1
UNIFACS - Cursos de Engenharia
Disciplina: Cálculo Integral
Ano: 2013
3ª Lista de Exercícios – 2013.2
1) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo Ox, da
região R delimitada pelos gráficos das equações dadas abaixo:
a) y = x +1, x = 0 , x = 2 e y = 0
b) y = x e y = x2
c) y = x2 e y = x3
d) y =
e) y = x3, x = -1, x = 1, e y = 0
f)y =x2 +1, x = 0, x=2 e y=0
g) y =
x −1,
x = 2, x = 5 e y = 0
1
, x = 1, x = 2, e y = 0
x
h)y =cosx, y =senx , x=0 e x=
π
4
2) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo y = 2 da
região limitada por y =
1− x 2 ;
y = 2;
x = −2
e x =2
z
eixo de revolução
x
y
3) Calcular o volume gerado pela rotação da região y = 3 , 1≤ x ≤ 3 , em torno da reta y =2
y
y=3
3
y
z
2
y=2
1
x
−1
1
2
3
x
4
−1
4) Calcular o volume gerado pela rotação da região y =1/2 x + 2 , 1≤ x ≤ 2 , em torno da reta
y =1
z
y
3
2
1
y= 1
−3
−2
−1
1
y
x
2
x
−1
−2
−3
1
2
Obs: Não confundir o cálculo acima com o do volume gerado pela rotação da região
determinada por y=1, y =1/2 x + 2 , 1≤ x ≤ 2 em torno do eixo Ox. Melhor dizendo, não
confundir as integrais
b
b
2
V2 = π [f ( x ) 2 − g( x ) 2 ] dx
V1 = π (f ( x ) − g( x )) dx
∫
∫
a
a
5) Considere a região R limitada pelas curvas
y= x
e y = x. Dê apenas a expressão da
integral ( indicando os limites de integração), que permite calcular o volume do sólido obtido,
nos seguintes casos:
a) R gira em torno de OY;
b) R gira em torno de x = − 1
6) Considere R a região limitada pela curva y = 1 + x 2 e a reta y = 2, no 1º quadrante. Dê a
expressão da integral ( indicando os limites de integração) que permite calcular o volume
gerado pela rotação de R em torno de:
a) 0Y;
b) y = 3;
7) Considere a
c) x = − 1
região R limitada pela curva
y=
R e:
1
as retas x = 2 e y = 2. Esboce a região
x
a) Encontre o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno de y = 2.
b) Dê a expressão da integral ( indicando os limites de integração)
volume gerado pela rotação de R em torno de:
b1) y = 0;
b2) y = 3;
b3) x = 0;
que permite calcular o
b 4) x = 2
8) Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule as que são convergentes
a)
d)
∞
∫
dx
2
1 (3x + 1)
∞
;
dx
;
∫
0 (x + 2)(x + 3)
b)
∞
lnx
dx ;
1 x
c)
∫
∫
∫
1
+∞
e)
∞
x 3dx ;
f)
lnx
x2
dx ;
−1
- 2t
∫ e dt
-∞
-∞
9) Esboce a região e encontre a área (se a área for finita)
a) S =
c) S =
{(x, y); x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ ex }
{(x, y); x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ (lnx)/x 2 }
b) S =
{(x, y); x ≥ −2,
0 ≤ y ≤ e -x/2
}
2
3
∞
10) Determine os valores de p para os quais a integral
∫
1
p
1 x
diverge e avalie a integral quando ela convergir .
dx converge, para os quais
11) A vida média M de um átomo numa substância radioativa é definida como sendo
+∞
M = − k ∫ te ktdt ,
onde k é uma constante negativa que depende da substância. Sabendo que
0
para o isótopo radioativo do carbono,
de
C14 , k = −0,00012, calcule a vida média de um átomo
C14 .
1
( x + 1 )2
12) Encontrar a área sob o gráfico da curva de y =
para x ≥ 1.
Respostas:
1) a)
2)
26π
u.v. b) 2π u.v.
3
15
412π u.v.
15
c) 2π u.v
35
2
6) a) π ( y − 1) 2 dy = π ( y − 1)dy
∫
∫
1
7) a)
2
b1)
1
(π(15 / 2
π ∫ (4 −
1/ 2
e) 2π u.v
7
5) a) V=
g) 15π u.v. h)
f ) 206π u.v
15
1
π ∫ ( y 2 − y 4 )dy
0
1
1
0
0
2
π
u.v.
2
1
b) π ∫ [( y + 1) 2 − ( y 2 + 1) 2 ]dy
b) π [(3 − ( x 2 + 1)) 2 − 1]dx = π [(2 − x 2 ) 2 − 1]dx
∫
∫
0
2
c) π [( y − 1 + 1) 2 − 1]dy
∫
1
− 8 ln 2))u.v.
1
)dx
x2
8) a) 1/12 ; c) 1;
9) a) e
π
u.v
2
4) 37 π u.v.
12
3) 2π u.v.
2
d)
b2)
2
1
π ∫ ((3 − ) 2 − 1)dx
x
1/ 2
b3)
2
π ∫ (4 −
1/ 2
1
)dy
y2
b4)
2
1
π ∫ ( 2 − ) 2 dy
y
1/ 2
d) − ln 2 . As demais divergem
3
b) 2e
10) converge se p > 1 e
∞
∫
1
c) 1
1
x
p
dx =
1
p −1
, diverge se p ≤ 1 .;
11) M ≈ 8.333
12) ½
3