo 3.6
1. Encontre a solução geral da
dy
x2 + 1
=
dx
2−y
(3.2.7)
2. Determine a solução particular para a qual y(−3) = 4.
Às vezes, o fato de uma equação ser “separável” não é tão óbvio, podemos ver no
seguinte exemplo.
Exemplo 3.7 Resolva a x
dy
− y = 2x2 y
dx
Exemplo 3.8 Resolva a (1 + x)dy − ydx = 0


 dy = −x
dx
y
Exemplo 3.9 Resolva o problema de valor inicial (P V I)

 y(4) = 3
44
Exemplo 3.10 Resolva a xe−y sin xdx − ydy = 0
Exemplo 3.11 Resolva a xy 4 dx + (y 2 + 2)e−3x dy = 0
Dois pontos devem ser mencionados neste instante. Primeiro, a menos que seja importante ou conveniente, não há necessidade de tentar resolver y como função de x em
uma expressão que representa uma famı́lia de soluções. Segundo, deve-se estar atento à
separação de variável para ter certeza de que os divisores não são nulos. Uma solução
constante pode facilmente ser esquecida no embaralhamento do processo de resolução para
o problema.

 dy = y 2 − 4
dx
Exemplo 3.12 Resolva o problema de valor inicial (P V I)
 y(0) =
−2

 dy = xy 1/2
dx
Exemplo 3.13 Resolva o problema de valor inicial (P V I)
 y(0) =
0
3a - LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
dy
1
= sin 5x; (Resp.:y = − cos(5x) + c)
dx
5
1
dx + e3x dy = 0 (Resp.:y = e−3x + c)
3
dy
(x + 1)
= x + 6 (Resp.:y = x + 5 ln |x + 1| + c)
dx
dy
x
= 4y (Resp.:y = cx4 )
dx
y3
dy
= 2 (Resp.:y −2 = 2x−1 + c)
dx
x
dx
x2 y 2
=
(Resp.:−3 + 3x ln |x| = xy 3 + cx)
dy
1+x
dy
= e3x+2y (Resp.:−3e−2y = 2e3x + c)
dx
(h) 2y(x + 1)dy = xdx (Resp.:y 2 = x − ln |x + 1| + c)
µ
¶2
dx
y+1
x3
1
y2
(i) y ln x
=
(Resp.: ln x − x3 =
+ 2y + ln |y| + c)
dy
x
3
9
2
45
dS
= kS (Resp.:S = cekr )
dr
dP
P
(k)
= P − P 2 (Resp.:
cet )
dt
1−P
(l) sec2 xdy + csc ydx = 0 (Resp.:4 cos y = 2x + sin 2x + c)
(j)
(m) ey sin 2xdx + cos x(e2y − y)dy = 0 (Resp.:−2x cos x + ey + ye−y + e−y = c)
(n) (ey + 1)2 e−y dx + (ex + 1)3 e−x dy = 0 (Resp.:(ex + 1)−2 + 2(ey + 1)−1 = c)
dy
1
x+1
(o) (y − yx2 )
= (y + 1)2 (Resp.:(y + 1)−1 + ln |y + 1| = ln |
| + c)
dx
2
x−1
dy
xy + 3x − y − 3
(p)
=
(Resp.:y − 5 ln |y + 3| = x − 5 ln |x + 4| + c)
dx
xy − 2x + 4y − 8
dy
= sin x(cos 2y − cos2 y) (Resp.:− cot y = cos x + c)
(q)
dx
µ 2
¶
p
x
(r) x 1 − y 2 dx = dy (Resp.:y = sin
+c )
2
dy
(s) (ex + e−x )
= y 2 (Resp.:−y −1 = arctan(ex ) + c)
dx
2. Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

 (e−y + 1) sin xdx = (1 + cos x)dy
(Resp.:(1 + cos x)(1 + ey ) = 4)
(a)

y(0)
=
0

 ydy = 4x(y 2 + 1)1/2 dx
p
√
(b)
(Resp.: y 2 + 1 = 2x2 + 2)
 y(0) =
1

dx


= 4(x2 + 1)
3π
dy
(c)
(Resp.:x = tan(4y −
))
³π ´

4
 x
=
1
4

 x2 y 0 = y − xy
1
(d)
(Resp.:xy = e−(1+ x ) )
 y(−1) =
−1
3. Encontre uma solução para a equação diferencial
pontos indicados.
1 − e6x
)
1 + e6x
(b) (0, 3) (Resp.:y = 3)
¶
µ
2 − e6x−2
1
, 1 (Resp.:y = 3
)
(c)
3
2 + e6x−2
(a) (0, 0) (Resp.:y = 3
46
dy
− y 2 = −9 que passe pelos
dx
3.3
Mudança de Variáveis
Como uma equação diferencial cujas variáveis são separáveis é fácil de resolver, surge
então a seguinte pergunta:
“Existem outros tipos de equações diferenciais cujas variáveis não são separáveis mas
que podem ser transformadas em equações cujas variáveis são separáveis?”
A resposta, a esta pergunta é “sim”. De fato, uma das maneiras mais importantes de
resolver uma equação diferencial dada é fazer uma mudança de variável conveniente,
que reduza a equação num tipo que possamos resolver. É uma situação semelhante a que
usamos em cálculo I para resolver integrais através de uma mudança de variáveis. Em
alguns casos a mudança de variáveis a ser usada é sugerida pela forma da equação. Em
outros casos a transformação não é tão óbvia.
3.3.1
Equações Homogêneas
Antes de considerar o conceito de equação diferencial homogênea de primeira ordem
e seu método de solução, precisamos primeiro examinar de perto a natureza de uma
função homogênea. Começamos com a definição deste conceito.
Definição 3.1 (Função Homogênea) Se uma função f satisfaz
f (tx, ty) = tn f (x, y)
para algum número real n, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n.
Exemplo 3.14 Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidadade quando for o caso.
1. f (x, y) = x2 − 3xy + 5y 2
2. f (x, y) =
p
3
x2 + y 2
3. f (x, y) = x3 + y 3 + 1
4. f (x, y) =
x
+4
2y
47
Se f (x, y) for uma função homogênea de grau n, note que poderemos escrever
µ
¶
³ y´
x
n
n
f (x, y) = x f 1,
e f (x, y) = y f
,1
(3.3.1)
x
y
µ
¶
³ y´
x
em que f 1,
ef
, 1 são ambas homogêneas de grau zero.
x
y
Uma equação diferencial homogênea de primeira ordem é definida em termos das
funções homogêneas.
Definição 3.2 (Equação Homogênea) Uma equação diferencial da forma
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
é chamada de homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do
mesmo grau.
Em outras palavras,
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
é homogênea se
M (tx, ty) = tn M (x, y) e N (tx, ty) = tn N (x, y)
Método de Solução
Uma equação diferencial homogênea
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
(3.3.2)
pode ser resolvida por meio de substituição algébrica. Especificamente, a substituição
y = ux ou x = vy, em que u e v são as novas variáveis independentes, transformará a
equação em uma equação diferencial de primeira ordem separável.
Para ver isso, seja
y = ux
então, sua diferencial
dy = udx + xdu
substituindo em (3.3.2), temos
M (x, ux)dx + N (x, ux)(udx + xdu) = 0
48
agora, pela propriedade de homogeneidade podemos escrever
dx
N (1, u)du
+
=0
x
M (1, u) + uN (1, u)
Exemplo 3.15 Resolva (x2 + y 2 )dx + (x2 − xy)dy = 0.
√
Exemplo 3.16 Resolva (2 xy − y)dx − xdy = 0.
Você poderia perguntar agora: quando a substituição x = vy deve ser usada? Embora
ela possa ser usada em qualquer equação diferencial homogênea, na prática tentamos
x = vy quando a função M (x, y) é mais simples que N (x, y). Para resolver
(x2 + y 2 )dx + (x2 − xy)dy = 0
por exemplo, sabemos que não há diferença significativa entre M e N ; logo, y = ux ou
x = vy pode ser usada. Também pode acontecer que depois de fazer uma substituição
encontramos integrais que são difı́cies ou impossı́veis de serem calculadas; uma outra
substituição pode resultar em problemas mais fáceis.
Exemplo 3.17 Resolva 2x3 ydx + (x4 + y 4 )dy = 0.
Uma equação diferencial homogênea pode sempre ser expressa na forma alternativa
³y´
dy
=F
dx
x
Para ver isso, suponha que escrevamos a equação M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 como
dy
=
dx
f (x, y), em que
f (x, y) = −
M (x, y)
.
N (x, y)
A função f (x, y) deve ser necessariamente homogênea de grau zero quando M e N são
homogêneas de grau n. De (3.3.1)
xn M (1, xy )
M (1, xy )
=
−
xn N (1, xy )
N (1, xy )
³y´
. Deixamos como exercı́cio a demonstração
A última razão é uma função da forma F
x
µ ¶
x
de que uma equação diferencial homogênea pode também ser escrita como G
.
y
f (x, y) = −
49

 x dy = y + xey/x
dx
Exemplo 3.18 Resolva o problema de valor inicial (PVI)
 y(1) =
1
Exemplo 3.19 Resolva
dy
x−y
=
.
dx
x+y
4a -LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade
quando for o caso.
(a) x3 + 2xy 2 −
(b)
y4
(Resp.: homogênea de grau 3)
x
x3 y − x2 y 2
(Resp.: homogênea de grau 2)
(x + 8y)2
(c) cos
x2
(Resp.: não homogênea)
x+y
(d) ln x2 − 2 ln y (Resp.: homogênea de grau 0)
(e) (x−1 + y −1 )2 (Resp.: homogênea de grau −2)
2. Resolva a equação diferencial usando uma substituição apropriada.
(a) (x − y)dx + xdy = 0 (Resp.: x ln |x| + y = cx)
(b) xdx + (y − 2x)dy = 0 (Resp.: (x − y) ln |x − y| = y + c(x − y))
(c) (y 2 + yx)dx − x2 dy = 0 (Resp.: x + y ln |x| = cy)
dy
y−x
=
(Resp.: ln(x2 + y 2 ) + 2 arctan( xy ) = c)
dx
y+x
√
(e) −ydx + (x + xy)dy = 0 (Resp.: 4x = y(ln |x| − c)2 )
(d)
(f) 2x2 ydx = (3x3 + y 3 )dy (Resp.: y 9 = c(x3 + y 3 )2 )
y x
dy
= + (Resp.: ( xy )2 = 2 ln |x| + c)
dx
x y
dx
(h) y
= x + 4ye−2x/y (Resp.: e2x/y = 8 ln |y| + c)
dy
³
y´
(i) y + cot
dx − xdy = 0(Resp.: x cos(y/x) = c)
x
(g)
(j) (x2 + xy − y 2 )dx − xydy = 0 (Resp.: y + x = cx2 ey/x )
50
3. Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

 xy 2 dy = y 3 − x3
dx
(a)
 y(1) = 2 (Resp. : y 3 + 3x3 ln |x| = 8x3 )

 2x2 dy = 3xy + y 2
dx
(b)
 y(1) = −2 (Resp. : y 2 = 4x(x + y)2 )

 (x + yey/x )dx − xey/x dy = 0
(c)

y(1) = 0 (Resp. : ln |x| = ey/x − 1)

 (y 2 + 3xy)dx = (4x2 + xy)dy
(d)

y(1) = 1 (Resp. : 4x ln |y/x| + x ln x + y − x = 0)

 (x + √xy) dy + x − y = x−1/2 y 3/2
dx
(e)

y(1) = 1 (Resp. : 3x3/2 ln |x| + 3x1/2 + 2y 3/2 = 5x3/2 )

 y 2 dx + (x2 + xy + y 2 )dy = 0
(f)

y(0) = 1 (Resp. : (x + y) ln |y| + x = 0)
 ³
´
p
dy

 x + y 2 − xy
= y
dx
¶
µ
(g)
√
1


= 1 (Resp. : ln |y| = −2(1 − x/y)1/2 + 2)
y
2
4. Suponha que M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 seja uma equação homogênea. Mostre
que a substituição x = vy transforma a equação em uma equação com variáveis
separáveis.
5. Suponha que M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 seja uma equação homogênea. Mostre que
dy
a equação pode ser escrita na forma alternativa
= G(x, y)
dx
3.3.2
Equações Exatas
Embora a equação
ydx + xdy = 0
seja separável e homogênea, podemos ver que ela é também equivalente à diferencial do
produto de x e y, isto é
ydx + xdy = d(xy) = 0
51
Por integração, obtemos imediatamente a solução xy = c.
Você deve se lembrar do cálculo que, se z = f (x, y) é uma função com derivadas
parciais contı́nuas em uma região R do plano xy, então sua diferencial total é
dz =
∂f
∂f
dx +
dy
∂x
∂y
Agora, se f (x, y) = c, segue-se que
∂f
∂f
dx +
dy = 0
∂x
∂y
Em outras palavras, dada uma famı́lia de curvas f (x, y) = c, podemos gerar uma
equação diferencial de primeira ordem, calculando a diferencial total.
Exemplo 3.20 Dada x2 − 5xy + y 3 = c calcule
dy
.
dx
Para nossos propósitos, é mais importante inverter o problema, isto é, dada uma
equação como
dy
5y − 2x
=
dx
−5x + 3y 2
podemos identificar a equação como sendo equivalente a
d(x2 − 5xy + y 3 ) = 0
Definição 3.3 (Equação Exata) Uma expressão diferencial
M (x, y)dx + N (x, y)dy
é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial
total de algum função f (x, y). Uma equação diferencial da forma
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
é chamada de uma equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial
exata.
Exemplo 3.21 Verifique se a equação x2 y 3 dx + x3 y 2 dy = 0 é exata.
O teorema a seguir é um teste para uma diferencial exata.
52
Teorema 3.2 (Critério para uma Diferencial Exata) Sejam M (x, y) e N (x, y) funções
contı́nuas com derivadas parciais contı́nuas em uma região retangular R definida por
a < x < b, c < y < d. Então, uma condição necessária e suficiente para que
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
seja uma diferencial exata é
∂M
∂N
=
∂y
∂x
Método de Solução
Dada a equação
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
mostre primeiro que
∂M
∂N
=
∂y
∂x
Depois suponha que
∂f
= M (x, y)
∂x
daı́ podemos encontrar f integrando M (x, y) com relação a x, considerando y constante.
Escrevemos,
Z
f (x, y) =
M (x, y)dx + g(y)
(3.3.3)
em que a função arbitrária g(y) é a constante de integração. Agora, derivando (3.3.3)
com relação a y e supondo
∂
∂f
=
∂y
∂y
Z
M (x, y)dx + g 0 (y) = N (x, y)
Assim
∂
g (y) = N (x, y) −
∂y
0
Z
M (x, y)dx
(3.3.4)
Finalmente, integre (3.3.4) com relação a y e substitua o resultado em (3.3.3). A solução
para a equação é f (x, y) = c.
Exemplo 3.22 Resolva x2 y 3 dx + x3 y 2 dy = 0.
53
Exemplo 3.23 Resolva 2xydx + (x2 − 1)dy = 0.
Exemplo 3.24 Resolva (e2y − y cos xy)dx + (2xe2y − x cos xy + 2y)dy = 0.
Exemplo 3.25 Resolva o problema de valor inicial (PVI).

 (cos x sin x − xy 2 )dx + y(1 − x2 )dy = 0

y(0) = 2
Definição 3.4 Se
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
é multiplicada por µ(x, y) para obter
µ(x, y)M (x, y)dx + µ(x, y)N (x, y)dy = 0
cujo membro esquerdo é uma diferencial exata, dizemos que obtivemos uma equação diferencial exata. A função de multiplicação é µ é chamada um fator integrante da equação
diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
No método de separação de variáveis fizemos uso de algumas das idéias vistas acima.
Por exemplo, no exemplo (3.7), foi dada a equação diferencial
x
dy
− y = 2x2 y
dx
então, multiplicando a equação por um fator integrante “conveniente” µ =
µ
isto é,
1
2x +
x
¶
dx −
1
, obtemos:
yx
dy
=0
y
¡
¢
d x2 + ln |x| − ln |y| = 0
ou seja
x2 + ln |x| − ln |y| = c
Para uma ilustração mais “dramática” das idéias acima, consideremos uma equação
cujas variáveis não podem ser separadas.
54
Exemplo 3.26 Resolva a equação diferencial (x + y)dx + x ln xdy = 0, sendo µ(x, y) =
1
x
o fator integrandte.
Teoricamente o problema está perfeitamente claro, mas podemos perguntar o seguinte.
1
Como “saber” que µ(x, y) = é um fator integrante?
x
Como determinar o fator integrante µ(x, y)
Dada a equação não exata
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
(3.3.5)
queremos determinar um fator integrante µ para ela, supondo que µ depende apenas de
uma variável.
1. µ = µ(x)
Como µ é um fator integrante para (3.3.5), ao multiplicarmos por µ, obtemos uma
equação exata da forma
µ(x)M (x, y)dx + µ(x)N (x, y)dy = 0
assim
∂(µM )
∂(µN )
=
∂y
∂x
isto é,
µ0
My − Mx
(x) =
, N 6= 0
µ
N
integrando com relação a x, obtemos o fator integrante µ, que é dado por
R
µ(x) = e
My −Nx
dx
N
2. µ = µ(y) - Raciocinando de forma análoga ao item anterior obtemos,
R
µ(y) = e
Nx −My
M
dx
, M 6= 0
Exemplo 3.27 Resolva a equação
(x + y)dx + x ln xdy = 0
55
Exemplo 3.28 Calcule o fator integrante
1. ey (x2 + 1)dx − 2dy = 0;
2. (x + 2y)dx − xdy = 0;
√
3. ( x + y − 3)dx − xdy = 0.
5a -LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
(a) (2x − 1)dx + (3y + 7)dy = 0 (Resp.: x2 − x + 32 y 2 + 7y = c)
(b) (5x + 4y)dx + (4x − 8y 3 )dy = 0 (Resp.: 52 x2 + 4xy − 2y 4 = c)
(c) (2y 2 x − 3)dx + (2yx2 + 4)dy = 0 (Resp.: x2 y 2 − 3x + 4y = c)
(d) (x + y)(x − y)dx + x(x − 2y)dy = 0 (Resp.: não é exata, mas é homogênea)
(e) (y 3 − y 2 sin x − x)dx + (3xy 2 + 2y cos x)dy = 0 (Resp.: xy 3 + y n cos x − 21 x2 = c)
µ
¶
1
−xy
(f) (y ln y − e )dx +
+ x ln y dy = 0 (Resp.: não é exata)
y
dy
(g) x
= 2xex − y + 6x2 (Resp.: xy − 2xex + 2ex − 2x3 = c)
dx
µ
¶
µ
¶
3
3
(h) 1 − + y dx + 1 − + x dy = 0 (Resp.: x + y + xy − 3 ln |xy| = c)
x
y
µ
¶
dx
1
+ x3 y 2 = 0 (Resp.: x3 y 3 − tan−1 3x = c)
(i) x2 y 3 −
2
1 + 9x
dy
(j) (tan x − sin x sin y) dx + cos x cos ydy = 0 (Resp.: − ln | cos x| + cos x sin y = c)
¡
¢ dy
(k) 1 − 2x2 − 2y
= 4x3 + 4xy (Resp.: y − 2x2 y − y 2 − x4 = c)
dx
¢
¡
¢
¡
(l) 4x3 y − 15x2 − y dx + x4 + 3y 2 − x dy = 0 (Resp.: x4 y − 5x3 − xy + y 3 = c)
2. Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

 (x + y)2 dx + (2xy + x2 − 1)dy = 0
(a)
1
4

y(1) = 1 (Resp. : x3 + x2 y + xy 2 − y = )
3
3

 (4y + 2x − 5)dx + (6y + 4x − 1)dy = 0
(b)

y(−1) = 2 (Resp. : 4xy + x2 − 5x + 3y 2 − y = 8)
56
 ¡
 y 2 cos x − 3x2 y − 2x¢ dx + ¡2y sin x − x3 + ln y ¢ dy = 0
(c)

y(0) = e
(Resp. : y 2 sin x − x3 y − x2 + y ln y − y = 0)
3. Encontre o valor de k para que a equação diferencial dada seja exata.
(a) (y 3 + kxy 4 − 2x)dx + (3xy 2 + 20x2 y 3 )dy = 0
(Resp.: k = 10)
(b) (2xy 2 + yex )dx + (2x2 y + kex − 1)dy = 0 (Resp.: k = 1)
4. Determine uma função M (x, y) para que a seguinte equação diferencial seja exata:
µ
¶
1
xy
M (x, y)dx + xe + 2xy +
dy = 0
x
(Resp.: M (x, y) = y xy + y 2 − (y/x2 ) + h(x))
5. Resolva a equação diferencial dada, verificando que a função indicada µ(x, y) seja
um fator de integração.
(a) 6xydx + (4y + 9x2 )dy = 0, µ(x, y) = y 2 (Resp.: 3x2 y 3 + y 4 = c)
(b) (−xy sin x + 2y cos x)dx + 2x cos xdy = 0, µ(x, y) = xy(Resp.: x2 y 2 cos x = c)
(c) (2y 2 + 3x)dx + 2xydy = 0, µ(x, y) = x (Resp.: x2 y 2 + x3 = c)
6. Mostre que qualquer equação diferencial separável de primeira ordem na forma
h(y)dy − g(x)dx = 0 é também exata.
3.3.3
Equações Lineares
No capı́tulo (2) seção (2.1.3), definimos a forma geral para uma equação diferencial de
ordem n como
an (x)
dn−1 y
dy
dn y
+
a
(x)
+ · · · + a1 (x) + a0 (x)y = g(x)
n−1
n
n−1
dx
dx
dx
Lembre-se de que linearidade significa que todos os coeficientes são funções de x somente e que y e todas as suas derivadas são elevadas à primeira potência. Agora, quando
n = 1, obtemos uma equação linear de primeira ordem.
57
Definição 3.5 Uma equação diferencial da forma
a1 (x)
dy
+ a0 (x)y = g(x)
dx
é chamada de equação linear.
Dividindo pelo coeficiente a1 (x), obtemos uma forma mais útil de uma equação linear
dy
+ P (x)y = f (x)
dx
(3.3.6)
a0 (x)
g(x)
e f (x) =
.
a1 (x)
a1 (x)
Procuramos uma solução para (3.3.6) em um intervalo I no qual as funções P (x) e
onde P (x) =
f (x) são contı́nuas. Na discusão a seguir, suponhamos que (3.3.6) possui solução.
Fator de Integração
Usando diferenciais, podemos escrever a equação (3.3.6), como
dy + [P (x)y − f (x)dx] = 0
(3.3.7)
Equações lineares possuem a agradável propriedade através da qual podemos sempre
encontrar uma função µ(x) em que
µ(x)dy + µ(x)[P (x)y − f (x)dx] = 0
(3.3.8)
é uma equação diferencial exata. Logo
∂
∂
(µ(x)) =
[µ(x)(P (x)y − f (x))]
∂x
∂y
(3.3.9)
então
dµ
= µ(x)P (x)
dx
esta é uma equação separável em que podemos determinar µ(x). Temos
dµ
= P (x)dx
µ(x)
(3.3.10)
então
Z
ln µ =
P (x)dx
58
(3.3.11)
assim
R
µ(x) = e
P (x)dx
(3.3.12)
A função µ(x) definida em (3.3.12) é um fator de integração para a equação linear
(3.3.6). Note que não precisamos usar uma constante de integração em (3.3.11), pois
(3.3.9) não se altera se a multiplicarmos por uma constante. Assim, µ(x) 6= 0 para todo
x em I e é contı́nua e diferenciável.
Multiplicando a equação (3.3.6) por µ(x) obtemos
R
e
P (x)dx
[
R
dy
+ P (x)y] = e P (x)dx f (x)
dx
(3.3.13)
daı́
R
d R P (x)dx
[e
y] = e P (x)dx f (x)
dx
integrando a últimam equação, obtemos
Z R
R
R
− P (x)dx
y=e
e P (x)dx f (x)dx + ce− P (x)dx
(3.3.14)
(3.3.15)
em outras palavras, se (3.3.6) tiver uma solução, ela deverá ser da forma (3.3.15). Reciprocamente, é imediato que (3.3.15) constitui uma famı́lia a um parâmetro de soluções
para a equação (3.3.6).
Exemplo 3.29 Resolva x
Exemplo 3.30 Resolva
dy
− 4y = x6 ex
dx
dy
− 3y = 0
dx
Solução Geral - Por hipótese P (x) e f (x) são contı́nuas em um intervalo I e x0 é
um ponto desse intervalo. Então, segue-se do Teorema 3.1 que existe uma única solução
para o problema de valor inicial

 dy + P (x)y = f (x)
dx

y(x0 )
= y0
(3.3.16)
Mas vimos antes que (3.3.6) possui uma famı́lia de soluções e que toda solução para a
equação no intervalo I tem a forma (3.3.15). Logo, obter a solução para (3.3.16) é uma
59
simples questão de encontrar um valor apropriado de c em (3.3.15). Consequentemente
estamos certos em chamar (3.3.15) de solução geral da equação diferencial. Você deve
se lembrar de que em várias ocasiões encontramos soluções singulares para equações não
lineares. Isso não pode acontecer no caso de uma equação linear em que P (x) e f (x) são
contı́nuas.
Exemplo 3.31 Encontre a solução geral para
(x2 + 9)
dy
+ xy = 0
dx
Exemplo 3.32 Resolva o problema de valor inicial (P.V.I)

 dy + 2xy = x
dx

y(0)
= −3
Exemplo 3.33 Resolva o problema de valor inicial (P.V.I)

 x dy + y = 2x
dx
 y(1)
= 0
Exemplo 3.34 Resolva o problema de valor inicial (P.V.I)

1

 dy
=
dx
x + y2

 y(−2) =
0
Exemplo 3.35 Encontre uma solução contı́nua satisfazendo

 dy + y = f (x)
dx
 y(0) =
0
(3.3.17)
(3.3.18)
(3.3.19)
(3.3.20)

 1 se 0 ≤ x ≤ 1
em que f (x) =
 0 se
x>1
5a -LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Encontre a solução geral para a equação diferencil dada. Especifique um intervalo
no qual a solução geral é definida.
60
dy
= 5y;
dx
dy
(b) 3 + 12y = 4;
dx
dy
(c)
+ y = e3x ;
dx
(a)
(d) x2 y 0 + xy = 1;
(e) (x + 4y 2 )dy + 2ydx = 0;
(f) xdy = (x sin x − y)dx;
(g) (1 + ex )
(h) cos x
(i) x
dy
+ ex y = 0;
dx
dy
+ y sin x = 1;
dx
dy
+ 4y = x3 − x;
dx
(j) x2 y 0 + (x + 2y)y = ex ;
(k) cos2 x sin xdy + (y cos3 x − 1)dx = 0;
(l) ydx + (xy + 2x − yex )dy = 0;
(m) x
dy
+ (3x + 1)y = e−3x ;
dx
(n) ydx − 4(x + y 6 )dy = 0;
(o)
dy
1 − e−2x
+y = x
;
dx
e + e−x
(p) ydx + (x + 2xy 2 − 2y)dy = 0;
dr
r sec θ = cos θ;
dθ
dy
(r) (x + 2)2
= 5 − 8y − 4xy;
dx
(q)
2. Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

 dy + 5y = 20
dx
(a)
 y(0)
= 2

 L di + Ri = eE
dt
tal que L, R e E constantes
(b)

i(0)
= i
0
61

 y 0 + (tan x)y = cos2 x
(c)

y(0)
= −1

 dT = k(T − 50)
dt
(d)
tal que k uma constante
 T (0) =
200

 (x + 1) dy + y = ln x
dx
(e)

y(1)
= 10

 x(x − 2)y 0 + 2y = 0
(f)

y(3)
= 6

y

 dy =
dx
y−x
(g)

 y(5) =
2
3. Encontre uma solução contı́nua satisfazendo cada equação diferencial e a condição
inicial dada.


 dy + 2y = f (x)
 1 se 0 ≤ x ≤ 1
dx
(a)
onde f (x) =
 y(0)
 0 se
x>3
=
0


 dy + 2xy = f (x)
 x se 0 ≤ x < 1
dx
onde f (x) =
(b)

 0 se
x≥1
y(0)
=
2
3.3.4
Equações De Bernoulli, Ricatti e Clairaut
Nesta seção consideraremos três equações clássicas que podem ser transformadas em
equações já estudadas nas seções anteriores.
Equação De Bernoulli
Jacques Bernoulli (1654-1705) Os Bernoullis foram uma famı́lia suı́ça de acadêmicos
cujas contribuições à matemática, fı́sica, astronomia e história datam do século XV I ao
século XX. Jacques, o primeiro dos dois filhos do patriarca homônimo Jacques Bernoulli,
deu várias contribuições ao cálculo e à probabilidade. Originalmente, a segunda das
divisões principais do cálculo era chamada de calculus summatorius. Em 1996, por
62
sugestão de Jacques Bernoulli (filho), este nome foi mudado para calculus integralis,
como é conhecido atualmente.
Definição 3.6 A equação diferencial
dy
+ P (x)y = f (x)y n
dx
(3.3.21)
em que n é um número real qualquer, é chamada de equação de Bernoulli. Para n = 0
e n = 1, a equação (3.3.21) é linear em y.
Se y 6= 0, (3.3.21) pode ser escrita como
y −n
dy
+ P (x)y 1−n = f (x)
dx
(3.3.22)
Se fizermos w = y 1−n , n 6= 0, n 6= 1, então
dw
dy
= (1 − n)y −n
dx
dx
(3.3.23)
Com esta substituição, (3.3.22) transforma-se na equação linear
dw
+ (1 − n)P (x)w = (1 − n)f (x)
dx
(3.3.24)
que é uma equação diferencial ordinária linear. Resolvendo (3.3.24) e depois substituindo
y 1−n = w, obtemos a solução de (3.3.21).
Exemplo 3.36 Resolva
dy 1
+ y = xy 2
dx x
Equação De Ricatti
Jacob Francesco Ricatti (1676-1754) Um conde Italiano, Ricatti foi também matemático
e filósofo.
Definição 3.7 A equação diferencial não linear
dy
= P (x) + Q(x)y + R(x)y 2
dx
63
(3.3.25)
Se y1 é uma solução particular para (3.3.25), então as substituições
y = y1 + u e
dy
dy1 du
=
+
dx
dx
dx
em (3.3.25) produzem a seguinte equação diferencial para u:
du
− (Q + 2y1 R)u = Ru2
dx
(3.3.26)
Como (3.3.26) é uma equação de Bernoulli com n = 2, ela pode, por sua vez, ser
reduzida à equação linear
dw
+ (Q + 2y1 R)w = −R
dx
(3.3.27)
através da substituição w = u−1 .
Exemplo 3.37 Resolva
dy
= 2 − 2xy + y 2
dx
Equação De Clairaut
Alex Claude Clairaut (1713-1765) Nascido em Paris em 1713, Clairaut foi uma
criança prodı́gio que escreveu seu primeiro livro sobre matemática aos 11 anos. Foi um
dos primeiros a descobrir soluções singulares para equações diferenciais. Como muitos
matemáticos de sua época, Clairaut foi também fı́sico e astrônomo.
Definição 3.8 Toda equação diferencial de 1a ordem da forma
y = xy 0 + f (y 0 )
é chamada de Equação de Clairaut onde f é uma função diferenciável.
Exemplo 3.38 Resolva
1
y = xy 0 + (y 0 )2
2
6a -LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Resolva a equação de Bernoulli dada.
64
(3.3.28)
dy
1
+ y = 2;
dx
y
dy
(b)
= y(xy 3 − 1);
dx
dy
(c) x2
+ y 2 = xy
dx
(a) x
2. Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.


 x2 dy − 2xy = 3y 4
dx
(a)
1


y(1)
=
2

 xy(1 + xy 2 ) dy = 1
dx
(b)

y(1)
= 0
3. Resolva


(a)

a equação de Ricatti dada: y1 é uma solução conhecida para a equação.
dy
= −2 − y + y 2
dx
y1 =
2


 dy = − 4 − 1 y + y 2
dx
x2 x
(b)
2

 y1 =
x
4. Resolva a equação de Clairaut dada. Obtenha uma solução singular.
(a) y = xy 0 + 1 − ln y 0 ;
µ ¶3
dy
dy
(b) y = x −
.
dx
dx
65
3.3.5
Aplicações De Equações Lineares
Crescimento e Decrescimento
O problema de valor inicial

 dy = kx
dt
 x(t ) = x
0
0
(3.3.29)
em que k é uma constante de proporcionalidade, ocorre em muitas teorias fı́sicas envolvendo crescimento ou decrescimento. Por exemplo, em biologia, é freqüentemente
observado que a taxa de crescimento de certas bactérias é proporcional ao número de
bactérias presente no dado instante. Durante um curto intervalo de tempo, a população
de pequenos animais, tais como roedores, pode ser prevista com alto grau de precisão pela
solução para (3.3.29). Em fı́sica, um problema de valor inicial como (3.3.29) proporciona
um modelo para o cálculo aproximado da quantidade remanescente de uma substância
que está sendo desintegrada através de radioatividade. A equação diferencial em (3.3.29)
pode ainda determinar a temperatura de um corpo em resfriamento. Em quı́mica, a quantidade remanescente de uma substância durante certas reações também pode ser descrita
por (3.3.29).
Exemplo 3.39 Em uma cultura, há inicialmente N0 bactérias. Uma hora depois, t = 1, o
3
número de bactérias passa a ser N0 . Se a taxa de crescimento é proporcional ao número
2
de bactérias presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias
triplique.
Exercı́cio 3.1 Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou
em 5 anos, quando ele triplicará? Quando duplicará? Resp.: 7, 9 anos; 10 anos.
Meia-Vida
Em fı́sica, meia-vida é uma medida de estabilidade de uma substância radioativa.
A meia-vida é simplesmente o tempo gasto para maetade dos átomos de uma quantidade
66
inicial A0 se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Quanto maior
a meia-vida de uma substância, mais estável ela é. Por exemplo, a meia-vida do ultraradioativo rádio, Ra − 226, é cerca de 1700 anos. Em 1700 anos, metade de uma dada
quantidade de Ra − 226 é transmutada em radônio, Rn − 222. O isótopo de urânio mais
comum, U − 238, tem uma meia-vida de aproximadamente 4.500.000.000 de ano. Nesse
tempo, metade de uma quantidade de U − 238 é transmutada em chumbo, P b − 206.
Exemplo 3.40 Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239. Após 15
anos, foi detectado que 0, 043% da quantidade inicial A0 de plutônio se desintegrou. Encontre a meia-vida desse isótopo, se a taxa de desintegração é proporcional à quantidade
remanescente.
Exercı́cio 3.2 O isótopo radioativo de chumbo, P b − 209, decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia-vida é 3, 3 horas. Se 1 grama
de chumbo está presente inicialmente, quanto tempo levará para 90% de chumpo desaparecer? Resp.: 11 horas.
Cronologia do Carbono
Por volta de 1950, o quı́mico Willard Libby inventou um método para determinar
a idade de fósseis usando o carbono radioativo. A teoria da cronologia do carbono
se baseia no fato de que o isótopo do carbono 14 é produzido na atmosfera pela ação de
radiações cósmicas no nitrogênio. A razão entre a quantidade de C − 14 para carbono
ordinário na atmosfera parece ser uma constante e, como conseqüência, a proporção da
quantidade de isótopo presente em todos os organismos vivos é a mesma proporção da
quantidade na atmosfera. Quando um organismo morre, a absorção de C − 14, através da
respiração ou alimentação, cessa. Logo, comparando a quantidade proporcional de C − 14
presente, digamos, em um fóssil com a razão constante encontrada na atmosfera, é possı́vel
obter uma razoável estimativa da idade do fóssil. O método se baseia no conhecimento
da meia-vida do carbono radioativo C − 14, cerca de 5.600 anos. Por esse trabalho, Libby
ganhou o Prêmion Nobel de quı́mica em 1960. O método de Libby tem sido usado para
datar mobı́lias de madeira nos túmulos egı́pcios e os pergaminhos do Mar Morto.
67
Exemplo 3.41 Um osso fossilizado contém
1
da quantidade original do C − 14.
1.000
Determine a idade do fóssil.
Exercı́cio 3.3 O sudário de Turim mostra a imagem em negativo do corpo de um homem
crucificado, que muitos acreditam ser de Jesus de Nazaré. Em 1988, o Vaticano deu a
permissão para datar por carbono o sudário. Três laboratórios cientı́ficos e independentes
analisaram o tecido e concluı́ram que o sudário tinha aproximadamente 660 anos, idade
consistente com seu aparecimento histórico. Usando essa idade, determine a porcentagem
da quantidade original de C − 14 remanescente no tecido em 1988. Resp.: 92%
Resfriamento
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura T (t) de
um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a
temperatura constante Tm do meio ambiente, isto é,
dT
= k(T − Tm )
dt
em que k é uma constante de proporcionalidade.
Exemplo 3.42 Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 300◦ F . Três
minutos depois, sua temperatura passa para 200◦ F . Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 70 graus, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado
for de exatamente 70◦ F ?
Exercı́cio 3.4 Um termômetro é removido de uma sala, em que a temperatura é de
70◦ F , e colocado do lado de fora, em que a temperatura é de 10◦ F . Após 0, 5 minuto, o
termômetro marcava 50◦ F . Qual será a temperatura marcada no termômetro no instante
t = 1 minuto? Quanto tempo levará para o termômetro marcar 15◦ F ? Resp.: T (1) =
31, 67◦ F , aproximadamente 3, 06 minutos.
Problemas de Misturas
Na mistura de dois fluı́dos, muitas vezes temos de lidar com equações diferenciais
lineares de primeira ordem. No próximo exemplo, consideramos a mistura de duas soluções
68
salinas com diferentes concentrações.
Exemplo 3.43 Inicialmente, 50 gramas de sal são dissolvidos em um tanque contendo
300 litros de água. Uma solução salina é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de
3 litros por minuto, e a solução bem misturada é então drenada na mesma taxa. Se a
concentração da solução que entra é 2 gramas por litro, determine a quantidade de sal no
tanque em qualquer instante. Quantas gramas de sal estão presentes após 50 minutos? E
depois de um longo tempo?
Exercı́cio 3.5 Um tanque contém 200 litros de fluı́do no qual são dissolvidos 30 g de
sal. Uma solução salina contendo 1 g de sal por litro é então bombeada para dentro do
tanque a uma taxa de 4 litros por minuto; a mistura é drenada à mesma taxa. Encontre
a quantidade de gramas de sal A(t) no tanque em qualquer instante. Resp.;A(t) = 200 −
t
170e− 50 .
69
Capı́tulo 4
Equações Diferenciais Lineares de
Ordem Superior
4.1
Teoria Preliminar
Começamos a discussão sobre equações diferenciais de ordem maior, como fizemos
com equações de primeira ordem, com a noção de um problema de valor inicial. Porém,
concentramos nossa atenção nas equações diferenciais lineares.
4.1.1
Problema de Valor Inicial e de Valor de Contorno
Problema de Valor Inicial
Para uma equação diferencial de n-ésima ordem, o problema

n
n−1
 Resolva : a (x) d y + a (x) d y + · · · + a (x) dy + a (x)y = g(x)
n
n−1
1
0
dxn
dxn−1
dx

(n−1)
Sujeita :
y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y00 , · · · y (n−1) (x0 ) = y0
(n−1)
em que y0 , y00 , · · · , y0
(4.1.1)
são constantes arbitrárias, é chamado de um problema de va(n−1)
lor inicial. Os valores especı́ficos y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y00 , · · · , y (n−1) (x0 ) = y0
são
chamados de condições iniciais. Procuramos uma solução em algum intervalo I contendo
x0 .
No caso de uma equação linear de segunda ordem, uma solução para o problema de
70
valor inicial

2
 Resolva : a (x) d y + a (x) dy + a (x)y = g(x)
1
2
0
dx2
dx

Sujeita :
y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y00
(4.1.2)
é uma função que satisfaça a equação diferencial em I cujo gráfico passa pelo ponto (x0 , y0 )
com inclinação igual a y00 .
O próximo teorema nos fornece condições suficientes para a existência de uma única
solução para (4.1.1).
Teorema 4.1 (Existência de uma Única Solução) - Sejam an (x),a(n−1) (x), · · · a1 (x),
a0 (x) e g(x) contı́nuas em um intervalo I com an (x) 6= 0 para todo x neste intervalo. Se
x = x0 é algum ponto deste iintervalo, então existe uma única solução y(x) para o problema de valor inicial (4.1.1) neste intervalo.
Exemplo 4.1 Verifique se y = 3e2x + e−2x − 3x é a única solução para o

 y 00 − 4y = 12x
 y(0) = 4, y 0 (0) = 1
Exemplo 4.2 Verifique se y ≡ 0 é a única solução para o


3y 000 + 5y 00 − y 0 + 7y = 0
 y(1) = 0, y 0 (1) = 0, y 00 (1) = 0
1
Exemplo 4.3 Verifique se a função y = sin 4x é uma solução para o
4

 y 00 + 16y = 0x
 y(0) = 0, y 0 (0) = 1
Observação 4.1 No teorema (4.1), a continuidade de ai (x); i = 0, 1, 2, · · · , n e a hipótese
an (x) 6= 0 para todo x em I são ambas importantes. Especificamente, se an (x) = 0 para
algum x no intervalo, então a solução para um problema de valor inicial linear pode não
ser única ou nem mesmo existir.
Exemplo 4.4 Verifique se a função y = cx2 + x + 3 é uma solução para o problema de
valor inicial

 x2 y 00 − 2xy 0 + 2y = 6
 y(0) = 3, y 0 (0) = 1
71
no intervalo de (−∞, +∞) para qualquer escolha do parâmetro c.
Problema de Valor de Contorno
Um outro tipo de problema consiste em resolver uma equação diferencial de ordem dois
ou maior na qual a variável dependente y ou suas derivadas são especificadas em pontos
diferentes. Um problema como

2
 Resolva : a (x) d y + a (x) dy + a (x)y = g(x)
2
1
0
dx2
dx

Sujeita :
y(a) = y0 , y(b) = y1
é chamado de problema de valor de contorno. Os valores especificados y(a) = y0
e y(b) = y1 são chamados de condições de contorno ou de fronteira. Uma solução
para o problema em questão é uma função que satisfaça a equação diferencial em algum
intervalo I, contendo a e b, cujo gráfico passa pelos pontos (a, y0 ) e (b, y1 ).
Exemplo 4.5 Verifique que, no intervalo (0, +∞), a função y = 3x2 − 6x + 3 satisfaz a
equação diferencial e as condições de contorno do problema de valor de contorno

 x2 y 00 − 2xy 0 + 2y = 6
 y(1) = 3, y(2) = 3
Para uma equação diferencial de segunda ordem, outras condições de contorno podem
ser
1. y 0 (a) = y00 , y(b) = y1 ;
2. y(a) = y0 , y 0 (b) = y10 ;
3. y 0 (a) = y00 , y 0 (b) = y10 .
em que y0 , y00 , y1 e y10 denotam constantes arbitrárias.
Os próximos exemplos mostram que, mesmo quando as condições do teorema (4.1)
são satisfeitas, um problema de valor de contorno pode ter:
1. várias soluções;
2. uma única solução;
72
3. nenhuma solução.
Exemplo 4.6 Verifique se y = c1 cos 4x + c2 sin 4x é uma solução para a equação
y 00 + 16y = 0
Suponha agora que queiramos determinar aquela solução para a equação que também
satisfaça as condições de contorno.
1. y(0) = 0 , y( π2 ) = 0;
2. y(0) = 0 , y( π8 ) = 0;
3. y(0) = 0 , y( π2 ) = 1.
7a -LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Sabe-se que y = c1 ex + c2 e−x é uma famı́lia a dois parâmetros de soluções para
y 00 −y = 0 no intervalo (−∞, +∞). Encontre um membro dessa famı́lia satisfazendo
as condições iniciais y(0) = 0 , y 0 (0) = 1.
2. Sabe-se que y = c1 e4x + c2 e−x é uma famı́lia a dois parâmetros de soluções para
y 00 − 3y 0 − 4y = 0 no intervalo (−∞, +∞). Encontre um membro dessa famı́lia
satisfazendo as condições iniciais y(0) = 1 , y 0 (0) = 2.
3. Sabe-se que y = c1 x + c2 x ln x é uma famı́lia a dois parâmetros de soluções para
x2 y 00 − xy 0 + y = 0 no intervalo (−∞, +∞). Encontre um membro dessa famı́lia
satisfazendo as condições iniciais y(1) = 3 , y 0 (1) = −1.
4. Sabe-se que y = c1 ex cos x + c2 ex sin x é uma famı́lia a dois parâmetros de soluções
para y 00 − 2y 0 + 2y = 0 no intervalo (−∞, +∞). Encontre, se existir, um membro
dessa famı́lia satisfaça as condições.
(a) y(0) = 1, y 0 (0) = 0;
(b) y(0) = 1, y 0 (π) = −1;
(c) y(0) = 1, y( π2 ) = 1;
(d) y(0) = 1, y(π) = 0.
73
4.1.2
Dependência Linear e Independência Linear
Os dois próximos conceitos são básicos para o estudo de equações diferenciais lineares.
Definição 4.1 (Dependência Linear) - Dizemos que um conjunto de funções
f1 (x), f2 (x), · · · , fn (x)
é linearmente dependente em um intervalo I se existirem constantes c1 , c2 , · · · , cn não
todas nulas, tais que
c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + · · · + cn fn (x) = 0
para todo x no intervalo.
Definição 4.2 (Independência Linear) - Dizemos que um conjunto de funções
f1 (x), f2 (x), · · · , fn (x)
é linearmente independente em um intervalo I se ela não é linearmente dependente
no intervalo.
Em outras palavras, um conjunto de funções é linearmente independente em um intervalo se as únicas constantes para as quais
c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + · · · + cn fn (x) = 0
para todo x no intervalo, são c1 = c2 = · · · = cn = 0.
É fácil de entender essas definições no caso de duas funções f1 (x) e f2 (x). Se as funções
são linearmente dependentes em um intervalo, então existem constantes c1 e c2 , que são
ambas nulas, tais que, para todo x no intervalo,
c1 f1 (x) + c2 f2 (x) = 0
Portanto, se supomos c1 6= 0, segue-se que
f1 (x) = −
c2
f2 (x)
c1
isto é, se duas funções são linearmente dependentes, então uma é simplesmente uma
constante múltipla da outra.
74
Reciprocamente, se f1 (x) = c2 f2 (x) para alguma constante c, então
(−1)f1 (x) + c2 f2 (x) = 0
para todo x em algum intervalo. Logo, as funções são linearmente dependentes, pois pelo
menos uma das constantes (a saber c1 = −1) não é nula. Concluı́mos que duas funções são
linearmente independentes quando nenhuma delas é múltipla da outra em um intervalo.
Exemplo 4.7 Verifique se as funções f1 (x) = sin 2x e f2 (x) = sin x cos x são linearmente
dependentes no intervalo de (−∞, +∞).
Exemplo 4.8 Verifique se as funções f1 (x) = x e f2 (x) = |x| são linearmente dependentes ou linearmente independentes no intervalo de (−∞, +∞).
Observação 4.2 Na consideração de dependência linear ou independência linear, o intervalo no qual as funções são definidas é importante. As funções f1 (x) = x e f2 (x) = |x|
do exemplo (4.8) são linearmente dependentes no intervalo (0, +∞), pois
c1 x + c2 |x| = c1 x + c2 x = 0
é satisfeita se, por exemplo, c1 = 1 e c2 = −1.
Exemplo 4.9 Verifique se as funções f1 (x) = cos2 x, f2 (x) = sin2 x, f3 (x) = sec2 x e
³ π π´
2
f4 (x) = tan x são linearmente dependentes no intervalo de ( − , + ).
2
2
Dizemos que um conjunto de funções f1 (x), f2 (x), · · · , fn (x) é linearmente dependentes
em um intervalo se pelo menos uma função pode ser expressa como uma combinação linear
das outras funções.
Exemplo 4.10 Verifique se as funções f1 (x) =
√
x + 5, f2 (x) =
√
x + 5x, f3 (x) = x − 1
e f4 (x) = x2 são linearmente dependentes no intervalo de (0, +∞).
Wronskiano
O seguinte teorema proporciona condição suficiente para a independência linear de n
funções em um intervalo. Supomos que cada função seja diferenciável pelo menos n − 1
vezes.
75
Teorema 4.2 (Critério para Independência Linear de Funções)- Suponha que
f1 (x), f2 (x), · · · , fn (x)
sejam diferenciáveis pelo menos n − 1 vezes. Se o determinante
¯
¯
¯
¯
¯ f1
f2
···
fn ¯
¯
¯
¯
¯
0
0
0
¯ f1
f2
···
fn ¯
¯
¯
¯
¯
..
..
..
..
¯
¯
.
.
.
.
¯
¯
¯ (n−1) (n−1)
(n−1) ¯
¯
¯ f1
f2
· · · fn
for diferente de zero em pelo menos um ponto do intervalo I, então as funções f1 (x), f2 (x), · · · , fn (x)
serão linearmente independentes no intervalo.
O determinante do teorema precedente é denotado por
W (f1 (x), f2 (x), · · · , fn (x))
e é chamado o Wronskiano das funções.
Observação 4.3 Josef Maria Hoëne Wronski (1778-1853) Nascido na Polônia e educado na Alemanha, Wronski passou a maior parte de sua vida na França. Mais um filósofo
do que um matemático, ele acreditou que a verdade absoluta poderia ser alcançada através
da matemática. Sua única contribuição digna de nota à matemática foi o determinante
acima. Sempre um excêntrico, eventualmente tinha crises de insanidade.
Corolário 4.1 Se f1 (x), f2 (x), · · · , fn (x) possuem pelo menos (n − 1) derivadas e são
linearmente dependentes em I, então
W (f1 (x), f2 (x), · · · , fn (x)) = 0
para todo x no intervalo.
Exemplo 4.11 Verifique se as funções f1 (x) = sin2 x e f2 (x) = 1−cos 2x são linearmente
dependentes no intervalo de (−∞, +∞), depois calcule o W (f1 (x), f2 (x)).
Exemplo 4.12 Verifique se as funções f1 (x) = em1 x e f2 (x) = em2 x tal que m1 6= m2 são
L.I.
76
Exemplo 4.13 Verifique que se α e β são números reais, β 6= 0, então y1 = eαx cos(βx)
e y2 = eαx sin(βx) são linearmente independentes em qualquer intervalo do eixo x.
Exemplo 4.14 Verifique se as funções f1 = ex , f2 = xex e f3 = x2 ex são linearmente
independentes em qualquer intervalo do eixo x.
Observação 4.4 Vimos no exemplo (4.8) que f1 (x) = x e f2 (x) = |x| são linearmente
independentes no intervalo (−∞, +∞), porém, não é possı́vel calcular o Wronskiano, pois
f2 não é difetenciável em x = 0.
Um conjunto de funções f1 (x), f2 (x), · · · , fn (x) pode ser linearmente independente em
algum intervalo, mesmo que o Wronskiano seja nulo.
Exemplo 4.15 Verifique que:
1. f1 = x2 e f2 = x|x| são linearmente independentes em (−∞, +∞).
2. W (f1 (x), f2 (x)) = 0 para todo número real.
8a -LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes em
(−∞, +∞).
(a) f1 (x) = x, f2 (x) = x2 , f3 (x) = 4x − 3x2 ;
(b) f1 (x) = 5, f2 (x) = cos2 x, f3 (x) = sin2 x;
(c) f1 (x) = x, f2 (x) = x − 1, f3 (x) = x + 3;
(d) f1 (x) = 1 + x, f2 (x) = x, f3 (x) = x2 .
2. Mostre, calculando o Wronskiano, que as funções dadas são linearmente independentes no intervalo indicado.
1
(a) x 2 , x2 ; (0, +∞).
(b) sin x, csc x; (0, π).
(c) ex , e−x , e4x ; (−∞, +∞).
77
3. Observe que, para as funções f1 (x) = 2 e f2 (x) = ex ,
1 × f1 (0) − 2 × f2 (0) = 0
Isso implica que as funções f1 e f2 são linearmente dependentes em qualquer intervalo
contendo x = 0?
4.1.3
Soluções Para Equações Lineares
Equações Homogêneas
Uma equação diferencial de n-ésima ordem da forma
an (x)
dn y
d(n−1) y
dy
+
a
(x)
+ · · · + a1 (x) + a0 (x)y = 0
n−1
n
(n−1)
dx
dx
dx
(4.1.1)
é chamada homogênea, enquanto
an (x)
d(n−1) y
dy
dn y
+
a
(x)
+ · · · + a1 (x) + a0 (x)y = g(x)
n−1
n
(n−1)
dx
dx
dx
(4.1.2)
com g(x) não identicamente zero, é chamada de não-homogênea
Observação 4.5
1. A palavra homogênea neste contexto não se refere aos coeficientes
como sendo funções homogêneas.
2. A equação 2y 00 + 3y 0 − 5y = 0 é uma equação diferencial ordinária linear de segunda
ordem homogênea.
3. A equação x3 y 000 − 2xy 00 + 5y 0 + 6y = ex é uma equação diferencial ordinária linear
de terceira ordem não-homogênea.
4. Veremos, que, para resolver uma equação não-homogênea, devemos primeiro resolver
a equação homogênea associada.
5. Para evitar repetições desnecessárias no decorrer do texto, faremos sempre as seguintes
suposições com relação às equações lineares (4.1.1) e (4.1.2). Em algum intervalo
I,
(a) os coeficientes ai (x); i = 0, 1, · · · , n são contı́nuas;
78
(b) a função g(x) é contı́nua;
(c) an (x) 6= 0 para todo x no intervalo.
Princı́pio de Superposição
No próximo teorema, vemos que a soma, ou superposição, de duas ou mais soluções
para uma equação diferencial linear homogênea é também uma solução.
Teorema 4.3 (Principı́o de Superposição - Equação Homogênea)
Sejam y1 , y2 , · · · , yk soluções para a equação diferencial linear de n-ésima ordem homogênea (4.1.1) em um intervalo I. Então, a combinação linear
y = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + · · · + ck yk (x)
em que os ci , i = 1, 2, · · · , k são constantes arbitrárias, é também uma solução no intervalo.
Corolário 4.2
1. Um múltiplo y = c1 y1 (x) de uma solução y1 (x) para uma equação
diferencial linear homogênea é também uma solução;
2. Uma equação diferencial linear homogênea sempre possui a solução trivial y = 0.
Exemplo 4.16 Verifique usando o princı́pio de superposição que, a combinação linear
y = c1 x2 + c2 x2 ln x
é solução para a equação homogênea
x3 y 000 − 2xy 0 + 4y = 0
no intervalo (0, +∞).
Exemplo 4.17 Verifique usando o princı́pio de superposição que, a combinação linear
y = c1 ex + c2 e2x + c3 e3x
é solução para a equação homogênea
d2 y
dy
d3 y
− 6 2 + 11 − 6y = 0
3
dx
dx
dx
em (−∞, +∞).
79
Exemplo 4.18 Verifique se y = cx2 é solução para a equação linear homogênea
x2 y 00 − 3xy 0 + 4y = 0
em (0, +∞), usando o corolário (4.2).
Soluções Linearmente Independentes
Estamos interessados em determinar quando n soluções y1 , y2 , · · · , yn para a equação diferencial homogênea (4.1.1) são linearmente independentes. Surpreendentemente, o Wronskiano não nulo em um conjunto de n soluções em um intervalo I é necessário e suficiente
para a independência linear.
Teorema 4.4 (Critério para Independência Linear de Soluções)
Sejam y1 , y2 , · · · , yn n soluções para a equação diferencial linear homogênea de n-ésima
ordem (4.1.1) em um intervalo I. Então, o conjunto de soluções é linearmente independente em I se e somente se
W (y1 , y2 , · · · , yn ) 6= 0
para todo x no intervalo.
Definição 4.3 (Conjunto Fundamental de Soluções)
Qualquer conjunto y1 , y2 , · · · , yn de n soluções linearmente independentes para a equação
diferencial linear homogênea de n-ésima ordem (4.1.1) em um intervalo I é chamado de
conjunto fundamental de soluções no intervalo.
Teorema 4.5 Sejam y1 , y2 , · · · , yn n soluções linearmente independentes para a equação
diferencial linear homogênea de n-ésima ordem (4.1.1) em um intervalo I. Então, toda
solução Y (x) para (4.1.1) é uma combinação linear das n soluções independentes y1 , y2 , · · · , yn ,
ou seja, podemos encontrar constantes C1 , C2 , · · · , Cn , tais que
Y = C1 y1 + C2 y2 + · · · + Cn yn
80
A questão básica de existência de um conjunto fundamental para uma equação linear
é respondida no próximo teorema.
Teorema 4.6 (Existência de um Conjunto Fundamental)
Existe um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial linear homogênea de n-ésima ordem (4.1.1) em um intervalo I.
Definição 4.4 (Solução Geral - Equações Homogêneas)
Sejam y1 , y2 , · · · , yn n soluções linearmente independentes para a equação diferencial
linear homogênea de n-ésima ordem (4.1.1) em um intervalo I. A solução geral para a
equação no intervalo é definida por
y = c1 y1 + c2 y2 + · · · + cn yn
em que os ci , i = 1, 2, · · · , n são constantes arbitrárias.
Lembre-se de que a solução geral, é também chamada de solução completa para a
equação diferencial.
Exemplo 4.19 Sabendo que a equação diferencial de segunda ordem
y 00 − 9y = 0
possui duas soluções
y1 = e3x e y2 = e−3x
encontre a solução geral.
Exemplo 4.20 Sabendo que as funções
y1 = ex , y2 = e2x e y3 = e3x
satisfazem a equação de terceira ordem
d2 y
dy
d3 y
−
6
+ 11 − 6y = 0
3
2
dx
dx
dx
encontre a solução geral para a equação diferencial no intervalo (−∞, +∞).
81
Equações Não-Homogêneas
Voltamos agora nossa atenção para a definição de solução geral para uma equação linear
não-homogênea. Qualquer função yp , independente de parâmetros, que satisfaça (4.1.2)
é chamada de solução particular para a equação (algumas vezes é chamada de integral
particular).
Exemplo 4.21
1. Verifique se yp = 3 é uma solução particular para y 00 + 9y = 27.
2. Verifique se yp = x3 − x é uma solução particular para x2 y 00 + 2xy 0 − 8y = 4x3 + 6x.
Teorema 4.7 Sejam y1 , y2 , · · · , yn soluções para a equação diferencial linear homogênea
de n-ésima ordem (4.1.1) em um intervalo I e seja yp qualquer solução para a equação
não-homogênea (4.1.2) no mesmo intervalo. Então
y = c1 y1 + c2 y2 + · · · + cn yn + yp (x)
é também uma solução para a equação não-homogênea no intervalo para qualquer constantes c1 , c2 , · · · , cn .
Podemos agora provar o análogo do Teorema (4.5) para as equações diferenciais nãohomogêneas.
Teorema 4.8 Seja yp uma dada solução para a equação diferencial linear não-homogênea
de n-ésima ordem (4.1.2) em um intervalo I e sejam {y1 , y2 , · · · , yn } um conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea associada (4.1.1) no intervalo. Então, para
qualquer solução Y (x) de (4.1.2) em I, podemos encontrar constantes C1 , C2 , · · · , Cn tais
que
Y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + · · · + Cn yn (x) + yp (x).
Definição 4.5 (Solução Geral - Equações Não-homogêneas) Seja yp uma dada
solução para a equação diferencial linear não-homogênea de n-ésima ordem (4.1.2) em
um intervalo I e seja
yc = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + · · · + cn yn (x)
82
a solução geral para a equação homogênea associada (4.1.1) no intervalo. A solução
geral para a equação não-homogênea no intervalo é definida por
y = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + · · · + cn yn (x) + yp (x) = yc (x) + yp (x)
Função Complementar
Na definição (4.5), a combinação linear
yc = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + · · · + cn yn (x)
que é a solução geral para (4.1.1), é chamada de função complementar para a equação
(4.1.2). Em outras palavras, a solução geral para uma equação diferencial linear nãohomogênea é
y = função complementar + qualquer solução particular
Exemplo 4.22 Verifique se a função yp = −
11
1
− x é uma solução particular para a
12
2
equação não-homogênea
d3 y
d2 y
dy
−
6
+ 11 − 6y = 3x
3
2
dx
dx
dx
depois, descreva a solução geral para a equação.
9a -LISTA DE EXERCÍCIOS
1
é uma solução para a equação diferencial não linear y 00 =
x
2y 3 no intervalo (0, +∞).
1. (a) Verifique que y =
(b) Mostre que um múltiplo y =
c
não é uma solução para a equação quando
x
c 6= 0, ±1.
2. Verifique que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para
a equação diferencial no intervalo indicado. Forme a solução geral.
(a) y 00 − y 0 − 12y = 0; e−3x , e4x , (−∞, +∞).
83
(b) y 00 − 2y 0 + 5y = 0; ex cos 2x, ex sin 2x, (−∞, +∞).
(c) x2 y 00 − 6xy 0 + 12y = 0; x3 , x4 , (0, +∞).
(d) x3 y 000 + 6x2 y 00 + 4xy 0 − 4y = 0; x, x−2 , x−2 ln x, (0, +∞).
3. Verifique que a dada famı́lia a dois parâmetros de funções é a solução geral para a
equação diferencial não-homogênea no intervalo indicado.
(a) y 00 − 7y 0 + 10y = 24ex ; y = c1 e2x + c2 e5x + 6ex , (−∞, +∞).
(b) y 00 − 4y 0 + 4y = 2e2x + 4x − 12; y = c1 e2x + c2 xe2x + x2 e2x + x − 2, (−∞, +∞).
4. (a) Verifique que y1 = x3 e y2 = |x|3 são soluções linearmente independentes da
equação diferencial x2 y 00 − 4xy 0 + 6y = 0 em (−∞, +∞).
(b) Mostre que W (y1 , y2 ) = 0 para todo número real.
(c) O resultado do item anterior viola o Teorema (4.4)?
(d) Verifique que Y1 = x3 e Y2 = x2 são também soluções linearmente independentes para a equação diferencial no intervalo (−∞, +∞).
(e) Encontre uma solução para a equação que satisfaça y(0) = 0, y 0 (0) = 0.
(f) Pelo principı́o da superposição ambas as combinações lineares
y = c1 y1 + c2 y2 e y = c1 Y1 + c2 Y2
são soluções para a equação diferencial. Qual delas é a solução geral para a
equação diferencial em (−∞, +∞)?
4.2
Construindo Uma Segunda Solução A Partir De
Uma Solução Conhecida
Redução de Ordem
Um dos fatos mais interessantes e importantes no estudo de equações diferenciais lineares
de segunda ordem é que podemos construir uma segunda solução a partir de uma solução
84
conhecida. Suponha que y1 (x) seja uma solução não trivial para a equação
a2 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0
(4.2.1)
Supomos, como fizemos na seção precedente, que os coeficientes em (4.2.1) são contı́nuos
e a2 (x) 6= 0 para todo x em um intervalo I. O processo que usaremos para encontrar uma
segunda solução y2 (x) consiste em reduzir a ordem da equação (4.2.1), transformandoa em uma equação de primeira ordem. Por exemplo, verifica-se facilmente que y1 = ex
satisfaz a equação diferencial y 00 − y = 0. Se tentarmos determinar uma solução da forma
y = u(x)ex então
y 0 = uex + ex u0
y 00 = uex + 2ex u0 + ex u00
assim
y 00 − y = ex (u00 + 2u0 ) = 0
Como ex 6= 0, esta última equação implica que u00 + 2u0 = 0.
Se fizermos w = u0 , então a equação acima será uma equação linear de primeira ordem
em w, w0 + 2w = 0. Usando o fator de integração e2x , podemos escrever,
d 2x
[e w] = 0
dx
w = c1 e−2x ou u0 = c1 e−2x
Logo,
u=−
c1 −2x
e
+ c2
2
assim,
y = u(x)ex = −
c1 −x
e + c2 ex
2
Escolhendo c2 = 0 e c1 = −2, obtemos a segunda solução y2 = e−x . Como
W (ex , e−x ) 6= 0
para todo x, as soluções são linearmente independentes em (−∞, +∞), portanto a expressão para y é de fato a solução geral para a equação dada.
85
Exemplo 4.23 Verifique se y1 = x3 é solução para a equação x2 y 00 − 6y = 0. Se
for solução, use redução de ordem para encontrar uma segunda solução no intervalo de
(0, +∞).
Caso Geral
Dividindo a equação (4.2.1) por a2 (x), esta toma a forma padrão
y 00 + P (x)y 0 + Q(x)y = 0
(4.2.2)
em que P (x) e Q(x) são contı́nuas em algum intervalo I. Vamos supor ainda que y1 (x)
seja uma solução conhecida para (4.2.2) em I e que y1 (x) 6= 0 para todo x no intervalo.
Se definirmos y = u(x)y1 (x), segue-se que
y 0 = uy10 + y1 u0
y 00 = uy100 + 2y10 u0 + y1 u00
y 00 + P y 0 + Qy = u [y100 + py10 + Qy1 ] +y1 u00 + (2y10 + py1 u0 ) = 0
{z
}
|
zero
Isso implica que devemos ter
y1 u00 + (2y10 + P y1 )u0 = 0
ou
y1 w0 + (2y10 + P y1 )w = 0
(4.2.3)
em que substituı́mos w = u0 . Observe que a equação (4.2.3) é linear e separável. Aplicando
esta última técnica, obtemos
dw
y0
+ 2 1 dx + P dx = 0
w
y1
Z
ln |w| + 2 ln |y1 | = − P dx + C
Z
2
ln |wy1 | = − P dx + C
R
wy12 = c1 e− P dx
R
e− P dx
w = c1
y12
86
Integrando novamente
Z
u = c1
e−
R
P dx
dx + c2
y12
e portanto
Z
y = u(x)y1 = c1 y1 (x)
e−
R
P dx
y12
dx + c2 y1 (x)
Escolhendo c2 = 0 e c1 = 1, concluı́mos que uma segunda solução para a equação (4.2.2)
é
Z
y2 = y1 (x)
e−
R
P dx
y12
(4.2.4)
dx
É um bom exercı́cio de derivação começar com a fórmula (4.2.4) e verificar que a equação
(4.2.2) é satisfeita.
Agora, y1 (x) e y2 (x) são linearmente independentes, pois
¯
Z − R P dx
¯
e
¯ y1
dx
y1
¯
2
y
R
1
R
¯
Z − P dx
w(y1 (x), y2 (x)) = ¯
e
e− P dx
¯ y0 y0
dx + y1
¯ 1 1
y12
y12
¯
¯
¯
R
¯
¯ = e− P dx
¯
¯
¯
é diferente de zero em qualquer intervalo em que y1 (x) seja diferente de zero.
Exemplo 4.24 Verifique se a função y1 = x2 é uma solução para a equação
x2 y 00 − 3xy 0 + 4y = 0
Encontre se possı́vel a solução geral no intervalo (0, +∞).
sin x
Exemplo 4.25 Verifique se a função y1 = √ é uma solução para a equação
x
1
x2 y 00 + xy 0 + (x2 − )y = 0
4
em (0, π). Encontre uma segunda solução.
10a -LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem
ou a fórmula (4.2.4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.
87
(a) y 00 + 5y 0 = 0; y1 = 1.
(b) y 00 − 4y 0 + 4y = 0; y1 = e2x .
(c) y 00 + 16y = 0; y1 = cos 4x.
2x
(d) 9y 00 − 12y 0 + 4y = 0; y1 = e 3 .
(e) x2 y 00 − 7xy 0 + 16y = 0; y1 = x4 .
(f) xy 00 + y 0 = 0; y1 = ln x.
(g) (1 − 2x − x2 )y 00 + 2(1 + x)y 0 − 2y = 0; y1 = x + 1.
(h) (1 + 2x)y 00 + 4xy 0 − 4y = 0; y1 = e−2x .
(i) x2 y 00 − xy 0 + y = 0; y1 = x.
(j) x2 y 00 − 5xy 0 + 9y = 0; y1 = x3 ln x.
(k) x2 y 00 − 4xy 0 + 6y = 0; y1 = x2 + x3 .
2. Use o método de redução de ordem para encontrar uma solução para a equação
não-homogênea dada. A função indicada y1 (x) é uma solução para a equação homogênea associada. Determine uma segunda solução para a equação homogênea e
uma solução particular da equação não-homogênea.
(a) y 00 − 4y = 2; y1 = e−2x .
(b) y 00 − 3y 0 + 2y = 5e3x ; y1 = ex .
4.3
Equações Lineares Homogêneas Com Coeficientes
Constantes
dy
+ ay = 0, em que a é uma constante,
dx
em (−∞, +∞). Portanto, é natural procurar
Vimos que a equação linear de primeira ordem
possui solução exponencial y = c1 e−ax
determinar se soluções exponenciais existem em (−∞, +∞) para equações de ordem maior
como
an y (n) + a(n−1) y (n−1) + · · · + a2 y 00 + a1 y 0 + a0 y = 0
88
(4.3.1)
em que os ai , i = 0, 1, · · · , n são constantes. O fato surpreendente é que todas as soluções
para (4.3.1) são funções exponenciais ou construı́das a partir de funções exponenciais.
Começamos considerando o caso especial da equação de segunda ordem
ay 00 + by 0 + cy = 0
(4.3.2)
Equação Auxiliar
Se tentarmos uma solução da forma y = emx , então y 0 = memx e y 00 = m2 emx ; assim a
equação 4.3.2 torna-se
am2 emx + bmemx + cemx = 0
ou
emx (am2 + bm + c) = 0
Como emx nunca se anula para valores reais de x, então a única maneira de fazer essa
função exponencial satisfazer a equação diferencial é escolher m de tal forma que ele seja
raiz da equação quadrática
am2 + bm + c = 0
(4.3.3)
Essa última equação é chamada de equação auxiliar ou equação caracterı́stica da
equação diferencial 4.3.2. Consideramos três casos, a saber: as soluções para a equação
auxiliar correspondem as raı́zes reais distintas, raı́zes reais iguais e raı́zes complexas conjugadas.
• Caso 1: Raı́zes Reais Distintas - Com a hipótese de que a equação auxiliar 4.3.3
possui duas raı́zes reais distintas m1 e m2 , encontramos duas soluções
y1 = em1 x e y2 = em2 x
Vimos que essas funções são linearmente independentes em (−∞, +∞) e portanto
formam um conjunto fundamental. Segue-se que a solução geral para 4.3.2 nesse
intervalo é
y = c1 em1 x + c2 em2 x
89
(4.3.4)
• Caso 2: Raı́zes Reais Iguais - Quando m1 = m2 , obtemos somente uma solução
exponencial y1 = em1 x . Porém, segue-se imediatamente da discusão da Seção anterior que uma solução é
Z
m1 x
y2 = e
b
e− a x
dx
e2m1 x
(4.3.5)
b
, pois a única maneira de ter m1 = m2
Mas, da forma quadrática, temos m1 = − 2a
é ter b2 − 4ac = 0. Em vista do fato de que 2m1 = − ab torna-se
Z
m1 x
y2 = e
e2m1 x
dx = xem1 x
2m
x
1
e
a solução para 4.3.2 é então
y = c1 em1 x + c2 xem1 x
(4.3.6)
• Caso 3: Raı́zes Complexas Conjugadas - Se m1 e m2 são complexas, então
podemos escrever
m1 = α + iβ e m2 = α − iβ
em α e β > 0 são números reais e i2 = −1. Formalmente, não há diferença entre
este caso e o Caso 1, em que
y = C1 e(α+iβ)x + C2 e(α−iβ)x
Porém, na prática, preferimos trabalhar com funções reais em vez de exponenciais
complexas. Para este fim, usamos a fórmula de Euler.
eiθ = cos θ + i sin θ
em que θ é qualquer número real. Segue-se desta fórmula que
eiβx = cos βx + i sin βx e eiβx = cos βx − i sin βx
(4.3.7)
em que usamos cos(−βx) = cos βx e sin(−βx) = − sin βx. Note que somando e
depois subtraindo as duas equações em (4.3.7), obtemos, respectivamente,
eiβx + e−iβx = 2 cos βx
90
e
eiβx − e−iβx = 2i sin βx
Como y = C1 e(α+iβ)x + C2 e(α−iβ)x é uma solução para (4.3.2) para qualquer escolha
das constantes C1 e C2 , fazendo C1 = C2 = 1 e C1 = 1, C2 = −1, temos, nesta
ordem, soluções:
y1 = e(α+iβ)x + e(α−iβ)x
e
y2 = e(α+iβ)x − e(α−iβ)x
Mas,
y1 = eαx (eiβx + e−iβx ) = 2eαx cos βx
e
y2 = eαx (eiβx − e−iβx ) = 2ieαx sin βx
Portanto, pelo colorário (4.2) e o Teorema (4.3), os dois últimos resultados mostram
que as funções eαx cos βx e eαx sin βx são soluções para (4.3.2). Como
W (eαx cos βx, eαx sin βx) = βe2αx 6= 0
β > 0, e daı́ podemos concluir que as duas funções formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial em (−∞, +∞). Pelo principı́o de
superposição, a solução geral é
y = c1 eαx cos βx + c2 eαx sin βx
y =
eαx (c1 cos βx + c2 sin βx)
Exemplo 4.26 Resolva as seguintes equações diferenciais
1. 2y 00 − 5y 0 − 3y = 0;
2. y 00 − 10y 0 − 25y = 0;
3. y 00 + y 0 + y = 0.
Exemplo 4.27 Resolva o problema de valor inicial

 y 00 − 4y 0 + 13y = 0
 y(0) = −1, y 0 (0) = 2
91
(4.3.8)
Equação de Ordem Superior
No caso geral, para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem
an y (n) + a(n−1) y (n−1) + · · · + a2 y 00 + a1 y 0 + a0 y = 0
(4.3.9)
em que os ai , i = 0, 1, · · · , n são constantes reais, devemos resolver uma equação polinomial
de grau n
an mn + an−1 mn−1 + · · · + a2 m2 + a1 m + a0 = 0
(4.3.10)
Se todas as raı́zes de (4.3.10) são reais e distintas, então a solução geral para (4.3.9) é
y = c1 em1 x + c2 em2 x + · · · + cn emn x
(4.3.11)
É um pouco mais difı́cil resumir os análogos dos Casos II e III porque as raı́zes de uma
equação auxiliar de grau maior que dois podem ocorrer com várias combinações. Por
exemplo, uma equação de grau cinco pode ter cinco raı́zes reais distintas, ou três raı́zes
reais distintas e duas complexas, ou uma raiz real e quatro complexas, ou cinco raı́zes
reais iguais, ou cinco raı́zes reais, mas duas delas iguais etc. Quando m1 é uma raiz de
multiplicidade k de uma equação auxiliar de grau n (isto é, k raı́zes são iguais a m1 ),
pode ser mostrado que as soluções linearmente independentes são
em1 x , xem1 x , x2 em1 x , · · · , xk−1 em1 x
e a solução geral tem de conter a combinação linear
c1 em1 x + c2 xem1 x + c3 x2 em1 x + · · · + ck xk−1 em1 x
Por último, devemos lembrar que, quando os coeficientes são reais, raı́zes complexas de
uma equação auxiliar sempre aparecem em pares conjugados. Logo, por exemplo, uma
equação polinomial cúbica pode ter no máximo duas raı́zes complexas.
Exemplo 4.28 Resolva
1. y 000 + 3y 00 − 4y = 0;
92
2. 3y 000 + 5y 00 + 10y 0 − 4y = 0;
d4 y
d2 y
+2 2 +y =0
3.
dx4
dx
O exemplo acima ilustra um caso especial quando a equação auxiliar possui raı́zes
complexas repetidas. No caso geral, se m1 = α+iβ é uma raiz complexa de multiplicidade
k de uma equação auxiliar com coeficientes reais, então seu conjugado m1 = α − iβ é
também uma raiz de multiplicidade k. A partir das 2k soluções complexas
e(α+iβ)x , xe(α+iβ)x , x2 e(α+iβ)x , · · · , xk−1 e(α+iβ)x
e(α−iβ)x , xe(α−iβ)x , x2 e(α−iβ)x , · · · , xk−1 e(α−iβ)x
concluı́mos, com a ajuda da fórmula de Euler, que a solução geral para a equação diferencial correspondente tem então de conter uma combinação linear das 2k soluções reais
linearmente independentes
eαx cos βx, xeαx cos βx, x2 eαx cos βx, · · · , xk−1 eαx cos βx
eαx sin βx, xeαx sin βx, x2 eαx sin βx, · · · , xk−1 eαx sin βx
10a -LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
(a) 4y 00 + y 0 = 0;
(b) y 00 − 36y = 0;
(c) y 00 + 9y = 0;
(d) y 00 − y 0 − 6y = 0;
(e)
d2 y dy
+
+ 16y = 0;
dx2 dx
(f) y 00 + 3y 0 − 5y = 0;
(g) 12y 00 − 5y 0 − 2y = 0;
(h) y 00 − 4y 0 + 5y = 0;
(i) 3y 00 + 2y 0 + y = 0;
93
(j) y 000 − 4y 00 − 5y 0 = 0;
(k) y 000 − y = 0;
(l) y 000 − 5y 00 + 3y 0 + 9y = 0;
(m) y 000 + y 00 − 2y = 0;
(n) y 000 + 3y 00 + 3y 0 + y = 0;
d4 y d3 y d2 y
+
+
= 0;
(o)
dx4 dx3 dx2
d4 y
d2 y
(p) 16 4 + 24 2 + 9y = 0;
dx
dx
d5 y
dy
(q)
− 16
= 0;
dx5
dx
d4 y
d3 y
d2 y dy
d5 y
(r)
+
5
−
2
−
10
+
+ 5y = 0.
dx5
dx4
dx3
dx2 dx
2. Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.


y 00 + 16y = 0
(a)
 y(0) = 2, y 0 (0) = −2

 y 00 + 6y 0 + 5y = 0
(b)
 y(0) = 0, y 0 (0) = 3

 2y 00 − 2y 0 + y = 0
(c)
 y(0) = −1, y 0 (0) = 0

 y 00 + y 0 + 2y = 0
(d)
 y(0) = y 0 (0) = 0

 y 00 − 3y 0 + 2y = 0
(e)
 y(1) = 0, y 0 (1) = 1


y 000 + 12y 00 + 36y 0 = 0
(f)
 y(0) = 0, y 0 (0) = 1, y 00 (0) = −7


y 000 − 8y = 0
(g)
 y(0) = 0, y 0 (0) = −1, y 00 (0) = 0

d4 y
d3 y
d2 y
dy

−
3
+
3
−
=0
4
3
2
dx
dx
dx
dx
(h)

y(0) = y 0 (0) = 0, y 00 (0) = y 000 (0) = 1
94
3. Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições de contorno indicada.

 y 00 − 10y 0 + 25y = 0
(a)
 y(0) = 1, y(1) = 0


y 00 + y = 0
(b)
 y 0 (0) = 0, y 0 ( π ) = 2
2
4. As raı́zes de uma equação auxiliar são m1 = 4, m2 = m3 = −5. Qual é a equação
diferencial correspondente?
5. Encontre a solução geral para a equação y 000 − 9y 00 + 25y 0 − 17y = 0, em que y1 = ex .
6. Determine uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
que tenham a solução dada.
(a) 4e6x , 3e−3x .
(b) 3, 2x, −e−7x
4.4
Operadores Difererenciais
Em cálculo, usamos freqüentemente a letra maiúscula D para denotar derivação;
isto é,
dy
= Dy
dx
O sı́mbolo D é chamado de operador diferencial; ele transforma uma função diferenciável em outra função; por exemplo,
D(e4x ) = 4e4x , D(5x3 − 6x2 ) = 15x2 − 12x e D(cos 2x) = −2 sin 2x
O operador diferencial D também possui uma propriedade de linearidade; D operando
em uma combinação linear de duas funções diferenciáveis é o mesmo que a combinação
linear de D operando nas funções individualmente. Em sı́mbolos, isso significa
D{af (x) + bg(x)} = aDf (x) + bDg(x)
(4.4.1)
em que a e b são constantes. Por causa da igualdade (4.4.1), dizemos que D é um
operador diferencial linear
95
Derivadas de Ordem Superior
Derivadas de ordem superior podem ser expressas em termos de D de uma maneira
natural:
d
dx
µ
dy
dx
¶
=
d2 y
= D(Dy) = D2 y
dx2
, e no caso geral ,
dn y
= Dn y
dxn
em que y representa uma função suficientemente diferenciável. Expressões polinomiais
envolvendo D, tais como
D + 3 , D2 + 3D − 4 e 5D3 − 6D2 + 4D + 9
são também operadores diferenciais lineares.
Equações Diferenciais
Qualquer equação diferencial linear pode ser expressa em termos de D. Por exemplo,
uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes ay 00 +by 0 +cy = g(x)
pode ser escrita como
aD2 y + bDy + cy = g(x) ou (aD2 + bD + c)y = g(x)
Se definirmos L = aD2 + bD + c, então a última equação pode ser escrita de maneira
compacta como
L(y) = g(x)
O operador L = aD2 + bD + c é chamado de operador diferencial linear de segunda
ordem com coeficientes cosntantes.
Exemplo 4.29 Escreva a equação
y 00 + y 0 + 2y = 5x − 3
em termos do operador diferencial.
Um operador diferencial linear de n-ésima ordem
L = an Dn + an−1 Dn−1 + · · · + a1 D + a0
96
com coeficientes constantes pode ser fatorado quando o polinômio caracterı́stico
an mn + an−1 mn−1 + · · · + a1 m + a0
também se fatora. Por exemplo, se tratarmos D como uma quantidade algébrica, então
D2 + 5D + 6 pode ser fatorado como (D + 2)(D + 3) ou como (D + 3)(D + 2). Em outras
palavras, para uma função y = f (x) duas vezes diferenciável
(D2 + 5D + 6)y = (D + 2)(D + 3)y = (D + 3)(D + 2)y
Para ver por que isso funciona assim, seja w = (D + 3)y = y 0 + 3y, então
(D + 2)w = Dw + 2w = (y 00 + 3y 0 ) + (2y 0 + 6y) = y 00 + 5y 0 + 6y
Analogamente, se colocarmos w = (D + 2)y = y 0 + 2y, então
(D + 3)w = Dw + 3w = (y 00 + 2y 0 ) + (3y 0 + 6y) = y 00 + 5y 0 + 6y
Isso ilustra uma propriedade geral:
Fatores de um operador linear com coeficientes constantes comutam
Exemplo 4.30 Escreva a equação
y 00 + 4y 0 + 4y = 0
em termos do operador diferencial (forma fatorada).
Operador Anulador
Se L é um operador diferencial com coeficientes constantes e y = f (x) é uma função
suficientemente diferenciável, tal que
L(y) = 0
então dizemos que L é um anulador da função. Por exemplo, se y = k (uma constante),
então Dk = 0. Ainda, D2 x = 0, D3 x2 = 0 e assim por diante.
97
O operador diferencial Dn anula cada uma das funções
1, x, x2 , x3 , · · · , xn−1
(4.4.2)
Como conseqüência imediata de (4.4.2) e do fato de que a derivação pode ser feita
termo a termo, um polinômio
c0 + c1 x + c2 x2 + · · · + cn−1 xn−1
é anulado por um operador que anula a maior potência de x.
Exemplo 4.31 Encontre um operador diferencial que anula
1 − 5x2 + 8x3
Observação 4.6 As funções que são anuladas por um operador diferencial linear de nésima ordem L são simplesmente aquelas que podem ser obtidas a partir da solução geral
para a equação homogênea L(y) = 0.
O operador diferencial (D − α)n anula cada uma das funções
eαx , xeαx , x2 eαx , · · · , xn−1 eαx
(4.4.3)
Para ver isso, note que a equação auxiliar da equação homogênea (D − α)n y = 0 é
(m − α)n = 0. Como α é uma raiz de multiplicidade n, a solução geral é
y = c1 eαx + c2 xeαx + c3 x2 eαx + · · · + cn xn−1 eαx
Exemplo 4.32 Encontre um operador anulador para
1. e5x ;
2. 4e2x − 6xe2x .
98
Quando α e β são números reais, a fórmula quadrática mostra que
[m2 − 2αm + (α2 + β 2 )]n = 0
possui raı́zes complexas α + βi, α − βi, ambas de multiplicidade n.
O operador diferencial [D2 − αD + (α2 + β 2 )]n anula cada uma das funções
eαx cos βx, xeαx cos βx, x2 eαx cos βx, · · · , xn−1 eαx cos βx
eαx sin βx, xeαx sin βx, x2 eαx sin βx, · · · , xn−1 eαx sin βx
(4.4.4)
Exemplo 4.33 Encontre um operador anulador para y = 5e−x cos 2x − 9e−x sin 2x.
Exemplo 4.34 Encontre um operador anulador para
y = c1 cos x + c2 sin x + c3 x cos x + c4 xsinx
Estamos interessados em anuladores da soma de duas ou mais funções. Se L é um
operador diferencial linear tal que L(y1 ) = 0 e L(y2 ) = 0, então L anula a combinação
linear c1 y1 (x) + c2 y2 (x). Isto é uma consequência direta do Teorema (4.3). Vamos supor
agora que L1 e L2 são operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes tais
que, L1 anula y1 (x) e L2 anula y2 (x), mas L1 (y2 ) 6= 0 e L2 (y1 ) 6= 0. Então, o o produto
dos operadores diferenciais L1 L2 anula a soma c1 y1 (x) + c2 y2 (x). Podemos facilmente
demonstrar isso usando linearidade e o fato de que L1 L2 = L2 L1 :
L1 L2 (y1 + y2 ) = L1 L2 (y1 ) + L1 L2 (y2 )
= L2 L1 (y1 ) + L1 L2 (y2 )
=
(4.4.5)
0
Exemplo 4.35 Encontre um operador diferencial que anula 7 − x + 6 sin 3x.
Exemplo 4.36 Encontre um operador diferencial que anula e−3x + xex .
Observação 4.7 O operador diferencial que anula uma função não é único. Por exemplo,
sabemos que D − 5 anula e5x , mas também os operadores diferenciais de ordem superior,
como (D − 5)(D + 1) e (D − 5)D2 , anulam essa função. Quando procuramos um anulador
diferencial para uma função y = f (x), queremos o operador de menor ordem possı́vel que
faça este trabalho.
99
11a -LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Escreva a equação diferencial na forma L(y) = g(x).
(a)
dy
+ 5y = 9 sin x;
dx
(b) 3y 00 − 5y 0 + y = ex ;
(c) y 000 − 4y 00 + 5y 0 = 4x.
2. Se possı́vel, fatore o operador diferencial dado.
(a) 9D2 − 4;
(b) D2 − 4D − 12;
(c) D3 + 2D − 13D + 10;
(d) D4 + 8D.
3. Verifique que o operador diferencial dado anula a função indicada.
(a) D4 ; y = 10x3 − 2x;
(b) (D − 2)(D + 5) ; y = 4e2x .
4. Encontre um operador diferencial que anule a função dada.
(a) 1 + 6x − 2x3 ;
(b) 1 + 7e2x ;
(c) cos 2x;
(d) 13x + 9x2 − sin 4x;
(e) e−x + 2xex − x2 ex ;
(f) 3 + ex cos 2x.
5. Encontre funções linearmente independentes que são anuladas pelo operador diferencial dado
(a) D5 ;
100
(b) (D − 6)(2D + 3);
(c) D2 + 5;
(d) D3 − 10D2 + 25D.
4.5
Coeficientes Indeterminados - Abordagem Por
Anuladores
Para obter a solução geral para uma equação diferencial linear não-homogênea
devemos fazer duas coisas:
1. Encontrar a função complementar yc .
2. Encontrar uma solução particular yp para a equação não-homogênea.
Lembre-se de que uma solução particular é qualquer função, independente de constantes, que satisfaça a equação diferencial. A solução geral para uma equação nãohomogênea em um intervalo é então y = yc + yp .
Se L denota um operador diferencial linear da forma an Dn +an−1 Dn−1 +· · ·+a1 D +a0 ,
então uma equação diferencial linear não homogênea pode ser escrita simplesmente como
L(y) = g(x)
(4.5.1)
O método dos coeficientes indeterminados apresentado nesta seção limita-se a
equações lineares não-homogêneas
• que têm coeficiente constantes, e
• em que g(x) é uma constante k, uma função polinomial, uma função exponencial
eαx , sin βx, cos βx ou somas e produtos finitos dessas funções.
Observação 4.8 Precisamente, g(x) = k, (uma constante) é uma função polinomial.
Como uma função constante não é provavelmente a primeira coisa que lhe vem à mente
quando você pensa em funções polinomiais, para enfatizar, continuamos a usar a redundância “funções constantes, polinomiais, · · · ”
101
O que segue são alguns exemplos de tipos de funções aplicadas g(x) que são apropriados
para essa discussão:
g(x) = 10
g(x) = x2 − 5x
g(x) = 15x − 6 + 8e4x
(4.5.2)
g(x) = sin 3x − 5x cos 2x
g(x) = ex cos x − (3x2 − 1)e−x
e assim por diante. Em outras palavras, g(x) é uma combinação linear de funções da
forma
k (constante) , xm , xm eαx , xm eαx cos βx e xm eαx sin βx.
em que m é um inteiro não negativo e α e β são números reais. O método dos coeficientes
indeterminados não se aplica a equações da forma (4.5.1) quando, por exemplo,
g(x) = ln x , g(x) =
1
, g(x) = tan x e g(x) = arcsin x.
x
Como vimos, uma combinação linear de funções do tipo
k (constante) , xm , xm eαx , xm eαx cos βx e xm eαx sin βx
é precisamente o tipo de função que pode ser anulada por um operador L1 (de menor
ordem) consistindo em um produto de operadores tais como
Dn , (D − α)n e [D2 − αD + (α2 + β 2 )]n
Aplicando L1 a ambos os membros de (4.5.1), obtemos
L1 L(y) = L1 (g(x)) = 0
(4.5.3)
Resolvendo a equação homogênea de ordem maior L1 L(y) = 0, podemos descobrir a
forma de uma solução particular yp para a equação não-homogênea original L(y) = g(x).
Exemplo 4.37 Resolva
1. y 00 + 3y 0 + 2y = 4x2 ;
102
2. y 00 − 3y 0 = 8e3x + 4 sin x;
3. y 00 + 8y = 5x + 2e−x ;
4. y 00 + y = x cos x − cos x;
5. y 00 − 2y 0 + y = 10e−2x cos x;
6. y 000 − 4y 00 + 4y 0 = 5x2 − 6x + 4x2 e2x + 3e5x .
Resumo do Método
Para sua conveniência, o método dos coeficientes indeterminados está aqui resumido:
Coeficientes Indeterminados - Abordagem por Anuladores
A equação diferencial L(y) = g(x) tem coeficientes constantes e a função consiste em
somas e produtos finitos de constantes, funções polinomiais, funções exponenciais eαx ,
senos e co-senos.
1. Encontre a solução complementar yc para a equação homogênea L(y) = 0.
2. Opere em ambos os lados da equação não-homogênea L(y) = g(x) com um operador
diferencial L1 , que anula a função g(x).
3. Encontre a solução geral para a equação diferencial homogênea de maior ordem
L1 L(y) = 0.
4. Desconsidere todos os termos da solução encontrada em (3) que estão duplicados na
solução complementar yc encontrado em (1). Forme uma combinação linear yp dos
termos restantes. Essa é a forma de uma solução particular para L(y) = g(x).
5. Substitua yp encontrada em (4) na equação L(y) = g(x). Agrupe os coeficientes das
funções em cada lado da igualdade e resolva o sistema resultante de equações para
os coeficientes indeterminados em yp .
6. Com a solução particular encontrada em (5), forme a solução geral y = yc + yp para
a equação diferencial dada.
103
12a -LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
(a) y 00 − 9y = 54;
(b) y 00 + y 0 = 3;
(c) y 00 + 4y 0 + 4y = 2x + 6;
(d) y 000 + y 00 = 8x2 ;
(e) y 00 − y 0 − 12y = e4x ;
(f) y 00 − 2y 0 − 3y = 4ex − 9;
(g) y 00 + 25y = 6 sin x;
(h) y 00 + 6y 0 + 9y = −xe4x ;
(i) y 00 − y = x2 ex + 5;
(j) y 00 − 2y 0 + 5y = ex sin x;
(k) y 00 + 25y = 20 sin 5x;
(l) y 00 + y 0 + y = x sin x;
(m) y 000 − 3y 00 + 3y 0 − y = ex − x + 16;
(n) y (4) − 2y 000 + y 00 = ex + 1;
x
(o) 16y (4) − y = e 2 .
2. Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.


y 00 − 64y = 16
(a)
;
 y(0) = 1, y 0 (0) = 0

 y 00 − 5y 0 = x − 2
(b)
;
 y(0) = 0, y 0 (0) = 2

 y 00 + y = 8 cos 2x − 4 sin x
³ ´
³ ´
;
(c)
 y π = −1, y 0 π = 0
2
2

 y 00 − 4y 0 + 8y = x3
(d)
.
 y(0) = 2, y 0 (0) = 4
104