Organização de computadores
Aula 6 - Álgebra de Boole
Professora Marcela Santos
[email protected]
Tópicos
•Portas lógicas e álgebra de boole
•Álgebra de boole – regras e propriedades
•Provas de algumas regras
•Teoremas de De Morgan
•Universalidade das portasa Nand e Nor
Professora Marcela Santos
[email protected]
Portas lógicas e Álgebra de
Boole
FUNÇÃO AND (E)
FUNÇÃO OR (OU)
S = A⋅B
S= A+ B
A
B
S
A
B
S
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
Portas lógicas e Álgebra de
Boole
FUNÇÃO NOT
(INVERTER OU NÃO)
S= A
A
S
0
1
1
0
Portas lógicas e Álgebra de
Boole
FUNÇÃO NAND (NÃO E)
FUNÇÃO NOR (NÃO OU)
S = A⋅B
S= A+ B
A
B
S
A
B
S
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
Portas lógicas e Álgebra de
Boole
FUNÇÃO XOR
(OU EXCLUSIVO)
FUNÇÃO XNOR
(OU COINCIDÊNCIA)
S = A⊕ B
S = A⊗ B
A
B
S
A
B
S
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
XOR - a saída será verdade se exclusivamente uma ou outra entrada for
verdade. (XNOR - inverso da XOR). Isto só se aplica se houver apenas 2
entradas.
Álgebra de Boole
Regras e propriedades
Teoremas Booleanos
Teoremas com 1 variável lógica
Teoremas Booleanos
Teoremas com 1 variável lógica
Ressalta-se que a variável x em que se aplica os teoremas de (1) a (8)
pode ser uma expressão que contenha mais de uma variável.


Por exemplo, se tivéssemos a expressão AB AB , poderíamos considerar


x = AB e aplicar o teorema (4):
Teorema (4):
Assim:
x⋅ x = 0
A B A B  = 0


A mesma idéia pode ser aplicada no uso de qualquer um
desses teoremas !
Portas lógicas e Álgebra de
Boole

As portas universais
PORTA NAND
PORTA NOR
A⋅B
A+ B
Portas NOR e Portas NAND
Na realidade elas combinam as operações básicas AND, OR e NOT, de
modo que é relativamente simples escrever suas expressões
Booleanas.
PORTA NOR (“NÃO-OU”)
FIGURA 3-19
(a) Símbolo de porta NOR; (b) Circuito equivalente; (c) Tabela-verdade.
Portas NOR e Portas NAND
PORTA NAND (“NÃO-E”)
Portas NOR e Portas NAND
Determine a expressão Booleana para uma porta NOR de três entradas
seguidas de um inversor.
Sempre que duas barras estiverem sobre a mesma variável ou
expressão, uma cancela a outra, como mostrado acima. Entretanto,
em casos como:
A+ B
as barras de inversão não se cancelam. Assim:
A+ B ≠ A+ B
A⋅ B ≠ A⋅ B
Teoremas de DeMorgan
Embora os teoremas tenham sido apresentados em termos das variáveis
eles são igualmente válidos para situações em que
com mais variáveis.
Exemplo:
( AB + C ) = ( AB ) ⋅ C
x
e/ou
y
x e y,
são expressões
Teoremas de DeMorgan
EXEMPLO: Simplifique a expressão
apenas variáveis simples invertidas.
(
)(
z = A+ C ⋅ B + D
)
para que ela tenha
Solução
Usando o teorema (17), temos:
(
)(
) (
) (
z = A+ C ⋅ B + D = A+ C + B + D
)
= A⋅ C + B ⋅ D
= A⋅ C + B ⋅ D
Os teoremas de DeMorgan podem ser estendidos
para mais de duas variáveis ?
Teoremas de DeMorgan
Considere o complemento da soma lógica para três variáveis lógicas:
x + y + z = ( x + y) ⋅ z
= x⋅ y⋅ z
Expressão semelhante ao
teorema
para
2
variáveis !!
Raciocínio semelhante pode ser aplicado para o complemento da soma lógica
de N variáveis.
De forma semelhante, temos que:
x⋅ y⋅ z = x + y + z
O teorema de DeMorgan para o complemento do produto lógico também pode
ser estendido para N variáveis.
Teoremas de DeMorgan
Analisando os teoremas de DeMorgan do ponto de vista das portas lógicas
FIGURA 3-26
(a) Circuitos equivalentes relativos ao teorema (16); (b) símbol alternativo para a função NOR.
FIGURA 3-27
(a) Circuitos equivalentes relativos ao teorema (17); (b) símbolo alternativo para a função NAND.
Universalidade das Portas NAND e NOR
Todas as expressões Booleanas consistem em combinações das operações
básicas OR, AND e INVERSOR. Entretanto, é possível implementar qualquer
expressão usando apenas portas NAND, e nenhum outro tipo de porta lógica.
INVERSOR
FIGURA 3-29
As portas NAND podem ser usadas para implementar qualquer função booleana.
Universalidade das Portas NAND e NOR
De modo similar, notamos que as portas NOR podem ser associadas para
implementar qualquer operação Booleana, tornando possível a implementação
de qualquer expressão usando apenas portas NOR, e nenhum outro tipo de
porta lógica.
INVERSOR
FIGURA 3-30
As portas NOR podem ser usadas para implementar qualquer operação booleana.
Como essas equivalências podem ser utilizadas na prática ?
Universalidade das Portas NAND e NOR
EXEMPLO: Em um determinado processo de fabricação, uma esteira de
transporte deve ser desligada sempre que determinadas condições ocorrem.
Essas condições são monitoradas e têm seus estados sinalizados por quatro
sinais lógicos, que são:
• A será ALTO sempre que a velocidade da esteira for muito alta.
• B será ALTO sempre que o recipiente no final da esteira estiver cheio.
• C será ALTO quando a tensão da esteira for muito alta.
• D será ALTO quando o comando manual estiver desabilitado.
Um circuito lógico é necessário para gerar um sinal x que será ALTO sempre
que as condições A e B existirem simultaneamente, ou sempre que as
condições C e D existirem simultaneamente.
Solução
x = AB + CD
Como implementar o circuito com o mínimo de CIs ?
Universalidade das Portas NAND e NOR
Solução (continuação)
Considere que os CIs TTL abaixo
estão
disponíveis
para
a
implementação:
Uma forma simples de implementar o
circuito lógico usando os CIs dados é:
Porém, uma alternativa é: