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Licenciatura em Engenharia Electrónica – LEE -- IST
Fundamentos de Controlo
1º semestre 2013-2014
Guia de trabalho de Laboratório
Análise e projecto no domínio da frequência
elaborado por:
Eduardo Morgado
Dezembro 2013
.
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I – Introdução
Na Figura representa-se esquematicamente um sistema de controlo de nível de um fluido num
reservatório. O sinal proveniente do sensor é comparado com uma referência e o resultado
processado por um Controlador, o qual através de um dispositivo Actuador ajusta uma Válvula
que determina o caudal que entra no reservatório. A válvula situa-se a uma distância d da
entrada do fluido no reservatório o que, em certas condições, pode introduzir um atraso
significativo. Numa primeira abordagem vamos considerar desprezável esse atraso.
Actuador
/Controlador
O sistema em malha fechada é representado pelo diagrama de blocos seguinte em que se
assinala a entrada de referência r, o caudal de entrada no reservatório qi , a variável controlada
h (nível do fluido) e a possível ocorrência de uma perturbação exterior p.
As variáveis representadas no diagrama de blocos são ‘variáveis incrementais’ definidas na
vizinhança de um ponto de funcionamento nominal.
P(s)
Qi(s)
R(s) +
_
K(s)
Ga ( s ) =
Ga(s)
10
s + 10
+
Gp(s)
Gp( s ) =
H(s)
+
1
s+1
K(s): função de transferência do Controlador
Ga(s): função de transferência do Actuador
Gp(s): função de transferência do ‘Processo’ (relacionando as T.L.dos incrementos do caudal qi
e da altura h do fluido)
.
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II – Preparação teórica a realizar antes da sessão de Laboratório
(resultados a apresentar no pré-relatório entregue na sessão de laboratório)
Nota: Nesta
Nesta preparação
preparação teórica
teórica pretende-se
pretende-se que
que os
os diagramas
Nota:
diagramas de
de Bode
Bode assimptóticos
assimptóticos ee os
os
diagramas dedeNyquist
sejamsejam
traçadostraçados
(esboçados)
em papel quadriculado
ao
diagramas
Nyquist
(esboçados)
em papel semelhante
quadriculado
utilizado nos
e exames.
semelhante
aotestes
utilizado
nos testes e exames, sem recorrer a software de simulação.
As quantidades
quantidades lidas
lidas nos
nos diagramas
diagramas assimptóticos
assimptóticos serão
serão simples
simples estimativas.
estimativas.
As
2.1 – Controlador Proporcional, K(s) = K
2.1.1- Trace o diagrama de Bode assimptótico da resposta em frequência da malha aberta
(amplitude e fase) com K=10.
[gráfico B1]
2.1 2 – Esboce o diagrama de Nyquist, indicando o respectivo contorno de Nyquist. Analise a
estabilidade do sistema em malha fechada em função de K>0 utilizando o critério de Nyquist.
[gráfico Nyq1]
2.1.3 - Para K=10 determine estimativas da Margem de Ganho e da Margem de Fase, a partir
do diagrama de Bode assimptótico.
2.2 – Controlador com acção integral, K(s )= K/s
- De modo a anular o erro em regime permanente ao escalão na entrada de referência
considere a utilização de um controlador puramente integral:
K( s ) =
K
com K =10
s
2.2.1 – Trace o diagrama de Bode assimptótico da resposta em frequência da malha aberta
(amplitude e fase)
[gráfico B2]
2.2.2 – Esboce o diagrama de Nyquist, indicando o respectivo contorno de Nyquist.
Será o sistema em malha fechada estável com aquele valor de K ? E com K=32 ? Justifique,
com base em estimativas obtidas do diagrama de Bode assimptótico.
Analise a estabilidade do sistema em malha fechada em função de K>0 utilizando o critério de
Nyquist. Justifique devidamente.
[gráfico Nyq2]
2.3 – Rejeição de perturbação – Moldagem do ‘ganho de malha’
- Considere uma perturbação P(s) cujo espectro de potência Φ p ( ω ) se situa
maioritariamente na banda de frequências ω < 1 rad / s . Pretende-se reduzir fortemente o
seu efeito na saída h .
2.3.1 – Determine a expressão da função resposta na frequência H ( jω ) / P( jω ) r =0 como
função de K ( jω ), Ga ( jω ), G p ( jω )
.
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2.3.2 - Pretende-se que:
no intervalo de frequências 0 < ω < 1 rad / s .
H ( jω ) / P( jω ) < −40dB
Mostre que esta especificação para o sistema em malha fechada pode ser traduzida, em boa
aproximação, pela restrição imposta ao ‘ganho de malha’ aberta:
K ( jω ) G a ( jω ) G p ( jω ) > 40 dB
no intervalo de frequências ω < 1 rad / s .
Represente graficamente a correspondente ‘zona de exclusão’.
Trace o diagrama de Bode assimptótico da malha aberta com o controlador Integral K(s)= K/s
e determine o valor mínimo de K=Kmin para o qual o diagrama de amplitude não intersecta
aquela ‘zona de exclusão´. Analise a estabilidade do sistema para K ≥ K min , justificando.
2.3.3 – Mostre, através do traçado assimptótico do diagrama de Bode e da análise de
estabilidade pelo critério de Nyquist, que um controlador Proporcional-Integral
K( s ) =
K (s + z)
.
s
z
com K=100
e z =1 permite cumprir a especificação da ‘rejeição’ da
perturbação com um sistema estável.
Determine estimativas da Margem de Fase e da Margem de Ganho a partir do diagrama de
Bode assimptótico.
[gráfico B3] [gráfico Nyq3]
----- # ----
III - Simulação com Matlab/Simulink a realizar durante a sessão de
laboratório
(Relatório final a entregar na 1ª aula teórica
da semana seguinte à da sessão de laboratório)
•
Nota 1: Construída a função de transferência necessária, ‘sys’, (ver Nota 2) os
correspondentes diagramas de Bode e de Nyquist obtêm-se com os comandos:
>> bode(sys)
>> nyquist(sys)
No diagrama de Nyquist pode ser instrutivo analisar diferentes regiões do plano
complexo em escalas diferentes, em particular a vizinhança do ponto (-1).
•
Nota 2: As funções de transferência necessárias para obter os diagramas de
Bode, de Nyquist ou as respostas no tempo podem ser obtidas por duas vias:
- i) pela command line do Matlab construindo as funções de transferência da malha
aberta a partir dos polinómios numerador e denominador, e da malha fechada com o
comando feedback:
>>
>>
>>
>>
>>
num=[…]
den=[…]
sys=tf(num,den)
sys3=sys1*sys2 (blocos em série)
Gcf=feedback(10*sys1,sys2)
...=feedback(...,...,+1) for positive feedback
.
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- ii) a partir do diagrama Simulink 'diagr' recorrendo ao conjunto de comandos
‘linmod’; assinalar a entrada e a saída consideradas com os blocos ‘In1’ e ‘Out1’.
>> [a,b,c,d]=linmod('diagr');
>> s=ss(a,b,c,d);
(dá as matrizes do modelo de estado)
>> sys=tf(s)
(dá a função de transferência)
- Nas suas respostas apresente os diagramas e os comandos Matlab utilizados 3.1 - Controlador Proporcional , K(s) = K
3.1.1 – Obtenha em simulação (e registe) o diagrama de Bode da malha aberta (faça K= 10).
Compare com o diagrama traçado em 2.1.1 e com os valores das Margens de
Estabilidade estimados em 2.1.3
3.1.2 - Obtenha em simulação (e registe) o diagrama de Nyquist e confirme os resultados da
análise de estabilidade realizada em 2.1.2
Para obter as Margens de ganho e de fase a partir da f. t. da malha aberta ‘sys’:
>> [Gm,Pm]= margin(‘sys’)
3.2 – Controlador com acção Integral K(s )= K/s
3.2.1 – Obtenha em simulação (e registe) o diagrama de Bode da malha aberta com o
controlador puramente Integral. Compare com a sua resposta em 2.2.1.
3.2.2 - Obtenha em simulação (e registe) o correspondente diagrama de Nyquist. Confirme os
resultados de 2.2.2.
3.3 - Rejeição da perturbação
3.3.1 – Mostre, em simulação Matlab, (diagrama de Bode e análise de estabilidade pelo critério
de Nyquist) que o controlador Proporcional-Integral
K( s ) =
K (s + z)
.
s
z
com K= 100 e
z =1 permite cumprir a especificação da ‘rejeição’ da perturbação definida em 2.3 garantindo
a estabilidade.
Para tal, confirme esses resultados através dos diagramas de Bode
i)
da função resposta na frequência da malha aberta K ( jω ) G a ( jω ) G p ( jω )
confirmando os resultados de 2.3.3
ii)
da função resposta na frequência H ( jω ) / P( jω ) r =0
(registe os diagramas)
.
em malha fechada
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Nas alíneas seguintes volte a considerar a utilização de
um controlador Proporcional K(s) = K
O critério de estabilidade de Nyquist é especialmente útil na análise de sistemas incluindo
atrasos puros que, em rigor, não são descritos por funções de transferência racionais.
3.4 – Efeito de um atraso puro exp(-sτ)
•
Nota: para criar em Matlab um atraso puro (delay) em tempo contínuo com
função de transferência d(s) = exp(-sτ) escrever na command line
>> s=zpk('s');
>> d=exp(-tau*s)
(zero-pole-gain models)
Ao utilizar o comando feedback( ) há que converter para state space a função de
transferência que contém o atraso:
>> sys=ss(sys); Gcf=feedback(sys,1)
Em ambiente Simulink usar o bloco (Simulink library/Continuous):
Transport
Delay
Actuador
/Controlador
Qi(s)
Ga(s)
exp(-sτ)
Gp(s)
- Nas condições da alínea 3.1, com controlador Proporcional K(s) = K =10, considere a
existência de um atraso τ com função de transferência exp(-sτ) . Este atraso está associado ao
facto de o efeito do ajuste da válvula que determina o caudal só se fazer sentir no reservatório
passados τ = d/v (segundos) em que d é a distância entre a válvula e a entrada do caudal no
reservatório, e v a velocidade do fluido (ver Figura). Faça τ = 0,5 seg
3.4.1 - Obtenha o diagrama de Bode da malha aberta com a inclusão do atraso puro, e o
correspondente diagrama de Nyquist (construa a nova função de transferência da malha aberta)
e conclua, justificando, sobre a estabilidade do sistema em malha fechada.
(registe os diagramas)
3.4.2 – Obtenha, por tentativas e leituras no diagrama de Bode (ou no diagrama de Nyquist),
uma estimativa do valor mínimo do atraso tau que torna o sistema instável.
.
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3.4.3 – Observe (em ambiente Simulink ou construindo a função de transferência da malha
fechada Gcf=feedback(…,…)na command line do Matlab) a resposta no tempo ao escalão do
sistema em malha fechada contendo o atraso. Confirme, de forma aproximada, através da
resposta temporal, as conclusões de 3.4.1 e 3.4.2. sobre a estabilidade.
3.5 – Sistema de fase não-mínima
- Com controlador Proporcional K(s) = K =10 (e sem o atraso) suponha agora que o pólo do
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actuador muda de sinal passando a ser: Ga ( s ) =
s − 10
Obtenha o diagrama de Bode da malha aberta e o correspondente diagrama de Nyquist e
1
comente as diferenças em relação ao caso da alínea 3.1 em que Ga ( s ) =
.
s + 10
Analise as consequências para a estabilidade do sistema em malha fechada utilizando o critério
de Nyquist.
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