CAPÍTULO V - ÂNGULOS
5.1 Ângulo entre duas retas
O ângulo entre duas retas r e s, indicado por (r,s), é definido como o
r r
r r
menor dos ângulos (v r , v s ) e (v r ,− v s ) .
r
vr
r
vs
r
− vs
r
s
Se r e s são retas paralelas
então (r, s ) = 0 .
α
Na figura ao lado, o ângulo
(r, s ) = (vr r ,− vr s ) = θ .
r
vs
r
− vs
s
r
vs
α
θ
r
vr
r
r θ
vr
α
r
r
vs
Na figura ao lado, as retas r e s
r r
são reversas e (r, s ) = (v r , v s ) = θ .
s
Assim, 0 ≤ (r, s ) ≤
Logo,
π
r r
r r
e cos (r, s ) =| cos (v r , v s ) |=| cos (v r ,− v s ) | .
2
r r
| vr ⋅ vs |
(r , s ) = arc cos r r
| vr || vs |
π
, dizemos que r e s são ortogonais e escrevemos r ⊥ s.
2
Se r e s são ortogonais e concorrentes dizemos que as retas são
r r
perpendiculares. É claro que r ⊥ s ⇔ v r ⋅ v s = 0 .
Quando (r, s ) =
22
Exemplos
1. Determine os ângulos formados pelas retas r e s, nos seguintes casos:
a) r : X = λ(1,−1,1) ; λ ∈ IR
x + 2 y − z = 0
b) r : 
x − y + z − 1 = 0
x = 1 − 2 t

c) r :  y = 2 + 2t ; t ∈ IR
z = 3

x = 1 − t

s : y = t
; t ∈ IR
z = 2 − t

e
s: x +1=
e
e
s:
y−2
= z.
2
x −3
z +1
= y +1=
2
3
Solução:
r
r
a) Como v r = (1,−1,1) e v s = (−1,1,−1) , as retas r e s são paralelas.
Assim, (r, s ) = 0 .
r
r
b) Temos v r = (1,2,−1) × (1,−1,1) = (1,−2,−3) e v s = (1,2,1) . Daí,
(r, s ) = arc cos | 1 − 4 − 3 |
| 14 | | 6 |
= arc cos
21
.
7
r
r
c) Como v r = (−2,2,0) e v s = (2,1,3) , temos:
(r, s ) = arc cos | −4 + 2 + 0 | = arc cos
| 8 | | 14 |
1
2 7
.
2. Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto P(1,1,−2) e é
x = 1 + t

perpendicular à reta s :  y = 2t
; t ∈ IR .
z = 2 − t

23
Solução:
Como r e s são perpendiculares, temos que
P
estas retas são concorrentes e ortogonais.
r
vr
Assim, se Po é o ponto de concorrência de r e
s,
existe
to
real,
tal
que
s
r
vs
Po = (1 + t o ,2 t o ,2 − t o ) . Podemos então
Po
→
r
considerar
v r = PPo = ( t o ,2t o − 1,4 − t o ) .
r
Pela condição de ortogonalidade, temos:
→
r
v s ⋅ PPo = 0 . Assim,
t o + 2(2 t o − 1) − (4 − t o ) = 0 , daí, t o = 1 .
Portanto uma equação da reta r é r : X = (1,1,−2) + λ(1,1,3) ; λ ∈ IR .
3. Substituindo, no exemplo anterior, a condição de perpendicularidade
por ortogonalidade, o problema tem solução única?
Solução:
Neste caso, a direção de r poderia ser
dada por qualquer vetor ortogonal a
r
v s , sem restrições e, portanto, existe
uma infinidade de soluções: toda reta
que passa por P e está contida no
→ r
plano α : PX ⋅ v s = 0 .
P
r
vr
r
vs
Po
s
α
4. Determine uma equação da reta r que passa por P(1,0,0) é concorrente
π
com s : X = t (1,1,0) ; t ∈ IR e (r, s ) = .
4
Solução:
Observemos inicialmente que
ponto P não pertence à reta
Assim, se Po é o ponto
concorrência de r e s, existe
real, tal que Po = ( t o , t o ,0)
→
r
v r = PPo = ( t o − 1, t o ,0) .
P
o
s.
de
to
e
Po
r
π
4
π
4
s
r'
24
Então,
cos (r, s ) = cos
Daí,
| (1,1,0) ⋅ ( t o − 1, t o ,0) |
2 ( t o − 1) 2 + t o 2 + 0
=
1
.
2
t o − 1 + t o = ( t o − 1) 2 + t o 2 . Logo, t o = 0 ou t o = 1 .
Assim, este problema admite duas soluções:
u
t o = 0 ; r : X = (1,0,0) + t (−1,0,0) ; t ∈ IR
u
t o = 1 ; r ′ : X = (1,0,0) + h (0,1,0) ; h ∈ IR .
5.2 Ângulo entre dois planos
v
v nα
nβ
O ângulo entre dois planos
α e β , indicado por (α , β),
é definido como o menor
r r
dos ângulos n α , n β e
r
r
n α ,−n β .
(
)
(
Assim, 0 ≤ (α, β ) ≤
)
π
e
2
β
θ
θ
α
r r
| n α ⋅ nβ |
(α , β ) = arc cos r r
| n α | | nβ |
π
, dizemos que α e β são ortogonais e escrevemos
2
r v
α ⊥ β . É claro que α ⊥ β ⇔ n α ⋅ n β = 0 .
Quando (α, β ) =
Chamamos reta normal a um plano α a toda reta que tem a direção de
r
n α . Assim, podemos dizer que o ângulo entre dois planos é o ângulo
formado por duas retas normais a esses planos.
25
Exemplos
1. Determine o ângulo formado pelos planos α e β, nos seguintes casos:
a) α : 2x + y − z + 1 = 0 e β : x + y + z + 2 = 0 .
b) α : x + y − z + 5 = 0 e β : X = t (1,0,1) + h (1,−1,0) ; t, h ∈ IR.
x = t + h

c) α :  y = t
; t, h ∈ IR e β : 2x + y + z − 1 = 0
z = 1 + h

Solução:
r
v
a) Das equações de α e β temos n α = (2,1,−1) e n β = (1,1,1) . Assim,
| (2,1,−1) ⋅ (1,1,1) |
2
2
=
=
.
3
6 3
3 2
2
Logo, (α, β) = arc cos
.
3
r
v
b) n α = (1,1,−1) e n β = (1,0,1) × (1,−1,0) = (1,1,−1) .
cos (α, β) =
| (1,1,−1) ⋅ (1,1,−1) |
= 1 . Logo, (α, β) = 0 .
3 3
r
r
c) n α = (1,1,0) × (1,0,1) = (1,−1,−1) e n β = (2,1,1) .
Daí, cos (α, β) =
Assim, cos (α, β) =
π
| (1,−1,−1) ⋅ (2,1,1) |
= 0 . Logo, (α, β) = .
2
3 6
2. Determine uma equação do plano α ortogonal ao plano
β : 2x − y + z + 1 = 0 e que passa pelos pontos A = (1,0,2) e
B = (2,1,3) .
β r
Solução:
nβ
→
r
Os vetores AB = (1,1,1) e n β = (2,−1,1) são
B
L.I. e possuem representantes em α. Assim,
A
α
uma equação vetorial do plano α pode ser
dado por:
α : X = (1,0,2) + t (1,1,1) + h (2,−1,1) ; t, h ∈ IR .
26
5.3 Ângulo entre reta e plano
n
O ângulo entre uma reta r e um plano
α, indicado por (r, α) , é definido
como o complemento do ângulo
formado pela reta r e por uma reta n
normal ao plano α.
Na figura, temos φ = (r, n ) e θ = (r, α) .
r
φ
θ
α
π
e pode ser calculado como:
2
r r
| vr ⋅ nα |
π
π
(r , α ) = − (r, n) = − arc cos r r
2
2
| v r || n α |
Assim, 0 ≤ (r, α) ≤
ou,
r r
| vr ⋅ nα |
(r , α ) = arc sen r r .
| v r || n α |
π
, dizemos que a reta r e o plano α são
2
r
r
perpendiculares e escrevemos r ⊥ α . É claro que r ⊥ α ⇔ v r // n α .
Quando (r, α) =
Exemplo
1. Determine o ângulo entre r e α, nos seguintes casos:
a) r : X = (1,0,1) + t (1,0,2) ; t ∈ IR
α : X = t (1,0,1) + h (1,2,−3) ; t, h ∈ IR.
x − y + 2 = 0
b) r : 
2x + 2y − z + 1 = 0
e
α : x − 2 y − 2z + 1 = 0
Solução:
r
r
a) Como v r = (1,0,2) e n α = (1,0,1) × (1,2,−3) = (−2,4,2) , temos:
| (1,0,2) ⋅ (−1,2,1) |
1
sen (r, α) =
=
.
5 6
30
1
Logo, (r, α) = arc sen
.
30
27
r
v
b) Temos v r = (1,−1,0) × (2,2,−1) = (1,1,4) e n α = (1,−2,−2) , assim,
| (1,1,4) ⋅ (1,−2,−2) |
2
sen (r, α) =
=
.
2
18 9
π
Logo, (r, α) = .
4
28