Análise de Redes de Energia
Eléctrica
Estimação de Estado
Definições
 Processo de atribuir um valor fiável às
variáveis de estado (tensões) de um
sistema de energia eléctrica com base
num conjunto de medidas
 Variáveis que o Operador de Sistema
necessita conhecer:
 Tensões ( módulo, argumento)
 Potências activa e reactiva injectadas
 Potências activa e reactiva transitadas
Definições (cont.)
 Algumas grandezas medidas, outras
calculadas.
 Medidas afectadas pela precisão dos
equipamentos.
 Medidas podem tornar-se erradas devidos a
defeitos do equipamento/transmissão.
 Estimação de Estado: Permite o cálculo das
variáveis de estado do sistema, identifica a
ocorrência de medidas erradas, identifica-as e
corrige-as.
Método dos Mínimos Quadrados
z  H x  e
z medidas
i
x variável de estado
i
e erro aparelho de medida
i
z m 1
H
mn
x n 1
e m 1
Método dos Mínimos Quadrados
(cont.)
Seleccionar uma estimativaxˆ de x que minimize

J  xˆ    z  H xˆ  W  z  H xˆ 
W  matrizm  m que pesa os erros e  z  H xˆ
um índice quadrático J xˆ :
T
Determinação da estimativaxˆ
J  xˆ 
0
 xˆ
Método dos Mínimos Quadrados
(cont.)
J  xˆ   z W z  z W H xˆ  xˆ H  W z  xˆ H  W H xˆ 
J  xˆ 
T
T
T
T
T
T
  H  W  z  H  W z  H  W H xˆ  H  W  H xˆ 
 xˆ
J  xˆ 
T
 2H  W  z  H xˆ   0
 xˆ
T
T
T
xˆ  H  W H  H  W z
1
T
xˆ  G  H  W z
1
T
T
T
T
T
Método dos Mínimos Quadrados
(cont.)
xˆ  G  H  W z
1
T
xˆ  G  H  W H x  e 
1
T
xˆ  x  G  H  W e
1
T
xˆ  x  G  H  W e
eˆ  z  zˆ  z  H xˆ  H x  e  H xˆ
eˆ  e  H  xˆ  x 
1
T
eˆ  e  H G  H  W e  I   H G  H  W e
1
T
1
T
Estatísticas, Erros e Estimativas
 Erros: variáveis
aleatórias
independentes.
 Função densidade de
probabilidade de
Gauss: média, µ = 0
variância, σ2
1
p z  
e
 2
z
y
1 z
 
2 

1
p y  
e
 2

1
 y 2
2



2
Estatísticas, Erros e Estimativas
(cont.)
Variáveis aleatórias independen tes :
E ei e j   0
i j
2
e1 e1e2 ............e1em 


T

ee  



2 
em e1 em e2 ..........em 
 1 0..........0 
0  2 0.......0 
 2

T
E ee   
  R 




2
0............... m 
2
Estatísticas, Erros e Estimativas
(cont.)
zi   hij x j  ei
zi  z verdi  ei
zi função densidade de probabilid ade gaussiana
Ezi   z verdi
E  zi  z verdi     i2
2
W   R 
1
1

0
..........
.....
0
 2

1


0 1 0.............0 
2

  2





1
0..................... 2 
 m 

Estatísticas, Erros e Estimativas
(cont.)
G   H  R H 
xˆ  x  G  H  R  e
Exˆ  x   Exˆ  x   G  H  R  Ee
Exˆ  x   0  Exˆ  x
1
T
1
T
1
1
T
1
Estatísticas, Erros e Estimativas
(cont.)
eˆ  z  zˆ  I   H G  H  W e
1
T
Eeˆ  Ez  zˆ  I   H G  H  W Ee
Eeˆ  Ez  zˆ  0
1
Ez  Ezˆ
mas
zz
verd
e
Ez  z
verd
Logo
Ezˆ  z
verd
T
Estatísticas, Erros e Estimativas
(cont.)
E xˆ  x  xˆ  x    G  H  R  Eee R H G 
T
1
1
T
1
T
1
E xˆ  x  xˆ  x    G  H  R R R H G 
T
1
1
T
1
E xˆ  x  xˆ  x    G  H  R H G 
T
1
1
T
1
E xˆ  x  xˆ  x    G  G G   G 
T
1
1
1
1
Estatísticas, Erros e Estimativas
(cont.)
Eeˆeˆ   E z  zˆ  z  zˆ    I   H G  H  R  Eee
T
Eeˆeˆ   I   H G  H  R 
T
1
T
1
Eeˆeˆ   I   H G  H  R 
T
1
T
1
Eeˆeˆ   I   H G  H  R 
T
1
T
1
Eeˆeˆ   I   H G  H  R 
T
1
I   R H G  H  
RI   R H G  H  
R  H G  H  
I   H G  H  R R
R
1
T
T
1
Eeˆeˆ   R   H G  H   R
T
1
T
T
1
1
1
1
1
T
T
T
T
1
1
1
T
Estatísticas, Erros e Estimativas
(cont.)
eˆ eˆ eˆ ............eˆ eˆ

eˆeˆ  


eˆ eˆ eˆ eˆ ..........eˆ






Eeˆ   E z  zˆ    R
2
1
1
2
1
m
T
2
m
1
m
2
m
2
2
j
j
Eeˆ   0
j
jj
j
 eˆ    z  zˆ  
   
  1
E 



 R    R  
eˆ  0
variável aleatória com fdp de Gauss padrão
R
2
j
j
jj
j
jj
2
j
jj
Estatísticas, Erros e Estimativas
(cont.)
J  xˆ    z  H xˆ  R   z  H xˆ 
1
T
I   H G  H  R e
J  xˆ   e R   R  H G  H  R  e
B  R  R H G  H  R 
J  xˆ   e I   R  H G  H  R 
1
1
T
1
1
1
T
1
1
1
1
1
T
1
T
1
T
J  xˆ   e B e  i1bii ei2  i1 j1bij ei e j
Nm Nm
Nm
T
i j
EJ  xˆ   im1bii Eei2   im1 jm1bij Eei e j 
N N
N
i j
EJ  xˆ   i1bii ii2  tr R B 
Nm

EJ  xˆ   tr I   H  R  H G  
EJ  xˆ   tr I m   H G  H  R 
1
T
m
EJ  xˆ   tr I m   I k 
EJ  xˆ   N m  K
1
T
1
1
T
1
Estatísticas, Erros e Estimativas
(cont.)
eˆ  distribuiç ão normal
j
J  xˆ   soma pesada dos quadrados dos erros
2
distribuiç ão  (qui quadrado) com N  K graus de liberdade
Detecção de Dados Errados
Com base em xˆ determine zˆ e eˆ
Calcule
fˆ 
eˆ
N


j 1
2
j
2
j
Com base em N - K e numa probabilid ade especificada,  verifique se :
fˆ  
2
N  K ,
Se verdade, medidas e estimativa s aceites com um grau de confiança de (1 -  )%
Identificação de Dados Errados
Retiram - se as estimativa s e medidas que conduzam ao maior valo r de :
z  zˆ
eˆ
r 

R
R
j
j
j
j
jj
jj
Refaz - se a estimação de estado sem estas medidas
Exemplo
5
1
z1  V1  V2  e1
8
8
1
5
z 2   V1  V2  e2
8
8
3
1
z3  V1  V2  e3
8
8
1
3
z 4  V1  V2  e4
8
8
9,01
3,02

z
6,98
5,01


0,01 0 0 0 
0 0,01 0 0 

R  
0 0 0,02 0
0 0 0 0,02


Exemplo (cont.)
5 1 
8
 8
 1 5 
H    8 8 
3
1 
8
 8
1
3 
 8
8 
62,5 - 12,5 18,75 6,25
T
1
H  R   

12,5
62,5
6,25
18,75


G   H  R  H   
48,4375 - 10,9375

- 10,9375 48,4375
1
T
16,0072
xˆ  G  H  R  z  

 8,0261
1
T
1
Exemplo (cont.)
9,00123
3,01544 

zˆ  H xˆ  
7,00596
5,01070


 0,00877
 0,00456

eˆ  z  zˆ  
 0,02596
 0,00070


R  R   H G  H 
1
T
 0,0019
 0,0014

 0,0049
 0,0018

0,0014 - 0,0049 - 0,0018
0,0019 - 0,0018 - 0,0049

- 0,0018 0,0161 - 0,0028 
- 0,0049 - 0,0028 0,0161
Exemplo (cont.)
Número de graus de liberdade  Número de Medidas - Número de variáveis de estado
Número de graus de liberdade  4 - 2  2
T
1
fˆ  eˆ R  eˆ  0,0435

2
2 ; 0 , 01
 9,21
fˆ   22; 0 , 01
Conclui - se que com um grau de confiança de 99% as medidas e estimativa s estão correctas.
Estimação de Estado nos Sistemas
de Energia Eléctrica
z  h x   e
J  xˆ    z  h x  R   z  h x 
1
T
H  xˆ  R   z  h xˆ   0
1
T
H  xˆ  
h
 x x xˆ
h xˆ   hxˆ   H xˆ
xˆ  xˆ 
H xˆ  R z  hxˆ   H xˆ xˆ  xˆ   0
H xˆ  R H xˆ xˆ  xˆ   H xˆ  R z  hxˆ 
G xˆ  xˆ   H xˆ  R  z  hxˆ 
Convergênc ia : xˆ  xˆ   
i
i
i
T
1
i
T
1
i 1
i
i
i
i
i
i
i
i
i 1
i
T
i
T
i
1
i
1
i
Exemplo
z  V e
1
1
1
z  V e
2
2
2
1  V V cos 
 1
z V 
 
e
0,25
 0,25 6 
V V sin  
z 
e
0,25
2
3
1
2
2
1
3
1
2
2
4
4
V
V V cos 
z 

e
0,25
0,25
1,02 
0,92 
V 


 
z  0,605
x  V 
0,598
 
 


0,305
2
2
1
2
2
5
5
1
2
2
1,0 
x  1,0 
 
0,0
0
Exemplo (cont.)
h1
1
x1
h2
1
x2
h3
1  V2 cos 2 
 1
 2 V1 
 
x1
0,25
 0,25 6 
V1 cos 2 
h3

x2
0,25
h3 V1 V2 sin  2 

x3
0,25
Exemplo (cont.)
V2 sin  2 
h4

x1
0,25
V sin  2 
h4
 1
x2
0,25
V V cos 2 
h4
 1 2
x3
0,25
V2 cos 2 
h5

x1
0,25
h5 2 V2 V1 cos 2 


x2 0,25
0,25
h5 V1 V2 sin  2 

x3
0,25
Exemplo (cont.)
1,0

1,0



hxˆ   0,1667
0,0 


0,0 
 0,02 
 0,08 


z  hxˆ   0,4383
0,5980


0,3050
0
0
 0,9961
xˆ   0,9727


 0,1495 
1
0
0
1,0
0
1,0
0


H xˆ   4,33 - 4,0 0 
0

0
4,0


- 4,0 4,0
0
0
 0,0039
 xˆ  xˆ  xˆ   0,0273


 0,1495 
1
1
0
Exemplo (cont.)
 0,9843
 0,9579


hxˆ    0,3239
 0,6608


 0,0430
 0,0357
 0,0379


z  hxˆ    0,2811
 0,0628 


 0,3480
5
5
 0,9843
xˆ   0,9578


 0,1762 
6
0
1,0
0
1,0

H xˆ   4,4305 - 3,8764
0,6713
0,6898

- 3,7723 3,7866
5
0
0

- 0,6608 
- 3,7131 
- 0,6608 
 0,5436e  04
 xˆ  xˆ  xˆ   0,6634e  04


 0,7000e  04
6
6
5
Exemplo (cont.)
Número de graus de liberdade  Número de Medidas - Número de variáveis de estado
Número de graus de liberdade  5 - 3  2
 0,0357
 0,0378


eˆ   0,2810
 0,0630


 0,3480
fˆ  eˆ R  eˆ  544,8149
  9,21
1
T
2
2 ; 0 , 01
fˆ  
2
2 ; 0 , 01
Conclui - se que as medidas e estimativa s estão erradas.
Exemplo (cont.)
R  R  H G  H 
1
rj 
T
 0,0502 - 0,0469 - 0,0269 0,0005 0,0219 
 - 0,0469 0,0438 0,0225 0,0001 - 0,0233 


  0,0269 0,0225 0,1877 - 0,0369 0,1803 
 0,0005 0,0001 - 0,0369 0,0077 - 0,0403


 0,0219 - 0,0233 0,1803 - 0,0403 0,2223
z j  zˆ j
eˆ
 j
Rjj
Rjj
r1  5,0407
r2  5,7123
r3  20,5086
r4  22,6473
r5  23,3403
Retira - se a medida 5 e repete - se a estimação de estado.