QUANTIFICADORES
São símbolos que atuam sobre sentenças abertas, tornando-as fechadas.
OS QUANTIFICADORES SÃO:
i) Universal
É indicado por ∀ que se lê:
“Para todo” ou “Qualquer que seja”
Exemplo:
Todas as alunas do Canal dos Concursos são alegres e magras”
ii) Existencial
É indicado por ∃ que se lê:
“Existe pelo menos um” ou
“Algum”
Exemplo:
Existe um planeta que é habitável.
9. NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COM QUANTIFICADORES
Proposição: ∀ x ∈ A, x tem a propriedade P.
Negação: ∃ x ∈ A, x não tem a propriedade P.
Proposição: ∃ x ∈ A, x tem a propriedade P.
Negação: ∀ x ∈ A, x não tem a propriedade P.
ou
∃ x ∈ A, x tem a propriedade P.
Exemplos:
• A negação da proposição “Todo político é mentiroso” é
“Pelo menos um político não é mentiroso”
ou
“Algum político não é mentiroso”.
ou
“Nem todo político é mentiroso”
•• A negação da proposição “Existem alunos ansiosos” é
“Todo aluno não é ansioso”
ou
“Não existem alunos ansiosos”
ARGUMENTO
Chama-se argumento uma seqüência finita de proposições P1, P2,..., Pn que
inferem uma proposição Q.
As proposições P1, P2,..., Pn dizem-se as premissas do argumento, e a
proposição Q diz-se a conclusão do argumento.
Um argumento de premissas P1, P2,..., Pn e de conclusão Q é indicado por: P1,
P2,..., Pn I-−---------- Q e se lê: “P1, P2,..., Pn acarretam Q”
ou
“Q se deduz de “P1, P2,..., Pn”
Um argumento que consiste de duas premissas e uma conclusão chama-se
silogismo categórico.
Validade de um argumento
Um argumento P1, P2,..., Pn I-−---------- Q diz-se válido se e somente se a
conclusão Q é verdadeira (V), sempre que todas as premissas foram
verdadeiras (V).
“Quando o argumento não é válido, diz-se que é um sofisma”.
QUESTÕES DE CONCURSOS
Todos os diplomatas são gordos. Nenhum gordo sabe nadar. Segue-se que:
a) algum diplomata não é gordo
b) algum diplomata sabe nadar
c) nenhum diplomata sabe nadar
d) nenhum diploma é gordo
e) algum gordo sabe nadar
2) Todo A é B, e todo C não é B. Portanto:
a) algum A é C
b) nenhum A é C
c) nenhum A é B
d) algum B é C
e) nenhum B é A
3) (TRE – MS -FCC) Considere que as seguintes afirmações são verdadeiras:
- “Alguma mulher é vaidosa”
- “ Toda mulher é inteligente”
Assim sendo, qual das afirmações seguintes é certamente verdadeira ?
a) Alguma mulher inteligente é vaidosa
b) Alguma mulher vaidosa não é inteligente
c) Alguma mulher não vaidosa não é inteligente
d) Toda mulher inteligente é vaidosa
e) Toda mulher vaidosa não é inteligente
4) (FCC) Em uma cidade, é verdade que “algum físico é desportista” e que
“nenhum aposentado é desportista”. Portanto, nessa cidade,
a) nenhum aposentado é físico
b) nenhum físico é aposentado
c) algum aposentado não é físico
d) algum físico é aposentado
e) algum físico não é aposentado
5) (MPOG – ESAF – 2009) Considerando as seguintes proposições: “Alguns
filósofos são matemáticos” e “não é verdade que algum poeta é
matemático”, pode-se concluir apenas que:
a) algum filósofo é poeta.
b) algum poeta é filósofo.
c) nenhum poeta é filósofo.
d) nenhum filósofo é poeta.
e) algum filósofo não é poeta.
6) (MPOG – ESAF – 2009) Numa empresa de nanotecnologia, sabe-se que
todos os mecânicos são engenheiros e que todos os engenheiros são pósgraduados. Se alguns administradores da empresa também são
engenheiros, pode-se afirmar que, nessa empresa:
a) todos os administradores são pós-graduados.
b) alguns administradores são pós-graduados.
c) há mecânicos não pós-graduados.
d) todos os trabalhadores são pós-graduados.
e) nem todos os engenheiros são pós-graduados.
7) (TJ – PE – FCC) Em uma cidade, todo pai de família é cantor. Todo
filósofo, se não for marceneiro, ou é pai de família ou é arquiteto. Ora não
há marceneiro e não há arquiteto que não seja cantor. Portanto, tem-se
que, necessariamente:
a) todo cantor é filósofo
b) todo filósofo é cantor
c) todo cantor é marceneiro ou arquiteto d) algum marceneiro é arquiteto
e) algum pai de família é marceneiro
8) (TJ – PE – FCC) Considere a afirmação abaixo.
Existem funcionários públicos que não são eficientes.
Se essa afirmação é FALSA, então é verdade que:
(A) nenhum funcionário público é eficiente.
(B) nenhuma pessoa eficiente é funcionário público.
(C) todo funcionário público é eficiente.
(D) nem todos os funcionários públicos são eficientes.
(E) todas as pessoas eficientes são funcionários públicos.
9) (FISCAL DO TRABALHO) Dizer que a afirmação “todos os economistas
são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivalente a dizer que a
seguinte afirmação é verdadeira:
a) pelo menos um economista não é médico
b) nenhum economista é médico
c) nenhum médico é economista
d) pelo menos um médico não é economista
e) todos os não-médicos são não-economistas
10) (MPOG – ESAF – 2009) A negação de “À noite, todos os gatos são pardos”
é:
a) De dia, todos os gatos são pardos.
b) De dia, nenhum gato é pardo.
c) De dia, existe pelo menos um gato que não é pardo.
d) À noite, existe pelo menos um gato que não é pardo.
e) À noite, nenhum gato é pardo.
11) (MPOG – ESAF – 2009) Admita que, em um grupo: “se algumas pessoas
não são honestas, então algumas pessoas são punidas”. Desse modo,
pode-se concluir que, nesse grupo:
a) as pessoas honestas nunca são punidas.
b) as pessoas desonestas sempre são punidas.
c) se algumas pessoas são punidas, então algumas pessoas não são honestas.
d) se ninguém é punido, então não há pessoas desonestas.
e) se todos são punidos, então todos são desonestos.
12) (PF – 2010) Se A for a proposição “Todos os policiais são honestos”, então
a proposição ¬A estará enunciada corretamente por “Nenhum policial é
honesto”.
13) (ANALISTA FINANÇAS RJ) As pessoas A, B e C são da mesma família.
Examinando um álbum de fotos da família, verificou-se que:
• Toda foto em que A aparece, B também aparece.
• Toda foto em que C aparece, B não aparece.
É correto concluir que:
A) Se A aparece em uma foto, então C não aparece nessa foto.
B) Se C não aparece em uma foto, então A aparece nessa foto.
C) Se C não aparece em uma foto, então A também não aparece nessa foto.
D) Se B aparece um uma foto, então A aparece, e C não aparece nessa foto.
E) Se B não aparece em uma foto, então C aparece, e A não aparece nessa foto.
14) (TRT – BA)
(TRT – BA) Considerando a proposição “Nesse processo, três réus foram
absolvidos e os outros dois prestarão serviços à comunidade”, simbolizada na
foram A ∧ B, em que A é a proposição “Nesse processo, três réus foram
absolvidos” e B é a proposição “Nesse processo, dois réus prestarão serviços à
comunidade”, julgue os itens que se seguem.
15)
16)
17)
18) (BB – FCC) Um jornal publicou a seguinte manchete: “Toda Agência do
Banco do Brasil tem déficit de funcionários.” Diante de tal inverdade, o
jornal se viu obrigado a retratar-se, publicando uma negação de tal
manchete. Das sentenças seguintes, aquela que expressaria de maneira
correta a negação da manchete publicada é:
(A) Qualquer Agência do Banco do Brasil não têm déficit de funcionários.
(B) Nenhuma Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários.
(C) Alguma Agência do Banco do Brasil não tem déficit de funcionários.
(D) Existem Agências com deficit de funcionários que não pertencem ao Banco do
Brasil.
(E) O quadro de funcionários do Banco do Brasil está completo.
19) (TRF - 1a REGIÃO – FCC) Algum X é Y. Todo X é Z. Logo,
a) algum Z é Y
b) algum X é Z
c) todo Z é X
d) todo Z é Y
algum X é Y
e)
20) (BB – 2007) Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que
pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não, como ambas.
Assim, frases como “Como está o tempo hoje?” e “Esta frase é falsa” não
são proposições porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser
nem V nem F. As proposições são representadas simbolicamente por letras
maiúsculas do alfabeto – A, B, C etc. Uma proposição da forma “A ou B” é
F se A e B forem F, caso contrário é V; e uma proposição da forma “Se A
então B” é F se A for V e B for F, caso contrário é V. Um raciocínio lógico
considerado correto é formado por uma seqüência de proposições tais que
a última proposição é verdadeira sempre que as proposições anteriores na
seqüência forem verdadeiras.
Considerando as informações contidas no texto acima, julgue os itens
subseqüentes.
a) É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes:
Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no
concurso. Maria é alta. Portanto José será aprovado no concurso.
b) É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes:
Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um emprego. Ela
conseguiu um emprego. Portanto, Célia tem um bom currículo.
21) (ISS CAMPINAS – 2011) Considere as seguintes premissas:
P1: Os peregrinos são americanos.
P2: Pessoas americanas são jovens.
P3: Quem sabe nadar não é jovem.
Assinale a alternativa que não apresenta uma consequência lógica das três
premissas apresentadas.
(A) Os peregrinos não sabem nadar.
(B) Pessoas jovens não sabem nadar.
(C) Americanos não sabem nadar.
(D) Pessoas jovens são americanas.
(E) Os peregrinos são jovens.
22) (ISS CAMPINAS – 2011) Assinale a alternativa que apresenta uma
conclusão correta a partir da premissa: “Todos os amigos de Luís são
jogadores de futebol”.
(A) Luís é jogador de futebol.
(B) Se Paulo não é jogador de futebol, então ele não é amigo de Luís.
(C) Se Flávio é jogador de futebol, então ele é amigo de Luís.
(D) Se Carlos é amigo de Luís, então ele não é jogador de futebol.
(E) Luís não é jogador de futebol.
23) (PF – 2009) Considere as proposições A, B e C a seguir.
A: Se Jane é policial federal ou procuradora de justiça, então Jane foi
aprovada em concurso püblico.
B: Jane foi aprovada em concurso püblico.
C: Jane é policial federal ou procuradora de justiça. Nesse caso, se A e B
forem V, então C também será V.
24) (PF – 2009) A sequência de proposições a seguir constitui uma dedução
correta.
Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física.
Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou.
Carlos não fracassou na prova de Física.
Carlos não jogou futebol.
25) (PF – 2009) Considere que as proposições da sequência a seguir sejam
verdadeiras.
Se Fred é policial, então ele tem porte de arma. Fred mora em São Paulo ou
ele é engenheiro.
Se Fred é engenheiro, então ele faz cálculos estruturais. Fred não tem porte
de arma.
Se Fred mora em São Paulo, então ele é policial.
Nesse caso, é correto inferir que a proposição “Fred não mora em São
Paulo” é uma conclusão verdadeira com base nessa sequência.
26) (FCC/BB/2010) Sejam: X o conjunto dos municípios brasileiros; Y o
conjunto dos municípios brasileiros que têm Agências do Banco do Brasil; Z
o conjunto dos municípios brasileiros que têm mais de 30 000 habitantes.
Supondo que Y ∩ Z ≠ ø, é correto afirmar que:
(A) Todo município brasileiro que não tem Agência do Banco do Brasil tem menos
de 30 000 habitantes.
(B) Todo município brasileiro que tem menos de 30 000 habitantes não tem
Agência do Banco do Brasil.
(C) Pode existir algum município brasileiro que não tem Agência do Banco do
Brasil e que tem mais de 30 000 habitantes.
(D) Se um município brasileiro tem Agência do Banco do Brasil, então ele tem
mais de 30 000 habitantes.
(E) Se um município brasileiro tem menos de 30 000 habitantes, então ele não tem
Agência do Banco do Brasil.
27) Considere a seguinte seqüência de proposições.
I. Se Nicole é considerada uma ótima atriz, então Nicole ganhará o prêmio de
melhor atriz do ano.
II. Nicole não é considerada uma ótima atriz.
III. Portanto, pode-se concluir que Nicole não ganhará o prêmio de melhor atriz
do ano.
Nesse caso, essa seqüência constitui uma argumentação válida, porque, se as
proposições I e II são verdadeiras, a proposição III também é verdadeira
28) Suponha que as proposições I, II e III a seguir sejam verdadeiras.
I. Se o filme Dois Filhos de Francisco não teve a maior bilheteria de 2005,
então esse filme não teve o maior número de cópias vendidas.
II. Se o filme Dois Filhos de Francisco teve a maior bilheteria de 2005, então
esse filme foi exibido em mais de 300 salas de projeção.
III. O filme Dois Filhos de Francisco teve o maior número de cópias vendidas.
Nessa situação, é correto concluir que a proposição O filme Dois filhos de
Francisco foi visto em mais de 300 salas de projeção é uma proposição
verdadeira.
29) (FCC/TRT-PE) As afirmações seguintes são resultados de uma pesquisa
feita entre os funcionários de certa empresa.
●Todo indivíduo que fuma tem bronquite.
●Todo indivíduo que tem bronquite costuma faltar ao trabalho.
Relativamente a esses resultados, é correto concluir que:
(A) existem funcionários fumantes que não faltam ao trabalho;
(B) todo funcionário que tem bronquite é fumante;
(C) todo funcionário fumante costuma faltar ao trabalho;
(D) é possível que exista algum funcionário que tenha bronquite e não falte
habitualmente ao trabalho;
(E) é possível que exista algum funcionário que seja fumante e não tenha
bronquite.
30) (FCC/TRE-PI/2009) Todos os advogados que trabalham numa cidade
formaram-se na universidade X. Sabe-se ainda que alguns funcionários da
prefeitura dessa cidade são advogados. A partir dessas informações, é
correto concluir que, necessariamente:
(A) existem funcionários da prefeitura dessa cidade formados na universidade X;
(B) todos os funcionários da prefeitura dessa cidade formados na universidade X
são advogados;
(C) todos os advogados formados na universidade X trabalham nessa cidade;
(D) dentre todos os habitantes dessa cidade, somente os advogados formaram-se
na universidade X;
(E) existem funcionários da prefeitura dessa cidade que não se formaram na
universidade X.
31) (SEFAZ – SP – FCC) No argumento “Se estudo, passo no concurso. Se
não estudo, trabalho. Logo, se não passo no concurso, trabalho”, considere
as proposições:
p: “estudo”
q: “passo no concurso”,
e
r: “trabalho”
É verdade que
a) p, q, ~ p e r são premissas e ~q → r é a conclusão.
b) a forma simbólica do argumento é (p → q) → (~ p → r) ├······· (~q → r).
c) a validade do argumento é verificada por uma tabela-verdade com 16 linhas.
d) a validade do argumento depende dos valores lógicos e do conteúdo das
proposições usadas no argumento
e) o argumento é válido, porque a proposição [p → q) ∧ (~p → r)] → (~q → r) é
uma tautologia.
32) (SEFAZ – SP – FCC) Considere os argumentos abaixo:
Argumento Premissas Conclusão
I
b
a, a → b
II
~b
~a, a → b
III
~a
~b, a → b
IV
a
b, a → b
Indicando-se os argumentos legítimos por L e os ilegítimos por I, obtêm-se, na
ordem dada,
a) L, I, L, I.
b) I, L, I, L.
c) I, I, I, I.
d) L, L, I, L.
e) L, L, L, L.
33) (SEFAZ – SP – FCC) No universo U, sejam P, Q, R, S e T propriedades
sobre os elementos de U. (K(x) quer dizer que o elemento x de U satisfaz a
propriedade K e isso pode ser válido ou não).
Para todo x de U considere válidas as premissas seguintes:
• P(x)
• Q(x)
• [R(x) → S(x)] → T(x)
• [P(x) ∧ Q(x) ∧ R(x)] → S(x)
É verdade que
a) R(x) é válida.
b) S(x) é válida.
c) T(x) é válida.
d) nada se pode concluir sem saber se R(x) é ou não válida.
e) não há conclusão possível sobre R(x), S(x) e T(x).
34) (MPOG – ESAF – 2009) Entre as opções abaixo, qual exemplifica uma
contradição formal?
a) Sócrates não existiu ou Sócrates existiu.
b) Sócrates era ateniense ou Sócrates era espartano.
c) Todo filósofo era ateniense e todo ateniense era filósofo.
d) Todo filósofo era ateniense ou todo ateniense era filósofo.
e) Todo filósofo era ateniense e algum filósofo era espartano