De Boltzman às Fronteiras
da Mecânica Estatística
Antônio Murilo S. Macêdo
Departamento de Física
Universidade Federal de Pernambuco
Recife, Brazil
Evolução Conceitual
Entropia como
Desordem
Atomicismo X Energicismo
Entropia como
Informação Faltante
Reducionismo X Emergentismo
Sistemas Macroscópicos e
Limite Termodinâmico
Sistemas Mesoscópicos e
Efeitos de Borda
Caos Molecular e
Seta do tempo
Métodos Projetivos e
Função Memória
Conteúdo
1. Introdução Histórica
2. Entropia e Informação
3. Reducionismo X Emergentismo
4. Sistemas Mesoscópicos
5. Sistemas de Não-Equilíbrio
6. Conclusões
Maxwell foi um dos fundadores da
teoria cinética dos gases e introduziu
em 1860 pela primeira vez o conceito
de probabilidade na física com a
dedução da função distribuição de
velocidades de um gás ideal em
equilíbrio térmico.
James C. Maxwell
Hipóteses básicas: Isotropia e independência estatística
Ludwig Boltzmann apresentou em 1872
uma equação integro-diferencial para
a função distribuição de velocidades
de um gás real fora do equilíbrio térmico.
Hipóteses básicas:
1) Gás rarefeito (colisões binárias)
2) Colisões são dominadas por forças internas
3) As velocidades de duas partículas não são
correlacionadas (caos molecular)
4) A função distribuição não varia apreciavelmente entre colisões.
Boltzmann definiu a grandeza
e mostrou que
Teorema H
Em 1877 Boltzmann estudou um modelo de energias discretas
e obteve a conexão entre H(t) e a entropia termodinâmica.
Maximizando s mantendo u fixo
Boltzmann estabelece as bases da
mecânica estatística de equilíbrio.
Em 1902 Gibbs sistematiza o método de
Boltzmann através da noção de ensembles
Josiah Wilhelm Gibbs
Evolução Conceitual
Entropia como
Desordem
Atomicismo X Energicismo
Entropia como
Informação Faltante
Reducionismo X Emergentismo
Sistemas Macroscópicos e
Limite Termodinâmico
Sistemas Mesoscópicos e
Efeitos de Borda
Caos Molecular e
Seta do tempo
Métodos Projetivos e
Função Memória
Teoria da Informação
Em 1948 Claude Shannon publicou o livro
“Mathematical Theory of Communication”
estabelecendo os fundamentos da teoria
a informação e definindo a grandeza
como uma medida da informação faltante.
A Escolha do Nome
My greatest concern was what to call it. I thought of calling it ‘information’,
but the word was overly used, so I decided to call it ‘uncertainty’. When I
discussed it with John von Neumann, he had a better idea. Von Neumann
told me, ‘You should call it entropy, for two reasons. In the first place your
uncertainty function has been used in statistical mechanics under that name,
so it already has a name. In the second place, and more important, nobody
knows what entropy really is, so in a debate you will always have the
advantage.
A Informação Faltante
A informação faltante corresponde
ao número de perguntas binárias
da melhor estratégia.
Exemplo Simples
Entropia de Shannon
Para mais detalhes veja por exemplo
Evolução Conceitual
Entropia como
Desordem
Atomicismo X Energicismo
Entropia como
Informação Faltante
Reducionismo X Emergentismo
Sistemas Macroscópicos e
Limite Termodinâmico
Sistemas Mesoscópicos e
Efeitos de Borda
Caos Molecular e
Seta do tempo
Métodos Projetivos e
Função Memória
Reducionismo na Física
Energicistas
Atomicistas
X
Ernst Mach
Ludwig Boltzmann
Versão Moderna da Disputa
Reducionismo
Emergentismo
O sistema tem unidades básicas
que seguem leis fundamentais
O sistema é um macrofluido
que segue leis emergentes
Leis básicas eficazes
Algoritmos ineficientes
Leis emergentes eficazes
Algoritmos eficientes
Visão Esquemática
Reducionismo X Emergentismo
Eficácia X Eficiência
Dedução X Inferência
Analogia com Ciência da Computação
Regras de autômatos
Leis Fundamentais
Algoritmos
Deduções Físicas
Conjuntos Decidíveis
Fenômenos Observáveis
O Sonho Reducionista
A Teoria de Tudo: A Máquina Universal de Turing
Característica: Universalmente eficaz, mas ineficiente.
Limitação Fundamental: O problema da decibilidade.
O Problema de Decibilidade
Seria este fenômeno dedutível da Teoria de Tudo?
Definição: Um conjunto é decidível se for possível escrever um
programa numa máquina para determinar se um
dado elemento pertence ao conjunto e o programa
sempre termina com uma resposta SIM ou NÃO após
um conjunto finito de passos.
Conjuntos Decidíveis (Classe enumerável)
• Conjunto dos números primos.
• Conjunto dos naturais que satisfazem x2+y2=z2.
Conjuntos Indecidíveis (Classe não-enumerável)
• Conjunto dos programas que terminam após um número finito de passos.
• Conjunto das fórmulas válidas envolvendo números inteiros (Gödel).
Classes Computacionais
Computabilidade: Eficácia
Classe computável: Problemas solúveis por algoritmos (conjuntos decidíveis)
Classe não computável: Problemas insolúveis por algoritmos.
Eficácia Universal: A Máquina de Turing.
Complexidade: Eficiência
Classe P: Problemas solúveis numa máquina determinística
em tempo polinomial.
Classe NP: Problemas solúveis numa máquina não-determinística em tempo polinomial.
Classe NP-completo: Problemas NP fáceis de verificar.
Otimização: Aumentar eficiência na classe P através de codificação.
Reducionismo
Regras de autômatos
Leis Fundamentais
Algoritmos
Emergentismo
Problemas P
Fenômenos Observáveis
Algoritmos
Deduções
Conjuntos Decidíveis
Fenômenos Físicos
Inferências
Códigos
Leis Emergentes
Consenso em Decisões de Grupo
Reducionismo
Emergentismo
Modelo de Kuramoto: Equação de Fokker-Planck não-linear.
Movimento do Giroscópio
Reducionismo
• Equações de movimento para cada
átomo pela teoria quântica.
• Rigidez é um fenômeno cooperativo.
• Descrição eficaz, mas ineficiente.
Emergentismo
• Rigidez é uma ordem emergente.
• Equações de movimento newtonianas
para os graus de liberdade relevantes.
• Descrição eficaz e eficiente.
Física da Matéria Condensada
Procedimento de Landau-Anderson
Teoria Microscópica
Teoria Efetiva de
Campos Livres
Continuidade Adiabática
Fronteira de Fase
Líquidos Quânticos
• Superfluido (campo sem massa de Goldstone)
• Supercondutor (campo de calibre massivo; Higgs)
• Líquido de Fermi em metais (massa renormalizada)
• Líquido de Luttinger (separação carga-spin, d=1)
• Líquido Hall fracionário (carga fracionária, d=2)
N
S
N
L
N
HF
Classificação de Wen
Sumário
Reducionismo
Emergentismo
• Abordagem de baixo para cima.
• Argumento dedutivo.
• Campos fundamentais acoplados.
• Ordem é fenômeno cooperativo.
• Realismo representativo: campos
são partículas reais colocadas no
vácuo.
• Abordagem de cima para baixo.
• Argumento inferencial.
• Campos efetivos livres.
• Ordem é fenômeno emergente.
• Realismo não-representativo:
campos efetivos representam
excitações numa fase ordenada.
Evolução Conceitual
Entropia como
Desordem
Atomicismo X Energicismo
Entropia como
Informação Faltante
Reducionismo X Emergentismo
Sistemas Macroscópicos e
Limite Termodinâmico
Sistemas Mesoscópicos e
Efeitos de Borda
Caos Molecular e
Seta do tempo
Métodos Projetivos e
Função Memória
Mecânica Estatística de Sistemas Quânticos Finitos
Como descrever transporte de carga e spin num
gás de elétrons bidimensional confinado?
Transistor de Spin
Proposto por Datta e
Das (APL 56, 1990)
Princípio básico:
Gate
Polarizador e analizador
ferromagnético
FM1
2DEG
FM2
Precessão de spin
controlado por porta
(efeito Rashba)
S.Datta
(Th. Schäpers)
Teoria de Landauer-Büttiker
• Combina espalhamento quântico com termodinâmica irreversível.
• Leis de conservação quanto-mecânicas (unitariedade).
• Reservatórios (produção de entropia e forças termodinâmicas).
• Conectores (espalhadores com coerência de fase).
• Canais de transporte com ocupação variável.
• Estatística de eventos de transmissão (observáveis) .
Rede de Nós e Conectores
Separação de desvios de fase controláveis e incontroláveis.
Similar à separação de forças determinísticas e estocásticas
na equação de Langevin e à separação da energia em
trabalho e calor na termodinâmica
Modelo Físico para os Nós
Cavidade
balística caótica
Pedaço de um
condutor sujo
Ponto Quântico Aberto
Estatística de Transferência de Carga
Contagem do número de elétrons transferidos através do
sistema para um número fixo de tentativas de transmissão
Nat =5 (a); 10(b); 20(c) e transparência T=0,7.
Cumulantes de uma Distribuição
Os cumulantes oferecem uma descrição quantitativa de
algumas características de uma distribuição.
Cumulantes de Transferência de Carga
Caos
Condutância
Caos
Potência do ruído
de disparo
Caos
Método de Gibbs: Considere a entropia de Shannon
H ( P)   d (S ) P( S ) ln P(S )
Estatística suficiente é obtida através das médias
S
pq
nm
  pq nm tanh( pn / 2) ; Tpn  1  S
pp
nn
2
 sech 2 ( pn / 2)
A estimativa de máxima entropia é o núcleo de Poisson
P( S )  C  det(1  S S

)
  ( N1  N 2 1 2 /  )
  
N1 e N2 são os números de canais abertos.
Distribuição de Cumulantes de Transferência de Carga de um Ponto Quântico
F.A.G.Almeida, S. Rodríguez-Pérez, e AMSM PRB 80, 125320 (2009)
Transição Ponto-Fio
Simulações de Monte-Carlo
da distribuição de condutância
de um fio quase-1D mostrando
uma lei de escala e pontos de
não-analiticidade. L.S.F-Peréz
et al., Microelectronics Journal
36, 893 (2005).
Abordagem Emergentista
Fase de alta energia
e pequenas distâncias
TCS
Fase de baixas energias
e grandes distâncias
TCS
Interpretação Física
Visão reducionista
Visão emergentista
O campo Q é a unidade de informação do líquido quântico.
Evolução Conceitual
Entropia como
Desordem
Atomicismo X Energicismo
Entropia como
Informação Faltante
Reducionismo X Emergentismo
Sistemas Macroscópicos e
Limite Termodinâmico
Sistemas Mesoscópicos e
Efeitos de Borda
Caos Molecular e
Seta do tempo
Métodos Projetivos e
Função Memória
Sistemas de Não-Equilíbrio
Fora do equilíbrio a função
distribuição de velocidades
depende da posição e do tempo
e é afetada pelas colisões entre
as partículas. Na equação de
Boltzmann o sistema é rarefeito
de modo que colisões são binárias
e as velocidades de duas partículas
arbitrárias não são correlacionadas
(caos molecular)
O Método Projetivo
Uma importanrte ferramenta para descrever sistemas fora
do equilíbrio é o método projetivo, que consiste em projetar
a dinâmica num subespaço gerado por operadores relevantes.
Robert
Zwanzig
Ensembles de Não-Equilíbrio
Outra abordagem bastante geral consiste na extensão do
método de Gibbs para situações fora do equilíbrio. Aplicações
incluem física de semicondutores, condensados de Bose-Einstein
e sistemas biológicos.
Roberto Luzzi
IFGW-Unicamp
Conclusão
Entropia como
Desordem
Atomicismo X Energicismo
Entropia como
Informação Faltante
Reducionismo X Emergentismo
Sistemas Macroscópicos e
Limite Termodinâmico
Sistemas Mesoscópicos e
Efeitos de Borda
Caos Molecular e
Seta do tempo
Métodos Projetivos e
Função Memória