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Demonstrações de Dudeney e Perigal
Henry Dudeney (1857-1930) foi o maior criador e compilador inglês de quebra-cabeças e
desafios matemáticos. Dudeney era um autodidata que adquiriu um espı́rito matemático
requintado, até porque nunca frequentou uma escola. Começou a trabalhar como funcionário públio em Londres (com 13 anos) mas acabou por dedicar-se ao jornalismo. Em
1917 publicou a demonstração do teorema de Pitágoras descrita pelas figuras seguintes.
Começa-se por dividir um quadrado em quatro partes congruentes através de dois cortes
perpendiculares que passam pelo seu centro (ponto de encontro das diagonais). Esses
quatro quadriláteros são depois rearranjados de modo a formar um quadrado maior que
contém outro quadrado no seu interior. Esta curiosa forma de dividir um quadrado constitui uma elegante prova o teorema de Pitágoras. Observe a figura da direita e tire as
suas conclusões. Note que os segmentos assinalados são congruentes.
Dividindo um quadrado em quatro partes congruentes . . .
temos uma prova do teorema de Pitágoras
Obtemos um quadrado que contém dois quadrados. Isto é uma forma evidente de
mostrar que a soma das áreas dos quadrados mais pequenos é igual a área do quadrado
maior. A figura é bela e fácil de construir, podendo esta demonstração ser elaborada
através de um puzzle, em cartão ou carolina, pois envolve apenas o conceito de figuras
equivalentes e a composição e decomposição de figuras.
No entanto, vários autores atribuem esta forma elegante de demonstrar o teorema de
Pitágoras a Henry Perigal (1801-1898). Perigal foi um livreiro e corretor da bolsa de
Londres (até aos 87 anos) que, em 1873, redescobriu uma prova por dissecação identica
à anterior. Todavia, esta decomposição apareceu no final do século IX pela mão do
matemático e astrónomo árabe Thâbit ibn Qurra (c.830-890).
Começa-se por determinar o centro do quadrado construı́do sobre o cateto maior.
Depois divide-se esse quadrado em quatro quadriláteros congruentes, traçando-se, pelo
seu centro, uma paralela e uma perpendicular à hipotenusa do triângulo. Esses quatro
quadriláteros mais o quadrado construı́do sobre o cateto menor, preenchem exatamente
o quadrado construı́do sobre a hipotenusa.
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No entanto, devemos notar que a região que fica no interior do quadrado maior é
realmente congruente com o quadrado menor. Repare que a paralela à hipotenusa tem
exatamente o mesmo comprimento da hipotenusa (obtemos um paralelogramo). Portanto,
podemos concluir que a + x = b − x. Isto mostra que o quadrado central tem lado a e que
x=
b−a
.
2
Assim, os quadriláteros A, B, C e D têm lados de comprimentos 2c , 2c , x =
e x+a=
b−a
2
b+a
.
2
c
2
C
x
B2
B
a
c
2
B1
D
x
A
a
c
2
c
b
x
A
c
2
D
B
C
b−x
c
2
c
2
b−x
c
2
x
Vejamos a prova algébrica desta dissecação. Concentremo-nos apenas no quadrilátero
B, que pode ser decomposto em dois triângulos retângulos, B1 e B2 , como sugere a figura
da direita. As áreas destes quadriláteros são:
1
1 b−a b+a
b 2 − a2
1 c c
c2
B1 = x(x + a) = ×
×
=
; B2 = × × =
2
2
2
2
8
2 2 2
8
Portanto, cada um dos quadriláteros A, B, C e D tem área B = B1 + B2 =
b 2 − a2 + c 2
.
8
b 2 − a2 + c 2
.
2
Ora, a área dos quatro quadriláteros corresponde precisamente a c2 − a2 . Portanto,
Assim, os quatro quadriláteros têm área 4B =
c 2 − a2 =
b 2 − a2 + c 2
⇔ 2c2 − 2a2 = b2 − a2 + c2 ⇔ c2 = a2 + b2
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Algumas fontes bibliográficas
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml
BELLOS Alex, Alex no paı́s dos números, Lisboa, Grupo Planeta, 2012.
EVES Howard, Introdução à história da matemática, Campinas, Editora Unicamp, 2007.