BIO 11443-Métodos Quantitativos Aplicados à Ecologia
Prof. Adriano Sanches Melo - Dep. Ecologia – UFRGS
[email protected]
Página do curso: www.ecologia.ufrgs.br/~adrimelo/mq/
04 de abril de 2006
-- O que é um modelo?
Modelos matemáticos: y = b*x
Exemplo: Faturamento em loja de sorvete
Cada sorvete = 2 reais
Se vendeu 3 sorvetes, faturamento = 6 reais
Se vendeu 7 sorvetes, faturamento = 14 reais
Se vendeu 13 sorvetes, faturamento = 26 reais
Generalizando: Y = 2*X
Modelos estatísticos: y = b*x + e
Cada sorvete = em média 2 reais (depende do freguês!)
Se vendeu 3 sorvetes, faturamento = em média 6 reais
Se vendeu 7 sorvetes, faturamento = em média 14 reais
Se vendeu 13 sorvetes, faturamento = em média 26 reais
Generalizando: Y = 2*X + e
Modelos estatísticos:
y = b*x + e
--Variáveis dependentes e independentes
(respostas)
(preditoras)
Exemplos
5
6
7
A equação da reta
Y = a + b*X
a = intercepto
b = coeficiente de inclinação ou coeficiente angular
3
4
1
0 1 2
Y
b
a
0
1
2
3
4
X
5
6
7
8
Exemplos:
Valor pago (Y) = Tarifa*Número de unidades de produto (X)
Valor pago (Y) = Taxa de entrada + Tarifa* Distância em km (X)
O modelo de regressão
Yi = 0 + 1Xi + i
onde:
Yi é o valor da variável resposta na observação i;
0 and 1 são parâmetros;
Xi é um valor conhecido da variável explanatória;
i termo relacionado ao erro, e que possui média E{i}=0 e variância
2{i} = 2;
i e j não são correlacionados fazendo com que sua covariância
seja zero (i.e. {i , j }=0 para todos i, j; ij).
i = 1, 2, ..., n.
Distribuição de probabilidades de Y
Curva da Regressão
0
50
100
150
Heterogeneidade do habitat (X)
E{Y} = 12 + 0.2X
E{Yi} = 32
i = -3
Yi = 29
0
50
100
150
Heterogeneidade do habitat (X)
--O modelo é simples, pois possui apenas 1 variável explanatória.
--O modelo é linear nos parâmetros, pois nenhum parâmetro aparece
como expoente, nem é multiplicado ou dividido por outro parâmetro.
--O modelo é linear na variável explanatória, pois esta variável aparece
apenas na primeira potência.
O critério de Quadrados Mínimos (Least Squares)
Definição de Q
=  ( Yi - [ 0 + 1Xi ] )2
Exemplo com média de uma população (aula anterior)
Exemplo “regressão” com apenas a constante (= média; idem
exemplo acima)
Exemplo com regressão com apenas um coeficiente de regressão
Como encontrar b0 e b1 ?
1. Por iteração (tentativa e erro)
2. De forma analítica
b1
X  X Y  Y 


 X  X 
i
i
2
i
1
b0   Yi  b1  X i   Y  b1 X
n
40
Riqueza de espécies
30
Q = 274.7
Y1=10 X1=20
Y2=28 X2=70
Y3=32 X3=120
20
10
Y = 23.3 + 0.0*X
0
40
Q = 32.7
30
b1

X  X Y  Y 


 X  X 
i
2
i
20
b0  Y  b1 X
10
0
i
Y = 7.933 + 0.22*X
0
50
100
150
Heterogeneidade do habitat
SS Total (SST) = SS Regressão (SSR) + SS Resíduo (SSE)

 
Yi  Y  Yˆi  Y  Yi  Yˆi
SST   Yi  Y 
2
 
SSE   Y  Yˆ 
SSR  
Yˆi  Y
2
2
i

SSTotal (SST) = SSRegressão (SSR) + SSResíduo (SSE)
ˆ
ˆ
Yi  Y  Yi  Y  Yi  Yi
SST
SSR
SSE
Yi  Yˆ
Yˆ  Y
Y
Yi  Y
Média = Y
Estimado = Yˆ
X
O que acontece com Yi  Yˆ quando os pontos,
mantendo a mesma média, se aproximam da reta?
Yi  Yˆ
Yˆ  Y
Y
Yi  Y
Média = Y
Estimado = Yˆ
X
O que acontece com
igual à média?
Yi  Yˆ quando a reta de ajuste é
Yi  Yˆ
Yˆ  Y
Y
Yi  Y
Média = Y
Estimado = Yˆ
X
Coeficiente de determinação
Coeficiente de Correlação
SSR
R 
SST
2
r  R
2
Um sinal de + ou – é anexado ao valor de acordo com a inclinação da reta
Relação entre b1 e r: o coeficiente angular é
o coeficiente de correlação ‘reescalado’ em
relação aos desvios padrão de Y e X
 sy
b1  r 
 sx



SSTotal (SST) = SSRegressão (SSR) + SSResíduo (SSE)
ˆ
ˆ
Yi  Y  Yi  Y  Yi  Yi
SST
SSR
SST   Yi  Y 
2
 
SSE   Y  Yˆ 
SSR   Yˆi  Y
2
2
i
SSE

Y Y 

MST  Var 
2
i
n 1
SSR
MSR 
1
SSE
MSE 
n2
SS Total (SST) = SS Regressão (SSR) + SS Resíduo (SSE)

 
Yi  Y  Yˆi  Y  Yi  Yˆi

SST   Yi  Y 
2
 
SSE   Y  Yˆ 
SSR  
Yˆi  Y
2
2
i
Quadrados Médios (MS) = variância = SS/df
, onde df = n-1
Soma de Quadrados dos Resíduos (SSE)
Quadrados Médios dos Resíduos (MSE) = SSE/df, onde df = n-2
Soma de Quadrados da Regressão (SSR)
Quadrados Médios da Regressão (MSR) = SSR/df , onde df = 1