MATEMÁTICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
I229
IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Literatura
Matemática
Física
Química
Biologia
História
Geografia
Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
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Aritmética
Elementar
Em geral ap, p ∈ N e p ≥ 2, é um produto de p
fatores iguais a a.
ap = a . a . a... . a
p . fatores
Os números podem ser escritos em diversas
bases de numeração conforme a necessidade e conveniência. Supõe-se que utilizamos o sistema de base
10 devido à nossa quantidade de dedos, o que facilitaria o processo de contagem primitivo. Em áreas
como a eletrônica, por exemplo, é muito utilizado o
sistema de base 2 ou binário, assim como o sistema
de base 16 ou hexadecimal.
Todo número inteiro diferente de 0, 1 e -1 pode
ser expresso como um produto de números primos.
Esse resultado, conhecido como Teorema Fundamental da Aritmética, já aparecia no livro IX dos
“Elementos”, de Euclides, e destaca a importância
dos números primos na Teoria dos Números, desempenhando um papel similar ao dos átomos na
estrutura da matéria.
O conceito de congruências, introduzido por
Gauss, em 1801, no seu “Disquisitiones Arithmeticae”, será apresentado como importante ferramenta
para estudo dos números.
É importante lembrar que a Teoria dos Números é uma área em franco desenvolvimento, que
apresenta aplicações nas mais diversas áreas e que
ainda possui muitos problemas em aberto que são
um desafio aos matemáticos.
``
Exemplos:
1) 40 = 1
2) (–5)0 = 1
3) 21 = 2
1
1 1
=
4)
5
5
5) (–4)1 = –4
6) 52 = 5 ⋅ 5 = 25
7) (–3)2 = (–3)⋅(–3) = 9
8) 02 = 0 ⋅ 0 = 0
9)
2
3
2
=
2
3
.
2
3
=
4
9
10)23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8
11)(–2)3 = (–2)⋅(–2)⋅(–2) = –8
12)–23 = –(2)⋅(2)⋅(2) = –8
13)–(–2)3 = –(–2)⋅(–2)⋅(–2) = 8
Potência de expoente natural
EM_V_MAT_002
Seja a ∈ R a 0 e n ∈ N, a potência de base a
e expoente n é um número an tal que:
a0 = 1
an = an–1.a, n, n 1
Assim,
a1 = a0⋅ a = 1 ⋅ a = a
a 2 = a1 ⋅ a = a ⋅ a
a3 = a 2 ⋅ a = a ⋅ a ⋅ a
1)
2)
3)
4)
5)
6)
a0 = 1, a 0
a1 = a
0P = 0, p R+*
00 não é definido
n par an > 0
n ímpar an tem o mesmo sinal de a
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1
Potência de expoente
inteiro negativo
``
1 1
=
31 3
1 1
2 ) 3 -2 = 2 =
3
2
1
1
1
−3
3 ) (−3 ) =
=
=−
3
27
(−3 ) − 27
−2
=
1
2
 
3
2
=
a
Em geral, temos:  
 b
2 . 3 3 = 3 2.3 =
−n
 b
= 
a
3
6
Potência de expoente
racional
Seja a R+* e p
q
1 9
=
4 4
9
Q*, temos:
p
q
a q = ap
n
Raiz enésima aritmética
Seja o radicando a R+ e o índice n N, existe
n
sempre a raiz b R+, tal que a = b bn = a.
Exemplos:
5
Exemplo:
3
1) 31 =
``
3 3 +2 3 =5 3
Exemplos:
2
4)  
3
Exemplo:
2)Para multiplicação ou divisão basta que as
raízes possuam o mesmo índice.
1
a–n = n , a R*
a
``
``
32 = 2, pois 25 = 32
``
p
Expoente q
Exemplos:
numerador potência da base
denominador índice da raiz
1
2
1) 3 2 = 3 3
2) 8 3 = 82 = 4
As potências de expoente irracional são definidas por “aproximação” de potências racionais, mas
apenas para bases não-negativas.
Propriedades das potências
1) ap ⋅ aq = ap + q
4
4
Da definição temos que 16 = 2 e não 16 = 2.
Especial cuidado deve ser tomado no cálculo da
raiz quadrada de quadrados perfeitos onde tem-se
a2 = a .
``
2)
3) (a ⋅ b)p = ap ⋅ bp
Exemplos:
(–5) = – 5 = 5 e
2
ap
= ap – q, a ≠ 0
aq
4)
x = x.
2
a
b
p
=
ap
bp
,b≠0
5) (ap)q = ap⋅q
``
Operações
2) 34 ⋅ 3–1 = 34–1 = 33
25
3)
= 25 – 2 = 23
22
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EM_V_MAT_002
1) 53 ⋅ 52 = 53+2 = 55
1)Só é possível adicionar ou subtrair raízes
idênticas (mesmo índice e radicando).
2
Exemplos:
4)
25
erros nos dois casos são inferiores a 1 unidade.
A diferença entre o número dado e o quadrado
da raiz aproximada (em geral a raiz por falta) é chamada resto da raiz quadrada.
= 25 –(– 2) = 27
2
5) (2 ⋅ 3)2 = 22⋅32
6)
–2
3
5
2
32
=
``
52
Exemplo:
36 < 42 < 49 ⇔ 62 < 42 < 72, assim 6 é a raiz quadrada
de 42 por falta, 7 é a raiz quadrada de 42 por excesso e
o resto é 42 – 62 = 6.
7) (53)2 = 53⋅2 = 56
2
8) 53 = 59
Racionalização
Como se pôde notar pelos exemplos 7 e 8 anq
teriores, em geral temos (ap)q ≠ ap .
Propriedades das raízes
Sejam n, p ∈ N* e a, b ∈ R+
1)
n
2)
n
3)
n
4)
n
5)
p n
am =
n.p
a.b =
am.p
n
a.
n
b
n
a
a
,b≠0
=n
b
b
a
m
3.
6
6
a =
p.n
6
Exemplos:
1)
2
1
1
.
=
2
2
2
2
2
=
2
22
=
3
3
3
32
3. 9
3 9
3
3
3
2) 3
=3
.3 2 = 3 3 = 3 = 9
3
3
3
3
a
6
2 = 33 . 22 = 33 .22 = 108
Raiz quadrada aproximada
EM_V_MAT_002
``
m
= a
Exemplo:
3
Racionalização baseada nas
propriedades de potências e raízes
n
As propriedades das raízes são iguais às propriedades das potências para expoentes fracionários.
As propriedades acima são úteis para redução
de potências ao mesmo índice a fim de permitir a sua
multiplicação ou divisão.
``
Racionalizar consiste em transformar as expressões com radicais no denominador em expressões
equivalentes que não apresentem radicais no denominador.
Essa operação é feita multiplicando-se o numerador e o denominador da fração por um fator racionalizante. Esse fator é a expressão que multiplicada
pelo denominador resulte em uma expressão sem
radicais. Esse fator é encontrado tendo por base as
propriedades de potências e raízes, e a analogia com
as fórmulas da fatoração.
No caso de números que não possuem raiz quadrada exata, pode-se falar na raiz quadrada por falta
como o maior número cujo quadrado não excede o
número dado e na raiz quadrada por excesso como o
menor número cujo quadrado excede o número dado.
Os dois números citados diferem em 1 unidade e os
Racionalização baseada na
fórmula: (a + b).(a - b) = a2 - b2
``
Exemplos:
1
=
3– 2
1)
2)
3+ 2
3–2 =
=
1
2+1
=
2–1
= 2–1 =
3+ 2
=
3+ 2
1
.
3– 2
3 +
1
.
2+1
3+ 2
2
3 – 2
2
2
2 –1
=
2 –1
2 –1
2
2 – 12
2 –1
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3
Racionalização
baseada nas fórmulas:
(a3 + b3) = (a + b).(a2 - ab + b2)
e (a3 - b3) = (a - b).(a2 + ab + b2)
Exemplos:
1
1)
3
3
=
=
2)
3
3
3
.
2 –1
3
2 + 2 . 1 + 12
3
3
=
2 –1
2
1
4 +
2 – 13
3
3
2
3
2 + 2 . 1 + 12
3
2 +
2
2 . 1 + 12
3
2 + 2 +1
2–1
2 +1
1
3
3
=
3
2
3
3
=
3
9– 6+ 4
3
3
3+ 2
3
3
3 + 2
3
=
3
1
3
3
3
9– 6+ 4
3
3+ 2
3+2 =
3
.
3
3
3+ 2
3
3+ 2
3
3+ 2
5
Transformação de radicais
duplos
A
B=
A+C
2
onde os algarismos podem tomar apenas os
valores 0, 1, 2, . . . , b – 1.
Exemplos:
1) 3 + 5 = 3 + 2 + 3 – 2
2
2
10 + 2
2
5+ 1 =
2
2
=
Exemplos:
(23)6 = 3 + 2 . 6 = 15
(1011)2 = 1 + 1 . 2 + 0. 22 +1 . 23 = 11
6 – 20
=
6+4 + 6–4
2
2
2
C = 6 – 20 = 4
Sistemas de numeração
4
``
(145)6 = 5 + 4 . 6 +1 . 62 = 65
C = 32– 5 = 2
2) 6 – 2 5 =
= 5 –1
Um sistema de numeração de base b se relaciona com a base 10 da seguinte forma:
(anan–1. . . a2a1a0)b = a0 + b . a1 + b2 . a2 +. . . + bn . an
A–C
2
C = A2 – B
``
Mudança de uma base
qualquer para a base 10
O nosso sistema de numeração chama-se hinduarábico e tem base dez. Isso quer dizer que utilizamos
apenas dez símbolos (algarismos) para representar
todos os números. Esses algarismos são: 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9. Os números restantes são representados
por combinações desses símbolos.
Na expressão acima podemos notar que num sistema
de base b são usados b algarismos e o maior algarismo
utilizado é b – 1. Ex.: O sistema de base 6 possui 6 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4 e 5.
Caso a quantidade de símbolos exceda 10, utilizamos letras maiúsculas do nosso alfabeto, dessa
forma os símbolos são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B,
C, D, E, F, G, ..., onde A equivale a 10 unidades de
base 10, B a 11, C a 12 e assim por diante.
É usual utilizar um traço acima de variáveis
justapostas para representar que as mesmas são
algarismos que compõem um número.
Por exemplo, para a base 10:
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EM_V_MAT_002
``
Em geral escreve-se: (anan –1. . . a2a1a0)10 para
representar 100a0 + 101a1 + 102 a2 +...+ 10n–1an–1 +
10n an com 0 ≤ ai < 10.
Dessa forma escreve-se 75 para representar
7 . 10+5 e 223 para representar 2 . 102 +2 . 10 + 3
Entretanto, os números podem ser escritos em
diversas bases de numeração conforme a necessidade
e conveniência.
No sistema de base 2, os algarismos utilizados
são 0 e 1, e os primeiros números são escritos:
(1)2 = (1)10
(10)2 = (2)10
(11)2 = (3)10
(100)2 = (4)10
(101)2 = (5)10
(110)2 = (6)10
(111)2 = (7)10
Em geral, quando representamos os números
da base 10, omitimos o subíndice.
xyé usado para representar 10x+y
xyz para representar 100x + 10y + z
Esse tipo de representação pode ser utilizada
também em outras bases.
Mudança da base 10
para uma base qualquer
Já sabemos como relacionar um número em uma
base qualquer com seu correspondente na base 10.
Agora vamos ver como obtemos a representação em
uma outra base de um número que conhecemos na
base 10. Isso é feito baseado na expressão do item
anterior. Dessa forma, para passar um certo número
da base 10 para uma base qualquer b, deve-se dividir
o número sucessivamente por b e a sua representação nessa nova base é dada pelo resto assim obtido
tomados na ordem contrária.
``
Exemplos:
Escrever 171 na base 2.
171 2
1 85
1
2
42
0
2
21
1
2
10
0
2
5
1
2
2
0
2
1
171 = (10101011)2
Mudança entre bases
diferentes da base 10
Para converter um número que se encontra em
uma base diferente de 10 para outra também diferente de 10, deve-se converter o número para a base
10 e então para a nova base.
``
Exemplos:
Ex.: Escrever (6 165)7 no sistema de base 12
Temos: (6 165)7 = 6⋅7 3 + 1⋅7 2 + 6⋅7 + 5 = 2 154
Fazendo divisões sucessivas: 2154 = 12 ⋅ 179 + 6
179 = 12 ⋅ 14 + 11
Se n e p são números naturais com n > p, o
número de naturais entre n e p inclusive (isto é, contando também n e p) é igual a n – p + 1.
Se no cômputo incluirmos apenas um dos extremos a quantidade de naturais é n – p.
O número de naturais entre n e p exclusive (isto
é, excluindo os dois extremos) é igual a n – p – 1.
``
Exemplos:
1) Entre 10 e 99 inclusive há (99 – 10 + 1) = 90 números.
2) Entre 9 e 99 excluindo o 9 há (99 – 9) = 90 números.
3) Entre 9 e 100 excluindo (sem os dois extremos)
há (100 – 9 – 1) = 90 números.
As ideias expostas acima podem ser utilizadas
na ordem inversa, como no exemplo abaixo:
Exemplo: Qual o vigésimo número após 15?
Temos então que contar 20 números começando
em 16, ou seja, sem incluir o 15. Teremos então (x –
15) = 20 donde x = 35.
Muitas vezes precisamos contar a quantidade
de números numa sequência de múltiplos de k. Devese proceder como acima considerando os números
divididos por k.
Exemplo: Escrevem-se os múltiplos de 3 desde
33 até 333. Quantos números são escritos?
Os números escritos vão de 3 . 11 até 3 . 111, logo
devemos contar a quantidade de números de 11 a 111
inclusive, isto é, (111 – 11) + 1 = 101 números.
Outras vezes é solicitado que se contem a
quantidade de algarismos escritos. Para tanto, é necessário calcular quantos números são escritos com
cada quantidade de algarismos.
``
Exemplos:
São escritos os naturais de 1 a 150. Quantos algarismos
foram escritos?
De 1 a 9 há (9 – 1 + 1) = 9 números de 1 algarismo.
De 10 a 99 há (99 – 10 + 1) = 90 números de 2 algarismos.
De 100 a 150 há (150 – 100 + 1) = 51 números de
3 algarismos.
Logo, o total de algarismos escritos é 9 ⋅ 1 + 90 ⋅ 2 +
51 ⋅ 3 = 342.
14 = 12 ⋅ 1 + 2
1 = 12 ⋅ 0 + 1
EM_V_MAT_002
Contagem
Logo, 2 154 = (12B6)12
Portanto, (6 165)7 = (12B6)12
A tabela a seguir mostra a quantidade de números que
se pode formar na base 10 com uma determinada quantidade de algarismos.
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5
``
Exemplo:
Qtd. de algarismos
Qtd. de números
1
9
Quantos divisores positivos possui o número 60?
2
90
60=22. 31. 51
3
900
4
9000
d (60)=(2+1).(1+1).(1+1)=12
Divisibilidade
Sejam a e b dois inteiros, com a ≠ 0. Diz-se que
a divide b (denotado por a | b) se, e somente se,
existe um inteiro q tal que b = a . q. Se a não divide
b escreve-se a b.
Ex.: 2|6, pois 6 = 2 3 e 3 10, pois não existe
inteiro q, tal que 10 = 3q.
•• Para obter o total de divisores positivos e negativos, basta multiplicar por 2 o valor obtido
pela expressão acima.
Propriedades
•• A quantidade de divisores pares pode ser
obtida subtraindo esse número do total.
•• Para obter a quantidade de divisores ímpares basta excluir do produto d(n) o fator
relativo ao expoente do primo 2, se houver.
Divisores positivos de 60 = (2+1).(1+1).
(1+1) = 12
Sejam a, b e c inteiros.
a|0, 1|a e a|a (reflexiva)
Se a|1, então a = ±1
Se a|b e c|d, então ac|bd
Se a|b e b|c, então a|c (transitiva)
Se a|b e b|a, então a = ±b
Se a|b, com b ≠ 0, então |a| ≤ |b|
Se a|b e a|c, então a|(bx + cy), x,y Z.
É o conjunto dos números inteiros não-nulos que
são divisores de a, conforme definido acima.
D(a) = {x Z* x|a}
Ex.: D(0) = Z*, D(1) = {1, –1} e D(8)={±1,±2,
±4, ±8}
Divisores comuns
de dois inteiros
D(a, b) = {x Z* x|a e x|b} = {x Z* x D(a) e
x D(b)} = D(a) D(b).
Ex.: D(12, – 15) = {±1, ±3}.
Número de divisores positivos
O número de divisores positivos de um inteiro
positivo n > 1, cuja decomposição canônica é n = p1
1
p2 2 ... pk k, é dado por:
d(n) = ( 1 + 1)( 2 +1) ... ( k + 1)
6
Divisores ímpares de 60 (positivos) = (1+1).
(1+1) = 4
Divisores pares de 60 (positivos) = 12 – 4 = 8
Máximo divisor comum
(MDC)
Sejam a e b dois inteiros não simultaneamente
nulos. O máximo divisor comum de a e b é o inteiro
positivo d = mdc (a, b) que satisfaz:
(1) d a e d b
(2) se c a e c b, então c d.
A condição (1) diz que d é um divisor comum de
a e b e a condição (2), que d é o maior dos divisores
comuns.
``
Exemplos:
mdc (8,1)=1, mdc(–2,0) = 2, mdc(–6,12) = 6, mdc(16,
24) = 8, mdc (24, 60) = 12.
Corolários
mdc (a, 1) = 1
se a 0, então mdc (a, 0) = a
se a b, então mdc (a, b) = a
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EM_V_MAT_002
Divisores de um inteiro
Total de divisores positivos e negativos de
60 = 2.12 = 24
Existência e unicidade do MDC
Sejam a e b dois inteiros não simultaneamente
nulos, então mdc (a, b) existe e é único; além disso,
existem x e y tais que mdc (a, b) = ax + by, isto é, o
mdc (a, b) é uma combinação linear de a e b.
A representação do mdc (a, b) como combinação
linear de a e b não é única. Na verdade, mdc (a, b) =
d = a(x + bt) + b(y – at) para qualquer inteiro t.
Números primos entre si
Teorema: Para todo k≠0, mcd (ka, kb)=|k| – mcd
(a,b).
MDC a partir das
decomposições canônicas
Conhecidas as decomposições canônicas de dois
inteiros positivos a e b, o mdc (a,b) é o produto dos fatores primos comuns as duas decomposições tomados
com seus menores expoentes.
``
Diz-se que a e b são primos entre si se, e somente se, o mdc (a, b) = 1.
Ex.: são primos entre si os pares 2 e 5, 9 e 16 e
20 e 21.
Dois inteiros primos entre si admitem como
únicos divisores comuns 1 e – 1.
Teorema: Dois inteiros a e b, não simultaneamente nulos, são primos entre si se, e somente se,
existem inteiros x e y, tais que ax + by = 1.
Corolário: Se mdc (a,b) = d, então o mdc (a/d,
b/d) = 1.
Corolário: Se a b e se mdc (b,c) = 1, então mdc
(a,c)=1.
Corolário: Se a c, b c e mdc (a, b) = 1, então
ab c.
Corolário: mdc (a, b)=mdc (a, c)=1 se, e somente se, mdc (a, bc)=1.
Teorema de Euclides: Se a bc e mdc (a, b) =
1, então a c.
588 = 22 . 3 . 72 e 936 = 23 . 32 . 13, logo mdc (588,936)
= 22 . 3 = 12.
Mínimo múltiplo comum
(MMC)
O conjunto de todos os múltiplos de um inteiro
qualquer a 0 indica-se por M(a), ou seja, M(a) = {x
Z tal que ax} = {aq q Z}.
``
Sejam a e b dois inteiros não-nulos. Chama-se múltiplo
comum de a e b todo inteiro x tal que a x e b x.
M(a,b) = {x
M(b)}
q2
r1
r3
q3
r2
...
...
...
rn
qn
rn-1
0
EM_V_MAT_002
mdc (963, 657) = 9
963
306
2
306
36
M(a) e x
M(b)
Exemplo:
M(18)={18q\q Z}={0, 18, 36, 54, 72, 90, 108,...}
M(18) = {0, 36, 72, ...}
M(12,18) = M(12)
Sejam a e b dois inteiros não-nulos. Chama-se mínimo múltiplo comum de a e b o inteiro positivo m =
mmc(a,b) que satisfaz as condições:
(1) a m e b m
qn+1
rn
Exemplos:
1
657
45
Z/x
M(12)={12q\q Z}={0, 12, 24, 36, 48, 60, 72,...}
O aparecimento do resto 0 indica rn = mdc (a, b).
``
Z / a x e b x}={x
M(a,b) = M(a)
Teorema: Se a = bq + r, então mdc (a, b) =
mdc (b, r).
O algoritmo de Euclides é baseado na aplicação
repetida do lema acima e é normalmente apresentado
por intermédio do seguinte dispositivo prático:
q1
b
r2
Exemplos:
M(1) = M(–1) = Z e M (5) = {0, 5, 10, 15, 20, ...}
Algoritmo de Euclides
a
r1
Exemplos:
(2) se ac e bc, com c > 0, então m c.
``
Exemplo:
mmc (12,18) = 36
Corolários
6
45
9
1
36
0
4
9
•• mmc (a,b)
ab
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7
•• se a b, então mmc (a,b) = b
•• se mdc (a,b) = 1, então mmc (a,b) = ab
Teorema Fundamental da Aritmética:
Todo inteiro positivo n > 1 pode ser representado de maneira única (a menos da ordem) como um
produto de fatores primos.
n = P1α1 ⋅ P2α2 ⋅ ... ⋅ Pkαk
``
``
Exemplos:
Decomponha o número 17 640 em um produto de
fatores primos.
Exemplos:
Basta dividir o número sucessivamente por seus divisores
primos em ordem crescente como mostrado abaixo:
Determinar o mmc (963, 657).
Pelo algoritmo de Euclides mdc (963,657) = 9. Logo,
mmc (963,657) = 963 . 657/9 = 70299.
17 640
8 820
4 410
2 205
735
245
49
7
1
MMC a partir das
decomposições canônicas
Conhecidas as decomposições canônicas de dois
inteiros positivos a e b, o mmc (a,b) é o produto dos
fatores primos comuns e não-comuns às duas decomposições tomados com seus maiores expoentes.
``
Exemplos:
588 = 22 . 3 . 72 e 936 = 23 . 32 . 13, logo mmc (588,936)
= 23 . 32 . 72 . 13 = 45 864.
Números primos
Um inteiro positivo p > 1é um número primo se,
e somente se, 1 e p forem os seus únicos divisores
positivos.
Os inteiros maiores que 1, que não são primos,
ou seja, têm pelo menos um divisor além de 1 e dele
mesmo, são ditos compostos.
``
Exemplos:
Primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
Compostos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, ...
O único inteiro positivo par que é primo é o número 2.
Corolários:
•• Se um primo p não divide um inteiro a,
então a e p são primos entre si.
•• Se p é um primo tal que p|ab, então p|a
ou p|b.
8
•• Todo inteiro composto possui um divisor
primo.
2
2
2
3
3
5
7
7
Então, 17 640 = 23 .32 .5 . 72.
Teorema de Euclides: há um número infinito de
primos.
Teorema: Se um inteiro a > 1 é composto, então
a possui um divisor primo p
a.
Esse teorema indica um processo para reconhecer se um número a > 1 é primo, bastando dividir
os números sucessivamente pelos primos que não
excedam a .
``
Exemplos:
22 < 509 < 23, assim devem-se testar os primos 2,
3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19. Como 509 não é divisível por
nenhum desses números, então 509 é primo.
Crivo de Eratóstenes:
Construção de uma tabela de primos que não
excedem um dado inteiro n: escrevem-se em ordem
os inteiros de 2 a n e, em seguida, eliminam-se todos
os inteiros compostos múltiplos dos primos menores
que n .
``
Exemplos:
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
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EM_V_MAT_002
Sejam a e b inteiros positivos, então:
mdc (a, b) . mmc(a, b) = a . b
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
2) Calcule o algarismo das unidades de 5 837649.
``
Solução:
Para obtermos o algarismo das unidades, devemos calcular o resto por 10.
5 837 7 (mod 10)
5 8372 9 (mod 10)
5 8373 9 x 7 3 (mod 10)
5 8374 3 x 7 1 (mod 10)
O aparecimento do valor 1 inicia um novo ciclo de
repetição, onde os valores se repetem em ciclos de 4.
Observando os expoentes nota-se o seguinte:
Congruências
Sejam a e b inteiros e m inteiro positivo, a é
côngruo a b módulo m se, e somente se, a – b é
múltiplo de m.
a b (mod m) m (a – b)
``
Exemplos:
14 8 (mod 3), pois 3 (14 – 8)
10 8(mod 3), pois 3 (10-8)
Propriedades:
a a (mod m)
``
b a (mod m)
a b (mod m) e b c (mod m)
a c (mod m)
a b (mod m) e c d (mod m)
m) e a.c b.d (mod m)
a + c b + d (mod
a b (mod m)
a + c b + c (mod m) e ac bc (mod m)
an bn (mod m),
n Z+*.
Exemplos:
1) Determine o resto de (14 543)567 por 3.
``
Solução:
14 543 2 (mod 3)
14 5432 22 1 (mod 3)
14 5433 2 x 1 2 (mod 3)
14 5434 2 x 2 1 (mod 3)
EM_V_MAT_002
4n +1
7
4n + 2
9
4n + 3
3
4n
1
3) Calcule x sabendo que 7x 4 (mod 10).
Teorema: a b (mod m) se, e somente se, os restos
das divisões de a e b por m são iguais.
a b (mod m)
Resto por 10
Como o expoente 649 = 4 x 162 + 1, o resto por 10 é
7, ou seja, o algarismo das unidades é 7.
20 – 19 (mod 3), pos 3 (20 – (–19))
a b (mod m)
Expoente
14 543567 2 (mod 3)
Pode-se notar que os valores se repetem, sendo 2 nos
expoentes ímpares e 1 nos expoentes pares. Assim, o
resto é 2.
``
Solução:
Vamos descobrir uma solução particular x o tal que
10 (7xo – 4). Para tanto deve existir yo inteiro tal que 7xo – 4
= 10yo, ou seja, 7xo – 10yo = 4. O algoritmo de Euclides
nos permite obter os valores xo = 12 e yo = 8, ou seja,
7.12 – 10.8 = 4. Então precisamos encontrar x, tal que
7x 4 (mod 10) e 7.12 4 (mod 10). Subtraindo, temos
7(x – 12) 0 (mod 10), ou seja, 10 7(x – 12). Como 10
é primo com 7, devemos ter 10 (x – 12), isto é, x 12
2 (mod 10) ou x = 10k + 2, com k Z.
Critérios de divisibilidade
Por 2: 2|n n é par
Ex.: 2|356 e 2 357
Sugestão para demonstração: Considere n = 10k
+ r, onde r é o algarismo das unidades de n.
Por 3: 3 | n a soma dos algarismos de n é múltiplo de 3.
Ex.: 3|111, pois 1+1+ 1 = 3, 3|114, pois 1 + 1 + 4
= 3 2, mas 3 112, pois 1 + 1 + 2 = 4.
Por 4: 4 n o número formado pelos dois últimos algarismos de n é múltiplo de 4.
Ex.: 4 3240, pois 4 40, 4 1516, pois 4 16, mas
4 126, pois 4 26.
Por 5: 5 n o algarismo das unidades de n é
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9
0 ou 5.
Ex.: 5 110, 5 115 e 5 111
Por 6: 6 n n é par e múltiplo de 3.
Ex.: 6 120, 6 126 e 6 124
Por 8: 8 | n o número formado pelos três últimos algarismos de n é múltiplo de 8.
Ex.: 8|3240, pois 8|240, 8|5136, pois 8|136, mas
8 1516, pois 8 516.
Por 9: 9 | n
a soma dos algarismos de n é
múltiplo de 9.
Ex.: 9|117, pois 1+1+ 7 = 9, 9|738, pois 7 + 3
+ 8 = 9.2, mas 9 116, pois 1 + 1 + 6 = 8.
Por 10: 10 | n
o algarismo das unidades de
n é 0.
Ex.: 10|110, 10|2100, mas 10 111 e 10 115
Por 11: 11 | n a soma dos algarismos de n de
ordem ímpar menos a soma dos algarismos de ordem
par é múltiplo de 11.
Ex.: 11|187, pois 1+ 7 – 8 = 0, 11|627, pois 6 + 7
– 2 = 11, mas 11 826, pois 8 + 6 – 2 = 12.
3. (UFCE) O valor exato de 32+10 7 + 32 – 10 7 é:
a) 12
b) 11
c) 10
d) 9
e) 8
``
Solução: C
1) x = 32+10 7 + 32 – 10 7
x2 = 32 + 10 7 + 32 – 10 7 + 2 32 2 – 100.7
⇒ x2 = 64 +2 324 = 64 +2 .18 = 100
Como x > 0, então x = 10.
2) Observando que 32 = 52 + 7, então:
32 10 7 = 52 2.5. 7 + 7 = (5
7 )2
x = 32+10 7 + 32 – 10 7 = 5 + 7 +5 − 7
= 10
1. Sabendo-se que a, b e c são números reais positivos e
a2=56, b5=57 e c3=38, calcule (abc)15.
Solução:
a2 = 5 6
f(t) =
a = 53
onde B é a população da cidade. Sabendo-se que 1/9
da população soube do acidente três horas após, então
o tempo que passou até que 1/5 da população soubesse
da notícia foi de:
a) 4 horas.
(abc)15 = a15b15c15 = a15 ⋅ (b5)3 ⋅ (c3)5 = (53)15 ⋅ (57)3 ⋅ (38)5 =
= 545 ⋅ 521 ⋅ 340 = 545+21 . 340
``
Solução: 566 . 340
b) 5 horas.
2. (Fatec) Se x e y são números reais tais que x = (0,25)0,25
e y = 16−0,125, é verdade que:
d) 5 horas e 24 minutos.
b) x > y
e) 5 horas e 30 minutos.
``
d) x − y é um número irracional.
e) x + y é um número racional não-inteiro
Solução:
10
Solução: A
Solução: A
B
=
f(0) =
1 + C.e–k.0
B
1+C
=
B
65
C = 64
1
1
4
4
1
=4 2 =
1 4 18 8 1 2
–0,125
y = 16
= 24 = 8 4 =
2
Logo, x = y.
x = (0,25)0,25 =
``
c) 6 horas.
a) x = y
c) x ⋅ y = 2 2
``
B
1 + Ce–kt
1
2
1
2
f(3) =
B
1+ 64 .e3k
=
B
9
⇔ 1 +64 ⋅ e−3⋅k = 9 ⇔ e−3⋅k =
⇔ e −k =
1
2
1
8
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EM_V_MAT_002
``
4. (ITA) Um acidente de carro foi presenciado por 1/65 da
população de Votuporanga (SP). O número de pessoas
que soube do acontecimento t horas após é dado por:
B
B
=
–k.t
1+64.e
5
1
⇔ 1 +64 ⋅ e − k⋅t = 5 ⇔ e −k⋅t =
16
1 4
1 t
1 4
(e−k)t =
=
2
2
2
f(t) =
B
5
7.
=
• para se escreverem os números naturais de 1 até
11, são necessários 13 dígitos; e
• para se escreverem os números naturais de 1 até o
número natural n, são necessários 1341 dígitos.
t = 4 horas
Assim sendo, é correto afirmar que n é igual a:
a) 448
5. (Unicamp -SP) Para representar um número natural
positivo na base 2, escreve-se esse número como soma
de potências de 2.
b) 483
a) Por exemplo: 13 = 1 . 23 + 1 . 22 + 0 . 21+1 . 20 =
1 101
c) 484
d) 447
b) Escreva o número 26 +13 na base 2.
c) Quantos números naturais positivos podem ser escritos na base 2 usando-se exatamente cinco algarismos?
``
entre 1 e 250 temos 250 números naturais. Na base 2,
temos 244 números com 45 algarismos. Portanto, a pro2 44 1
1
.
babilidade é 50 = 6 =
2
2
64
6. (UFF) Um número n é formado por dois algarismos cuja
soma é 12. Invertendo-se a ordem desses algarismos,
obtém-se um número do qual subtrai-se n e o resultado
encontrado é 54. Determine o número n.
Solução:
(10y + x) – (10x + y) = 54
–9x +9y
900 ⋅ 3 = 2 700
n = 483
8. (UFRN) Uma espécie de cigarra que existe somente no
Leste dos EUA passa um longo período dentro da terra
alimentando-se de seiva de raízes, ressurgindo após 17
anos. Em revoada, os insetos dessa espécie se acasalam
e produzem novas ninfas que irão cumprir novo ciclo de
17 anos. Em 2004, ano bissexto, os EUA presenciaram
outra revoada dessas cigarras. O próximo ano bissexto
em que ocorrerá uma revoada da futura geração de
cigarras será em:
a) 2072
b) 2068
c) 2076
d) 2080
``
Número n: xy
900 n.os
Para os números de 3 algarismos restam 1 341 − 189 =
1 152 dígitos o que equivale a 1 152/3 = 384 números.
(n – 100) +1 = 384
c) 1/64
90 ⋅ 2 = 180 dígitos.
Logo, atingem-se 1 341 dígitos durante os números de 3
algarismos, donde conclui-se que n possui 3 algarismos.
b) 16
Na base dois podem ser usados os algarismo 0 e 1. O
primeiro algarismo deve ser 1, os outros 4 podem ser
escolhidos entre 0 e 1. Pelo princípio multiplicativo, temos
um total de 2⋅2⋅2⋅2 = 16 números.
9 ⋅ 1 = 9 dígitos.
90 n.os
3 algarismos: 100 a 999
dígitos.
Solução:
yx – xy = 54
= 54
9 n.os
2 algarismos: 10 a 99
a) (1001101)2 , pois 26 +13 = 1 ⋅ 25 + 0 ⋅ 24 +0 ⋅ 23
+ 1 ⋅ 22 + 1 ⋅ 21 +1 ⋅ 20 = (100111)2
``
Solução: B
1 algarismo: 1 a 9
d) Escolhendo-se ao acaso um número natural n tal
que 1 n 250, qual a probabilidade de que sejam
usados exatamente quarenta e cinco algarismos
para representar o número n na base 2?
``
(UFMG) Sabe-se que:
Solução: A
O próximo ano bissexto em que ocorrerá uma revoada
da futura geração de cigarras será após mmc (17, 4) =
68 anos, ou seja, no ano 2004 + 68 = 2072.
EM_V_MAT_002
–x+y=6
x + y = 12
-x+y=6
n = 39
2y = 18 ⇒ y = 9 e x = 3
1. Simplifique:
7
321 + 323
10
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11
2. (FGV) Se x = 3 200 000 e y = 0,00002, então xy vale:
10
e) 10 − 1
2
a) 0,64
8. (UFRN) Dados os números M = 9,84 ⋅ 1015 e N = 1,23
1016, pode-se afirmar que:
b) 6,4
c) 64
a) M < N
d) 640
b) M + N = 1,07 ⋅ 1016
c) M > N
e) 6 400
3. (PUC-Rio) Das opções abaixo, qual apresenta a relação
correta?
a) (−68)3 = (−6)24
9. (Unificado) O número de algarismos do produto 517 ⋅ 49
é igual a:
a) 17
b) (−2)3 = 2−3
b) 18
c) 23 + 24 = 27
d)
d) M ⋅ N = 1,21 ⋅ 1031
c) 26
192 + 402 59
=
131
1312
d) 34
e) 112 ⋅ 362 = 3962
e) 35
4. (PUC-Rio) O valor de 67 − 6 + 9 é igual a:
a) −3
10. (Unicamp) Dados os dois números positivos
4
4 , determine o maior.
3
3 e
11. (UERJ) João mediu o comprimento do seu sofá com o
auxílio de uma régua.
b) −9
c) 8
d) 4
e) 2
5. (PUC-Rio) Assinale a afirmativa correta:
a) (2a −1 )b =
b
2a
b) a2 b3 = (ab)6
c) 5a + 6b = 11ab
Colocando 12 vezes a régua na direção do comprimento,
sobraram 15cm da régua; por outro lado, estendendo 11
vezes, faltaram 5cm para atingir o comprimento total. O
comprimento do sofá, em centímetros, equivale a:
d) Se a3 = b3 , então a = b
e) Se a2 + b2=25 então a + b = 5
6. (Unicamp)
a) 240
a) Calcule as seguintes potências:
3
b) 235
−3
b) Escreva os números a, b, c, d em ordem crescente.
7.
10
20
30
(UFF) A expressão 1020 + 1030 + 1040 é equivalente a:
10 + 10 + 10
a) 1 +1010
b)
1010
2
c) 10−10
12
d) 1010
c) 225
d) 220
12. (UERJ) Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. Um deles permanece 10 segundos
fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro permanece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto.
O número mínimo de segundos necessários, a partir
daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar
juntos outra vez é de:
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EM_V_MAT_002
−2
a = 3 , b = (−2) , c = 3 e d = (−2) .
3
a) 150
b) 47
b) 160
c) 48
c) 190
d) 49
d) 200
e) 50
13. (UERJ) Ao analisar as notas fiscais de uma firma, o
auditor deparou-se com a seguinte situação:
18. (Fuvest) O menor número inteiro positivo que devemos
adicionar a 987 para que a soma seja o quadrado de
um número inteiro positivo é:
a) 37
b) 36
a) N
ão era possível ver o número de metros vendidos,
mas sabia-se que era um número inteiro. No valor
total, só apareciam os dois últimos dos três algarismos da parte inteira. Com as informações acima,
o auditor concluiu que a quantidade de cetim, em
metros, declarada nessa nota foi:
b) 16
d) 34
e) 33
19. (UFF) Três números naturais e múltiplos consecutivos
de 5 são tais que o triplo do menor é igual ao dobro
do maior.
Dentre esses números, o maior é:
c) 26
a) múltiplo de 3.
d) 36
b) ímpar.
e) 46
14. (UERJ) O número de fitas de vídeo que Marcela possui
está compreendido entre 100 e 150. Agrupando-as de
12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sempre resta
uma fita. A soma dos três algarismos do número total
de fitas que ela possui é igual a:
a) 3
c) quadrado perfeito.
d) divisor de 500.
e) divisível por 4.
20. (UFF) Considere p, q ∈ N* tais que p e q são números
pares. Se p > q, pode-se afirmar que:
a) (pq + 1) é múltiplo de 4.
b) 4
b) p – q é ímpar.
c) 6
c) p + q é primo.
d) 8
15. (UERJ) Os números 204, 782 e 255 são divisíveis por 17.
Considere o determinante de ordem 3 abaixo:
2 0 4
7 8 2
2 5 5
EM_V_MAT_002
c) 35
d) p2 – q2 é par.
e) p(q + 1) é ímpar.
21. (UFF) Sophie Germain introduziu em seus cálculos matemáticos um tipo especial de número primo descrito a seguir:
“Se p é um número primo e se 2p +1 é um número primo,
então o número primo p é denominado primo de Germain.”
Pode-se afirmar que é primo de Germain o número:
Demonstre que esse determinante é divisível por 17.
16. (UERJ) Considere dois números naturais ab e cd em que
a, b, c e d são seus algarismos. Demonstre que, se ab ⋅ cd
= ba ⋅ dc, então a ⋅ c = b ⋅ d.
a) 7
17. (FGV) Em uma sala de aula, a razão entre o número de
homens e o de mulheres é 3/4. Seja N o número total
de pessoas (número de homens mais o de mulheres).
Um possível valor para N é:
d) 19
a) 46
b) 17
c) 18
e) 41
22. (UFMG) José decidiu nadar, regularmente, de quatro em
quatro dias. Começou a fazê-lo em um sábado; nadou
pela segunda vez na quarta-feira seguinte e assim por
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13
diante. Nesse caso, na centésima vez em que José for
nadar, será:
a) terça-feira.
4. (CN) Simplificando a expressão:
∈ {0, 1}, temos:
n
600
25n +2 − 52n +2
para n
a) 5
b) quarta-feira.
b) 5–1
c) quinta-feira.
c) 5–2
d) sexta-feira.
23. (UFMG) A soma de dois números inteiros positivos, com
dois algarismos cada um, é 58. Os quatro algarismos
são distintos entre si. A soma desses quatro algarismos
é um número:
d) 52
e) 50
5. (CN) Sendo x2 = 343, y3 = 492 e z6 = 75, o algarismo das
24
a) menor que 9.
xy
unidades simples do resultado de   é:
b) múltiplo de 3.
a) 1
c) primo.
b) 3
d) maior que 30.
c) 5
 z 
d) 7
e) 9
1. A equação x x
a:
x
= 2 é satisfeita apenas quando x é igual
6. (CN) Qual o valor da expressão
 1+ 2 + 3 +  + 50 


5 + 10 + 15 +  + 250 
a) 2
4
3
2
c)
3
5
d)
3
5
e)
a) 8
b) 0
7.
5
−1
5
5
(UFF) A expressão
c) 4
a) 1 – 2
d) 2
b) 244⋅ (288+1)
e) 3
c) 9 ⋅ 244
3. (CN) Sabendo que
x 2 = 19996 ,
a) 1999
9
b) 19996
c) 1999
1
9
d) 1999–6
e) 1999
–9
88
888 − 444
844 − 422
é equivalente a:
d) 3 ⋅ (1 – 288)
y = 1999 e
4
z > 0), o valor de ( x ⋅ y ⋅ z )
14
3
5
b)
2. (CN) Calcule a diferença y – x, de forma que o número:
2x ⋅ 34 ⋅ 26y possa ser expresso como uma potência de
base 39.
3
, )
( 2 125
a) 1
2
c)
d)
2
⋅
− 13
5
z 4 = 19998, (x > 0, y > 0 e
é:
e) 288 ⋅ (288 + 1)
8. (UERJ) Considere o polinômio
P(n) = (n +1)⋅(n2 +3n +2), n ∈ N. Calcule:
a) a quantidade de paralelepípedos retângulos de bases quadradas e volumes numericamente iguais a
P(11), cujas medidas das arestas são expressas por
números naturais.
9
6
3
b) o valor da expressão: 7 + 4 ⋅ 7 + 25 ⋅ 7 + 2
344
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EM_V_MAT_002
b)
−1
2
9. (UECE) Se n = (0,5 ⋅ 40,25 + 40,75)2 − 41,5⋅(1 + 4−0,5), então
32 ⋅ n é igual a:
a) 16
b) 32
c) 48
d) 64
d) 10
15. (UFPR) Os anos bissextos ocorrem de 4 em 4 anos, em
geral, mas a sua caracterização exata é a seguinte: são
anos bissextos aqueles que são divisíveis por 4, mas não
por 100; a exceção a essa regra são os anos divisíveis
por 400, que também são bissextos. Assim, o número
de anos bissextos entre 1895 e 2102 é:
a) 50
10. (IME) Calcule: 3 2 + 10 3 + 3 2 − 10 3
9
9
b) 47
c) 48
d) 49
e) 51
11. (Unirio) Numa população de bactérias, há P(t) =
10 9 ⋅ 43⋅t bactérias no instante t medido em horas
(ou fração na hora). Sabendo-se que inicialmente
existem 10 9 bactérias, quantos minutos são necessários para que se tenha o dobro da população
inicial?
16. (Fuvest) A diferença entre dois números inteiros positivos
é 10. Ao multiplicar um pelo outro, um estudante cometeu
um engano, tendo diminuído em 4 o algarismo das dezenas
do produto. Para conferir seus cálculos, dividiu o resultado
obtido pelo menor dos fatores, obtendo 39 como quociente
e 22 como resto. Determine os dois números.
17. (Fuvest)
a) 20
a) Quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1 000?
b) 12
b) Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e
1 000?
c) 30
d) 15
e) 10
12. Sabendo que: 1989a = 13 e 1989 b = 17. Calcule
 1− a −b 


18. (Unesp) Uma concessionária vendeu no mês de outubro
n carros do tipo A e m carros do tipo B, totalizando 216
carros. Sabendo-se que o número de carros vendidos de
cada tipo foi maior do que 20, que foram vendidos menos
carros do tipo A do que do tipo B, isto é, n < m, e que MDC
(n, m) = 18, os valores de n e m são, respectivamente:
a) 18, 198
117  2(1−b) 
117
13. (UFMG) Sabe-se que os meses de janeiro, março, maio,
julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias. O dia 31
de março de um certo ano ocorreu numa quarta-feira.
Então, 15 de outubro do mesmo ano foi:
a) quinta-feira.
b) 36, 180
c) 90, 126
d) 126, 90
e) 162, 54
b) terça-feira.
19. (UERJ) Observe que, na tabela abaixo, só há números
primos maiores que 3 na primeira e quinta colunas.
c) quarta-feira.
d) sexta-feira.
14. (UFMG) Seja N o menor número inteiro pelo qual
se deve multiplicar 2 520 para que o resultado seja o
quadrado de um número natural. Então, a soma dos
algarismos de N é:
EM_V_MAT_002
a) 9
b) 7
c) 8
a) Se p é primo e maior que 3, demonstre que p2 – 1 é
múltiplo de 12.
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15
b) Retirando-se aleatoriamente, da tabela, dois números
naturais distintos, menores que 37, determine a probabilidade de ambos serem primos maiores que 3.
20. (UERJ) Analise a expressão abaixo, na qual n é um
número natural.
N = 10n – n
a) Se n é um número par, então N também é um número par.
Justifique esta afirmativa.
b) Determine o valor da soma dos algarismos de N
quando n = 92.
21. (UFSCar) Considere as seguintes informações:
• o máximo divisor comum entre dois números também é um divisor da diferença entre esses números.
• se o máximo divisor comum entre dois números a
e b é igual a 1, mdc(a,b) = 1, o mínimo múltiplo
comum desses números será igual ao seu produto,
mmc(a,b) = ab.
a) Prove que o máximo divisor comum entre dois números consecutivos é igual a 1.
b) Determine dois números consecutivos, sabendo que
são positivos e o mínimo múltiplo comum entre eles é
igual a 156.
22. (Fuvest) Um número racional r tem representação decimal da forma r = a1, a2, a3 onde 1 ≤ a1 ≤ 9, 0 ≤ a2 ≤ 9,
0 ≤ a3 ≤ 9. Supondo-se que:
x
0 0 1 2 4 9 5 3 3 1 8 6 2 2 ←← número
na base10
x
0 * # ω ⊗♣ ♠ ←← número
na base b
Determine o menor valor aceitável para b.
25. (UFRJ) n e m são números naturais, n = 1000! +18 e
m = 50! +37.
a) Calcule o resto da divisão de n por 18.
b) m é um número primo? Justifique sua resposta.
26. (Unicamp) Um determinado ano da última década do
século XX é representado, na base 10, pelo número abba
e um outro, da primeira década do século XXI, é representado, também na base 10, pelo número cddc.
a) Escreva esses dois números.
b) A que século pertencerá o ano representado pela
soma abba + cddc ?
27. (Unicamp) O teorema fundamental da aritmética garante que todo número natural n > 1 pode ser escrito
como um produto de números primos. Além disso, se
n = p1t 1 p2t 2 ... prt r, onde p1, p2, ... , pr são números primos
distintos, então o número de divisores positivos de n é
d(n) = (t1 + 1) ⋅ (t2 + 1) ⋅ ... ⋅ (tr + 1).
a) Calcule d(168), isto é, o número de divisores positivos
de 168.
b) Encontre o menor número natural que tem exatamente 15 divisores positivos.
• a parte inteira de r é o quádruplo de a3;
• a1 , a2 , a3 estão em progressão aritmética;
• a2 é divisível por 3.
Então a3 vale:
a) 1
28. (Unicamp) Sejam a e b dois números inteiros positivos tais que MDC (a, b) = 5 e o MMC (a, b)
= 105.
b) 3
a) Qual é o valor de b se a = 35?
c) 4
b) Encontre todos os valores possíveis de (a, b).
e) 9
23. (UFRJ) Prove que, se o quadrado de um número natural
n é par, então o próprio número n tem que ser, obrigatoriamente, par. (isto é, n ∈ N, n2 par ⇒ n par)
16
24. (UFRJ) Um programador precisa criar um sistema que
possa representar, utilizando apenas sete dígitos, todos
os números naturais que usam até 14 dígitos na base 10.
Sua ideia é substituir o sistema de numeração de base 10
por um sistema de base b (ele tem como criar símbolos
para os algarismo de 0 a b −1). Exemplo:
29. (UFF) Com o desenvolvimento da tecnologia, novos dispositivos eletrônicos vêm substituindo velhos tabuleiros ou
mesa de jogos. Um desses dispositivos conhecido como
“dado eletrônico” é um circuito elétrico que, de forma lógica,
executa o seguinte procedimento: partindo de um número
natural N, transforma-o em um número natural R que corresponde ao resto da divisão de N por sete; a seguir, apresenta
no visor o número R como sendo o número sorteado. Ao
apertar o botão do “dado eletrônico”, uma pessoa gerou um
pulso correspondente ao número natural N formado por
2002 algarismos, todos iguais a 1. Assim sendo, o número
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EM_V_MAT_002
d) 6
R que aparecerá no visor é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 4
EM_V_MAT_002
e) 5
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17
14. B
15. Resposta pessoal.
16. (10a +b) ⋅ (10c +d) = (10b +a) ⋅ (10d +c)
1. 27
17. D
2. C
18. A
3. E
19. A
4. C
20. D
5. D
21. E
6.
a) a = 27, b = −8, c = 1/9, d = −1/8 b) b < d < c < a
7.
22. B
23. C
C
8. A
10.
3
11. C
12. D
13. C
18
3
1. C
2. A
3. E
4. C
5. A
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EM_V_MAT_002
9. B
6. C
7.
a) 15
b) (5, 105); (15, 35); (35, 15) e (105, 5)
B
29. E
8.
a) 6
b) 345
9. A
10. 2
11. E
12. 3
13. D
14. B
15. A
16. 31 e 41
17.
a) 100
b) 140
18. C
19.
a) Resposta pessoal.
b) 2/35
20.
a) 10n é par e n é par, então N = 10n − n é par
b) 818
21.
a) Resposta pessoal.
b) 12 e 13
22. E
23. Resposta pessoal.
24. 100
25.
a) 0
b) Não, pois n = 37 ⋅ (50 ⋅ 49 ⋅ ... ⋅ 38 ⋅ 36 ⋅ 35 ⋅ ...
⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + 1)
26.
a) 1991 e 2002
b) XL
EM_V_MAT_002
27.
a) 16
b) 144
28.
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19
EM_V_MAT_002
20
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Função
Exponencial
3)A função f(x) = ax, com 0 < a ≠ 1 é injetora.
f(x1) = f(x2)
O estudo das funções exponenciais, apesar de
ser posterior ao dos logaritmos, está diretamente
relacionado a ele. Na verdade ambos possuem uma
característica importante que motivou o seu desenvolvimento no século XVII, que é a possibilidade
de simplificar cálculos matemáticos transformando
multiplicações e divisões em adições e subtrações.
As funções exponenciais aparecem em diversas aplicações científicas e profissionais, como por
exemplo, o montante de um capital aplicado a juros
compostos fixos e a desintegração radioativa.
Essa propriedade respalda a solução das equações exponenciais.
4)A função f(x) = ax, com 0 < a ≠ 1 é ilimitada
superiormente e a sua imagem é o conjunto
dos números reais positivos (R+*).
Gráfico
O gráfico da função exponencial f(x) = ax, com 0
< a ≠ 1, tem as seguintes características:
•• está todo acima do eixo Ox;
•• corta o eixo Oy no ponto de ordenada 1;
Função exponencial
•• é crescente para a > 1 e decrescente para
0 < a < 1;
Seja a R, tal que 0 < a 1, a função exponencial
de base a é a função f: R R tal que f(x) = a x
•• o eixo x é assíntota do gráfico.
``
Exemplo:
f(x) = 3x, f(x) = (1/2)x e f(x) = ( 5 )X
Propriedades
É interessante observar que o crescimento exponencial (a > 1) supera o de qualquer polinômio.
Os gráficos da função exponencial estão exemplificados abaixo:
1.º caso: a > 1 (função crescente)
y f(x) = ax (a>1)
1)Como f(0) = a0 = 1, o par ordenado (0, 1) pertence ao gráfico da função exponencial.
6
2)Quando 0 < a < 1, a função f(x) = ax é decrescente. Já quando a > 1, a função f(x) =
ax é crescente.
4
2
0 < a < 1:
x1 < x2
f(x1) > f(x2)
a > 1:
x1 < x2
EM_V_MAT_006
x1 = x 2
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
f(x1) < f(x2)
Essa propriedade tem aplicação na resolução
das inequações exponenciais.
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1
2.º caso: 0 < a < 1 (função decrescente)
y
(4) y = (1/2)x
(2) y = (1/3)x
(3) y = (1/4)x
f(x) = ax (0<a<1)
6
–3
–2
–1
(4)
(5)
(6)
y
4
6
2
4
0
1
2
3
2
x
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
Uma característica peculiar dos gráficos das
funções exponenciais f(x) = ax, com a > 1, e g(x) =
(1/a)x, onde consequentemente 0 < 1/a < 1, é que
eles são simétricos em relação ao eixo y, pois f(−x)
= g(x). Isso está exemplificado abaixo para f(x) = 2x
e g(x) = (1/2)x.
y
Seja f: R R, f(x) = b . ax uma função do tipo
exponencial e x1, x2, ..., xn uma progressão aritmética de razão r, então f(x1), f(x2), ... , f(xn) formam
uma progressão geométrica de razão ar.
6
4
1
y=
2
–3
y = 2x
2
–2
–1
0
1
2
3
x
Os gráficos seguintes retratam as mudanças
nos gráficos quando varia o parâmetro a.
(1) y = 2x
(2) y = 3x
(3) y = 4x
(2)
(3)
(1)
y
Equações exponenciais
Equações exponenciais são equações cuja incógnita encontra-se no expoente.
Nesse módulo, vamos estudar as equações
que podem ser resolvidas reduzindo os dois membros a uma base comum, o que possibilita igualar
os expoentes em virtude da injetividade da função
exponencial.
Sendo 0 < a 1, então:
ax = an
x=n
–3
2
–2
–1
4
Serão apresentados exemplos com as variações
mais comuns desse tipo de problema.
2
Exemplos de equações
0
1
2
3
x
Para a resolução dessas equações basta adotar
o procedimento acima, ou seja, reduzir ambos os
membros a uma base comum.
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EM_V_MAT_006
6
1)3x =243
3x=35
1
32
5
x= –
3
2)8x =
x=5
(23)x=2–5
4
x
3
3)( 3 )x = 9
34 =3
9)4x + 6x=2 . 9x (: 9x)
23x = 2–5
2
3
3x = – 5
x
2
=
4
3
x=
8
3
No próximo exemplo é necessário observar que,
para todo a 0, tem-se a0 = 1.
2
2
4)52x +3x–2 =1 52x +3x–2 =50 2x2+3x – 2=0
x = –2 x= 1
2
23x–1 . (22 )2x+3 = (23 )3–x
ou
5)23x–1 . 42x+3 = 83–x
23x–1. 24x+6 = 29–3x
27x+5 =29–3x
7x + 5 = 9 – 3x
10x = 4
x = 0,4
5x–2 . (1–52+53) = 505
5x–2 = 51
x – 2=1
101 . 5x–2 = 505
x=3
No caso abaixo, devemos fazer a substituição
y=2x e reduzir a equação a uma equação de 2.º
grau.
7)4x + 4 = 5 . 2x (2x)2 – 5.2x +4 = 0
y = 2x
y2 – 5y + 4 = 0
2x = 1
2x = 20
x=0
2x = 4
2x = 22
x=2
y = 1 ou y = 4
Agora a base também é uma variável. A base da
função exponencial deve ser maior que 0 e diferente
de 1. Nesse caso, podemos apelar para a injetividade
exponencial e igualar os expoentes. Entretanto, é
preciso considerar a possibilidade da base ser 0 ou
1, que devem ser analisados em separado.
2
8)xx – 5x+6 = 1
•• x=0
06=1 (falso)
•• x=1
12=1 (verdadeiro)
2–5x+6
•• 0<x 1: xx
=1
2–5x+6
xx
= x0
x – 5x+6=0
2
x=2 ou x=3
EM_V_MAT_006
S= 1, 2, 3
Esse é um caso especial, em que temos várias
bases diferentes, mas podemos reduzir a uma base
comum.
x
=1
x=0
2
+ 3
– 2=0
x
2
y=
y2 + y – 2 = 0
3
y=1
ou
y= – 2 (não convém)
2
3
2
3
x
+ 6
9
– 2=0
x
Inequações exponenciais
A resolução de inequações exponenciais é baseada na monotonicidade da função exponencial. Os
dois casos estão apresentados abaixo:
Nesse caso, devemos colocar em evidência 5
elevado ao menor expoente.
6)5x–2 – 5x + 5x+1 = 505
5x–2 – 52 . 5x–2 +53 . 5x–2 = 505
2x
x
4
9
a > 1: ax >an x > n
0 < a < 1: ax >an x < n
As expressões acima refletem o fato da exponencial ser crescente para bases maiores que 1 e
decrescente para bases entre 0 e 1. Assim, a relação
entre os expoentes é a mesma que entre as exponenciais para bases maiores que 1 e é invertida para
bases entre 0 e 1.
A seguir serão apresentados exemplos de resolução de inequações exponenciais.
Exemplos de inequações
A resolução das inequações a seguir é feita
reduzindo ambos os membros a uma base comum e
aplicando a propriedade das consequências imediatas, que consiste em manter o sinal da desigualdade
entre os expoentes quando a base for maior que 1 e
invertê-lo quando a base estiver entre 0 e 1.
1)3x >243 3x >35 x>5
x
125
2) 3
5
27
x –3
3
5
x
3)(27x–2)x+1 (9x+1)x–3
5
3
3
3
5
x
3
5
–3
33(x–2) (x+1) 32(x+1)(x–3)
3 (x–2)(x+1) 2 (x+1)(x–3)
x2+x 0
x –1
ou x 0
No caso a seguir, devemos colocar em evidência
3 elevado ao menor expoente.
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3
``
4)32x+1 – 9x – 32x–1 – 9x–1 42
32x+1 – 32x – 32x–1 – 32x–2 42
2x–2
–3 .3
2
2x–2
–3.3
2x–2
32x–2 . (33 – 32 – 3 – 1) 42
1) 2x+2 =3
–3
2x–2
42
14.32x–2 42
3
2
Nesse caso, devemos fazer a substituição y=3x
e reduzir a inequação a uma inequação de 2.º grau.
5)32x – 3x+1 >3x – 3 32x – 3 . 3x >3x – 3
32x–2 3
2x – 2 1
x
y2– 4y+3>0
3x<1
x<0
3 >3
x>1
x
y<1 ou y>3
S= x R x<0 ou x >1
No próximo exemplo, a base também é uma variável, sendo preciso analisar em separado os casos
de base 0 e 1.
2
6)Resolva em R+, xx – 5x+7 x.
I) x = 0 07 0 (verdadeiro)
II) x = 1 13 1 (verdadeiro)
III) 0 < x < 1 x2 – 5x +7 1
x2 – 5x +6 0 x 2 ou x 3
S1 = ]0, 1[
IV) x > 1 x2 – 5x +7 1 x2 – 5x +6 0
2 x 3 S1 = [2, 3]
S = [0, 1] [2, 3]
Equações exponenciais
A definição de logaritmo como inversa da função
exponencial permite resolver de imediato equações
exponenciais.
ax=b x = logab
Cabe observar que se deve colocar a equação
exponencial na forma ax = b .
Uma outra maneira de se resolver a equação
exponencial é aplicar o logaritmo em ambos os membros da equação exponencial.
logcb
ax = b logc ax = logc b x =
=logab
logca
Nesse caso, não é necessário sempre colocar a
equação na forma ax = b, podendo alternativamente
aplicar primeiro o logaritmo numa base conveniente
e posteriormente determinar a variável.
4
=3
x+2 = log2 3
x = log2 3 – 2
3x+4
2X
1.a sol.: 7 =33X . 34 7 3X = 7 . 34
7
3
72 x
4
x = log 567
33 =7 . 3
2.a sol.: 72x –1 = 33x+4 log 72x –1 = log 33x +4
2X
(2x–1) . log 7 = (3x + 4) . log 3
2x . log 7 – 3x log 3 = 4 . log 3 + log 7
32x – 4 . 3x +3 > 0
y=3x
2) 7
2x –1
x(2 . log 7–3 . log 3) = 4 . log 3+ log 7
x = log 7+4 log 3
2 log 7– 3 log
Inequações exponenciais
Da mesma forma que as equações exponenciais,
as inequações podem ser resolvidas pela aplicação
de logaritmos, considerando que a função logarítmica
é crescente quando a base é maior que 1 e decrescente quando a base está entre 0 e 1.
ax > b
ax < b
x > loga b, se a>1
x < loga b, se 0< a<1
x < loga b, se a>1
x > loga b, se 0< a<1
Caso seja conveniente, pode ser adotada outra
base para o logaritmo em vez da base a.
log29 – 2
1)23x+2 > 9 3x+2>log2 9 x>
3
1 x
5 x log 5 x – log35
2)
3
3)2x–2 > 32x–1
x – 2 >(2x – 1) log23
x(1 – 2 log23) > 2 – log23
x<
2 – log2 3
1 – 2log2 3
Note que 1 – 2 log23<0.
1. (UERJ) Uma empresa acompanha a produção diária de
um funcionário recém-admitido, utilizando uma função
f(d), cujo valor corresponde ao número mínimo de peças
que a empresa espera que ele produza em cada dia (d),
a partir da data de sua admissão. Considere o gráfico
auxiliar abaixo, que representa a função y = ex
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EM_V_MAT_006
3 .3
3
Exemplos:
d) gráfico 2 e gráfico 4.
y=ex
e) gráfico 3 e gráfico 4.
2,72
``
Solução: A
A função que representa a população da cidade A é
f(n) = p0 ⋅ (1,03)n , onde p0 é a população inicial da
cidade A.
0,37
0,13
–2
–1
x
1
Utilizando f(d) = 100 –100 . e−0,2d e o gráfico acima,
a empresa pode prever que o funcionário alcançará a
produção de 87 peças num mesmo dia, quando d for
igual a:
a) 5
Logo, a população da cidade A cresce exponencialmente,
o que aparece no gráfico 2 e a população da cidade B
cresce linearmente, o que aparece no gráfico 1.
3. (Fuvest) Das alternativas abaixo, a que melhor corresponde ao gráfico da função f(x) = 1 – 2–|x| é:
a)
b) 10
``
A função que representa a população da cidade B é
g(n) = q0 + 3000⋅n, onde q0 é a população inicial da
cidade B.
c) 15
y
d) 20
0,5
Solução: B
f(d) = 100 −100 . e−0,2d = 87
e−0,2.d = 0,13
–3
–2
–1
No gráfico dado, temos 0,13 = e−2, então
e−0,2⋅d = e−2 ⇔
−0,2d = −2
1
2
3
x
0,5
d = 10
2. (UFJF) A população da cidade A cresce 3% ao ano e a
população da cidade B aumenta 3 000 habitantes por
ano. Dos esboços de gráficos abaixo, aqueles que melhor representam a população da cidade A em função do
tempo e a população da cidade B em função do tempo,
respectivamente, são:
População
0
b)
y
1
População
–1,5 –1 –0,5
Tempo
gráfico 1
0
x
0,5 1 1,5 2 2,5
Tempo
gráfico 2
c)
População
População
y
1
Tempo
gráfico 3
Tempo
gráfico 4
a) gráfico 2 e gráfico 1.
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
1
EM_V_MAT_006
b) gráfico 1 e gráfico 2.
c) gráfico 3 e gráfico 1.
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5
d)
1
O gráfico de f(x) = 1–  
2
y
x
é:
y
1
1
–3
–2
0
–1
1
2
3
x
–3
1
–2
0
–1
1
2
3
x
1
e)
4.
y
1
–3
–2
y
Depois de se administrar determinado medicamento a
um grupo de indivíduos, verificou-se que a concentração
(y) de certa substância em seus organismos alteravase em função do tempo decorrido (t), de acordo com
a expressão y = y0 . 2–0,5.t em que y0 é a concentração
inicial e t é o tempo em hora.
Nessas circunstâncias, pode-se afirmar que a
concentração da substância tornou-se a quarta parte
da concentração inicial após:
a) 1/4 de hora.
1
b) meia hora.
0
–1
1
2
3
x
1
``
(UFF) A automedicação é considerada um risco, pois
a utilização desnecessária ou equivocada de um medicamento pode comprometer a saúde do usuário: substâncias ingeridas difundem-se pelos líquidos e tecidos
do corpo, exercendo efeito benéfico ou maléfico.
Solução: C
x
1
O gráfico de g(x) =   x é:
2
c) 1 hora.
–3
–2
–1
0
1
2
3
d) 2 horas.
x
e) 4 horas.
1
``
y
Solução: E
y0
–0,5.t
2− 0,5⋅t =2−2 0,5.t = –2 4 horas
4 = y0 . 2
(Fatec) Seja m o menor número real que é solução da
–x
. Então, m é um número:
equação 5x2–2 : 25= 1
125
a) par.
1
b) primo
Com base no gráfico anterior, podemos traçar o gráfico
x
1
de h(x) =  
2
5.
c) não-real.
–3
–2
–1
0
1
2
3
d) irracional.
x
e) divisível por 3.
1
``
Solução: C
–x
1
5x2–2 . 5–2 = (5–3)–x
125
2
5x –4 = 53x x2–4 = 3x x2 – 3x – 4 = 0
x = –1 ou x = 4
6
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EM_V_MAT_006
5x2–2 : 25 =
O menor número real que é solução da equação é
m = – 1, logo
m=
6.
m = 32t – 3t+1+ 108 = 0
y = 3t
–1 = i que não é real.
3t = 9 = 32
(UECE) Se x1 e x2 são as raízes da equação
2x2 . 5x2= 0,001.(103–x)2, então + é:
b) 10
9.
c) 13
d) 34
2 . 5 = 0,001.(10
10x2= 103 – 2X
)
3–x 2
x2
(2.5) = 10 10
x2 = 3–2x
–3.
c) 41
6 – 2X
x2 + 2x – 3 = 0
d) 2,54
x = –3 ou x =1
7.
= (–3)2 + 12 = 10
(Fatec) Se x é um número real tal que 2–x . 4x < 8x+1,
então:
a) – 2 < x < 2
b) x = 1
c) x = 0
e) x > −3/2
x.log 10 = log(2 . 3 . 10)
2
x (1 – log2) = log2 + log3 + 1
log2 + log3 + 1 0,30 + 0,48 + 1 = 1,78 ≅ 2,54
=
x=
0,70
1 – 0,30
1 – log2
5x = 60
log 5x = log60
2–x .22x < 23x+3
3
2x < 23x+3 x < 3x+3 2x >–3 x > –
2
(Unirio) Num laboratório é realizada uma experiência
com um material volátil, cuja velocidade de volatilização
é medida pela sua massa, em gramas, que decresce em
função do tempo t, em horas, de acordo com a fórmula
m = –32t – 3t+1+ 108. Assim sendo, o tempo máximo
de que os cientistas dispõem para utilizar esse material
antes que ele se volatilize totalmente é:
b) superior a 15 minutos e inferior a 30 minutos.
c) superior a 30 minutos e inferior a 60 minutos.
d) superior a 60 minutos e inferior a 90 minutos.
e) superior a 90 minutos e inferior a 120 minutos.
EM_V_MAT_006
Solução: D
2–x . (22)x < (23)x+1
a) inferior a 15 minutos.
``
``
Solução: E
2x . 4x < 8x+1
8.
e) 2,67
10. (UNIRIO) Uma indústria do Rio de Janeiro libera poluentes na Baía de Guanabara. Foi feito um estudo para
controlar essa poluição ambiental, cujos resultados são
a seguir relatados:
d) x < 3/2
``
(FGV) Adotando os valores log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48,
a raiz da equação 5x = 60 vale aproximadamente:
b) 2,28
x2
+
t = 2 horas = 120 minutos.
a) 2,15
Solução: B
x2
y=9
y = –12 (não convém)
Como aos 120 minutos o material se volatilizou totalmente, o tempo máximo de utilização é um valor bem
próximo a 120 minutos, porém, inferior a 120.
a) 5
``
–y2 – 3y + 108 = 0
–32t – 3.3t +108 = 0
Solução: E
Do ponto de vista da comissão que efetuou o estudo,
essa indústria deveria reduzir sua liberação de rejeitos
até o nível onde se encontra P, admitindo-se que o custo
total ideal é o resultado da adição do custo de poluição y
= 2x −1, ao custo de controle da poluição y = 6 . (1/2)x.
Para que se consiga o custo ideal, a quantidade de
poluentes emitidos, em kg, deve ser aproximadamente:
(Considere log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4)
a) 1 333
b) 2 333
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7
c) 3 333
d) 9
d) 4 333
e) 10
e) 5333
``
Solução: A
Custo da poluição = custo do controle da poluição
2x −1 = 6 ⋅ (1/2)x
a = 2x
4. (UENF) A inflação anual de um país decresceu no período
de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado por
uma função exponencial do tipo f(x) = a . bx, conforme
o gráfico a seguir.
22x − 2x − 6 = 0
a2 − a − 6 = 0
a = −2 ou a = 3
2x = 3 ⇔ x log 2 = log 3
log 3 0,4 4
4
= log 2 = 0,3 = ton = .1 000kg =1 333kg
3
3
a>0
Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano
de declínio.
5. (FGV) O gerente de produção de uma indústria construiu
a tabela abaixo, relacionando a produção dos operários
com sua experiência.
a) Ache f (0) e f (1).
b) Resolva f (x) = 0.
2. (UERJ) Pelos programas de controle de tuberculose,
sabe-se que o risco de infecção R depende do tempo
t, em anos, do seguinte modo: R = Ro ⋅ e−kt , em que Ro
é o risco de infecção no início da contagem do tempo t
e k é o coeficiente de declínio. O risco de infecção atual
em Salvador foi estimado em 2%. Suponha que, com a
implantação de um programa nesta cidade, fosse obtida
uma redução no risco de 10% ao ano, isto é, k = 10%.
Use a tabela abaixo para os cálculos necessários:
ex
8,2
9,0
10,0
11,0
12,2
x
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
O tempo, em anos, para que o risco de infecção se torne
igual a 0,2% , é de:
a) 21
b) 22
c) 23
d) 24
3. (Unesp) Num período prolongado de seca, a variação
da quantidade de água de certo reservatório é dada
pela função q(t) = q0 . 2(–0,1).t sendo q0 a quantidade
inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de
água no reservatório após t meses. Em quantos meses a
quantidade de água no reservatório se reduzirá à metade
do que era no início?
8
Experiência (meses)
Produção (unidades por hora
0
6
200
350
Acredita o gerente que a produção Q se relaciona à
experiência t, através da função Q(t) = 500 - A . e-k.t,
sendo e = 2,72 e k um número real, positivo.
a) Considerando que as projeções do gerente de produção dessa indústria estejam corretas, quantos meses de experiência serão necessários para que os
operários possam produzir 425 unidades por hora?
b) Desse modo, qual será a máxima produção possível
dos operários dessa empresa?
6. (UFF) Em um meio de cultura especial, a quantidade de
bactérias, em bilhões, é dada pela função Q definida,
para t ≥ 0, por Q(t) = k ⋅ 5kt, sendo t o tempo, em minuto,
e k uma constante.
A quantidade de bactérias, cuja contagem inicia-se com
o cálculo de Q(0), torna-se, no quarto minuto, igual a
25 Q(0).
Assinale a opção que indica quantos bilhões de
bactérias estão presentes nesse meio de cultura no
oitavo minuto.
a) 12,5
b) 25
c) 312,5
a) 5
d) 625
b) 7
e) 1 000
c) 8
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EM_V_MAT_006
1. (PUC-Rio) Dada a função f(x) = 5 x (5 x − 1)
7.
(UFF) Após acionado o “flash” de uma câmera fotográfica, a bateria começa imediatamente a recarregar
o capacitor que armazena uma quantidade de carga
elétrica (medida em Coulomb) dada por: Q = Q(t) =
Qo⋅(1 − e– ⋅t) sendo:
•• Q(t) a carga elétrica armazenada até o instante t,
medido em segundo;
•• Qo a carga máxima; e
•• λ uma constante.
Considerando λ = ½ e n 10 = 2,3 determine:
a) a expressão de t em função de Q.
b) o tempo necessário para que o capacitor recarregue 90% da carga máxima.
8. (UFJF) A figura abaixo é um esboço do gráfico da função
y = 2x no plano cartesiano.
Observando-se a figura, pode-se concluir que, em
função de a, os valores de b e c são, respectivamente:
a)
a
e 4a
2
b) a −1 e a + 2
c) 2a e
a
4
d) a + 1 e a − 2
11. (UFRGS) Analisando os gráficos das funções reais de
3
variável real definidas por f ( x ) =  
2
x −1
e g (x) = x,
representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, verificamos que todas as raízes da equação
f(x) = g(x) pertencem ao intervalo:
a) [0, 3]
1
Com base nesse gráfico, é correto afirmar que:
a) y0 = y2 − y1
c) [1, 5)
b) y1 = y3 − y2
3
d)  , 6]
c) y1 = y3 + y0
e) (2, 6)
2
d) y2 = y1 ⋅ y0
12. (UFSC) Assinale a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) correta(s).
e) y3 = y1 ⋅ y2
9. (UFJF) A função c(t)=200 . 3k.t, com k = 1/12, dá o
crescimento do número C, de bactérias, no instante t
em horas. O tempo necessário, em horas, para que haja,
nessa cultura, 1 800 bactérias, está no intervalo:
a) [0, 4]
(01) Se uma loja vende um artigo à vista por R$ 54,00,
ou por R$20,00 de entrada e mais dois pagamentos mensais de R$20,00, então a loja está cobrando
mais do que 10% ao mês sobre o saldo que tem a
receber.
(02) Se numa área urbana o número de pessoas atingidas por certa doença (não controlada) aumenta
b) [4, 12]
t
c) [12, 36]
3
50% a cada mês, então a função n (t ) = N ⋅   for-
d) [36, 72]
nece o número (aproximado) de pessoas afetadas
pela doença, t meses após o instante em que havia
N pessoas doentes nessa área.
2
e) [72, 108]
10. (UFRN) No plano cartesiano abaixo, estão representados o gráfico da função y = 2x , os números a, b, c e
suas imagens.
EM_V_MAT_006
b)  , 4]
2
(04) Se o produto P é vendido por R$20,00 pela loja A e
por R$40,00 pela loja B, então pode-se dizer que na
loja B o produto P está com o preço 100% acima do
preço praticado pela loja A, e que a loja A está praticando um preço 100% menor do que o praticado
pela loja B.
(08)Admita que a função n(t) = N . 2t forneça o número
aproximado de pessoas atingidas por uma epide-
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9
mia (não controlada) onde t é o número de meses
decorridos a partir do momento em que N pessoas
são acometidas pela doença. Então é correto afirmar
que, num aglomerado urbano com 10 000 habitantes, não ocorrendo aumento populacional, oito meses após existirem 50 pessoas doentes é provável
que toda a população estará doente, caso nada seja
feito para debelar o mal.
)
13. (Unirio) Você deixou sua conta negativa de R$100,00 em
um banco que cobrava juros de 10% ao mês no cheque
especial. Um tempo depois, você recebeu um extrato e
observou que sua dívida havia duplicado. Sabe-se que a
expressão que determina a dívida (em reais) em relação
ao tempo t (em meses) é dada por: X(t) = 100 . (1,10)t.
Após quantos meses a sua dívida duplicou?
 1
> 
 4
m +1
.
17. (UFMG) Suponha que a equação
8ax + bx + c = 43 x + 5 ⋅ 25 x − x + 8 seja válida para todo número
real x, em que a, b e c são números reais. Então, a
soma a + b + c é igual a:
2
a)
b)
2
5
3
17
3
c) 28
3
d) 12
18. (UFSC) O valor de x, que satisfaz a equação
22 x +1 − 3 ⋅ 2x + 2 = 32 , é:
(( ) Dados f(x) = 2x – 1 e g(x) = 3x + 2, o valor de
f(g(1)) é 9.
b) log2 1,10
c) log 2
(( ) O gráfico da função f(x) = 2x – 1 não intercepta o
terceiro quadrante.
d) log 1,10
e) log 2,10
14. (PUC-Rio) Uma das soluções da equação 10
é:
2
x −3
=
1
100
(( ) O conjunto solução da equação
{−1, 2}.
 1
 
7
b) x = 0
log3 ( x 2 − x ) = log3 2 é
(( ) O conjunto solução da inequação exponencial
a) x = 1
x 2 + 5x + 1
1
 1
≥   é {x ∈ R  −5 ≤ x ≤ 0}.
 7
20. (M. Campos) Resolvendo as duas equações exponenciais 4x −1 = 5 8 e 32 y + 3 = 52 y + 3 , obtém-se uma raiz
para cada equação. Nessas equações valor de x − y
corresponde a:
x= 2
d) x = −2
e) x = 3
15. (UFJF) As raízes da equação 2x + 1/ 2x = 17 / 4 são:
a) iguais em módulo.
a) 2,8
b) – 0,2
c) 0,8
b) ambas negativas.
d) 1
c) ambas positivas.
21. (EsPCEx) A soma e o produto das raízes da equação
d) quaisquer números reais.
 3
9.  
 5
e) nulas.
x2 − x − 9
=
243
são, respectivamente:
125
a) 1 e –12
16. (UFF)
a) Ao resolver uma questão, José apresentou o seguinte raciocínio:
2
3
 1
 1
“Como 1 > 1 tem-se   >   e conclui-se que
 2
 2
4 8
2 > 3.”
Identifique o erro que José cometeu em seu raciocínio, levando-o a essa conclusão absurda.
b) Sem cometer o mesmo erro que José, determine o
menor número m, inteiro e positivo, que satisfaz à
10
m
19. (UFSC) Marque a(s) proposição(ões) correta(s).
a) log1,10 2
c)
4
b) 7 e 12
c) –2 e –8
d) –1 e 12
e) 7 e 10
22. (AFA) O conjunto-solução da inequação
(0, 5)x ⋅( x − 2 ) < (0, 25)x −1,5 é:
a) {x R l x <1}
b) {x R l x >3}
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EM_V_MAT_006
Soma (
 1
inequação:  
 2
c) {x R l 1 < x <3}
d) {x R l x < 1 ou x > 3}
1. (UERJ) Segundo a lei do resfriamento de Newton, a
temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja
temperatura é T0 obedece à seguinte relação:
T=T0+K e-ct
Nessa relação, T é medida na escala Celsius, t é o
tempo medido em horas, a partir do instante em que o
corpo foi colocado no ambiente, e k e c são constantes
a serem determinadas. Considere uma xícara contendo
café, inicialmente a 100ºC, colocada numa sala de
temperatura 20ºC. Vinte minutos depois, a temperatura
do café passa a ser de 40ºC.
a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a
xícara ter sido colocada na sala.
b) Considerando ln 2 = 0,7 e ln 3 = 1,1, estabeleça
o tempo aproximado em que, depois de a xícara
ter sido colocada na sala, a temperatura do café se
reduziu à metade.
2. (UENF) Em um município, após uma pesquisa de
opinião, constatou-se que o número de eleitores dos
candidatos A e B variava em função do tempo t, em
anos, de acordo com as seguintes funções:
A(t) = 2.105(1,60)t
B(t) = 4.105(0,4)t
Considere as estimativas corretas e que t = 0 refere-se
ao dia 1.° de janeiro de 2000.
a) Calcule o número de eleitores dos candidatos A e B
em 1.° de janeiro de 2000.
b) Determine em quantos meses os candidatos terão
o mesmo número de eleitores.
b) Quando se espera que a venda diária seja reduzida
a 6 400 unidades?
Considere que log 2 = 3/10, sendo log 2 o logaritmo
de 2 na base 10.
4. (FGV) Uma empresa estima que após completar o programa de treinamento básico, um novo vendedor, sem
experiência anterior em vendas, será capaz de vender
V(t) reais em mercadorias por hora de trabalho, após
t meses do início das atividades na empresa. Sendo
V(t)=A - b . 3-k.t, com A, B e k constantes obtidas experimentalmente, pede-se:
a) determinar as constantes A, B e k, sabendo que o
gráfico da função V é
b) admitindo-se que um novo programa de treinamento básico introduzido na empresa modifique a função V para V(t) = 55 – 24 . 3-t, determinar t para V(t)
= 50. Adote nos cálculos log2 = 0,3 e log3 = 0,5.
5. (UFC) Sejam f: R → R e g: R → R, sendo R o conjunto
dos números reais, funções tais que:
I) f é uma função par e g é uma função ímpar;
II) f(x) + g(x) = 2x.
Determine f(log23) – g(2).
6. (UFSCar) Se a área do triângulo retângulo ABC, indicado na figura, é igual a 3n, conclui-se que f(n) é igual
a ______, sendo f(x) = 2x.
c) Mostre que, em 1.º de outubro de 2000, a razão
entre os números de eleitores de A e B era maior
que 1.
EM_V_MAT_006
3. (FGV) Uma certa mercadoria foi promovida por uma
substancial campanha de propaganda e, pouco antes
de encerrar a promoção, a quantidade diária de vendas
era 10 000 unidades. Imediatamente após, as vendas
diárias decresceram, tal que: V(t) = B . ek.t, sendo B o
número de unidades vendidas em um determinado dia;
V(t) a quantidade de vendas por dia, após t dias; e =
2,72 e k um número real.
Sabe-se que 10 dias após encerrar a promoção o volume
diário de vendas era de 8 000 unidades.
a) Qual o volume diário de vendas 30 dias após o encerramento da promoção?
a) 2
b) 2 2
c) 3
d) 3 2
e) 4
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11
7.
(UnB) A magnitude – M – de um terremoto é medida
pela escala Richter, criada por Charles F. Richter, em
1934. Nessa escala, a magnitude de um terremoto está
relacionada com a energia liberada por ele – E –, em
3M
descrita por um observador através do seguinte modelo
matemático h(t) = 4t – t . 20,2 . t, com t em segundos, h(t)
em metros e 0 ≤ t ≤ T. O tempo, em segundos, em que o
golfinho esteve fora da água durante esse salto foi:
joules (J), de acordo com a expressão E = E 0 ⋅10 2 ,
em que E0 é uma constante. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir, como verdadeiros (V)
ou falsos (F)
a) 1
(( ) Se a energia liberada por um terremoto for igual a
1 000 000 E0 J, então a magnitude desse terremoto
será igual a 5 na escala Richter.
d) 8
(( ) A energia liberada por um terremoto de magnitude
5 é, pelo menos, 50 vezes maior que a liberada por
um terremoto de magnitude 4.
(( ) Considerando que uma tonelada de dinamite (TNT)
9
libere 5E 0 ⋅10 2 J durante uma explosão, então um
terremoto de magnitude 8 libera mais energia que
uma explosão de 8 milhões de toneladas de TNT.
(( ) A figura abaixo ilustra corretamente, em um sistema
de coordenadas cartesianas, o gráfico da energia liberada em função da magnitude de um terremoto.
b) 2
c) 4
e) 10
10. (Unesp) Considere a função dada por
f(x) = 32x+1 + m . 3x + 1.
a) Quando m = − 4, determine os valores de x para os
quais f(x) = 0.
b) Determine todos os valores de m para os quais a
equação f(x) = m +1 não tem solução real x.
11. (Unicamp) Suponha que o preço de um automóvel tenha
uma desvalorização média de 19% ao ano sobre o preço
do ano anterior. Se F representa o preço inicial (preço de
fábrica) e p (t), o preço após t anos, pede-se:
a) a expressão para p (t);
b) o tempo mínimo necessário, em número inteiro de
anos, após a saída da fábrica, para que um automóvel venha a valer menos que 5% do valor inicial. Se
necessário, use: log 2 ≅ 0, 301 e log 3 ≅ 0, 477 .
11 480
granja pode ser descrita pela equação P (t ) =
, em
1+ 34 −t
que t é o número de dias decorridos desde a detecção
da doença, que é definido como o momento do aparecimento dos primeiros casos – t = 0 – e P(t) é a quantidade
total de frangos infectados após t dias. Com base nessas
informações, julgue os itens a seguir, como verdadeiros
(V) ou falsos (F).
(( ) A quantidade de frangos infectados no momento em
que a doença foi detectada é superior a 150.
(( ) Caso a doença não seja controlada, toda a população de frangos da granja será infectada.
(( ) 4 100 frangos serão infectados decorridos 2 +log 3 5
dias do momento da detecção da doença.
(( ) O número de frangos infectados somente no terceiro
dia é inferior a 1 200.
12
9. (Unesp) A trajetória de um salto de um golfinho nas proximidades de uma praia, do instante em que ele saiu da
água (t = 0) até o instante em que mergulhou (t = T), foi
a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t = 0) seja igual a 1 024 indivíduos
e a população após 10 anos seja a metade da população inicial.
b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial?
c) Esboce o gráfico da função F(t) para t e [0,40].
13. (Unicamp) O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por: T(t) = TA + a . 3b.t, onde T(t) é
a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t,
dado em minutos, TA é a temperatura ambiente, suposta
constante, e α e β são constantes. O referido corpo foi
colocado em um congelador com temperatura de −18ºC.
Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0ºC
após 90 minutos e chegou a −16ºC após 270 minutos.
a) Encontre os valores numéricos das constantes α e β.
b) Determine o valor de t para o qual a temperatura
o
2
do corpo no congelador é apenas   C superior
3
à temperatura ambiente.
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EM_V_MAT_006
8. (UnB) A disseminação de uma doença infecciosa em
uma determinada população de 30 000 frangos em uma
12. (Unicamp) Suponha que o número de indivíduos de
uma determinada população seja dado pela função:
F(t) = a . 2-bt, onde a variável t é dada em anos e a e b
são constantes.
19. (FGV) Os números inteiros x e y satisfazem a equação
2x + 3 + 2x +1 = 5y + 3 + 3 ⋅ 5y . Então x − y é:
a) 8
b) 5
14. (UFRN) No programa de rádio Hora Nacional, o
locutor informa:
“Atenção, senhores ouvintes. Acabamos de receber
uma notificação da defesa civil do país alertando para
a chegada de um furacão de grandes proporções
nas próximas 24 horas. Pede-se que mantenham a
calma, uma vez que os órgãos do governo já estão
tomando todas as providências cabíveis”.
Para atender às solicitações que seguem, suponha
que o número de pessoas que tenha acesso a essa
informação, quando transcorridas t horas após a
divulgação da notícia, seja dado pela expressão
f (t ) =
P
, sendo t ≥ 0, P a população do
.
1+ 9.( 3−k t )
país e k uma constante.
a) Calcule o percentual da população que tomou
conhecimento da notícia no instante de sua divulgação.
b) Calcule em quantas horas 90% da população
teve acesso à notícia, considerando que, em 1
hora após a notícia, 50% da população do país
já conhecia a informação.
15. (IME) Determine os valores de l que satisfaçam à
4
inequação, 272λ − 27λ + 27−1 > 0 , e represente, grafi9
camente, a função, y = 272 x − 4 27x + 27−1
9
3x + 3y = 36
16. (UFF) Resolva o sistema  x + y
3 = 243
17. (UFSCar) Numa progressão geométrica, o primeiro
termo é 5x e a razão é 5. Se a soma dos quatro primeiros
termos é 3 900, pode-se afirmar que
5x − 2
é igual a:
5
a) 1/25
d) 6
e) 7
20. (UFSCar) O par ordenado (x, y) solução do sistema
x+y
4 = 32
é:
 y−x
3 = 3
3
a)  5, 
 2

3
b)  5,− 
2
2
c)  3, 
 3
3
d)  1, 
 2
 1
e)  1, 
 2
21. (ITA) Dada a equação 32x + 52x – 15x = 0, podemos
afirmar que:
a) Não existe x real que a satisfaça.
b) x = log 3 5 é solução dessa equação.
c) x = log 5 3 é solução dessa equação.
d) x = log 3 15 é solução dessa equação.
e) x = 3.log 5 15 é solução dessa equação.
22. (ITA) Seja a um número real com 0 < a < 1. Então, os
valores reais de x para os quais a2x – (a + a2) . ax + a3
< 0 são:
a) a2 < x < a
b) x < 1 ou x > 2
c) 1 < x < 2
b) 1/5
d) a < x <
c) 1
a
e) 0 < x < 4
d) 5
e) 25
18. (Unicamp) Considere a equação 2x + m ⋅ 22 − x − 2m − 2 = 0 ,
onde m é um número real.
EM_V_MAT_006
c) 9
23. (ITA) Sabendo-se que 3x – 1 é fator de
12x3 – 19x2 + 8x – 1 então as soluções reais da
equação 12 . (3 3x ) – 19 . (3 2x ) + 8 . (3 x ) – 1 = 0
somam:
a) Resolva essa equação para m = 1.
a) –log 3 12
b) Encontre todos os valores de m para os quais a
equação tem uma única raiz real.
b) 1
c) –(1/3).log 3 12
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13
d) –1
e) log 3 7
24. (ITA) Seja a ∈ R com a > 1. O conjunto de todas as
2 x ⋅( 1− x )
> a x −1 é:
soluções reais da inequação a
a) ] −1 , 1[
b) ]1 , +∞[
c) ] −1/2 , 1[
d) ] −∞ , 1[
e) vazio.
25. (ITA) A soma das raízes positivas da equação
4 x − 5 ⋅ 2x + 4 = 0 vale:
2
2
a) 2
b) 5
c)
2
d) 1
e)
3
26. (UECE) Um empregado está executando a sua
tarefa com mais eficiência a cada dia. Suponha que
N = 640 . (1 − 2−0,5⋅ t ) seja o número de unidades fabricadas por dia por esse empregado, após t dias,
do início do processo de fabricação. Se, para t = t1 ,
N = 635, então t1 é igual a:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
x y = y x
onde a ≠ 1 e a > 0.
 y = ax
14
EM_V_MAT_006
27. (IME) Resolva o sistema 
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10. D
11. C
12. E, C, E, C ⇒ soma 10
1.
a) f(0) = 0 e f(1) = 20
14. A
b) x = 0
2. C
15. A
3. E
16.
4. 60%
2
a) 12 meses.
b) 499
b) m = 2
6. C
17. c
7.
18. 3

a) t = −2n  1−

b) t ≈ 4,6s.
8. E
9. C
3
1
1
a)   >   ⇒ 2 < 3, pois a exponencial de base 1/2
 2
 2
é decrescente.
5.
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13. A
Q 

Q0 
19. C, E, C, C
20. a
21. A
22. d
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15
18.
a) S = {1}
b) (−∞, 0] ∪ {1}
1.
19. b
a) 22,5ºC
20. d
b) 15 minutos.
21. a
2.
a) 200 000 e 400 000 eleitores.
b) 6 meses.
c) Razão = 2 > 1
3.
a) 5 120 unidades.
b) 20 dias.
22. c
23. a
24. c
25. c
26. c
1
a
27. x = a a −1 e y = a a −1
4.
a) A = 50, B = 30 e k = 1/2
b) 1,4
5. −5/24
6. C
7.
F, F, F, F
8. F, F, V, F
9. E
10.
a) 0 e −1
b) −12 < m ≤ 0
11.
a) p(t) = (0,81)t⋅F
b) 15 anos.
12.
a) a = 1024 e b = 1/10
b) 30 anos.
13.
a) α = 54 e β = −1/90
b) 360 minutos.
14.
a) 10%
2
1
ou λ > −
3
3
16. (2, 3) ou (3, 2)
15. λ < −
16
17. b
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