Capítulo 2
Minimização de Circuitos Lógicos
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
Constantes e variáveis booleanas.
Tabela da verdade.
Operações lógicas.
Descrição algébrica de circuitos lógicos.
Simplificação usando álgebra booleana.
Universalidade das portas NAND e NOR.
Formas padrões de expressões booleanas.
O mapa de Karnaugh.
Minimização usando o mapa de Karnaugh.
Constantes e Variáveis Booleanas
• Em 1854 George Boole publicou um artigo em que
apresentava um esquema para a descrição de processos
relacionados com a lógica. Posteriormente, este esquema e
seus refinamentos ficaram conhecidos como Álgebra
Booleana.
• No final da década de 1930, Claude Shannon mostrou que a
álgebra Booleana fornecia um meio efetivo para descrever
circuitos constituídos por chaves, como os circuitos lógicos.
• Na álgebra Booleana, constantes e variáveis possuem apenas
dois valores permitidos, 0 e 1, sendo que o 0 e 1 não são
números de fato, mas representam o estado do nível de
tensão de uma variável, ou, como é chamado, o seu nível
lógico.
Portas OR
(a) Tabela da verdade que define a operação OR; (b) Símbolo para uma
porta OR de duas entradas.
Portas OR
(a) Símbolo e tabela da verdade para uma porta OR de três entradas.
Portas AND
(a) Tabela da verdade para a operação AND; (b) Símbolo para uma porta
AND de duas entradas.
Portas AND
(a) Símbolo e tabela da verdade para uma porta AND de três entradas.
Portas NOT (Inversor)
(a) Tabela da verdade; (b) Símbolo para o Inversor (NOT);
(c) Formas de onda.
Portas NOR
(a) Símbolo da porta NOR; (b) Circuito equivalente; (c) Tabela da verdade.
Exemplo 3-8 – Determine a forma de onda da saída de uma
porta NOR para as formas de onda mostradas na figura.
Portas NAND
(a) Símbolo da porta NAND; (b) Circuito equivalente; (c) Tabela da verdade.
Exemplo 3-10 – Determine a forma de onda da saída de uma
porta NAND para as formas de onda mostradas na figura.
Simplificação Usando Álgebra Booleana
Teoremas Booleanos (teoremas com apenas uma variável)
X é uma variável lógica que pode ser igual a 0 ou 1
Teoremas Booleanos
(teoremas com apenas uma variável)
X é uma variável lógica que pode ser igual a 0 ou 1
Teoremas Booleanos
(Teoremas com mais de uma variável)
• Leis da comutatividade:
• Leis da associatividade:
• Leis da distributividade:
Teoremas Booleanos
(Teoremas com mais de uma variável)
Teoremas de DeMorgan
Universalidade das portas NAND e NOR
Portas NAND usadas para implementar qualquer
função booleana
Portas NOR usadas para implementar qualquer
função booleana
Representação Alternativa das Portas Lógicas
Porta XOR (Função OU-Exclusivo)
Porta XNOR (Função NOU-Exclusivo)
Formas Padrões de Expressões Booleanas
• A lógica estruturada é baseada na capacidade de escrever
equações booleanas de maneira que ela utilize vários tipos de
formas regulares e repetidas. Dois tipos de formas struturadas
são especialmente úteis em um projeto lógico. Elas são
conhecidas como “Soma de produtos” e “Produto de somas”.
• Uma expressão em soma de produtos consiste em efetuar
operações OR sobre termos contendo operações AND. A
expressão em produto de somas consiste em efetuar
operações AND sobre termos contendo operações OR.
Formas Padrões de Expressões Booleanas
• Forma de Soma-de-Produtos
• Forma de Produto-de-Somas
Formas Canônicas
• Uma equação pode estar no formato soma de produtos, mas não
estruturada em sua forma canônica, ou seja, com todos os termos
apresentando todas as variáveis disponíveis. A equação pode ser colocada
em sua forma canônica da seguinte forma:
Mintermos e Maxtermos
• Quando estamos trabalhando com expressões descritas em termos de
soma de produtos, é conveniente introduzirmos o conceito de Mintermo.
O mintermo é formado com a operação AND aplicada a todas as variáveis,
em suas formas normais ou complementares.
• Esta expressão pode ser expressa em termos de mintermos utilizando a
seguinte forma, onde o símbolo de somatório () indica a operação OR
aplicada aos mintermos listados dentro do parêntese.
Mintermos e Maxtermos
• Com funções expressas no formato produto de somas, utiliza-se o
conceito de Maxtermo, que consiste na operação OR aplicada a
todas as variáveis, em suas formas normais ou complementares. Na
função expressa em maxtermos, o símbolo de produtório () indica
a operação AND aplicada nos maxtermos listados.
Mapas de Karnaugh
• Regras para minimização de funções usando mapas de Karnaugh:
- Escrever a função no Mapa de Karnaugh;
- Reunir o maior número possível de células com “1”, de forma simétrica,
sendo que o número total de células deve ser 2n (1,2,4,8,16,32...). As
células devem ser adjacentes entre si;
- Enquanto existirem células com “1” não pertencentes a nenhum dos
grupos formados, devemos repetir o procedimento anterior para a
formação de novos grupos;
- Obter, através da “Soma de Produtos”, a função resultante da
simplificação; cada grupamento de “1” irá representar um produto dentro
da Soma. A identificação do produto será dada pelas variáveis que
permaneceram constantes para o grupamento.
• OBS: Duas células dentro do mapa de Karnaugh serão adjacentes, se de
uma célula para outra somente uma variável de identificação mudar de
estado.