INSTITUTO SUPERIOR TUPY
2008
LISTA DE EXERCÍCIOS CÁLCULO II – INTEGRAL DEFINIDA
E SUAS APLICAÇÕES
1. Calcular a soma superior e inferir de f ( x ) = x.sen( x ) no intervalo [0,2] com 15 divisões.
R: 1,863 u.a. e 1,642 u.a.
2. Esboce o gráfico e aproxime com até 4 casas decimais a área da região limitada pelas curvas
y=f(x), o eixo x e as retas x=a e x=b indicadas abaixo:
a)
f ( x) =
1
, a=1, b=3, n=10, considerando extremo esquerdo e extremo direito.
x
R: 1,1682 u.a. e 1,0349 u.a.
b)
1
5
f ( x) = sen( x) , a = π , b = π , n=8, considerando extremo esquerdo e extremo direito.
6
6
R: 1,7221 u.a. e 1,7221 u.a.
3. Resolva as integrais definidas abaixo:
2x ⋅ ( x + 1) dx
3
a)
∫
R:
76
3
b)
1
∫ (x
1
0
3
)
− 4 x 2 + 1 dx
R: −
1
12
c)
∫ (x − 1)⋅ (x - 2) dx
R: −
1
6
d)
∫ (3x + 2)
2
1
2
1
2
dx
R: 43
Elaboração: Grupo de Cálculo II
1
INSTITUTO SUPERIOR TUPY
∫
e)
2
-1
(
2008
)
x ⋅ 1 + x 3 dx
81
10
R:
∫ (x
0
f)
-3
2
)
− 4 x + 7 dx
R: 48
2
g)
∫1
R:
31
160
h)
∫4
R:
844
5
i)
∫
2
1
R:
j)
9
∫
R:
dx
x6
2t t dt
5x 3 + 7 x 2 − 5 x + 2
dx
x2
31
− 5 ln 2
2
−2
–3
2
⎛ 1⎞
⎜ t − ⎟ dt
⎝ t⎠
9
2
4. Esboce o gráfico e encontre a área da região limitada pelas curvas dadas:
1
,x=
2
a)
x=
R:
1
u.a.
3
1
y e y = -x + 2 . Sendo x ∈ [ , 1]
2
b) y2 = 2x e x2 = 2y
R:
4
u.a.
3
c) y = 5 – x2 e y = x + 3
R:
9
u.a.
2
Elaboração: Grupo de Cálculo II
2
INSTITUTO SUPERIOR TUPY
d)
y=
2008
1 2
x e y=6
6
R: 48 u.a.
e) y = ex, x = 0, x = 1 e y = 0
R: (e – 1) u.a.
f) y = sen x e y = - sen x, x ∈ [0, 2π]
R: 8 u.a.
g) y = cos x e y = – cos x, x ∈
⎡ π 3π ⎤
⎢− 2 , 2 ⎥
⎣
⎦
R: 8 u.a
h) Determine a área da região compreendida entre a parábola y = 2 – x2 e a reta y = - x.
R: 9/2.
i) Determine a área da região do 1º. Quadrante que é limitada por
reta y = x – 2.
R: 10/3
y = x , pelo eixo x e pela
j) Determine a área da região compreendida entre y = x2 – 2 e y = 2.
R: 32/3.
k) Calcule a área compreendida entre as curvas y = x2 e y = - x2 +4x.
R: 8/3.
l) Calcule a área compreendida entre a curva y = x2 – 6x + 8 e o eixo x de x = 0 a x = 3.
R: 22/3.
m) Ache a área do trapézio limitado pelas retas x = 1 e x = 3, pelo eixo x e pela reta 2x + y = 8.
R: 8.
n) Ache a área limitada pela curva y = x3 – 2x2 – 5x +6, pelo eixo x de
R: 157/12.
x = -1 a x = 2.
o) Ache a área limitada pelas curvas y = x3 – 6x2 +8x e y = x2 – 4x.
R: 71/6.
5. Determine a área da região limitada pelas funções abaixo:
Elaboração: Grupo de Cálculo II
3
INSTITUTO SUPERIOR TUPY
2008
a)
6
5
y = x2 - 4
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0
-1 0
1
2
-2
-3
-4
y = -x 2 - 2x
-5
R: 11/3 + 9 u.a.
b)
1,5
y = x2
1
0,5
0
-1,5
-1
-0,5
-0,5
0
0,5
1
1,5
-1
-1,5
y = -2x 4
-2
-2,5
R: 22/15 u.a.
c)
9
y = 2x 2
8
7
6
5
4
3
2
y = x 4 - 2x 2
1
-3
-2
-1
0
-1 0
1
2
3
-2
R: 128/15 u.a.
Elaboração: Grupo de Cálculo II
4
INSTITUTO SUPERIOR TUPY
2008
d)
5
4
y = -x 2 + 4
3
2
1
y = -x + 2
0
-3
-2
-1
-1 0
1
2
3
4
-2
-3
-4
-5
-6
R: 11/6+9/2+11/6 u.a.
6. Calcular a área delimitada pelas curvas
y = x2,
y = 2 − x2
e
y = 2x + 8 .
R: 100/3 u.a.
7. Calcular o valor de cada área do plano XoY delimitada pelas curvas
y = 3 cos( x) e
y = 3sen( x)
R: 4 3 u.a.
8. Calcular a área do plano XoY delimitada pelas curvas abaixo:
a) y = x e y =
2
x
R: 1/3 u.a.
b) y = 9 x e y = 3 x
2
R: 1/2 u.a.
c) y = 6 x e x = 6 y
2
2
R: 12 u.a.
d) y = 4 x e 2 x − 4 = y
2
R: 19/3 u.a.
9. Num processo industrial, uma força variável faz deslocar uma caixa sobre uma esteira por
uma distância de 4m. Determine:
a) O trabalho realizado pela força em kJ;
b) A força média aplicada em kN.
b
Dica: W = ∫ F ( x ) dx
a
Elaboração: Grupo de Cálculo II
5
INSTITUTO SUPERIOR TUPY
2008
F = −0, 03 x 5 + 0, 5 x 3 ( kN )
R: a) W=11,52 KJ b) 2,88 KJ/m
10.
O gráfico da vazão (m3/min) pelo tempo (min),
representa o consumo de gás (na
temperatura constante) para um processo industrial. Determine para os 30 min de processo:
a) Volume consumido de gás;
b) O tempo necessário para consumir 50% do volume anterior.
t2
Vol. =
∫ vazão dt
t1
Vazão = 2 4 t (m3 / min)
R: a) V= 112,33 m3 b) t = 17,23 minutos.
Elaboração: Grupo de Cálculo II
6
INSTITUTO SUPERIOR TUPY
2008
11. Esboce o gráfico e determine o volume da região localizada entre as funções abaixo em torno
dos eixos indicados:
a) y = (3 − x )
1
2
, x = −1 e x = 3 em torno eixo x
R: 8π u.v.
b) y = 2 x
e x 2 = 2 y em torno eixo x
2
R:
12
π u.v.
5
c) y =
R:
15
π u.v.
2
d) f ( x ) =
R:
1
+ x2
2
2
e
3
em torno eixo x
x=0 e
y = 1 em torno eixo y
3
π u.v.
5
x2
e
6
R: 108π u.v
g) y =
h) y =
R:
y = x3
2
π u.v.
35
f) y = x ,
R:
g ( x) = x e x ∈ [0,2] em torno eixo x
69
π u.v.
10
e) y = x
R:
x ∈ [1,4] em torno eixo x
x
x
y=6
em torno eixo y .
y = 2 e x = 0 em torno eixo y
32
π u.v.
5
i) y = ln x
y = −1 y = 2 e x = 0 em torno eixo y
π⎛
1⎞
R: ⎜ e 4 − 2 ⎟ u.v.
2⎝
e ⎠
Elaboração: Grupo de Cálculo II
7
INSTITUTO SUPERIOR TUPY
12. Considere a região limitada por :
2008
y = x e y = x 2 . Determine o volume do sólido gerado
pela rotação da região:
a) em torno do eixo x;
b) em torno do eixo y.
R: a)
π
2π
b)
15
6
2
13. Considere a região limitada por: y = x ; y = 0 ; x = 1 e x = 2 . Determine o volume do
sólido de revolução gerado pela rotação da região:
a) em torno do eixo x;
b) em torno do eixo y;
c) em torno da reta x=2.
R: a)
31π
15π
11π
b)
c)
5
2
6
14. Usando integral para sólido de revolução , deduza o
volume do cone gerado pela rotação em Y, do triângulo
Y
h
ao lado definido no primeiro quadrante.
R:
π r2h
3
r
X
15. Faça a montagem da expressão necessária para o
cálculo do volume do sólido gerado pela rotação da
região limitada pelas equações em torno do eixo x:
x2
+ y−5 = 0
4
e
y
x
−y+3=0
2
x
Elaboração: Grupo de Cálculo II
8
INSTITUTO SUPERIOR TUPY
2008
16. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região
indicada em relação ao eixo x.
y = 2 − x2
R:
π
30
;
y= x e
y=0
(71 + 64 2 )
17. Podemos calcular o volume de um sólido se soubermos como varia a área, de sua seção, em
relação a direção de integração. Veja:
b
V=
∫ A( x) dx
a
Considere um sólido cuja seção é formada por círculos,
perpendiculares ao eixo x , com extremidades apoiadas
em y = 0 e em y = x 2 . Determine seu volume para
[0 ; 2 ] .
R:
8
π
5
18. Faça similar a questão 16, porém com seção formada por quadrados.
R: 26/15
Elaboração: Grupo de Cálculo II
9
INSTITUTO SUPERIOR TUPY
2008
19. Faça similar a questão 16, porém com seção formada por triângulos equiláteros.
R:
32 3
15
20. Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da
região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
a) y = x + 1, x = 0, x = 2 e y = 0.
R:
26π
u.v.
3
b) y = x2 + 1, x = 0, x = 2 e y = 0.
R:
206π
u.v.
15
c) y = x2 e y = x3.
R:
2π
u.v.
35
d) y = x3, x = -1, x = 1 e y = 0.
R:
2π
u.v.
7
21. Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y,
da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
a) y = ln x, y = -1, y = 2 e x =0.
R:
πe 4
2
-
π
2e 2
u.v.
b) x = y2 +1, x = ½, y = -2 e y = 2.
R:
π
10
u.v.
Elaboração: Grupo de Cálculo II
10
INSTITUTO SUPERIOR TUPY
c) y =
R:
2008
1
, x = 0, y = ¼ e y = 4.
x
15π
u.v.
4
22. Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao
redor dos eixos dados.
a) y = 2x – 1, y = 0, x = 0, x = 4; ao redor do eixo dos x.
R:
172π
u.v.
3
b) y2 = 2x, x = 0, y = 0, y = 2; ao redor do eixo dos y.
R:
8π
u.v.
5
c) y = 2x2, x = 1, x = 2 e y = 2; ao redor do eixo y = 2.
R:
152π
u.v.
15
d) x = y2 e x = 2 – y2; ao redor do eixo dos y.
R:
16π
u.v.
3
23. Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 2, da região limitada
por y = 1 – x2, x = -2, x = 2 e y = 2.
R:
412π
u.v.
15
24. Uma criança rolando uma pedra utiliza uma força
F ( x) = 120 + 25sen( x) Newtons sobre
ela, quando esta rola x metros. Quanto trabalho deve a criança realizar, para fazer a pedra rolar
2 metros?
R: 265-25cos(2) N.m
25. Calcular o trabalho realizado pela força periódica
F ( x) = 10 − 4 cos( x) durante 3 períodos.
R: 60π
26 .Calcular o valor médio da força aplicada no primeiro quadrante da questão anterior.
R: 10 u.f.
Elaboração: Grupo de Cálculo II
11
INSTITUTO SUPERIOR TUPY
2008
27. O preço da carne moída nos supermercados pode ser modelado pela função
P (t ) = 0,08t 2 − 0,4t + 11 ( sendo t meses após o início do ano e P preço da carne em reais por
quilo). Qual foi o preço médio da carne nos primeiros 3 meses do ano?
R: R$10, 64
28 . O número de bactérias presente em uma cultura após t minutos pode ser expresso pela
função
Q(t ) = 20e t + 200sen(t ) + 1200 . Segundo essa função, qual o número médio de
bactérias durante os primeiros 5 minutos?
R: 1818
29. Com t meses de experiência um funcionário do correio é capaz de separar
5
Q(t ) = − e t + 8t 2 + 10t + 400 cartas por hora. Qual é a velocidade média com que um
2
funcionário consegue separa a correspondência durante os 3 primeiros meses de trabalho?
R: 423 cartas/hora
30. A temperatura em certo aeroporto t horas após a meia noite pode ser expressa pela função
T = −0,3t 2 + 4t + 3sen( x) + 10 oC. Qual foi a temperatura média no aeroporto entre 9 horas e
meio dia?
R: 16,9º C
31. No projeto da câmara para uma máquina de jateamento de peças metálicas, surge na
necessidade da determinação do centro de massa das blindagens compostas por chapas de
mesma espessura. Considere as medidas em metros.
a)
R: ( 0, 15 ; 0, 18 )
Elaboração: Grupo de Cálculo II
12
INSTITUTO SUPERIOR TUPY
2008
b)
f ( x ) = 4 x 2 + 0, 1
R: ( 0, 16 ; 0, 12 )
c)
y = x + 0, 3 para − 0, 3 ≤ x ≤ 0, 3
y=
x
3
para 0 ≤ x ≤ 0, 3
R: ( 0, 08 ; 0, 23 )
Elaboração: Grupo de Cálculo II
13