Guia do professor - Sistemas de Coordenadas
Introdução
O uso de sistemas de coordenadas se apresenta em algumas situações do dia-a-dia.
Quando precisamos encontrar uma rua em um mapa de uma cidade, como os
mapas disponíveis em algumas listas telefônicas, normalmente a cidade é
particionada em linhas e colunas identificadas por letras e números.
Figura 1 - Mapa com região da Cidade de Porto Alegre
Nos livros de Geografia, em Atlas geográficos, nos livros de História as
coordenadas estão lá para facilitar a localização de pontos do planeta graficamente
representados nos mapas.
Pilotos de avião, helicópteros assim como capitães de navios e agora
também motoristas de automóveis civis, graças ao advento dos aparelhos de
navegação via GPS (Global Posicioning System) fazem uso de sistemas de
coordenadas. Por exemplo, para a correta leitura e interpretação de um mapa na
qual estão representadas rotas aéreas (ver figura a seguir), é fundamental saber
trabalhar com sistemas de coordenadas.
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Figura 2 - Mapa aéreo de região próxima a Porto Alegre
Em outras áreas como as Engenharias, a Química, a Física e a Matemática os
sistemas de coordenadas também estão presentes – eles servem para descrever
pontos em gráficos de funções. Essas funções, por sua vez, podem estar
representando os mais diversos fenômenos.
Existem muitos tipos de sistemas de coordenadas. Esses sistemas podem ser
basicamente de dois tipos – sistemas de coordenadas ordenadas e sistemas de
coordenadas não-ordenadas. No mapa da figura 1, temo um exemplo de sistema
de coordenadas em que a ordem dos pares não é relevante. Ou seja, podemos
localizar uma região no mapa indo pelas coordenadas (2, B) ou (B, 2).
No primeiro caso existem subtipos de sistemas de coordenadas. Nos nossos
objetos de aprendizagem tentamos explorar dois tipos de sistemas. O sistema
cartesiano ou retangular e o sistema polar.
No sistema cartesiano de coordenadas, para o caso de duas variáveis, isto é,
um sistema de duas dimensões, temos dois eixos ordenados, ortogonais e com
origens coincidentes. Para localizarmos um ponto ou o descrevermos, utilizamos
pares ordenados. Normalmente chamamos o eixo horizontal de eixo das abscissas.
O outro, vertical, eixo das ordenadas. Ao descrevermos simbolicamente um ponto,
atribuímos uma letra latina maiúscula e entre parênteses posicionamos da
esquerda para direita a abscissa e a ordenada do ponto separadas por vírgula ou
ponto e vírgula.
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Em um gráfico, para localizarmos um ponto como A(2;3), basta traçarmos
uma perpendicular ao eixo das abscissas passando pelo ponto 2 deste eixo e uma
perpendicular ao eixo das ordenadas passando por 3 deste eixo. A interseção das
duas perpendiculares é o ponto A.
Em muitos casos, é mais simples usarmos o outro tipo de sistema de
coordenadas abordado no nosso segundo objeto de aprendizagem: o sistema de
coordenadas polares. Nesse sistema, precisamos de duas informações para
descrever um ponto – um ângulo em graus ou radianos e a distância entre o ponto
e a origem, que chamamos de raio.
“Um sistema de coordenadas polares no plano consiste de um ponto fixo O, chamado de
pólo (ou origem) e de um raio que parte do pólo, chamado eixo polar. Em tal sistema de
coordenadas, podemos associar a cada ponto P no plano um par de coordenadas polares (r,
α), onde r é a distância de P ao pólo e α é o ângulo entre o eixo polar e o raio OP. O
número r é chamado de coordenada radial (ou distância polar) de P enquanto que α é a
coordenada angular (ou ângulo polar) de P.” (adaptado de Anton, 2000 e Batschelet,
1978).
Observe o desenho a seguir:
O ponto P tem coordenadas cartesianas
P(x, y) e coordenadas polares P(r, α).
Com as informações da figura,
estabelecemos as seguintes relações:
x = r.cos α e
y = r. sen α.
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Objetivos
Proporcionar aos alunos a oportunidade de manipularem objetos com
diferentes tipos de sistemas de coordenadas. Com isso, os alunos estarão, de forma
empírica, reconhecendo a importância desse conhecimento para descrever a
localização de pontos – aspecto importante para áreas da Matemática como
Geometria Analítica e Estudo de Funções.
Desenvolver a habilidade de localizar e representar pontos nos sistemas de
coordenadas retangulares e polares. Essas habilidades são requisitos
indispensáveis à compreensão de gráficos de funções (Matemática, Física e
Química) e interpretação de mapas (Geografia e História).
O estudante precisa ser capaz de a partir da descrição de um ponto, localizálo em um gráfico ou mapa e fazer o processo inverso, isto é, a partir de um gráfico
ou mapa referir-se a um certo ponto a partir da descrição do ponto através do
sistema de coordenadas utilizado.
Pré-Requisitos
Dependendo da atividade escolhida, teremos pré-requisitos diferentes. No
caso da Atividade 1, acreditamos que o pré-requisito seja apenas reconhecer os
símbolos (letras e numerais). Na realidade a primeira atividade pode ser vista
como uma introdução ao sistema de coordenadas cartesianas ou retangulares,
conforme a apresentação formal descrita na introdução.
Já para o caso da Atividade 2 os pré-requisitos são: conhecer medida de
ângulos, conhecer os elementos de uma circunferência, conhecer medidas de
comprimento.
Se você desejar promover uma atividade em que se faça uma transposição
do sistema de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas polares o
pré-requisito é que os alunos saibam trigonometria. Por outro lado, a necessidade
da trigonometria para poder realizar uma atividade como essa, pode ser o ponto
de partida para o início do estudo desta área da Matemática.
Na sala de aula
Você pode, por exemplo, conversar com os alunos sobre as experiências
deles com sistemas de coordenadas. Perguntando se já jogaram batalha naval, war,
xadrez, se já viram filmes de salvamentos na selva ou caminhadas por trilhas, etc.
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Uma outra dica é levar à sala um mapa mundi ou um Atlas. Aliás, com um
Atlas é possível mostrar que certos mapas utilizam sistemas de coordenadas
diferentes (planisfério, projeção polar...).
Na sala de computadores
A preparação para a sala de computadores resume-se em acessar a página
onde estão as atividades. Para isso, recomenda-se que alguém deixe os
equipamentos ligados e que se verifique as condições da rede e conectividade, bem
como se todos possuem os plugins necessários para executar as atividades
(Macromedia Flash Player).
Material necessário
O material de anotações dos alunos é suficiente para as atividades
propostas. Lembramos que aqui oferecemos algumas possibilidades de uso dos
objetos de aprendizagem. Você pode criar muitas outras atividades envolvendo
outros materiais como mapas, etc.
Para saber mais
Você pode aproveitar a sala de computadores e acessar o endereço
http://www.ibge.gov.br/ibgeteen/atlasescolar/index.shtm. Nesse endereço você encontra
boas explicações sobre cartografia, GPS e os alunos terão mais exemplos da
utilidade dos sistemas de coordenadas no cotidiano.
Atividades
Atividade 1 – Coordenadas Caça ao tesouro
Nesta atividade se espera que os alunos sejam capazes utilizar um sistema
de coordenadas retangulares não ordenado e que com isto localize pontos do
mapa. É importante que durante a utilização do objeto o professor questione os
alunos quanto a viabilidade de utilizar o par da coordenada em outra ordem,
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ressaltando assim que neste caso não há diferença quando citamos um par O4 ou
4O, o que não acontecerá depois, quando for apresentado o Plano Cartesiano. A
utilização do objeto e manipulação com o sistema de coordenadas não ordenadas
servirá para introdução das cordenadas cartesianas.
Ao explorar o objeto e jogar o caça ao tesouros os alunos podem se
questionar quanto ao fato de usarem um sistema de coordenadas alfanumérico e
portanto, que a ordem não interfere na definição da coordenada escolhida. Essa
questão pode surgir naturalmente, com os alunos testando coordenadas como “F5”
ou “5F” ou ainda pode ser proposto a eles que experimentem isso. Visto que o jogo
dá erro com diposições diferentes dessas, como o uso de dois números ou duas
letras.
Além disso, o uso de uma coordenada que não pertence ao sistema de coordenadas
usado no jogo dá um retorno ao aluno que pode ser explorado. Tentando por
exemplo “16D”, o jogo indica “Desculpe capitão, mas este lugar não está na ilha”.
O professor pode discutir com os alunos por que o jogo traz essas mensagens e que
signifcados elas têm.
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O contraponto com o Plano cartesiano é importante depois da utilização do
objeto, pois vai ajudar a assegurar a importância da ordem estabelecida na
definição das coordenadas cartesianas. Por isso utilizam-se pares ordenados.
Sugestão de atividades posteriores:
Utilize um sistema de coordenadas com as classes das sala de aula. Esta pode ser
uma atividade para iniciar com o sistema cartesiano, mas se preferir utilize o
sistema de coordenadas alfa-numérico mesmo. Defina com os alunos que as cada
fileira será uma letra e cada classe da fileira um número. Assim os alunos irão se
dispor num sistema onde não há repetição de classes na hora de citar alguém.
Haverá uma correspondência biunívoca entre o número de alunos e as
posições definidas na sala? Há classes sobrando? Pense a respeito.
Por exemplo, a sala de aula esquematizada abaixo com cinco fileiras de seis
classes cada uma.
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NOME DO
ALUNO
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ALUNO
É importante desenhar com os alunos o esquema no quadro para que eles
acompanhem o desenvolvimento da atividade.
Cada aluno receberá um cartão de cor verde e outro e cor vermelha.
Definindo com os alunos o sistema de coordenadas e colocando-o também no
quadro, o professor vai começar a brincadeira. Ele deverá dizer um nome de aluno
e a localização que ele se encontra usando um par ordenado. Os alunos deverão
então usar os cartões para dizer se a afirmação do professor está certa ou errada. O
cartão vermelho indica que a afirmação está errada e o verde que está correta. O
aluno que errar sai do jogo.
Atividade 2 e 3 – Radar e Navegando (Coordenadas Polares)
Neste objeto o aluno terá a possibilidade de conhecer e utilizar um sistema
de coordenada que normalmente não é explorado na escola, provocando sua
curiosidade para descobrir novos sistemas.
O professor deverá explicar para os alunos o uso de sistemas de
coordenadas polares. A atividade 2 faz que o aluno explore o conceito e utilize-o
de forma a localizar os objetos situados na tela, indicando distância e ângulo.
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Já na atividade 3 o aluno deve realizar o processo contrário. Os objetos estão
colocados na tela e o aluno deverá ir navengando na tela indicando o caminho com
as coordenadas polares, este processo de reversibilidade pelo qual o aluno passa
realizando as duas atividades é especificamente rico para a construção do conceito
e pode auxiliar o professor na avaliação do entendimento do assunto.
Como sabemos, reversibilidade operacional é a capacidade de o aluno fazer
e desfazer uma ação, seguindo na linha de raciocínio de volta ao ponto de partida.
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Sugestão de Atividade
O professor pode organizar no pátio da escola, um caça ao tesouro onde os
alunos se utilizarão somente das dicas encontradas por eles mesmos no pátio.
Elaborar uma lista de coordenadas polares utilizando o espaço escolar e
uma bússola. Cada grupo de alunos utilizará sua própria bússula.
Cada grupo partindo de um determinado lugar terá no pátio seu próprio
conjunto de coordenadas espalhadas e escondidas. Através da primeira
coordenada terão de chegar na segunda medindo passos e usando a medida em
graus que lhes foi dada.
É interessante que antes de realizar a atividade o professor auxilie os alunos
no manuseio da bússula, ensinando-lhes seu funcionamento.
Referências
ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte, vol. 2, 6a. ed., Porto Alegre: Bookman, 2000.
BATSCHELET, E. Introdução à Matemática para Biocientistas. EDUSP, SP, 1978.
Para saber mais
Rede Interativa Virtual de Educação:
Localizando no plano
http://rived.proinfo.mec.gov.br/atividades/matematica/geometriaanalitica/atividad
e1/atividade1.htm
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