Introdução às máquinas de fluido

Matéria:

Pontos dinamicamente semelhantes




Curva da instalação
Ponto de funcionamento
Optimização do funcionamento de turbomáquinas


Mesma máquina a diferente rotação
Condições para rendimento máximo
Exercício.
Aplicação do teorema dos  a máquinas
hidráulicas ( constante) (I)

Vimos na última aula que, para máquinas
geometricamente semelhantes:
 Q ND 2 
L

 F 
,
2 5
3
N D
 
 ND
Nº. de Reynolds
Coeficiente de binário
Coeficiente de caudal

Desprezando Re (esc. completamente
turbulento):
L
 Q 
 F
3 
N D
 ND 
2
5
Aplicação do teorema dos  a máquinas
hidráulicas ( constante) (II)

Binário L foi escolhido arbitrariamente

Para qualquer outra variável independente
(P, H, ,…):
P
 Q 
 FP 
3 
N 3 D5
ND


gH
 Q 

F
H
3 
N 2 D2
ND


 Q 
  F 
3 
 ND 
etc.
Y  f X 
Só há um grupo adimensional
independente, para Re elevado
Aplicação do teorema dos  a máquinas
hidráulicas ( constante) (III)

H
Para mesma família de máquinas as curvas de
funcionamento adimensionais ficam sobrepostas
1000 rpm, D=25 cm
1200 rpm, D=20 cm
1350 rpm, D=15 cm
1500 rpm, D=15 cm
Q

gH
N 2D2

Q
ND 3
Pontos dinamicamente semelhantes

Portanto se
 Q   Q 


3 
3 
 ND 1  ND  2
1000 rpm
1200 rpm
1350 rpm
1500 rpm
gH
 2 2
N D
 gH   gH 
 2 2    2 2  e 1 = 2
 N D 1  N D  2
12


Os pontos 1 e 2 são pontos dinamicamente
semelhantes (mesmos grupos adimensionais, mesma
proporção de grandezas dinâmicas e cinemáticas)
Q
ND 3
Pontos dinamicamente semelhantes para a
mesma máquina

Mesma máquina: D1=D2
Q1
Q2

N1D 3 N 2 D3
gH1
gH2

N12 D 2 N 22 D 2
12
Q1  H 1 

 
Q2  H 2 

1000 rpm
1200 rpm
1350 rpm
1500 rpm
gH
 2 2
N D

N1
N2
12
Pontos dinamicamente semelhantes da mesma
máquina a diferentes velocidades de rotação

Q
ND 3
Pontos dinamicamente semelhantes para a
mesma máquina - D1=D2
Parábolas H=kQ2

H
Mesma máquina
12
Q1  H 1 

 
Q2  H 2 

P2
H2
N1
N2
P1
H1
N2 = 1200
rpm
 H1  2
H   2 Q
 Q1 
k

N1 = 1000 rpm
Q1 Q2
Pontos sobre a mesma parábola no diagrama H,Q
representam pontos dinamicamente semelhantes
obtidos com a mesma máquina a diferentes rotações
Q
Exercício 1




Considere as turbinas Francis de Cabora Bassa: H=113,5m;
N=107,1rpm, P=415MW, D=6,56m.
Pretende-se ensaiar em laboratório um modelo à escala 1/20
com uma queda de 22m.
Qual a velocidade de rotação, potência e caudal do modelo para
simular o protótipo em condições nominais? Despreze a
influência de Re e admita um rendimento 95%.
Resposta: N’ = 943 rpm, P’ = 88 kW, Q’ = 0,43 m3/s.
Curva da instalação

Aplicando equação de Bernoulli entre as 2 superfícies
livres da instalação representada:
Energia mecânica dissipada na
instalação
Energia mecânica acumulada sob a
forma de pressão e energia potencial
p  pA
H B
 zB  z A 
g
pB
 l 
1  2
f  
Q
2
 d  eq 2 gA 
zB-zA
Energia mecânica necessária
fornecer ao fluido pela bomba
H=F(Q) é a curva da instalação
pA
Q
Curva da instalação

Curva que dá a energia que mecânica H que é
necessário fornecer ao fluido para o fazer circular numa
dada instalação com um caudal Q.
Curva da instalação
H=F(Q)
H
pB  p A
 zB  z A 
g
 l 
1  2
f  
Q
2
 d  eq 2 gA 
H
Dissipação
na conduta
k
Se o escoamento for completamente
turbulento na conduta f  f(Re)
Acumulação
Energia Mec.
Q
Ponto de funcionamento

Caudal e altura de elevação para os quais a energia
fornecida pela bomba equilibra a que a instalação pede:
Curva da instalação
H
H1
1
Q1
Curva da bomba
à rotação N
Q
Condições para rendimento máximo

Qual a rotação para a qual se atinge rendimento máximo?

Ponto 2: rendimento máximo à rotação original
Pontos de rendimento máximo quando N varia: H 
H2 2
Q
2
Q2
H
Curva da instalação
2
H2
1
H1
3
Curva da bomba
à rotação N

Q3
Q2
Q1
Q
Ponto 3: rendimento máximo à
rotação alterada, mas também
ponto sob a curva da instalação
Q3
N ´ N
Q2
Associação de máquinas em série

Qual o caudal fornecido pelas duas bombas em série?
Mesmo caudal, altura de elevação somada
H
BA
Curva resultante da
associação em série
H=HA+HB
Curva da instalação
Q
BB
A
A+B
Curva da bomba A
à rotação NA
B
Curva da bomba B
à rotação NB
Q
Associação de máquinas em paralelo

Qual o caudal fornecido pelas duas bombas em paralelo?
Mesma altura de elevação, caudal somado
H
Q
BA
Curva da instalação
BB
A+B
A
H=HA=HB
Curva resultante da
associação em paralelo
B
Curva da bomba A
à rotação NA
Curva da bomba B à rotação NB
Q=QA+QB
Q
Associação em série e em paralelo de
máquinas hidráulicas motrizes

Problema 1º teste 2010-11
Uma bomba radial bombeia água ( = 1000 kg/m3;  = 10-6 m2/s) de um rio para um
reservatório à pressão atmosférica, conforme indicado na figura. As curvas da
bomba à rotação de 3000 rpm têm por equação, respectivamente
H  45 12000Q2
e
  4670Q  78000Q2
com H em m e Q em m3/s). O escoamento nas condutas pode ser considerado
completamente turbulento, sendo o coeficiente de perda de carga total (condutas
de aspiração e compressão) de 5000 m/(m3/s)2.
a) Qual o valor se aproxima mais do caudal debitado?
25 l/s
31 l/s
40 l/s
45 l/s
52 l/s
60 l/s
10,5 m
b) E da potência dissipada na conduta?
1,3 kW
2,1 kW
4,5 kW
6,1 kW
7,0 kW
8,5 kW
es
Problema 1º teste 2010-11
Uma bomba radial bombeia água ( = 1000 kg/m3;  = 10-6 m2/s) de um rio para um
reservatório à pressão atmosférica, conforme indicado na figura. As curvas da
bomba à rotação de 3000 rpm têm por equação, respectivamente
H  45 12000Q2
e
  4670Q  78000Q2
com H em m e Q em m3/s). O escoamento nas condutas pode ser considerado
completamente turbulento, sendo o coeficiente de perda de carga total (condutas
de aspiração e compressão) de 5000 m/(m3/s)2.
c) Qual o valores mais próximo da velocidade de
rotação para a qual a bomba funcionaria com melhor
rendimento?
10,5 m
1525 rpm
1685 rpm
1784 rpm
1936 rpm
2352 rpm
2842 rpm
es
Bibliografia

Capítulos 2 e 3
Turbomáquinas, A. F. O. Falcão, Folhas
AEIST, 2004.