Transformação de Coordenadas
Junho de 2006
Escola Superior de Tecnologia e
Gestão de Beja
Transformação de Coordenadas
Disciplina: Cartografia Matemática
Docente: Luís Machado
Discentes: João Soares nº 3687
Luís Faria nº 4037
Curso: Engenharia Topográfica
Ano: 2º
Ano Lectivo: 2005/2006
Data de Entrega:
Cartografia Matemática
16/12/2005
1
Transformação de Coordenadas
Junho de 2006
Índice
Índice .................................................................................................................................2
Introdução ..........................................................................................................................3
Palavras-chave ...................................................................................................................4
O Modelo de Bursa – Wolfe ..............................................................................................7
O Modelo de Molodensky ...............................................................................................10
Transformação de Coordenadas ......................................................................................12
A Transformação de coordenadas Naturais em Geodésicas ....................................... 12
Transformação entre Coordenadas Geodésicas e Tridimensionais ............................ 14
Transformação de Coordenadas Cartográficas ........................................................... 16
Coordenadas Tridimensionais: ................................................................................... 17
Coordenadas Geodésicas Elipsoidais: ........................................................................ 18
Síntese das Transformações e conversões entre sistemas de coordenadas ................. 20
Conclusão ........................................................................................................................22
Referências Bibliográficas...............................................................................................23
Cartografia Matemática
2
Transformação de Coordenadas
Junho de 2006
Introdução
No âmbito da disciplina de Cartografia Matemática, elaborou-se um trabalho
que tem como título “Transformação de Coordenadas”. Este trabalho tem o intuito
de informar ou mostrar algumas das transformações de coordenadas existentes na
Geodesia. Há várias transformações de coordenas, mas só algumas vão ser
referidas neste trabalho. Algumas das transformações de coordenadas que se iram
verificar neste trabalho são:
 Transformação de Coordenadas Cartesianas Tridimensionais (x, y, z)
 Transformação de Coordenadas Geodésicas (φ, λ, h)
 Transformação de Coordenadas Cartográficas
Posteriormente a todas estas transformações definimos dois métodos que
se revelam muito importantes sendo até mesmo inseparáveis na elaboração de
transformação de coordenadas, esses métodos são:
 Método de Bursa-Wolfe
 Método de Molodensky
Estes métodos vão ser importantes para a elaboração do trabalho, uma vez
que vão ser referidos ao longo de quase todo o trabalho.
Optamos também por inserir algumas definições que achamos que seriam
relevantes para a riqueza do trabalho, definições essas que passam por uma
pequena explicação de algumas palavras-chave para um entendimento melhor e
mais definido do trabalho.
Cartografia Matemática
3
Transformação de Coordenadas
Junho de 2006
Palavras-chave
Cartografia matemática
Ramo da Cartografia que trata dos aspectos matemáticos ligados à
concepção e construção das cartas, designadamente as projecções cartográficas.
Embora as primeiras projecções cartográficas conhecidas remontem à antiguidade
clássica, a sua abordagem mais formal só foi iniciada após o desenvolvimento do
cálculo matemático, que se verificou no final do séc. XVII, sobretudo por Lambert e
Lagrange. Nó séc. XIX, foram muito importantes os contributos de Gauss e de
Tissot. O termo tradicional português actualmente em desuso, é geografia
matemática.
Coordenadas cartográficas
Coordenadas rectangulares definidas sobre uma quadrícula cartográfica,
designadamente a distância à distância à meridiana e a distância à perpendicular.
Coordenadas geodésicas
Sistema de coordenadas, rectangulares ou geográficas, definido numa
determinada superfície de referência geodésica.
Coordenadas geodésicas elipsoidais
Coordenadas geodésicas definidas num elipsóide de referência,
designadamente a latitude, a longitude e a altitude geodésicas.
Coordenadas rectangulares
Cartografia Matemática
4
Transformação de Coordenadas
Junho de 2006
Sistema de coordenadas, no plano (ou no espaço tridimensional), que utiliza
duas (ou três) medidas de distância a dois (ou três) eixos perpendiculares entre si
para referenciar as posições. No caso dos sistemas de coordenadas planas, os
eixos são geralmente designados por eixo das abcissas e eixo das ordenadas.
Datum
Em geodesia, o conjunto dos parâmetros que constituem a referência de um
sistema de coordenadas geográficas ou altimétricas.
Datum Geodésico
Conjunto dos parâmetros que constituem a referência de um determinado
sistema de coordenadas geográficas, e que inclui a especificação do elipsóide de
referência, bem como a sua posição e orientação relativamente ao globo terrestre.
Elipsóide de referência
Elipsóide utilizado como superfície de referência geodésica. Trata-se,
geralmente, de um elipsóide de revolução podendo, em circunstâncias especiais,
ser um elipsóide triaxial. Vários elipsóides de revolução têm sido utilizados, a partir
do início do século XIX, desde o elipsóide de Everest (1830) até ao recente
WGS84.
A maior parte da cartografia mundial ainda assenta no elipsóide
internacional de Hayford, aprovado em 1924. A emergência e disseminação do
GPS trouxe, por outro lado, uma importância acrescida ao WGS84.
Geodesia
Ciência que se ocupa do estudo da forma e dimensões da Terra.
Tradicionalmente, a Geodesia subdividia-se em dois ramos: a Geodesia superior,
Cartografia Matemática
5
Transformação de Coordenadas
Junho de 2006
que estudava o campo gravítico da Terra e estabelecia a rede geodésica de
primeira ordem; e a Geodesia Inferior, que adensava a rede geodésica de primeira
ordem e tratava da Cartografia. Nos nossos dias, a Cartografia e a Topografia
autonomizaram-se, pelo que o campo de actuação da Geodesia se limita aquilo
que era a Geodesia Superior.
Latitude
Coordenada geográfica definida na esfera, no elipsóide de referência ou na
superfície terrestre, que é o ângulo entre o plano do equador e a normal á
superfície de referência.
Longitude
Coordenada geográfica definida na esfera, no elipsóide de referência ou na
superfície da Terra, que é o ângulo diedro entre o plano do meridiano do lugar e
plano de um meridiano tomado como referência, o meridiano Greenwich.
Cartografia Matemática
6
Transformação de Coordenadas
Junho de 2006
O Modelo de Bursa – Wolfe
As coordenadas geodésicas rectangulares (x, y, z) de um ponto, relativas a
um determinado datum geodésico, podem ser relacionadas com as coordenadas
geodésicas rectangulares (u, v, w) do mesmo ponto, relativas a um segundo datum
geodésico, por intermédio de uma transformação de semelhança elementar,
conhecida por transformação de Bursa-Wolfe.
A transformação de Bursa-Wolfe consiste numa rotação (R) seguida por
uma mudança de escala   e por uma translação   expressa pela formula de
Bursa-Wolfe:
u 
1


U  RX    v     k
 w
 
k
1

    x   x 
   y  + y 
1   z   z 
onde  ,  e k são ângulos muito pequenos, que (em radianos) exprimem três
rotações sucessivas em torno dos eixos dos xx, dos yy e dos zz, respectivamente,
 é um factor de escala, próximo da unidade e ( x, y, z ) são as componentes
de um vector translação.
Os parâmetros de rotação, escala e translação da transformação de BursaWolfe podem ser estimados a partir de um conjunto de pontos do terreno cujas
coordenadas geodésicas rectangulares, relativas aos dois data, sejam previamente
conhecidas. A fórmula de Bursa-Wolfe permite formar um sistema de equações
não linear, para cuja resolução, em ordem aos parâmetros desconhecidos, pode
ser utilizado o método descrito seguidamente.
Cartografia Matemática
7
Transformação de Coordenadas
Junho de 2006
Considerando a fórmula de Bursa-Wolfe, tendo em atenção que:
  1  d ,
1 0 0   0
R  0 1 0   k
0 0 1  
k
0


     dR
0 
Resulta a relação aproximada:
U  X  d      dR    
Desde que se ignore a parcela matricial de segunda ordem d  dR    .
Considerando três pontos, cujas coordenadas geodésicas rectangulares
relativas aos dois data geodésicos são conhecidas, a relação anterior permite
constituir um sistema de equações lineares que pode ser expresso matricialmente
na forma:
 z1 y1
0
 x1
 y1
z1
 x1
0

 z1  y1 x1
0

 z2 y2
0
 x2
 y2 z2
 x2
0

0
 z 2  y 2 x2
 x3
 z3 y3
0

 x3
0
 y3 z 3
 z 3  y 3 x3
0

Cartografia Matemática
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
u1  x1 

0 d  v1  y1 
1     w1  z1 



0    u 2  x 2 
 
 
0     = v 2  y 2     



1  x   z 2  w2
 
0  y  u 3  x3 



0  z  v3  y3 
 w3  z 3 
1


8
Transformação de Coordenadas
Junho de 2006
A informação proporcionada por dois pontos com coordenadas conhecidas
nos dois data não é suficiente para determinar os sete parâmetros da
transformação.
A informação proporcionada por três pontos não colineares já se torna, no
entanto, redundante. A utilização de três (ou mais) pontos conhecidos nos dois
sistemas, torna possível constituir um sistema redundante com nove (ou mais)
equações lineares a sete incógnitas, em geral inconsistente, que pode ser tratado
pelo método dos mínimos quadrados. Simbolizando por  a matriz do sistema,
por  o vector das incógnitas e por  o vector dos termos independentes, o
método dos mínimos quadrados preconiza a resolução, em ordem a  , da
equação vectorial consistente:

A A  A 
T
T
Na prática, por razões de natureza numérica, os pontos com coordenadas
conhecidas nos dois data devem enquadrar os pontos a transformar no seu
interior. Se se pretender determinar parâmetros válidos, por exemplo, para todo o
território de Portugal continental, deverá ser utilizado um conjunto de pontos
conhecidos com uma distribuição semelhante à da rede geodésica de primeira
ordem. Os sistemas de equações resultantes de conjuntos de pontos muito
próximos são sistemas instáveis cuja resolução dá origem a valores afectados por
erros significativos.
Quadro 1 – Parâmetros da transformação de Bursa-Wolfe
SGL
Dt73
DtLx

1.0000024
0.9999933
Cartografia Matemática

0.0
2.2


x
y
0.0
15.2
3.1
13.9
-238.36
-160.65
86.87
55.56
z
26.88
18.04
9
Transformação de Coordenadas
Junho de 2006
A transformação das coordenadas geodésicas rectangulares relativas aos
data geodésicos locais Hayford-Melriça e Hayford-Lisboa, para o datum geodésico
global WGS84, pode ser baseada nos parâmetros de escala   , rotação (  ,  ,  
em dmgon e translação ( x, y, z  em metros que se encontram no Quadro 1.
O Modelo de Molodensky
O modelo de Molodensky é o modelo mais utilizado na transformação de
coordenadas geodésicas relativas a diferentes data geodésicos. Os receptores
GPS possuem software para a conversão entre os data nacionais e o WGS84, em
geral, baseado no modelo de Molodensky.
As coordenadas geodésicas elipsoidais de um ponto  ,  , h  , relativas a um
determinado datum geodésico, podem ser relacionados com as coordenadas
geodésicas elipsoidais do ponto:
   ,    , h  h 
Relativas a um segundo datum geodésico, pela transformação de Molodensky. A
transformação de Molodensky é apresentada (Stansel, 1978) em duas versões: a
versão standard e a versão abreviada, onde são feitas algumas simplificações. Em
particular, na versão abreviada, a altitude é ignorada nas correcções à latitude e à
longitude.
As fórmulas da transformação abreviada de Molodensky, que fornecem os
acréscimos em latitude, longitude e altitude geodésicas às coordenadas do ponto
relativas ao primeiro datum, são:
Cartografia Matemática
10
Transformação de Coordenadas
Junho de 2006
   xSenCos  ySenSen  zCos   fa  af Sen2
RM

 xSen  yCos
 
R N Cos

h  xCosCos  yCosSen  zSen   fa  af Sen 2  a
onde a e f são as diferenças entre o semieixo maior e o achatamento dos dois
elipsóides de referência e x , etc., são as componentes do vector diferença entre
os centros dos dois elipsóides de referência. Esta transformação ignora os
parâmetros de rotação dos eixos que são considerados no modelo de Bursa-Wolfe.
Deve notar-se que os acréscimos da latitude e da longitude são independentes das
altitudes, embora o acréscimo da altitude depende da latitude e da longitude do
ponto, o que permite transformar as latitudes e as longitudes independentemente
da altitude elipsoidal que na prática é muitas vezes desconhecida.
No Quadro 12, H e B simbolizam os elipsóides de Hayford e Bessel, são
apresentados os parâmetros de Molodensky, para a transformação de
coordenadas geodésicas relativas a diversos data geodésicos com interesse em
Portugal.
Quadro 2 – Parâmetros da Transformação de Molodensky
xm 
y m 
z m 
f  10 5 
a m 
Transformação
BLx → HLx
BLx → ED50
+ 812.95
+ 594.56
- 130.21
- 081.29
+ 460.02
+ 684.24
+ 991
+ 738
+ 2.4230042
+ 2.4230042
BLx → WGS72
BLx → Dt73
HLx → ED50
HLx →WGS72
+ 504.07
+ 731.07
- 218.39
- 308.88
- 202.89
- 300.40
+ 048.92
- 072.68
+ 558.45
+ 527.58
+ 224.22
+ 098.43
+ 738
+ 991
0
- 253
+ 1.0000613
+ 2.4230042
0
- 1.4223913
HLx → Dt73
- 081.88
- 170.19
+ 067.56
0
0
Cartografia Matemática
11
Transformação de Coordenadas
Junho de 2006
HLx → WGS84
Dt73 → WGS72
Dt73 →WGS84
- 302.98
- 227.00
- 223.01
- 061.84
+ 097.51
+ 110.13
+ 105.05
+ 030.87
+ 036.59
- 251
- 253
- 251
- 1.4192700
- 1.4223913
- 1.4192700
ED50 → WGS72
ED50 → WGS84
- 090.49
- 085.63
- 121.60
- 109.59
- 125.79
- 118.64
- 253
- 251
- 1.4223913
- 1.4192700
Transformação de Coordenadas
A Transformação de coordenadas Naturais em Geodésicas
A transformação entre coordenadas naturais e as coordenadas geodésicas
elipsoidais associadas a um dado datum geodésico, exige o conhecimento, em
cada ponto, das componentes meridiana e perpendicular do desvio angular da

normal ao elipsóide relativo ao versor da direcção da vertical ( n ) e da ondulação
do geóide, definidas do seguinte modo:
 - desvio da vertical segundo o meridiano, é o ângulo formado pela

projecção de n no plano que contem o meridiano geodésico em P, e pela normal
ao elipsóide;
 - desvio da vertical segundo a secção normal principal, é o ângulo

formado pela projecção de n no plano da secção normal principal em P com a
normal ao elipsóide;
 - ondulação do geóide, é o comprimento do segmento da linha de fio
de prumo que passa em P, entre o geóide e o elipsóide (positivo para o exterior e
negativo para o interior do elipsóide).
Cartografia Matemática
12
Transformação de Coordenadas
Junho de 2006
Uma vez conhecidas as componentes do desvio da vertical e a ondulação
do geóide em P, a transformação das coordenadas naturais em coordenadas
geodésicas elipsoidais é muito simples:
     ,     Sec , h    
Exemplo: Os valores dos desvios da vertical nos vértices da rede geodésica de
Portugal continental, relativamente ao elipsóide de Hayford posicionado em
Potsdam, no Datum Europeu (ED50), podem atingir cerca de 15". No vértice
geodésico de Melriça, cujas coordenadas naturais são:
  39° 41' 37.33"
  8° 07’ 53.43"
  600.51m
os desvios da vertical e a ondulação do geóide relativos ao ED50:
  -7.39"
  -6.83"
 0  -30.11m
permitem calcular as suas coordenadas geodésicas elipsoidais ED50:
  39° 41' 29.94"   8° 07' 44.55"
  570.40m
Os azimutais astronómicos e geodésicos definidos por dois pontos P e Q, estão
relacionados pela equação de Laplace, cuja versão simplificada, para pontos a
altitudes semelhantes, é:
        Sen     an
Cartografia Matemática
13
Transformação de Coordenadas
Junho de 2006
Exemplo: No vértice geodésico Melriça, os azimutes astronómicos podem ser
convertidos em azimutes geodésicos mediante uma correcção:
   A  Tan  - 5.67"
Transformação entre Coordenadas Geodésicas e Tridimensionais
A posição de um ponto P do terreno, de coordenadas cartesianas (X,Y,Z),
relativas a um datum geodésico, pode ser expressa em coordenadas
geodésicas  ,  , h  , relativas a mesmo datum geodésico, através das seguintes
expressões:
X  ( R N  h) cos  cos 
Y  R N  h  cos  sen 
 
 
Z  R N 1  e 2  h sen
onde RN representa o raio de curvatura de secção normal à latitude  , também
designado por Grande Normal, cujo valor é dado por:
RN 
Cartografia Matemática
a
1  e 2 sen 2
14
Transformação de Coordenadas
Junho de 2006
Fig. 1 – Relação entre as coordenadas tridimensionais e geográficas
Para a transformação inversa, ou seja, o cálculo das coordenadas geográficas, conhecidas tridimensionais, podem utilizar-se as seguintes expressões:
tan  
Z  e '2 bsen 3
( X 2  Y 2  e 2 a cos 3  )1 / 2
tan  
Y
X
2
h
X 2 Y
 RN
cos 
onde a, b, e, e’ são respectivamente os semieixos maior e menor e a primeira e
segunda excentricidades do elipsóide de referência e onde:
tan  
Cartografia Matemática
aZ
b X 2 Y2
15
Transformação de Coordenadas
Junho de 2006
Usualmente, esta transformação é feita por um processo iterativo, mas
pode também ser usado um processo directo, através da resolução de uma
equação de quarto grau (Vanicek & Krakiwsky, 1982). Este último método
encontra-se programado e em aplicação no IPCC (Salomé Romão, 1987).
Transformação de Coordenadas Cartográficas
Para a compilação geométrica entre conjuntos de dados geográficos
definidos em coordenadas cartográficas, é necessária a transformação das
coordenadas dos objectos de um ou de ambos os conjuntos para um sistema de
referência comum. A compilação é relativamente simples quando a regra de
transformação entre referenciais é conhecida, podendo ser mais complexa quando
não existe uma regra conhecida.
No caso de a conversão entre referenciais ser conhecida podem utilizar-se
as funções inversas das projecções cartográficas para obter coordenadas
geodésicas e posteriormente, caso seja necessário, coordenadas cartesianas
tridimensionais. Sobre estes dois últimos tipos de coordenadas podem aplicar-se
transformações de datum e em seguida fazer o caminho inverso até obter
coordenadas cartográficas.
A determinação de regras de transformação, com expressão polinomial,
pode ser feita mediante a selecção de um conjunto de pontos de controlo
identificáveis em ambas as cartas.
Cartografia Matemática
16
Transformação de Coordenadas
Junho de 2006
Coordenadas Tridimensionais:
A cada elipsóide pode ser associado o referencial cartesiano tridimensional
cuja origem coincide com o centro do elipsóide, cujo eixo dos zz contém o seu eixo
menor (eixo polar), cujo eixo dos xx passa pela intersecção do meridiano de
Greenwich com o Equador e cujo eixo dos yy, também sobre o Equador, forma
com os anteriores um diedro directo. As coordenadas cartesianas tridimensionais
associadas ao referencial anterior designam-se por coordenadas geodésicas
rectangulares.
São as coordenadas vulgarmente conhecidas como X, Y e Z. A sua
designação provem do facto de elas estarem correlacionadas com as três
dimensões.
As coordenadas tridimensionais são utilizadas, nomeadamente, na
conversão entre diferentes data geodésicos, locais ou globais, e em
posicionamento por métodos espaciais, no caso dos elipsóides posicionados por
data globais.
Fig. 2 – Sistemas de Coordenadas Cartesianas
Cartografia Matemática
17
Transformação de Coordenadas
Junho de 2006
Coordenadas Geodésicas Elipsoidais:
A equação do elipsóide de rotação em coordenadas cartesianas é
x2 y2 z2
 2 1
a2
b
se o centro do elipsóide coincidir com a origem das coordenadas.
Em ordem a referenciar a posição de um ponto na superfície do elipsoide, é
costume fazê-lo através de coordenadas curvilíneas.
As mais usadas são a latitude  e a longitude , a que chamaremos
coordenadas geodésicas (ver figura seguinte).
 é o angulo entre a normal á superfície e o plano do equador (ver próxima
figura).
Cartografia Matemática
18
Transformação de Coordenadas
Junho de 2006
A linha curvilínea  = constante é designada por paralelo.
A curva  = constante é designada por meridiano.
A longitude  refere-se a um meridiano zero que pode ser escolhido
arbitrariamente.
O meridiano de Greenwich é normalmente escolhido como meridiano zero e
também contem o eixo dos X.
Para o elipsóide de rotação, os meridianos são elipses e os paralelos são
círculos.
O angulo  é o azimute da linha de superfície P1P2.
O azimute é contado positivamente a partir do meridiano que passa por P1
e P2 e no sentido dos ponteiros do relógio.
Dado um elipsóide de referência, posicionado relativamente à Terra, os pontos P
da superfície terrestres podem ser feitos corresponder às suas projecções P' no
elipsóide por intermédio da normal em P' ao elipsóide.
Para cada ponto P da superfície terrestre é, nestas condições, possível
definir, relativamente a um dado elipsóide de referência, um meridiano e um
paralelo geodésico.
O meridiano geodésico de P é a secção elíptica causada no elipsóide pelo
plano definido pelo eixo menor do elipsóide e pela normal ao elipsóide P'.
O paralelo geodésico de P é a secção circular causada no elipsóide pelo
plano paralelo ao Equador elipsoidal em P'.
As coordenadas geodésicas elipsoidais do ponto P são:
Latitude geodésica () – ângulo medido a partir do plano equatorial até à
direcção da perpendicular ao elipsóide no ponto P, sendo positivo na direcção
norte;
Cartografia Matemática
19
Transformação de Coordenadas
Junho de 2006
Longitude geodésica () – ângulo medido a partir do plano do meridiano de
referencia (Greenwich) até ao plano do ponto P, sendo positivo na direcção leste;
Altitude elipsoidal (h) – distância do ponto P a partir do elipsóide geodésico
medida ao longo da perpendicular ao elipsóide nesse ponto, com valor positivo
para os pontos exteriores ao elipsóide.
Síntese das Transformações e conversões entre sistemas de
coordenadas
Cartesianas
3D
Geodésicas
Bursa-Wolf
Molodensky
Cartesianas
3D
(x,y,z)
Geodésicas
(φ,λ,h)
Projecção
Cartográfica
Cartográficas
Datum 1
Cartografia Matemática
Polinomial
Cartográficas
Datum 2
20
Transformação de Coordenadas
Junho de 2006
A conversação entre diferentes tipos de coordenadas num mesmo datum é
exacta, ou seja, a passagem de coordenadas cartesianas tridimensionais para
coordenadas geodésicas e daí para coordenadas cartográficas não é efectuada
por qualquer incerteza. Já a transformação de coordenadas entre data diferentes é
necessariamente afectada pela incerteza associada às coordenadas dos pontos
referenciados em ambos os sistemas e à sua utilização para a sua estimativa dos
parâmetros de transformação.
A transformação entre coordenadas cartográficas com funções polinomiais
é a que pior se ajusta ao objectivo, atendendo a que polinómios não traduzem a
complexidade geométrica de uma mudança de datum e uma projecção
cartográfica. A transformação entre coordenadas cartesianas tridimensionais é
aproximadamente linear, pelo que é adequadamente modelada pela transformação
de Bursa-Wolf. Assim, de forma aparentemente paradoxal, o processo mais exacto
para realizar uma transformação entre sistemas de coordenadas cartográficos é
proceder à conversão para coordenadas geodésicas e daí para cartesianas
tridimensionais, forma sobre a qual se procede à mudança de datum, descendo
depois até coordenadas cartográficas.
Cartografia Matemática
21
Transformação de Coordenadas
Junho de 2006
Conclusão
Sendo a Geodesia uma disciplina que se encarrega do estudo da forma e
dimensão da Terra, digamos que também com o apoio da Cartografia Matmática a
elaboração deste trabalho tornou-se muito importante uma vez que permitiu obter
uma maior noção do seu termo científico e do seu papel desempenhado nos dias
de hoje. Para o estudo da forma e dimensão da Terra, bem como do seu campo
gravitacional, possuímos métodos e instrumentos para a observação e medição
com elevada precisão das coordenadas de pontos sobre a superfície terrestre.
Ao longo deste trabalho aplicamos as ferramentas básicas que a Geodesia
e Cartografia Matemática possui para transformar coordenadas geodésicas em
coordenadas cartesianas tridimensionais e vice-versa. Para além destas, foi
também possível transformar coordenadas geodésicas para coordenadas
cartográficas e vice-versa, sendo por fim a transformação de coordenadas naturais
para coordenadas geodésicas.
Cartografia Matemática
22
Transformação de Coordenadas
Junho de 2006
Referências Bibliográficas
- João Casaca, João Matos, Miguel Baio, 2000, Topografia Geral, 3ª Edição,
Lidel, Lisboa, Portugal.
- João Matos, 2001, Fundamentos de Informação Geográfica, 3ª Edição,
Lidel, Lisboa, Portugal.
- Instituto Geográfico do Exército, 2000, Noções Gerais de Geodesia,
Lisboa, Portugal.
- Joaquim Alves Gaspar, 2004, Dicionário de Ciências Cartográficas, Lidel,
Lisboa, Portugal.
- Apontamentos Teóricos da cadeira de Geodesia I.
Cartografia Matemática
23