Resumão de Conjuntos Numéricos
A representação de números em conjuntos
busca organiza-los para permitir estudar as suas
propriedades. Vamos, nos próximos itens, apresentar os
principais conjuntos numéricos e algumas das suas
propriedades.
O conjunto dos números racionais é formado
por todos aqueles valores numéricos que podem ser
representados por uma fração de dois números inteiros,
ou seja:
a


Q = x x = , a ∈ Z ,b ∈ Z * 
b


1. Conjuntos dos Números Naturais (N)
Este conjunto é formado pelos seguintes
elementos:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Ou seja, dele fazem parte todos os números
positivos sem parte decimal e mais o número zero.
Os números naturais possuem um subconjunto
especial denominado de N*, chamado de números
naturais não nulos. Este conjunto é formado por todos
os elementos do conjunto natural exceto o zero:
Assim sendo, sempre que um número puder
ser representado por uma fração ele é parte integrante
do conjunto racional.
Observe que todo número inteiro pode ser
representado por uma fração (basta colocarmos 1 no
denominador). Desta forma, o conjuntos dos inteiros
está contido dentro do conjunto dos números racionais,
ou seja, Z ⊂ Q ou Q ⊃ Z .
N* = {1, 2, 3, 4, 5, ....}
O conjunto dos números racionais também
possuí subconjuntos designados por símbolos especiais
(assim como nos números inteiros). Esse conjuntos são
2. Conjunto dos Números Inteiros (Z)
Q* , Q+ , Q− , Q+* e Q−* com exatamente o mesmo
significado que dado para o conjunto Z.
Este conjunto é formado pelos seguintes
elementos:
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....}
É importante notar que o conjuntos dos
números inteiros contém todos os números naturais,
portanto N ⊂ Z ou Z ⊃ N .
O conjunto dos números inteiros também
possuí subconjuntos que são:
a) Conjunto dos números inteiros não-nulos (Z*):
Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ....}
b) Conjunto dos números inteiros não-negativos (Z+):
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
c) Conjunto dos números inteiros não-positivos (Z–):
Z– = { ..., -4, -3, -2, -1 }
*
d) Conjunto dos números inteiros positivos ( Z + ):
Z +* = { 1, 2, 3, 4, 5,....}
*
e) Conjuntos dos números inteiros negativos ( Z − ):
Z −* = { ..., -4, -3, -2, -1}
3. Conjunto dos Números Racionais (Q)
4. Conjunto dos Números Irracionais (I)
Este conjunto é formado por todos aqueles
valores que não pertencem ao conjunto dos números
racionais, ou seja, por todos aqueles valores que não
podem ser representados por uma fração:
I = {x x ∈ R; x ∉ Q}
Observe que para um número ser irracional
não basta ele não ser racional. Ele deve ser também um
número real pois existe um conjunto numérico externo
ao conjunto dos números reais (conjunto dos números
complexos).
5. Conjunto dos Números Reais (R)
O conjunto dos números reais é formado pela
união dos conjuntos racional e irracional, ou seja, ele
contém todos aqueles valores numéricos que são
racionais ou irracionais.
R = {x x ∈ Q ou
x ∈ I}
Assim como aconteceu para os conjuntos dos
inteiros e racionais, o conjunto dos números reais
também possuí subconjuntos designados por símbolos
*
*
*
especiais que são R , R+ , R− , R+ e R− com
exatamente o mesmo significado que nos conjuntos
anteriores.
6. Diagrama dos Conjuntos
Esta organização dos conjuntos numéricos
permite que possamos apresenta-los na forma de
diagramas.
Esses diagramas estão representados na figura abaixo:
Conjunto
Naturais
Inteiros
Racionais
Irracionais
Reais
Adição
Fechado
Fechado
Fechado
Aberto
Fechado
Subtração
Aberto
Fechado
Fechado
Aberto
Fechado
Divisão
Aberto
Aberto
Fechado
Aberto
Fechado
Produto
Fechado
Fechado
Fechado
Fechado
Fechado
8. Dicas Para Classificar Números em um Conjunto
A tarefa de classificarmos os valores
numéricos em um dado conjunto pode ficar restrita à
aplicação das regras de formação do conjunto.
Entretanto existem algumas dicas que facilitam muito
essa tarefa. São elas:
É importante observar que os conjuntos estão
representados contidos uns nos outros. Assim, devemos
nos lembra que, os números naturais estão contidos nos
números inteiros, estes estão contidos nos racionais e,
os racionais, estão contidos nos números reais. Já os
números irracionais estão contidos apenas nos números
reais. Veja:
N ⊂Z ⊂Q⊂ R
e
•
•
•
I⊂R
Com isso, se, por exemplo, um valor pertence
ao conjunto dos números naturais, ele também irá
pertencer, por contingências, aos conjuntos inteiro,
racional e real. Já o inverso nem sempre é verdadeiro,
pois um número que é racional não precisa,
obrigatoriamente, ser um número inteiro e natural.
•
7. Conjuntos Abertos e Fechados Para as Operações
Um conjunto numérico pode ser definido
como aberto ou fechado para as operações que ele
realiza:
a) Conjunto fechado para uma operação: é aquele
conjunto onde ao realizarmos uma dada operação com
um ou mais dos seus elementos, o resultado sempre
pertence ao conjunto. Por exemplo, o conjunto dos
números naturais é fechado para a operação de soma
pois ao somarmos dois dos seus valores, o resultado
também é um número natural.
b) Conjunto aberto para a operação: um conjunto é dito
aberto (ou não fechado) para uma dada operação
quando o resultado dessa operação quando realizada
com seus elementos, não pertence ao conjunto. Por
exemplo, o conjunto dos números inteiros é aberto para
a operação de divisão pois ao dividirmos dois números
inteiros poderemos ter um resultado que não pertence
ao conjunto inteiro.
Vejamos então estas
realizadas dentro dos conjuntos:
operações
quando
•
•
•
•
•
Todo número natural também é um número
inteiro, racional e real. O inverso nem sempre
é verdade.
Todo número inteiro é também racional e real.
Para provar isso basta fazermos uma fração
com o valor 1 (um) no denominador e o
número desejado no numerador;
Os conjuntos dos números racionais e
irracionais é disjunto, ou seja, se um valor
pertence a um deles, não pode pertencer ao
outro.
Todas os números decimais (com casas após a
vírgula) finitos (que tem fim) são números
racionais pois podemos fazer um fração para
representa-lo onde o denominador será uma
potência de 10 (depende da quantidade de
casa depois da vírgula) e o numerador é
formado pelos algarismos do número
desejado;
Todas as dízimas periódicas (números
decimais infinitos e com repetição de um
período) são números racionais pois existe
uma fração geratriz para elas;
Todas as dízimas não-periódicas (números
decimais infinitos sem repetição de um
período) são números irracionais pois não há
como definirmos uma fração para eles;
Todas as raízes, de qualquer ordem, que não
sejam exatas, sempre produzem uma dízima
não-periódica e, portanto, são irracionais;
Alguns números bem conhecidos como π , e
(constante neperiana) e o número de ouro
(proporção divina) são números irracionais;
Devemos ter cuidado ao classificarmos uma
fração ou um radical em um dado conjunto
pois devemos verificar antes se a divisão não é
exata no caso da fração ou se a raiz não é
exata no caso do radical, antes de definirmos a
qual conjunto o número pertence.
Prof. Marcos Carrard