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UNIVERSIDADE COMUNITÁRIA DA REGIÃO DE CHAPECÓ
ENGENHARIA ELÉTRICA
Curso:
CÁLCULO II
Componente Curricular:
GRAZIELLI VASSOLER RUTZ
Professor(a):
APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA
1. Comprimento do Arco de uma Curva Plana usando a sua equação cartesiana
Arco: Porção da curva y  f (x) do ponto A até o ponto B.
Queremos determinar um número S que entendemos ser o comprimento de tal arco.
Figura 1
Caso 1: Se o arco é um segmento de reta:
Figura 2
S  d ( A, B)  (b  a) 2  ( f (b)  f (a)) 2
Caso 2: Se o arco é uma curva qualquer:
Figura 3
2
Para calcularmos o perímetro de uma circunferência, calculamos o limite dos
perímetros regulares dela inscritos. Para outras curvas, podemos proceder de forma
análoga.
Figura 4
E o comprimento do polígono denotado por I n , é dado por:
n
I n   ( xi  xi 1 ) 2  ( f ( xi )  f ( xi 1 )) 2
i 1
Como f é derivável em [a, b] , podemos aplicar o Teorema do Valor Médio em cada
intervalo [ xi 1 , xi ] , de onde obtemos:
n
I n   ( xi  xi 1 ) 2  [ f ´(ci )]2 ( xi  xi 1 ) 2
i 1
n
  ( xi  xi 1 ) 2 [1  [ f ´(ci )]2
i 1
n
  [ f ´(ci )]2 ( xi )  xi 1 ) 2 . ( xi  xi 1 ) 2
i 1
n
  [ f ´(ci )]2 ( xi )  xi 1 ) 2 xi
i 1
À medida que n cresce muito e cada xi torna-se muito pequeno, I n se aproxima do
comprimento do arco da curva C, de A até B.
Definição: Seja C uma curva de equação y  f (x) , onde f é uma função contínua e
derivável em [a, b] . O comprimento da curva C é dada por:
b
S   1  [ f ' ( x)]2 dx
a
Podem ocorrer situações em que a curva C é dada por x  g ( y) . Então, o comprimento de
C é dada por:
d
S   1  [ g ' ( y )]2 dy
c
3
Figura 5
Exemplos:
i ) Calcular o comprimento do arco da curva dada por y  x 3 2  4 de A(1,-3) até B(4,4).
ii ) Obter a integral definida que nos dá o comprimento da curva y  cos 2 x para
0 x  .
iii ) Calcular o comprimento do arco dado por x 
1 3 1
y 
1, 1  y  3 .
2
6y
2. Volume de um sólido de revolução
Fazendo uma região plana girar em torno de uma reta no plano, obtemos um sólido,
que é chamado sólido de revolução.
Exemplos:
i ) Fazendo a região limitada pelas curvas y  0 , y  x e x  4 girar em torno do eixo
dos x , o sólido de revolução é um cone.
Figura 6
(a)
Figura 6
(b)
ii ) Se o retângulo delimitado pelas retas x  0 , x  1, y  0 e y  3 girar em torno do
eixo dos y , obtemos um cilindro.
4
Figura 7
(a)
Figura 7
(b)
Cálculo do Volume de um sólido T
Figura 8
(a)
Figura 8
(b)
b
V    [ f ( x)]2 dx
a
A fórmula V pode ser generalizada para alguns casos, que seguem.
Caso 1: A região R está entre os gráficos de duas funções f (x) e g (x) de a até b .
Figura 9
b
V    [( f ( x)) 2  ( g ( x)) 2 ] dx
a
5
Caso 2: Ao invés de girar ao redor do eixo dos x , a região R gira em torno do eixo dos y .
Figura 10
b
V    [ g ( y )]2 dy
a
Caso 3: A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados.
Figura 11
(a)
yL
Figura 11
(b)
xM
b
b
V    [ f ( x)  L] dx
2
a
V    [ g ( y )  M ]2 dy
a
Exemplos:
1 2
x , e o eixo dos x e as retas x  1 e x  4 , gira
4
em torno do eixo dos x . Encontrar o volume do sólido de revolução gerado.
i ) A região R, limitada pela curva y 
6
Figura 12
(a)
Figura 12
(b)
ii ) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos x , da região
1
1
limitada pela parábola y  (13  x 2 ) e pela curva y  ( x  5) .
4
2
iii ) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x , da região

3
entre o gráfico das funções y  sen x e o eixo dos x , de  até
.
2
2
iv ) A região limitada pela parábola cúbica y  x 3 , pelo eixo dos y e pela reta y  8 , gira
em torno do eixo dos y. Determinar o volume do sólido de revolução obtido.
v ) Determinar o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta y  4 , da região
1
limitada por y  , y  4 e x  4 .
x
1 2
y  1 e pelas retas x=-1; y=-2 e y=2 gira
2
em torno da reta x=-1. Determinar o volume do sólido de revolução obtido.
vi) A região R, delimitada pela parábola x 
4. Área de uma superfície de revolução
Quando uma curva plana gira em torno de uma reta no plano, obtemos uma
superfície de revolução.
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Vamos calcular a área da superfície de revolução S obtida quando uma curva C, de
equação y  f (x) , x  [a, b] , gira em torno do eixo dos x .
Figura 13
(a)
Figura 13
(b)
b
A  2  f ( x) 1  [ f ' ( x)]2 dx
a
Considerando x  g ( y) , y  [c, d ] girando em torno do eixo dos y:
d
A  2  g ( y ) 1  [ g ' ( y )]2 dy
c
Exemplos:
i ) Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo dos x ,
1
da curva dada por y  4 x ,  x  4 .
4
ii ) Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo dos y,
da curva dada por x  y 3 , 0  y  1.