Modelo de Poisson
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O modelo de Poisson tem sido muito utilizado em experimentos físicos e biológicos e, nesses casos,
chamaremos de
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λ a freqüência média ou esperada de ocorrências num determinado intervalo de tempo.
Através do modelo de Poisson poderemos calcular a probabilidade de ocorrência de sucessos em um
determinado intervalo com taxa de ocorrência
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λ.
Definição: Dado um intervalo de números reais, suponha que as contagens ocorram através do intervalo.
Se o intervalo poder ser dividido em subintervalos com comprimentos suficientemente pequenos tal que:
1. A probabilidade de mais de uma contagem em um subintervalo seja zero;
2. A probabilidade de uma contagem em um subintervalo seja a mesma para todos os subintervalos e
3. A contagem em cada subintervalo seja independente de outros subintervalos.
Então o experimento aleatório será chamado de processo de Poisson.
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Se o número médio de contagens no intervalo for
λ > 0 (também chamada de taxa de ocorrência), a
variável aleatória X , que é igual ao número de ocorrências no intervalo, tem distribuição de Poisson com
parâmetro
λ , denotada por X ~ P(λ ) se sua função de probabilidade é dada por:
P( X = k ) =
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e − λ .λk
, k = 0, 1, 2, K
k!
A Esperança (média) e Variância de uma v. a. X com modelo de Poisson, são respectivamente iguais a:
E( X ) = λ
e
Var( X ) = λ
Exemplo 1.: Num livro de 800 páginas há 800 erros de impressão. Qual a probabilidade de que uma página
contenha pelo menos 3 erros?
Solução: Seja X: nº de erros por página e λ = 1 (taxa de ocorrência de erros)
P(X ≥ 3) = 1 – P(X < 3) = 1- {P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)} =
 e −1.10 e −1.11 e −1.12 
=1- 
+
+
 = 1 - {0,367879 + 0,367879 + 0,183940} = 1 – 0,919698 = 0,080302
0
!
1
!
2
!


Resp: Logo a probabilidade de que uma página contenha pelo menos três erros é de aproximadamente 8%.