Modelo Extra-Poisson: Uma aplicação a modelagem da diversidade de
ácaros em fragmentos florestais adjacentes à cafeeiros
Anderson Castro Soares de Oliveira1 , Ademária Aparecida de Souza 2 , Marcelo Angelo Cirillo 3 ,
Ester Azevedo Silva 4 ,
INTRODUÇÃO
Dados de contagem supostamente podem ser distribuídos por uma Poisson (λ), em que λ
corresponde a uma taxa média. Caso essa taxa seja um valor relativamente pequeno, o uso de
modelos lineares clássicos para sua analise não é apropriado.
Diante dessa situação utiliza-se a metodologia de modelos lineares generalizados (Mccullagh & Nelder, 1989) no qual em síntese envolve uma transformação, na esperança condicional, que
permite de linearizar os efeitos sistemáticos, de tal forma que os valores ajustados possam variar
dentro da amplitude real das respostas.
Um fenômeno que ocorre nessa estrutura de dados é a superdispersão, definida por Hinde &
Demétrio (1998) como a variância da variável resposta excedente a variância nominal especificada
pelo modelo adotado. Para detectar este efeito, estatísticas referentes a falta de ajuste no modelo,
como po exemplo a deviance e qui-quadrado de Pearson são amplamente utlilizados. Segundo Díaz
(1996), ambas são assintoticamente distribuída por uma distribuição qui-quadrado.
As principais causas da presença da superdispersão, segundo Hinde & Demétrio (1998),
são citadas por como: as probabilidades de ocorrência não são constantes entre os indivíduos; as
observações de ocorrência não são independentes entre os indivíduos; o processo adotado na coleta
de dados não é adequado; variáveis são omitidas na investigação do estudo ou a variabilidade do
material utilizado no experimento é uma característica da ocorrência do fenômeno.
Identificado o efeito da superdispersão na amostra, um procedimento a ser adotado se dá na
modelagem deste efeito. Para isso, utiliza-se modelos de extra-variação. No caso do modelo Poisson, denomina por modelos Extra-Poisson, as estimativas dos parâmetros são podem ser obtidas a
partir do algoritmo de Breslow (1984).
1
Doutando em Estatistica e Experimentação Agropecuária, Departamento de Ciências Exatas-UFLA, [email protected].
2
Doutando em Estatistica e Experimentação Agropecuária, Departamento de Ciências Exatas-UFLA, [email protected]
3
Prof. Adjunto do Departamento de Ciências Exatas-UFLA,
4
Prof. Adjunta do Departamento de Fitotecnia e Fitossanidade - UEMA
1
Breslow (1984) apresentou o modelo Extra-Poisson, assumindo que as variáveis Yij são
distribuídas por uma Poisson, com média µi , em que µi é a realização da variável aleatória, ηi é
o preditor linear que obedece à relação ln(ηi ) = xi β + ei , sendo β o vetor dos parâmetros ou
coeficientes de regressão, e ei é o vetor dos resíduos com média 0 e variância σ 2 . A distribuição
marginal de Y é dada por de modo que o valor esperado µ = µ(x, β) e a variância V (µ, φ) =
µ(x, β) + φµ2 (x, β), em que φ corresponde ao parâmetro de superdispersão.
A aplicação do modelo Extra-Poisson neste trabalho, inicialmente se deve a um levamtamento realizadado por Silva (2007) da diversidade de ácaros predadores em áreas de vegetação
nativa, de diferentes tamanhos e agroecossistemas cafeeiros a elas adjacentes. Por se tratar, de
dados de contagem em espaços prefixados, em uma primeira análise verificou-se que os dados
poderiam ser modelados por um modelo de Poisson.
Em virtude do que foi mencionado, objetivo-se neste trabalho aplicar o modelo ExtraPoisson e a sua metodologia de análise para o estudo dos efeitos dos fragmentos florestais adjacentes aos cafeeiros na diversidade de ácaros presente nos mesmos.
MATERIAL E MÉTODOS
Os dados de diversidade de ácaros foram obtidos por Silva (2007), e correspondem ao número total de ácaros encontrados em fragmentos florestais de diferentes tamanhos adjacentes a cafeeiros na região Sul do estado de Minas Gerais. Nessa avaliação foram utilizados oito fragmentos
florestais adjacentes aos agroecossistemas cafeeiros, com dimensões variando entre 5 e 51 ha. Em
cada fragmento, encontraram-se quatro espécies vegetais, sendo elas: Allophyllus semidentatus,
Calypthranthes clusifolia, Esenbeckia febrifuga e Metrodorea stipularis.
Em consonância com o planejameno experimental, condiderou-se o modelo hierárquico definido por
ηij = ν + αi + βj(i)
em que ν referiu-se a uma constante inerente aos dados, αi é o efeito da i- ésima mata, βj(i) é o
efeito da j-ésima espécie vegetal dentro da i-ésima mata. A resposta Yij , corresponde ao número
total de ácaros encontrados na j-ésima espécie vegetal dentro da i-ésima mata, assumindo a Poisson
com parâmetro µi .A função de ligação g(µi ) utilizada foi dada por
g(µi ) = ηij = ln µ
Inicialmente ajustou-se o modelo de Poisson, e por meio da análise da deviance residual
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constatou-se que os dados apresentaram superdispersão. Assim sendo, justificou a estimação dos
parâmetros do modelo Extra-Poissom, utilizando a metodologia proposta por (Breslow, 1984), na
qual, inicialmente estima-se
(i)
φ
−1
= (n − p)
n X
i=1
(zi − ûi )2
ûi (ûi + φ(i−1) )
(1)
sendo φ a estimativa da superdispersão; n o número de observações , p o número de parâmetros, zi
o valor das observações, µ̂i a estimantiva dos preditores lineares.
Assim o algoritmo de Breslow (1984) para o ajuste do modelo consiste em realizar de forma
recursiva os seguintes passos:
n
(0)
1. Na primeira iteração admite-se o chute inicial dado por φ
X (zi − µ̂i )2
n
= P
( µi )(n − p) i=1 µ̂i + p − n
2. A cada valor obtido de φ(i) , estima-se os parâmetros do modelo de Extra-Poisson.
3. Finaliza o processso quando os desvios, sintetizados pela deviance, apresetarem um valor
não significativo, ou seja não superar a média de uma distribuição Qui-quadrado.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Para execução da metodologia proposta, inicialmente foi realizado um análise exploratório
por meio do gráfico de box-plot (Figura 1) considerando cada tratamento com um fragmento florestal. A intenção desta análise, foi verificar a presença de outliers que possivelmente poderiam
ocasionar a superdispersão, justificando assim o ajuste do modelo Extra-Poisson. Analisando os
resultados ilustrados na Figura 1, constatou-se que apenas os fragmentos florestais de tamanho 9,
24 e 35, não apresentaram outliers. Com base, nestes resultados, apenas para efeito de comparação procedeu-se com análise de deviance nos modelos Poisson e Extra-poisson. Analisando estes
resultados (Tabela 1) verificou-se a presença do efeito da superdipersão (p-valor<0,05), indicando
que a presença deste efeito justifica o ajuste do modelo Extra-Poisson, pois de acordo com Díaz
(1996), o fato de não se considerar a superdispersão na análise dos dados pode levar á estimação
incorreta dos erros padrões, sendo os mesmos super ou sub-estimados e, consequentemente, uma
avaliaçao incorreta da signicância dos parâmetros.
FIGURA 1: Gráfico de box-plot para o número total de ácaros dentro de cada fragmento florestal
3
TABELA 1: Análise de deviance para os modelos Poisson e Extra-Poisson
Modelos
Deviance GL p-valor Superdispersão
Poisson
2173,70 107 0,0000 Extra-Poisson
96,40 107 0,7592
0,9439
Na Tabela 2 encontram-se as estimativas dos parâmetros, seus erros padrões e seus correspondentes valores p para modelo Extra-Poisson. Com base nesses valores procedeu-se as predições
do número de ácaros para as quatro espécies vegetais dentro de cada fragmento florestal (Figura 2),
na qual nota-se que de acordo com o aumento do tamanho do fragmento florestal, as espécies b,c e
d, tende a apresentar um maior número de indivíduos, sendo o maior pronuciamento para espécie
c. Pode-se verificar também que existe evidências que o comportamento das espécies b e d sejam
iguais.
TABELA 2: Estimativas dos parâmetros para o modelo Extra-Poisson
Parâmetro Estimativa Erro Padrão valor p
Intercepto
2,8502
0,1789
< 2e-16
α
-0,0088
0,0079
0,2641
α : β2
0,0216
0,0084
0,0107
α : β3
0,0322
0,0085
0,0001
α : β4
0,0170
0,0087
0,0495
β2 =espécie b; β3 =espécie c; β2 =espécie d.
FIGURA 2: Valores preditos para o número de ácaros para as quatro espécies vegetais dentro de
cada fragmento florestal
CONCLUSÕES
A metodologia aplicada neste trabalho permitiu verificar que o número de ácaros seguiu um
modelo Poisson com extra-variação, assim com a inclusão do parâmetro de dispersão obteve-se
melhores estimativas dos parâmetros do modelo.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Breslow, N.E. (1984), Extra-Poisson variation in log-linear models, Applied Statistics, 33, 38-44.
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Díaz, M.D. P. Modelos lineares generalizados com superdispersao para mortalidade de arvores de
Eucalyptus grandis.Piracicaba : ESALQ , 1996. 148 p. Tese de Doutorado
Hinde, J.P.; Demétrio C.G.B. Overdispersion: models and estimation, Computation Statistics and
Data Analysis, v.27, p.151-170. 1998a.
MCCULLAGH, P.; NELDER, J.A. Generalized linear models. 2.ed. London: Chapman and Hall,
1989. 511p.
Silva, E. A. (2007). Diversidade de ácaraos predadores (Phytoseiidae) em fragmentos florestais
e cafezais adjacentes. Departamento de Entomologia. Lavras, Universidade Federal de Lavras.
Doutorado: 101.
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