PRIMEIRA LISTA DE EXERCICIOS DE
GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL
I) Completes a lacunas:
a) Postulado 1 - Por dois pontos........................................................................................passa uma
e só uma reta
b) Postulado 2 – Para todo ….................................AB
e todo …..........................................CD
exist um único …....................E tal que B...................A e E e o …............................CD é
…...................... com o …............................. BE
c) Postulado 3 – Para todo ponto C e todo …..............A não conicidente com C existe
….......................…....................com …...................C e raio …..........................com ….................
d) Postulado 4 – Todos os ângulos retos são …................................ entre si
e) Postulado 5 - Por um ponto não pertencente a uma ….........., passa uma e uma só
….......................a tal reta
f) Postulado 6 – Se dois pontos de uma ….................... pertencem a …............................., então
todos os pontos dessa.................................. pertencem a tal …..................
g) Postulado 7 – Três pontos não............................................determinam …...................................
h) Postulado 8 – Se as extremidades de um …....................................... situam-se em semiespaços
opostos em relação a um …............................................., então esse................................cruza tal
…........................ Se elas situam-se no mesmo..........................................o …...............................
não cruza a origem
II) Forneça as definições solicitadas, faça as correspondências e classifique em V ou F
i) De a definição de retas reversas.
ii) De a definição de retas paralelas.
iii) Dẽ a definição de retas concorrentes.
iv) Dê a definição de ângulos entre duas retas reversas
ii) Segue abaixo, sete hipóteses e sete conclusões (teses). Associar a cada uma das hipóteses a
conclusão que seja mais adequada:
Hipóteses
1) Se duas retas distintas são paralelas e um plano paralelo á primeira tem um ponto em
comum com a segunda, então...
2) Se por um ponto P, fora de uma reta a, conduzirmos uma reta b e um plano α paralelos à
reta a, então …
3) Se uma reta é paralela a dois planos secantes, então..........
4) Se um plano contém duas retas concorrentes ambas paralelas a um outro plano, então...
5) Se dois planos distintos sãom paralelos e uma reta é concorrente com um deles, então....
6) Se dois planos distintos são paralelos e um plano é secante com um deles,então...
7) Se dois planos paralelos são interceptados por um terceiro plano, então...
Teses
a) ela é paralela à interseção dos planos.
b) este plano contém a segunda.
c) a reta b está contida em α
d) ele é secante com o outro
e) esta reta é concorrente com o outro
f) as interseções são paralelas
g) estes planos são paralelos
iii) Classificar em verdadeiro ou falso
a) A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é um ponto.
b) A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é uma reta.
c) Quando uma reta é perpendicular ao plano de projeção, sua projeção ortogonal é um ponto
d) A projeção ortogonal de um segmento oblíquo a um plano, sobre este plano, é menor que o
semento.
e) Se as projeções ortogonais de duas retas, sobre um plano, são paralelas, então as retas são
paralelas
f) A projeção ortogonal de um triângulo sobre um plano é sempre um triângulo.
g) Se dois segmentos são congruentes, então suas projeções ortogonais sobre qualquer plano são
congruentes.
h) A distância entre um ponto P e um plano α é a reta perpendicular ao plano α pelo ponto P
i) A distância entre reta e plano paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um ponto
qualquer de outro.
III) Congruência de Triângulos
1) Seja ABCD um TRAPÉZIO ISÓSCELES, com base menor AB e base maior CD, sabendo que
os ângulos da base maior de um trapézio isósceles são congruentes, demonstre que as digonais do
trapézio isósceles são congruentes
2) Na figura baixo sabe-se que OP é a bissetriz do ângulo AÔB e que OA =OB. Demonstre que
PA=PB
3) Considere o triângulo isósceles ΔABC da figura abaixo. Sejam os segmentos BD e CE sobre a
base BC congruentes entre si. Demonstre que o triângulo ΔADE é isósceles.
4) Demonstre que se um triângulo tem os seus tres ângulos internos congruentes entre si então ele
á um triângulo equilátero.
5) Sobre os lados AB, BC e CA de um triângulo equilátero ΔABC tomam-se os pontos D, E e F
respectivamente. Sendo AD=BE=CF, demonstre que o triângulo ΔDEF é equilátero
6) Demonstre o caso LAA de congruência de triângulos, ou seja , dois triângulos são congruentes
se um lado e um ângulo adjacente são congruentes a um lao e um ângulo adjacente a do outro e os
ângulo opostos a esses lados são também congruentes. (Sugestão: Use o fato que a soma dos
ângulos internos de um triângulo é dois retos)
7) Na figura abaixo, M é o ponto médio de AB,
Mostre que AM=MB
e os pontos A, M e B são colineares.
8) Prove que em um triângulo isósceles ABC, onde AB=AC, a mediana relativa a base BC é
também a bissetriz e altura relativos ao ângulo BÂC.
9) Dado um triângulo isósceles ABC de base BC, considere as bissetrizes internas BD e CE desse
triângulo. Prove que BD ≡ CE.
10) Na figura abaixo, BF=CD, ABF=EDC e BAC=DEF Mostre que AC=EF
IV) Retas e Planos
1) Demonstre que, dadas duas retas paralelas existe um único plano que as contém
2) Demonstre que, dadas tres retas r, s e t de modo que r e s sejam concorrentes, r e t sejam
concorrente, t e s sejam concorrentes. Se não existe um ponto comum as tres r, s e t
simultaneamente então as retas r,s e t determinam um único plano que as contém.
3) Demonstre que, dadas duas retas paralelas r e s, e uma reta t concorrente com as retas r e s então
existe um único plano que contém as retas r, s e t.
4) Demonstre que, dados uma reta e um ponto fora dela existe um único plano que contem a reta e
o ponto dados.
5) Demonstre que dadas duas retas coplanares e não paralelas existe um único plano que as contém
6) Demonstre que, dadas duas retas r e s tais que as reta r e s são paralelas a reta t e as três retas
r,s,t não pertencem a um mesmo plano simultaneamente, então as retas r e s são paralelas.
7) Sejam dois pontos distintos A e B no espaço e seja a reta r definida pelos pontos A e B. Seja C
um ponto fora da reta r e o plano α o definido pela reta r e o ponto C. Seja D um ponto não
pertencente ao plano α e s a reta definida por D e C. A figura abaixo ilustra a construção das retas r
es
Mostre que as retas r e s construídas como descrito acima são retas reversas