UNIC - FAUEB
CURSO: ENGENHARIA
Geometria Descritiva
Passo-a-Passo
Prof. Arq. Eneise Dellatorre
PROJEÇÕES NOS DIEDROS
Índice Geral
Índice
PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 1o DIEDRO
Z
PV
PV
O
X
PH
PH
Y
Índice Geral
Índice
PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 2o DIEDRO
Z
PV
PV
O
X
PH
PH
2o
No
Diedro acontece
superposição de imagem.
Índice Geral
Índice
Y
PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 3o DIEDRO
Z
PV
O
X
PH
PH
Y
PV
Índice Geral
Índice
PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 4o DIEDRO
Z
PV
O
X
PH
PH
PV
4o
No
Diedro acontece
superposição de imagem.
Índice Geral
Índice
Y
ESTUDO DO PONTO
Índice Geral
Índice
ESTUDO DO PONTO
O ponto é o menor elemento da Geometria e dar
origem aos demais elementos Geométricos.
Apesar da sua importância não existe problemas
geométricos apenas com o ponto e sim quando
este estiver em conjunto com outros elementos.
Índice Geral
Índice
ESTUDO DO PONTO
O ponto em relação aos planos de projeções, pode
está situado no 1o, 2o, 3o e 4o diedros, mas não é
interessante a representação no 2o e 4o diedros
tendo em vista a superposição de imagens após o
rebatimento dos planos de projeções sobre o plano
vertical.
O sistema de representação no 1o diedro é utilizado
nas normas DIN (DASS. INT. NORM) e o no 3o diedro
pelas normas ASA (American Standard Association).
Índice Geral
Índice
ESTUDO DA REPRESENTAÇÃO DO PONTO
a'
b'
c'
c
b
a'
b'
c'
a


Índice Geral
Índice
REPRESENTAÇÃO DO PONTO
PLANO HORIZONTAL - PH
EDM
DESENVOLVIMENTO DOS DIEDROS
(Gaspard Monge)
Plano Vertical
Superior
1o Diedro
2o Diedro
a'
A
Plano Horizontal
Anterior
T
a
L
3o Diedro
Plano Vertical Inferior
Plano Horizontal Posterior
4o Diedro
Índice Geral
Índice
REPRESENTAÇÃO DO PONTO
PV
PV
a'
a'
A
T
PH
a
L
T
L
a
a
PH
PH
Índice Geral
Índice
POSICIONAMENTO DE ELEMENTOS NUM ESPAÇO:
Para posicionar os elementos num espaço
tridimensional determina-se um ponto “O” chamado
ponto de referência que é o ponto comum aos três
planos principais de projeção.
A partir do ponto “O” de origem para localizar os
elementos usa-se o sistema de coordenadas
cartesianas: Abscissa (X), Afastamento (Y) e Cota (Z).
Sobre o eixo X marca-se a abscissa,
Sobre o eixo Y marca-se o afastamento,
Sobre o eixo Z marca-se a cota.
Todos os valores deverão ser sempre positivos e
escritos em milímetro.
Índice Geral
Índice
POSIÇÃO DO PONTO EM RELAÇÃO AOS
PLANOS DE PROJEÇÃO
PP
Z
a'
a''
Cotas
Cota
a''
A(30, 15, 20)
a'
X
PV
Abscissa Afastamento PP
PH
A
Z
PH
PV
a'
a''
PP
a
a
Cota
Afastamento
PP
PV
Afastamento
Abscissa
a''
O
Y
Abscissa
X
O
Y
ÉPURA
a
a
PH
PH
Y
Índice Geral
Índice
Y
O ponto em relação aos planos de projeções, pode
ocupar 8 (oito) posições distintas:
1. Plano Vertical (A) (X e Z)
2. Plano Horizontal (B) (X e Y)
3. Plano de Perfil (C) (Y e Z)
4. Eixo X (D) (PH e PV)
5. Eixo Y (E) (PH e PP)
6. Eixo Z (F) (PV e PP)
7. Origem (G) (PV, PH e PP)
8. No espaço (H) (X, Y, Z - diferentes de zero)
Índice Geral
Índice
POSIÇÕES DO PONTO
Quando um ponto pertence a um dos planos de
projeção, é representado em Épura através de suas
duas projeções e do próprio ponto.
O ponto pertencente a um dos eixos é representado
por este e por mais duas projeções, se coincidir com
o ponto “O” de origem a representação em Épura é
o próprio ponto e suas projeções.
A representação de um ponto no espaço é feita
através das três projeções, nos planos: vertical,
horizontal e de perfil.
Índice Geral
Índice
z
POSIÇÕES DO PONTO EM RELAÇÃO
AOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Z
Gg'g''
b''
d'
B b'
PV
G g'g''
PP
b' B
b''
Dd''
a"
a'
H,h,h',h''
a''
A
X
E e e'
b
d
c'
a
x
PH
D d''
d'
a'
F f f''
c''
PV c' E e e'
PH
H h h'h''
b
a
y
1. No Espaço (A) (X, Y, Z - diferente de zero)
2. Plano Vertical (B) (X e Z)
3. Plano Horizontal (C) (X e Y)
4. Plano de Perfil (D) (Z e Y)
d
cC
5. Eixo X (E) (Interseção PV e PH)
Y
6. Eixo Y (F) (Interseção PH e PP)
7. Eixo Z (G) (Interseção PV e PP)
8. Origem (H) (PH, PV, PP)
Índice Geral
PH
Y
f F
Cc
F f'' c''
Índice
ÉPURA
Pontos Colineares
Z
Três ou mais pontos
são Colineares se e se
somente se, por estes
pontos passar uma reta
imaginária.
Na representação em
épura dos pontos em
cada plano de projeção,
também ficam numa
mesma linha reta.
c'
c''
b'
b''
a'
X
a''
PV
PP
O
PH
c
b
a
Y
Índice Geral
Y
Pontos Coplanares
Pontos Coplanares são
três ou mais pontos por
onde se pode passar
um plano imaginário. Se
por dois pontos se pode
passar infinitos planos,
por um conjunto de
pontos Coplanares
composto de pelo
menos três pontos
pode-se passar apenas
um e um único plano.
Z
c'
c''
b'
b''
a'
X
a''
PV
PP
O
PH
a
c
b
Y
Índice Geral
Y
ESTUDO DA RETA
Índice Geral
Índice
ESTUDO DA RETA
A projeção de uma reta sobre um plano de projeção,
é o lugar geométrico das projeções de todos os seus
pontos sobre este plano. De um modo geral a
posição de uma reta no espaço fica bem determinada
quando são conhecidas as posições dessa reta,
sobre dois ou mais planos ortogonais. (Planos de
Projeção).
Índice Geral
Índice
ESTUDO DA RETA
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS
Em relação aos planos de projeção as retas
podem ocupar várias posições em relação aos
planos de projeção, posições estas que
determinam propriedades e identidades. As retas
estão divididas em três grupos distintos, devido
o posicionamento destas com os planos de
projeção.
Índice Geral
Índice
ESTUDO DA RETA
IDENTIFICAÇÃO DAS RETAS
Retas do 1o GRUPO
Retas do 2o GRUPO
Retas do 3o GRUPO
1.
Ao PH - Reta Vertical
2.
Ao PV - Reta de Topo
3.
Ao PP - Reta Fronto-Horizontal
1.
Ao PH - Reta Horizontal
2.
Ao PV - Reta Frontal
3.
Ao PP - Reta Perfil
1.
Ao PV, PH e PP - Reta Qualquer
Índice Geral
Índice
ESTUDO DA RETA
PROPRIEDADES:
Retas do 1o Grupo: São retas perpendiculares a um
dos planos principais de projeção. Neste plano
principal a projeção da reta se reduz a um PONTO, o
qual chamamos de projeção pontual da reta.
Sendo a reta perpendicular a um plano é paralela aos
outros dois planos adjacentes, nestes planos as retas
se apresentam em suas dimensões reais, que
chamamos de VG, ou seja, Verdadeira Grandeza da
reta.
Índice Geral
Índice
REPRESENTAÇÃO DA RETA
EDM
PLANO VERTICAL - PV
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Z
PP
Z
a'
a''
VG
VG
PV
A
a'
VG
b'
b''
VG
b'
B
X
PV
PH
b''
o
Y
ab
ab
PH
X
a''
Y
RETA VERTICAL
Índice Geral
Índice
PP
Y
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Z
PP
c''
PVc' d' C
VG
D
Z
d''
PV
X
PH
Y
o
c
VG
VG
c
d
d
PH
X
c'' VG
c'd'
Y
RETA DE TOPO
Índice Geral
Índice
d''
PP
Y
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Z
PP
Z
e'' f''
e' VG
PV
e'
f'
f'
e'' f''
F
VG
PV
X
PH
E
f
o
Y
VG
e
f
VG
e
PH
X
Y
RETA FRONTO-HORIZONTAL
Índice Geral
Índice
PP
Y
RETAS PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Z
Z
RETA VERTICAL
PP
Z RETA FRONTOHORIZONTAL
RETA DE TOPO
PP
PP
a’’
c'' VG
A
PV a'
VG
PV
b''
VG
b'
c'd' C
Y
B
f'
F
E
Y
c
VG
d
e
PH
PH
Z
X
Y
f
VG
Z
Z
X
a''
a'
c'd'
VG
VG
e' VG
c'' VG d''
f'
e'' f''
b''
b'
PP
PV
o
PH
PV
VG
D
PH
X
e'' f''
e'
ab
X
d''
Y
X
PP
PV
o
PH
c
ab
Y
X
PV
PP
o
PH
VG
VG
e
f
d
Y
Y
Y
Índice Geral
Índice
Y
ESTUDO DA RETA
PROPRIEDADES:
Retas do 2o Grupo: São retas paralelas a um dos
planos principais de projeção, neste plano principal
de projeção a reta se apresenta em V.G. (Verdadeira
Grandeza) e nos outros dois planos se apresentam
oblíquas, portanto, em projeção reduzidas.
Índice Geral
Índice
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Z
PP
b''
a''
PV
a'
Z
a'
B
b'
PV
X
PH
A
Y
b
a
X
VG
PH
a''
b'
b''
o
a
VG
b
Y
RETA HORIZONTAL
PP
Y
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Z
PP
Z
d''
d'
D
d'
d''
VG
c'
PV
c''
VG
c''
PV
X
PH
o
Y
c'
C
c
X
d
c
PH
d
Y
RETA FRONTAL
Índice Geral
Índice
PP
Y
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Z
PP
e''
e'
Z
VG
E
PV
VG
X
F
e
X
f
PH
f''
f'
f''
f'
e''
e'
Y
PV
PH
o
e
f
Y
RETA DE PERFIL
Índice Geral
Índice
PP
Y
RETAS PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Z
Z
RETA HORIZONTAL
PP
a’’
D
d'
PV
PV
Y
b
C
c'
c
PH
X
Z
X
a''
b'
PV
o
F
e
PH
PH
X
Z
Z
d''
e''
e'
VG
c'
Y
X
c''
PV
PP
o
PH
f''
f'
Y
X
PV
PP
o
PH
e
a
VG
c
b
d
f
Y
Y
f
VG
b''
PP
PH
f''
d
d'
a'
VG
E
f'
Y
VG
e'
c''
VG
X
PP
e''
d''
b''
a' A
a
RETA DE PERFIL
PP
B
b'
PV
Z
RETA FRONTAL
Y
Y
Índice Geral
Índice
Y
ESTUDO DA RETA
PROPRIEDADES:
Retas do 3o Grupo: São retas oblíquas aos três
planos principais de projeção.
Não apresentam projeção em V. G. (Verdadeira
Grandeza).
Índice Geral
Índice
RETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃO
Z
PP
Z
a''
PV
a'
A
b'
b''
b''
PV
X
PH
b'
a
B
PH
X
a''
a'
b
o
a
Y
b
Y
RETA QUALQUER
Índice Geral
Índice
PP
Y
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
d'
b'
b'
a'
c'
X
c'
d'
a'
Z
PV
o
PH
b
Z
X
PV
o
PH
Y
Y
b
d
d
a
c
RETAS PARALELAS
a
c
RETAS COINCIDENTES
Índice Geral
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
RETAS CONCORRENTES E REVERSAS
Duas retas são concorrentes quando em Épura as
projeções do ponto de concorrência estiverem sobre
uma mesma perpendicular
d'
a'
d'
a'
p'
b'
c'
c'
b'
Z X
X
PV
PH
o
a
d
PV
o
PH
d
a
Y
c
p
c
Z
b
b
RETAS REVERSAS
RETAS CONCORRENTES
Índice Geral
Índice
Y
Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e Tecnologia
Unidade Acadêmica de Eng. de Produção
Geometria Descritiva
Passo-a-Passo
Autor: Windsor Ramos da Silva