ASSUNTO:POLINÔMIOS
1) Identifique as expressões abaixo que são polinômios:
a) 3x3-5x2+x-4 b) 5x-4-x-2+x-9 c) x4-16 d)x2 3 +2x+6 e)
x 2 − 4 resp: a, c ,d
2) Dado o polinômio P(x)= 2x3-5x2+x-3. Calcule:
a) P(0) resp: -3 b) P(-1/2) resp: -5
3) Se n∈N e n é par, calcule o valor numérico de P(x)= xn+xn-1+xn-2+...+x+1, quando x =-1 . resp: 1
4) As raízes do polinômio P(x)=x3-6x2+8x pertencem ao conjunto {0,1,2,3,,4}.Determine o conjunto
solução. resp: 0,2 e 4
5) Determine o valor de a sabendo que 2 é raiz de P(x)=2x3-ax+4. resp: 10
6) Dado o polinômio P(x)= (m2-36)x3+(m+6)x2+(m-6)x+9. Determine m de modo que P(x) seja:
a) Do 3º grau resp: m≠±6 b) Do 2º grau resp: m=6 c) do 1 º grau m=-6
7) Dados os polinômios P1(x)=5x2-3x+6, P2(x)=-3x+2 e P3(x)=x2+5x-1. Calcule:
a) P1(x)+P2(x)-P3(x) resp: 4x2-11x+9 b) P1(x).P2(x) resp: -15x3+19x2-24x+12
8) Determine a, b e c, de modo que P(x) = ( 2a + 4 )x2 + ( b - 9 )x - 3c + 12, seja um polinômio
identicamente nulo. resp: a = -2, b = 9 e c = 4
9) Seja P(x) um polinômio do 2º grau. Sabendo-se que 2 é raiz de P(x), P(-1) = 12 e P(0) = 6,
calcular P(3). resp: 0
10) Sejam p =(a -1)x4 + ax3 + 1 e q = (a -3)x3 +a2x2polinômios em x com coeficientes reais. É
correto afirmar que o grau do produto entre os polinômios p e q é:
a) 7
b) 6 ou 7 c) 5 ou 7 d) 6
e) 2 ou 6 resp: b
11) Dados A(x) = (a + 2) x2 + (b – 2) x + 12 e B(x) = ax2 + bx + 4c, determine o valor de a – b + c,
de modo que A(x) + B(x) = 0. resp: -5
12) A imagem a seguir representa um terreno quadrado. A parte pintada de azul corresponde a uma
área quadrada não construída e a parte pintada de amarelo, à área destinada ao estacionamento.
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Se a área total pode ser expressa pelo trinômio quadrado perfeito x2 + 16x + 64 e a área destinada ao
estacionamento é representada por x2 + 4x + 4, quais os polinômios que representam,
respectivamente, a medida do lado do terreno e do estacionamento?
resp: (x + 8) e (x + 2)
13) Determinar a,b e c de modo que (a+bx).(x+2)+(c-2).(x+3)=2x2+2x-8. resp: a = b = 2 e c = -2
14) Calcular A e B de que
A
B
4x − 3
+
= 2
. resp: A=5/4 e B=11/4
x−2 x+2 x −4
15) Calcule m e n sabendo que (3x2-x+2).(mx-n)=6x3-5x2+5x-2. resp: m = 2 e n =1
16) Determine o resto da divisão de :
a) 2x3-5x2+4x-4 por 2x-3 resp: -5/2
b) 5x3-11x2+3x-2 por x-2 resp: 0
17) Determinar o resto da divisão de P(x) = x2n+x+1 por x+1, com n∈Ν. resp: 1
18) Determine o valor de k para que o o resto da divisão 3x4-5x3+kx2-3x+1 por x-2 seja –1. resp: -1
19) Um polinômio P(x) dividido por x+1 dá resto 6 e dividido por x-3 dá resto 2. Calcular o resto da
divisão de P(x) por (x+1).(x+3). Resp: -x+5
20) O polinômio P(x)=3x3+ax2+bx-4 é divisível por x-2 e x+1. Calcule o valor a+b. resp: -9
21) Determine m e n para que o polinômio P(x) = x6+mx4+nx3-3x-2 seja divisível por (x+1).(x+2).
resp: m = -13/2 e n = -9/2
22) Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, calcule o quociente e o resto da divisão de:
a) P(x) = x3-3x2+3x-1 por D(x) = x-1. resp: Q(x) = x2-2x+1 e R(x) = 0
b) P(x) = 5x4-3x2+x-1 por D(x) = x-2. resp: Q(x) = 5x3+10x2+17x+35 e R(x) = 69
c) P(x) = 3x3-4x2+5x-2 por D(x) = 2x-1. resp: Q(x) = 3/2x2-5/4x+15/8 e R(x) = -1/8
23) Determine a forma fatorada dos polinômios:
a) P(x) = 2x2-10x+12 resp: P(x) = 2.(x-2).(x-3)
b) P(x) = x3-7x2+12x resp: P(x) = x.(x-3).(x-4)
c) P(x) = x3-5x2+4x-20 resp: P(x) = (x-5).(x-2i).(x+2i)
24) Escreva na forma fatorada o polinômio P(x) = 3x4-5x3+5x2-2x-1, sabendo que duas de suas
raízes são 2/3 e 1. resp: P(x) = 3.(x-2/3).(x-1).(x+i).(x-i)
25) Escreva na forma fatorada o polinômio P(x) = x4-10x3+32x2-38x+15, sabendo que 1 é raiz de
multiplicidade 2. resp: P(x) = (x-1)2.(x-3).(x-5)
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Assunto: Equações polinomiais
1) Resolva as equações em C.
a) x3-7x2+10x=0 resp: S = {0;2;5} b) x3-3x2+4x-12=0 resp: S = {3; -2i; 2i}
c) x3-9x2+14x=0 resp: S = {0;2;7} d) x3-2x2+9x-18=0 resp: S = {-3i; 3i; 2}
2) Verifique quais são os números do conjunto A = {-2; -1; 0; 1; 2; 3} que são raízes da equação
x4-4x3-x2+16x-12=0. resp: -2;1;2;3
3) Calcule k de modo que a equação x4-3x3+2x2+kx-6=0 tenha o número 3 por raiz. resp: k = -4
4) Resolva a equação 2x4-7x3+5x2-7x+3=0, sabendo que ½ e 3 são raízes. resp: S = {-i;i;1/2; 3}
5) Resolva a equação x4 - 10x3 + 32x2 - 38x + 15 = 0 sabendo que 1 é raiz de multiplicidade 2.
resp: S={1;3;5}
6) Qual o menor grau que pode ter uma equação que tenha por raízes 2, 3i, 1+i. resp: grau 5
7) Na equação 2(x-3)4.(x+2)3.(x+1)2 = 0, dê a multiplicidade da raiz:
a) 3 resp: 4 b) –2 resp: 3 c) –1 resp: 2
8) Forme uma equação de coeficientes reais de menor grau possível que tenha por raízes 1 e 2 - i .
resp: x3-5x2+9x-5=0
9) Resolver a equação x4-4x3+12x2+4x-13=0 sabendo que uma de suas raízes é 2-3i.
resp: S={2-3i ; 2+3i; -1; 1}
10) Resolva a equação x3-7x2+31x-25 = 0 sabendo que ela admite a raiz 3-4i. resp: S={3-4i; 3+4i;1}
11) Resolva as equações em C:
a) 6x4-11x3-6x2+9x-2 = 0 resp: S = {-1; 2; 1/3; ½} b) x3-6x2+11x-6 = 0 resp: S = {1; 2; 3 }
c) 2x3+9x2+13x+6 = 0 resp: S = {-2;-1;-3/2} d) 4x4-4x3-7x2+4x+3 = 0 resp: S = {-1;-1/2;1;3/2}
12) Dada a equação 6x3-13x2+9x-2 = 0, de raízes a, b e c, determine:
1 1 1
1
1
1
a) + + resp: 9/2 b)
resp: 13/2 c) a2+b2+c2 resp; 61/36
+
+
a b c
ab ac bc
13) Resolver a equação x3-3x2-4x+12=0, sabendo que duas raízes são opostas. resp: S ={-2;2;3}
14) Resolver a equação x3-15x2+66x-80=0, sabendo que suas raízes estão em P.A. resp: S={2;5;8}
15) Resolver a equação x3-7x2+14x-8=0, sabendo que a soma de duas de suas raízes é igual a 3.
resp: S = {1;2;4}
16) A equação polinomial ax3 + bx2 + cx + d = 0. Se a soma das raízes é 2, o produto entre elas é
–3/2, a soma dos seus inversos é –1/3 , então é verdade que:
a) a = 2 e b = 4 b) a = 2 e c = 1 c) b = –4 e d = 3 d) c = 1 e d = –3 e) a = 2 e c = 1
resp: b, c , e
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17) Se a equação polinomial p(x) = x4 – 8x3 +15 x2 + 80 x – 250 tem uma de suas raízes igual a
4 + 3i, então:
I - o seu conjugado 4 – 3i também é raiz desse polinômio.
II - o polinômio também é divisível por (x – 4 – 3i) (x – 4 + 3i), que resulta em x2 – 8x + 25.
III - as outras duas raízes desse polinômio são reais.
É correto dizer que:
a) apenas o item I está errado
b) apenas o item II está certo
c) apenas o item III está certo
d) o item III está errado
e) todos os itens estão certos
resp: e
18) Tendo como base a equação polinomial x3 - 14x2 + 56x - 64 = 0, marque V para as afirmativas
verdadeiras e F para as falsas.
a) As raízes dessa equação são imaginárias. resp: F
b) Essa equação polinomial pode ser escrita na forma fatorada, como ( x - 2) · ( x - 4) · (x - 8) = 0
resp: V
c) Uma das raízes dessa equação polinomial é média geométrica de outras duas. resp: V
d) As raízes dessa equação polinomial estão em Progressão Geométrica. resp: V
e) As raízes dessa equação são os valores -2, -4 e 8. resp: F
19) Se as dimensões de um paralelepípedo reto retângulo são dadas pelas raízes do polinômio
P(x) = x3 -10x² + 31x - 30, Calcule a área total e o volume deste sólido. resp: A = 62 e V = 30
20) Uma equação do 4º grau apresenta três raízes que são números inteiros consecutivos e a
quarta raiz é a média aritmética das três primeiras. Podemos afirmar que:
a) a equação possui quatro raízes distintas
b) a equação possui uma raiz de multiplicidade 2
c) apenas uma raiz da equação é um número ímpar
d) a equação possui uma raiz que é um número irracional
e) a equação possui uma raiz que não é um número real
resp: b
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