Campeonato regional de
resolução de problemas de
matemática
versão “max” (7º e 8º anos)
Caso 2: Agentes mini
Dois primos do AgenteX, do 5ºA, participam pela primeira vez no nosso campeonato de resolução de
problemas. Como estão a participar juntos, os seus códigos de Agente são números inteiros consecutivos.
Somando os algarismos de cada código e, depois, multiplicando as duas somas, obtém-se 38.
Qual é o código de cada um?
Justifica todas as tuas conclusões.
Sítio: http://agentex.pt.vu ou http://ebs-santana.pt/agentex
E-mail: [email protected]
Investigação:
O segundo caso do AgenteX apelava à capacidade de organizar e priorizar informação. Parece à
partida difícil determinar os dois códigos, mas os Agentes souberam “dar a volta” ao problema.
1. Investigação enviada pelo Agente: MAX221 - José Leandro Sá de Sousa da escola B+S Dr. Luís
Maurílio Dantas.
A pergunta é:
Como estão a participar juntos, os seus códigos de Agente são números inteiros consecutivos.
Somando os algarismos de cada código e, depois, multiplicando as duas somas, obtém-se 38. Qual é
o código de cada um?
Agora pensamos quais as multiplicações que dão 38:
1x38= 38
2x19= 38
Depois pensei que a multiplicação mais provável seria 2x19.
Então procurei os números que, decompostos dão 19.
991= 9+9+1
865= 8+6+5
982= 9+8+2
856= 8+5+6
973= 9+7+3
847= 8+4+7
964= 9+6+4
838= 8+3+8
955= 9+5+5
829= 8+2+9
946= 9+4+6
793= 7+9+3
937= 9+3+7
784= 7+8+4
928= 9+2+8
775= 7+7+5
919= 9+1+9
766= 7+6+6
892= 8+9+2
757= 7+5+7
883= 8+8+3
748= 7+4+8
874= 8+7+4
739= 7+3+9
694= 6+9+4
685= 6+8+5
676= 6+7+6
667= 6+6+7
658= 6+5+8
649= 6+4+9
595= 5+9+5
586= 5+8+6
577= 5+7+7
568= 5+6+8
559= 5+5+9
496= 4+9+6
Depois procurei os números que, decompostos dão 2.
200= 2+0+0
101= 1+0+1
100= 1+0+0
E com estes números, reparei que os números que eram consecutivos são 199 e 200.
Assim, como são do 5ºA os seus códigos são:
MINI199= 1+9+9= 19
MINI200= 2+0+0= 2
Sítio: http://agentex.pt.vu ou http://ebs-santana.pt/agentex
E-mail: [email protected]
487= 4+8+7
478= 4+7+8
469= 4+6+9
397= 3+9+7
388= 3+8+8
379= 3+7+9
298= 2+9+8
289= 2+8+9
199= 1+9+9
2. Investigação enviada pelo Agente: MAX115 - Martim da Silva Abreu Fernandes do Colégio
Apresentação de Maria.
Para resolver este caso eu primeiro analisei os dados:
1. Os códigos são números inteiros consecutivos;
2. Somando os algarismos de cada código (chamei Agente A e Agente B) obtém-se duas
somas;
3. O produto dessas somas é 38.
Depois eu fui ver quais eram as possibilidades do produto de dois números dar 38.
Os divisores de 38 são 1, 2, 19 e 38, logo existem duas possibilidades:
a) 1 X 38 = 38
b) 2 X 19 = 38
Depois fui analisar cada uma destas possibilidades.
a) 1 X 38 = 38
Neste caso as somas dos algarismos dos códigos dos Agentes A e B seriam 1 e 38, respetivamente.
Com estes dados eu construí uma tabela de possibilidades, considerando que a soma dos algarismos
do código do Agente A é 1, e tentei encontrar o código do Agente B, que é anterior ou seguinte ao do
Agente A, cuja soma dos algarismos é 38.
Código Agente B
Código Agente A
Anterior
Seguinte
Número
Soma algarismos Número Soma algarismos
Número Soma algarismos
1
1
0
0
2
2
10
1+0=1
9
9+0=9
11
1+1=2
100
1+0+0=1
99
9+9=18
101
1+0+1=2
1.000
1+0+0+0=1
999
9+9+9=27
1.001
1+0+0+1=2
10.000
1+0+0+0+0=1
9999
9+9+9+9=36
10.001
1+0+0+0+1=2
100.000
1+0+0+0+0+0=1
99999
9+9+9+9+9=45 100.001
1+0+0+0+0+1=2
...
...
...
...
...
...
Ao analisar a tabela cheguei à conclusão que esta possibilidade não é válida porque não há números
consecutivos cuja soma dos algarismos dê 1 e 38, respetivamente.
Então, esta possibilidade não é válida.
b) 2 X 19 = 38
Neste caso as somas dos algarismos de cada código seriam 2 e 19.
Considerando que esta possibilidade é válida, só falta descobrir qual o código de cada agente.
Sítio: http://agentex.pt.vu ou http://ebs-santana.pt/agentex
E-mail: [email protected]
Para isso eu construí uma outra tabela de possibilidades, considerando que a soma dos algarismos do
código do Agente A é 2, e tentei encontrar o código do Agente B, que é anterior ou seguinte ao do
Agente A, cuja soma dos algarismos é 19.
Código Agente B
Código Agente A
Anterior
Seguinte
Número
Soma algarismos Número Soma algarismos
Número Soma algarismos
2
2
1
1
3
3
11
1+1=2
10
1+0=1
12
1+2=3
20
2+0=2
19
1+9=10
21
2+1=3
101
1+0+1=2
100
1+0+0=1
102
1+0+2=3
110
1+1+0=2
109
1+0+9=10
111
1+1+1=3
200
2+0+0=2
199
1+9+9=19
201
2+0+1=3
1001
...
1+0+0+1=2
...
1000
...
1+0+0+0=1
...
1002
...
1+0+0+2=3
...
Analisando a tabela, podemos ver que existem dois números consecutivos cuja soma dos algarismos
dá 19 e 2, respetivamente. Esses números são o 199 e o 200.
Resposta: Os códigos dos agentes são o 199 e o 200.
Sítio: http://agentex.pt.vu ou http://ebs-santana.pt/agentex
E-mail: [email protected]