Simulações Computacionais para Sistemas Dinâmicos
Cassia I. G. Silva, Flávia D. Ferreira,
Luciana L. de Asevedo e Rose P. Maria
Instituto de Matemática e Estatística – IME/UERJ
Paulo R. Sabini, Aruquia B. M. Peixoto1
Instituto de Matemática e Estatística – IME/UERJ
cep:20559-900, Rio de Janeiro/RJ
Nas últimas décadas a Teoria dos
Sistemas Dinâmicos teve um desenvolvimento
considerável, com aplicações surgidas nas
mais diversas áreas do conhecimento. Este
avanço está intimamente ligado ao aumento
do poder de processamento dos computadores
atuais.
Nesse
trabalho
estudamos
computacionalmente a variação do Expoente
de Lyapunov para uma família de funções
unidimensionais a dois parâmetros. Tal
expoente - que mede a expansão exponencial
da função (e da derivada) com o tempo - é
obtido calculando-se o limite da média
aritmética dos logaritmos das derivadas ao
longo de um órbita.
Esse limite diz se a função expande
(expoente positivo), contrai (expoente
negativo) ou é neutra (expoente zero).
Funções que expandem ou contraem
são chamadas de hiperbólicas. E compreender
como funções que expandem se transformam
em funções que contraem (ou vice-versa) é
um dos problemas mais importantes hoje em
dia (a esse processo chamamos bifurcação).
O objetivo deste trabalho é, então, a
compreensão da variação desse expoente em
função dos dois parâmetros. Para isso, usamos
métodos e simulações computacionais para
criar modelos de vizualização, baseado na
escolha de cores contrastantes que permitem
facilmente distinguir a parte expansiva, a
contrativa e “fronteira” entre essas duas
regiões.
As duas famílias usadas são clássicas
em Dinâmica. Uma delas, inclusive, é a
famosa Família de Arnold.
1
Orientadores
Criamos programas no Maple capazes de
calcular o expoente para uma faixa de parâmetros
e plotar cada um deles no plano usando uma cor,
escolhida sobre um caminho no espaço de cor,
com parâmetro dado pelo próprio expoente
normalizado, e de modo a evidenciar a região de
bifurcação.
Pra finalizar, também criamos rotinas em
Maple para entender como a Entropia - que mede
a complexidade do sistema - varia em função dos
dois parâmetros.
Entropia é a taxa de crescimento do
número finito de órbitas discretas, obtidas quando
ignoramos órbitas próximas a menos de um
determinado erro, quando a discretização fica cada
vez mais fina. Computacionalmente optamos por
uma definição equivalente da Entropia como a
maior expansão obtida em subintervalos cada vez
menores do domínio.
Todo o material criado está disponível no
site www.ime.uerj.br/~progerio/iniciacao/2006.
Referências

A. Katok, Introduction to the Modern
Theory of Dynamical Systems, Cambridge
University Press - volume 54.

R. Devaney, An Introduction to Chaotic
Dynamical Systems, Addison Wesley –
1989

L. N. de Andrade, Introdução à
Computação Algébrica com o Maple,
Sociedade Brasileira de Matemática –
2004