FÍSICA PARA ENGENHARIA ELÉTRICA
José Fernando Fragalli
Departamento de Física – Udesc/Joinville
SEMICONDUTORES FORA
DO EQUILÍBRIO
“A elegância, a riqueza, a complexidade
e a diversidade dos fenômenos naturais
que decorrem de um conjunto simples
de leis universais é parte integrante do
que os cientistas querem dizer quando
empregam o termo beleza” – E.
Schrödinger
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
1. Introdução
2. Recombinação Direta e Indireta
3. Decaimento de Portadores Minoritários no Tempo
4. Difusão de Portadores
5. A Relação de Einstein
6. A Equação da Continuidade
7. Decaimento de Portadores Minoritários no Espaço
8. Exemplos de Aplicação
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
1. INTRODUÇÃO
Bandas de energia
Voltemos nossa atenção agora para a estrutura de
bandas de um semicondutor.
Os semicondutores são caracterizados por terem a banda
de valência BV totalmente preenchida.
Além disso, a 0 K a banda
de
condução
BC
está
totalmente vazia.
Por sua vez, o gap de
energia não é muito grande
(Eg  1 eV ), tal que elétrons
podem ocupar a BC em T > 0.
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
1. INTRODUÇÃO
Condução por elétrons e buracos
Precisamente devido a ocupação de estados por elétrons
na BC para T > 0, ocorre a desocupação simultânea de
estados na BV.
A figura abaixo descreve este comportamento de
ocupação de estados por elétrons na BC e simultânea
desocupação de estados na BV.
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
1. INTRODUÇÃO
Buracos = estados desocupados na BV
Estados desocupados (por elétrons) na BV também
podem dar origem a processos de condução de portadores.
Devemos ter mente que, do ponto de vista da Mecânica
Quântica condutividade elétrica está associada a ocupação
de estados eletrônicos.
Assim, estados desocupados na BV podem ser ocupados
por outros elétrons que ocupam níveis abaixo deles.
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
1. INTRODUÇÃO
Elétrons livres na BC e buracos na BV
A figura abaixo mostra este processo de ocupação e
desocupação de estados na BV e na BC.
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
1. Introdução
2. Recombinação Direta e Indireta
3. Decaimento de Portadores Minoritários no Tempo
4. Difusão de Portadores
5. A Relação de Einstein
6. A Equação da Continuidade
7. Decaimento de Portadores Minoritários no Espaço
8. Exemplos de Aplicação
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
2. RECOMBINAÇÃO DIRETA E INDIRETA
Definição e exemplos de equilíbrio
Na natureza existem dois tipos de equilíbrio:
a) equilíbrio estático, no qual os objetos permanecem
indefinidamente na mesma posição, a menos que sejam
perturbados;
- como exemplo, seja um tijolo repousando sobre uma
superfície plana;
b) equilíbrio dinâmico, no qual uma condição constante
é mantida pelo balanceamento de movimento de entrada e
saída de partículas.
- como exemplo sejam moléculas evaporando de uma
superfície líquida em equilíbrio com moléculas condensando
do vapor.
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
2. RECOMBINAÇÃO DIRETA E INDIRETA
Elétrons e buracos em equilíbrio dinâmico
Elétrons na BC e buracos na BV estão em equilíbrio
dinâmico.
Um par elétron-buraco é gerado por cada elétron que
“salta” (ganha energia) e vai para a BC, deixando um buraco
(estado desocupado) na BV.
Por sua vez, um par
elétron-buraco é aniquilado
quando um elétron na BC
perde energia e retorna para
a BV.
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
2. RECOMBINAÇÃO DIRETA E INDIRETA
Geração e recombinação de portadores
Desta forma, existem dois processos distintos ocorrendo
quando semicondutores são expostos à temperatura ou
excitação luminosa.
a) Geração de portadores: trata-se da criação de um par
elétron-buraco devido à agitação térmica, e pode ser
acelerado com aumento da temperatura ou exposição do
semicondutor à radiação eletromagnética (luz).
b) Recombinação de portadores: trata-se do processo
inverso, isto é, a aniquilação de um par elétron-buraco, e
ocorre quando elétrons voltam a ocupar o estado (energia)
anteriormente ocupado por um buraco.
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
2. RECOMBINAÇÃO DIRETA E INDIRETA
Recombinação direta
O processo de recombinação de portadores pode ocorrer
de duas formas distintas, conhecidas como recombinação
direta e recombinação indireta.
a) Recombinação direta:
neste caso um elétron livre
decai espontaneamente para
um
sítio
(energia)
originalmente “ocupado” por
um buraco, como mostra a
figura ao lado.
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
2. RECOMBINAÇÃO DIRETA E INDIRETA
Detalhes do processo de recombinação direta
Como se vê pela figura abaixo, a energia do gap Eg é
devolvida ao meio em forma de um pulso de energia
eletromagnética na forma de um fóton de luz.
Eg  h 
Recombinação direta é
o processo inverso da
geração de um par elétronburaco pela absorção de
luz.
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
2. RECOMBINAÇÃO DIRETA E INDIRETA
Recombinação indireta
a) Recombinação indireta:
neste caso um elétron da BC
inicialmente decai para um
estado
intermediário,
conhecido como armadilha ou
centro de recombinação, como
mostra a figura ao lado.
A seguir, ele pode decair em um buraco inicialmente
desocupado, como mostrado na figura abaixo.
As armadilhas podem ser tanto átomos de impurezas
quanto defeitos na rede cristalina.
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
2. RECOMBINAÇÃO DIRETA E INDIRETA
Detalhes do processo de recombinação indireta
Estas armadilhas introduzem
localizados dentro do gap de energia.
níveis
de
energia
Admitindo que tal nível de energia esteja inicialmente
vazio, um elétron pode ficar “detido” neste estado por um
curto intervalo de tempo, como mostra a figura abaixo.
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
2. RECOMBINAÇÃO DIRETA E INDIRETA
Emissão de fónons no processo de recombinação indireta
Enquanto estiver mantido na armadilha, o elétron
interage fortemente com as vibrações térmicas da rede
cristalina.
O resultado desta interação é a
emissão de energia térmica.
Esta energia térmica é liberada em
forma de um pacote de onda
denominada fónon.
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
2. RECOMBINAÇÃO DIRETA E INDIRETA
Semicondutores de gap direto e de gap indireto
Materiais semicondutores comuns tendem a revelar ou
um outro tipo de comportamento quanto à recombinação.
Silício (Si) e germânio (Ge)
semicondutores de gap indireto.
são
chamados
de
Por outro lado, arseneto de gálio (GaAs) e suas ligas são
semicondutores de gap direto.
Do ponto de vista prático a importância do tipo de
recombinação que cada material semicondutor executa está
no fato que dispositivos semicondutores emissores de luz
(LED’s e lasers de diodo) só podem ser fabricados com
semicondutores de gap direto.
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
2. RECOMBINAÇÃO DIRETA E INDIRETA
Taxa de geração de portadores
Definimos a grandeza taxa de geração de portadores G
como a concentração de pares elétron-buraco criados por
unidade de tempo.
Como as concentrações de estados ocupados na BV e de
estados desocupados na BC são praticamente constantes, a
única dependência da taxa de geração G é com a temperatura
T.
A razão para isto é que a
temperatura regula a excitação dos
elétrons, controlando a ocupação
dos estados na BC e a consequente
desocupação de estados na BV.
G  GT 
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
2. RECOMBINAÇÃO DIRETA E INDIRETA
Taxa de recombinação de portadores
Definimos a grandeza taxa de recombinação de
portadores R como a concentração de pares elétron-buraco
aniquilados por unidade de tempo.
O processo de recombinação de portadores tem relação
direta com as concentrações de estados ocupados na BC (n)
e concentração de estado desocupados na BV (p).
Por outro lado, em um semicondutor de gap direto R não
depende da temperatura, pois a recombinação é um
processo exotérmico (necessita de energia para ocorrer).
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
2. RECOMBINAÇÃO DIRETA E INDIRETA
Expressão matemática para R
np.
Numa primeira aproximação R deve depender do produto
R  r n p
Nesta equação r é uma
constante
conhecida
como
coeficiente de recombinação.
A equação acima é uma boa aproximação pois a chance
de um elétron “encontrar” um buraco deve ser proporcional
ao número de buracos.
Além disso, a taxa de perda de todos os elétrons também
deve depender do número de elétrons presentes.
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
2. RECOMBINAÇÃO DIRETA E INDIRETA
Taxa líquida de recombinação de portadores
Definimos a grandeza taxa líquida de recombinação de
portadores U como a diferença entre a taxa de recombinação
e a taxa de geração de pares elétron-buraco.
U (T )  R  GT 
No equilíbrio a taxa líquida de recombinação é nula, e
portanto as taxas de recombinação e de geração são iguais.
Req  Geq T 
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
2. RECOMBINAÇÃO DIRETA E INDIRETA
Uma expressão para Req
Usamos então a dependência de R com as concentrações
n e p, que deve valer também para a situação de equilíbrio.
Req  r  neq  peq
Lembremos que, no equilíbrio o produto np define a já
conhecida Lei de Ação das Massas.
neq  peq  n T 
2
i
Req T   r  n
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
2
i
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
2. RECOMBINAÇÃO DIRETA E INDIRETA
Uma expressão para Geq e para G(T)
Voltamos então à condição de equilíbrio para obter uma
expressão para Geq.
Geq  r  n T 
2
i
GT   r  n
2
i
Lembremos que G depende
apenas da temperatura, e assim
temos que G(T) = Geq.
Usamos esta expressão para
obter uma equação melhorada
para U(T).

U T   r  n  p  n
2
i
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
2. RECOMBINAÇÃO DIRETA E INDIRETA
Uma expressão para U(T)
Assim, para um semicondutor em equilíbrio vale n = neq e
p = peq, e portanto temos U(T) = 0.
Ao excitarmos a amostra haverá geração de elétrons
livres.
n  neq  n' p  peq  p' n'  p'
Logo, temos que


U T   r  neq  n'  peq  p' n  0
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
2
i
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
2. RECOMBINAÇÃO DIRETA E INDIRETA
Uma melhor definição para U(T)
A recombinação líquida positiva (U(T) > 0) indica que
mais pares elétron-buraco estão se recombinando do que
aqueles que estão sendo gerados.
De fato, para cada evento de recombinação o número de
elétrons (ou de buracos) diminui de uma unidade.
n  p
n p

t  t
Obtemos então a taxa de recombinação
líquida como
n
p
U T   

t
t
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
2. RECOMBINAÇÃO DIRETA E INDIRETA
Uma equação diferencial para a recombinação
Assim, após a excitação ser eliminada, a tendência do
sistema será reduzir o número de portadores n e p até que
U(T) seja novamente nula.
Nesta situação n = neq e p = peq, que é a situação de
equilíbrio.
Obtemos então a seguinte equação diferencial que
descreve a situação fora de equilíbrio.
n
p
2


 r  n  p  ni
t
t

Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
1. Introdução
2. Recombinação Direta e Indireta
3. Decaimento de Portadores Minoritários no Tempo
4. Difusão de Portadores
5. A Relação de Einstein
6. A Equação da Continuidade
7. Decaimento de Portadores Minoritários no Espaço
8. Exemplos de Aplicação
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO
Portadores majoritários e minoritários
Definimos portadores majoritários como sendo aquele
que é maioria em um semicondutor.
Por sua vez, definimos portadores minoritários como
sendo aquele que é minoria em um semicondutor.
Assim, para um semicondutor do tipo n, elétrons são os
portadores majoritários (nn), enquanto que os buracos são os
portadores minoritários (pn).
Por outro lado, para um semicondutor do tipo p, buracos
são os portadores majoritários (pp), enquanto que os elétrons
são os portadores minoritários (np).
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO
Efeito da excitação em semicondutores do tipo n
A partir destas definições, vamos aplicar a equação
desenvolvida acima.
Seja inicialmente um semicondutor do tipo n, no qual
vimos que os portadores majoritários são os elétrons e os
portadores minoritários são os buracos.
É fácil observar que quando provocamos algum tipo de
excitação sobre o semicondutor dopado com impurezas
doadoras, a população de elétrons pouco se altera, ao passo
que a de buracos é fortemente influenciada pela excitação.
nneq  neq  ND
pneq
ni2
 peq 
 N D
neq
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO
Neutralidade da carga em semicondutor do tipo n
Após a excitação, temos uma nova situação.
n  nn  n' p  pn  p'
nt   pt   N D
A neutralidade da
carga a qualquer tempo
implica que a seguinte
equação seja válida.
Como continuamos a ter n(t) >> p(t), então podemos
concluir que a concentração de portadores majoritários
(neste caso, os elétrons) praticamente não sofrerá alteração.
Por outro lado, temos que o transiente será todo ele
devido aos portadores minoritários (neste caso, os buracos).
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO
Equação diferencial da “descarga” de buracos
Assim, temos que
nn t   N D

dp
2

 r  N D  p  ni
dt

A manipulação desta segunda equação nos conduz à
equação diferencial mostrada abaixo.
dp

 r  N D  p  peq 
dt
Nesta equação peq é a
concentração
de
equilíbrio dos buracos
(portadores minoritários).
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO
Condições de contorno para a descarga de buracos
Esta equação diferencial é de fácil solução.
Impomos as seguintes condições de contorno para esta
situação:
a) para t = 0 admitimos que a excitação está “ligada” e
que portanto a concentração de portadores minoritários é
igual a um valor p0 que depende de como a excitação é
conduzida.
b) para um tempo t > 0 qualquer temos que p = p(t).
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO
Solução da descarga de buracos
Resolvemos então a equação diferencial
condições de contorno descritas acima.


pt   peq  p0  peq  e

t
p
com
as
nt   N D
Na equação ao lado p é tempo de vida
médio
dos
buracos
(portadores
minoritários.
1
p 
r  ND
p é uma constante que depende do material (a constante
r) e da concentração de impurezas doadoras (ND).
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO
Gráfico da “descarga” de buracos
Apresentamos abaixo um gráfico que representa o
comportamento dos portadores majoritários e minoritários
ao longo do tempo durante o processo de recombinação.


pt   peq  p0  peq  e

t
p
nt   N D
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO
Equação diferencial da “carga” de buracos
Podemos estudar também a situação da excitação de
buracos em semicondutor do tipo n.
Neste caso, impomos que a taxa de criação de buracos é
igual à taxa de geração menos a taxa de recombinação.
dp
GR
dt
Nesta equação G é a taxa de geração de
buracos, que depende da forma como o
semicondutor é excitado.

dp
1
 G   pt   peq
dt
p

Nesta equação peq é a
concentração
de
equilíbrio dos buracos
(portadores minoritários).
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO
Condições de contorno para a “carga”a de buracos
Esta equação diferencial também é de fácil solução.
Impomos as seguintes condições de contorno para esta
situação:
a) para t = 0 admitimos que a excitação está “desligada”
e que portanto a concentração de portadores minoritários é
igual a peq.
b) para um tempo t > 0 qualquer temos que p = p(t).
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO
Solução da “carga” de buracos
Resolvemos então a equação diferencial
condições de contorno descritas acima.
t
 

p
pt   peq  G  p  1  e 


com
as
nt   N D
Na equação ao lado p é tempo de vida
médio
dos
buracos
(portadores
minoritários.
1
p 
r  ND
p é uma constante que depende do material (a constante
r) e da concentração de impurezas doadoras (ND).
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO
Gráfico da “carga” de buracos
Apresentamos abaixo um gráfico que representa o
comportamento dos portadores majoritários e minoritários
ao longo do tempo durante o processo de excitação.

pt   peq  G  p  1  e


t
p



nt   N D
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO
Gráfico da “carga” e “descarga” de buracos
Apresentamos abaixo um gráfico que representa o
comportamento dos portadores majoritários e minoritários
ao longo do tempo durante o processo de excitação e de
recombinação.
t
 


pt   peq  G  p  1  e p 




pt   peq  p0  peq  e

t
p
p0  G  p nt   N D
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO
Efeito da excitação em semicondutores do tipo p
Podemos aplicar os mesmos conceitos desenvolvidos
acima para um semicondutor do tipo p.
Neste caso, os portadores majoritários são os buracos
enquanto que os portadores minoritários são os elétrons.
Analogamente ao caso anterior, temos que quando
provocamos algum tipo de excitação sobre o semicondutor
dopado com impurezas aceitadoras, a população de buracos
pouco se altera, ao passo que a de elétrons é fortemente
influenciada pela excitação.
pneq  peq  N A
nneq
ni2
 neq 
 N A
peq
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO
Neutralidade de carga em semicondutor do tipo p
Após a excitação, temos uma nova situação.
p  p p  p' n  n p  n'
pt   nt   N A
A neutralidade da
carga a qualquer tempo
implica que a seguinte
equação seja válida.
Como continuamos a ter p(t) >> n(t) , então podemos
concluir que a concentração de portadores majoritários
(neste caso, os buracos) praticamente não sofrerá alteração.
Por outro lado, temos que o transiente será todo ele
devido aos portadores minoritários (neste caso, os elétrons).
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO
Equação diferencial da “descarga” de elétrons
Assim, temos que
p p t   N A

dn
2

 r  N A  n  ni
dt

A manipulação desta segunda equação nos conduz à
equação diferencial mostrada abaixo.
dn

 r  N A n  neq 
dt
Nesta equação neq é a
concentração
de
equilíbrio dos elétrons
(portadores minoritários).
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO
Condições de contorno
A solução desta equação diferencial é obtida de forma
análoga ao caso anterior.
Impomos agora as seguintes condições de contorno para
esta situação:
a) para t = 0 admitimos que a excitação está “ligada” e
que portanto a concentração de portadores minoritários é
igual a um valor n0 que depende de como a excitação é
conduzida.
b) para um tempo t > 0 qualquer temos que n = n(t).
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO
Solução da descarga de elétrons
Resolvemos então a equação diferencial
condições de contorno descritas acima.


nt   neq  n0  neq  e

t
n
com
as
pt   N A
Na equação ao lado n é tempo de vida
médio
dos
elétrons
(portadores
minoritários.
1
n 
r  NA
n é uma constante que depende do material (a constante
r) e da concentração de impurezas aceitadoras (NA).
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO
Gráfico da “descarga” de elétrons
Apresentamos abaixo um gráfico que representa o
comportamento dos portadores majoritários e minoritários
ao longo do tempo durante o processo de recombinação.


nt   neq  n0  neq  e

t
n
pt   N A
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO
Equação diferencial da “carga” de elétrons
Podemos estudar também a situação da excitação de
buracos em semicondutor do tipo p.
Neste caso, impomos que a taxa de criação de buracos é
igual à taxa de geração menos a taxa de recombinação.
dp
GR
dt
Nesta equação G é a taxa de geração de
buracos, que depende da forma como o
semicondutor é excitado.

dp
1
 G   pt   peq
dt
p

Nesta equação peq é a
concentração
de
equilíbrio dos buracos
(portadores minoritários).
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO
Condições de contorno para a “carga”a de buracos
Esta equação diferencial também é de fácil solução.
Impomos as seguintes condições de contorno para esta
situação:
a) para t = 0 admitimos que a excitação está “desligada”
e que portanto a concentração de portadores minoritários é
igual a neq.
b) para um tempo t > 0 qualquer temos que n = n(t).
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO
Solução da “carga” de buracos
Resolvemos então a equação diferencial
condições de contorno descritas acima.

nt   neq  G  n  1  e



n


t
com
as
pt   N A
Na equação ao lado p é tempo de vida
médio
dos
buracos
(portadores
minoritários.
1
n 
r  NA
p é uma constante que depende do material (a constante
r) e da concentração de impurezas doadoras (ND).
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO
Gráfico da “carga” de buracos
Apresentamos abaixo um gráfico que representa o
comportamento dos portadores majoritários e minoritários
ao longo do tempo durante o processo de excitação.
t
 

n
nt   neq  G  n  1  e 


pt   N A
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO
Gráfico da “carga” e “descarga” de buracos
Apresentamos abaixo um gráfico que representa o
comportamento dos portadores majoritários e minoritários
ao longo do tempo durante o processo de excitação e de
recombinação.
t
 

nt   neq  G  n  1  e  n 




nt   neq  n0  neq  e

t
n
n0  G  n pt   N A
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
1. Introdução
2. Recombinação Direta e Indireta
3. Decaimento de Portadores Minoritários no Tempo
4. Difusão de Portadores
5. A Relação de Einstein
6. A Equação da Continuidade
7. Decaimento de Portadores Minoritários no Espaço
8. Exemplos de Aplicação
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
4. DIFUSÃO DE PORTADORES
Efeitos do transiente sobre o deslocamento de portadores
Vamos discutir agora o efeito de situações fora do
equilíbrio sobre o processo de deslocamento de cargas em
semicondutores.
Estudaremos então a existência de correntes elétricas em
situações fora do equilíbrio.
Em situações de equilíbrio já analisamos o efeito de
campos elétricos externos sobre o deslocamento de
portadores de cargas em semicondutores.
Neste caso ocorre o que denominamos correntes de
deslocamento (ou de deriva – drift), que é diretamente
proporcional ao campo elétrico aplicado.
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
4. DIFUSÃO DE PORTADORES
Correntes de deslocamento
A relação entre densidade de corrente elétrica de
deslocamento e campo elétrico já foi vista anteriormente e as
suas expressões são dadas abaixo.
 des
  des

J n  e  n  n  E J p  e   p  p  E
Além destas correntes de deslocamento existe outro tipo
de corrente elétrica.
Neste outro tipo de movimento os portadores de carga se
movem em função da agitação térmica, deslocando-se de
regiões de alta concentração para as de baixa concentração.
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
4. DIFUSÃO DE PORTADORES
Correntes de difusão
Assim, o “motor” desta nova modalidade de corrente
elétrica é a eventual diferença de concentração de portadores
que pode existir em um semicondutor.
Tecnicamente esta diferença de
denominada gradiente de concentração.
A esta nova modalidade
denominamos corrente de difusão.
de
concentração
corrente
é
elétrica
O nome corrente de difusão alude ao fato que este
movimento de portadores ocorre de forma difusa no sentido
de diminuir o gradiente de concentração existente no
semicondutor.
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
4. DIFUSÃO DE PORTADORES
O processo de difusão
Assim, o processo de difusão de portadores ocorrerá em
qualquer meio desde que:
a) tais portadores se movam em movimento aleatório;
b) exista no meio um gradiente de concentração.
O fluxo de partículas no
processo de difusão, isto é, o
número de partículas que
atravessa uma dada seção
por unidade de área e por
unidade de tempo é dada pela
Lei de Fick, mostrada ao lado.

dif
dN
 D 
dx
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
4. DIFUSÃO DE PORTADORES
O coeficiente de difusão
Na Lei de Fick, D é uma constante denominada
coeficiente de difusão, que depende do tipo de partícula
envolvida no processo e do material onde ele ocorre.
No Sistema Internacional o coeficiente de difusão D tem a
unidade m2/s.
O sinal negativo presente na Lei de Fick indica que o
fluxo de partículas se dá no sentido de diminuir o gradiente
de concentração existente no meio.
O fluxo de partículas é transformado em densidade de
corrente elétrica multiplicando dif pela carga elétrica do
portador e substituindo dN/dx pelo gradiente de
concentração.
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
4. DIFUSÃO DE PORTADORES
A densidade de corrente de difusão
Desta forma obtemos uma expressão geral para a
densidade de corrente elétrica de um portador de carga q a
uma dada concentração C, a qual é expressa abaixo.
 dif

J q  q  D  C
Vamos agora adaptar este resultado para o caso de um
semicondutor no qual sabemos que temos dois tipos de
portadores envolvidos no processo de transporte de cargas.
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
4. DIFUSÃO DE PORTADORES
Densidade de corrente de difusão para elétrons e buracos
No caso dos estados ocupados na BC (elétrons) temos
que q = -e e C = n.
 dif

J n  e  Dn  n
Já no caso dos estados desocupados na BV (buracos)
temos que q = +e e C = p.
 dif

J p  e  Dp  p
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
4. DIFUSÃO DE PORTADORES
Densidade de corrente total para elétrons
No caso geral, os portadores de carga em um
semicondutor estão sujeitos aos dois tipos de processos,
tanto o deslocamento (deriva – drift), quanto a difusão.
Assim, no caso geral escrevemos a densidade total de
corrente para cada tipo de portador.
Para elétrons temos então as
equações mostradas ao lado.


 des  dif
Jn  Jn  Jn



J n  e  n  n  E  Dn  n
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
4. DIFUSÃO DE PORTADORES
Densidade de corrente total para buracos
Já para o caso dos buracos, temos então as equações
mostradas abaixo.

 des  dif
Jp  Jp  Jp




J p  e  p   p  E  Dp  p
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
4. DIFUSÃO DE PORTADORES
A importância do processo de difusão de portadores
O processo de difusão de portadores é particularmente
importante quando provocamos deliberadamente um
gradiente de concentração ao longo de um semicondutor.
Isto ocorre quando, por exemplo, criamos uma região de
junção onde de um lado temos um semicondutor do tipo n
(com excesso de elétrons) e de outro um semicondutor do
tipo p (com excesso de buracos).
É o caso da formação de um diodo, onde temos uma
separação espacial de elétrons e buracos, e do transistor,
onde temos duas junções.
Estes casos serão estudados em detalhes mais adiante.
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
1. Introdução
2. Recombinação Direta e Indireta
3. Decaimento de Portadores Minoritários no Tempo
4. Difusão de Portadores
5. A Relação de Einstein
6. A Equação da Continuidade
7. Decaimento de Portadores Minoritários no Espaço
8. Exemplos de Aplicação
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
5. A RELAÇÃO DE EINSTEIN
Semicondutores intrínsecos
É possível mostrar que existe uma relação direta entre o
coeficiente de difusão e a mobilidade dos portadores de
carga.
Esta relação é mostrada abaixo.
kB T
D

e
Abaixo
mostramos
esta
equação aplicada a elétrons e
buracos.
kB T
Dn 
 n
e
kB T
Dp 
p
e
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
4. DIFUSÃO DE PORTADORES
Valores do coeficiente de difusão para alguns materiais
Ao lado mostramos um
esquema do deslocamento de
cargas devido ao processo de
difusão.
Abaixo mostramos uma tabela com valores dos
coeficientes de difusão para alguns semicondutores a 300 K.
Material
Dn (m2/Vs)
Dp (m2/Vs)
Material
Si
InSb
Ge
GaP
GaAs
InP
Dn (m2/Vs)
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
Dp (m2/Vs)
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
1. Introdução
2. Recombinação Direta e Indireta
3. Decaimento de Portadores Minoritários no Tempo
4. Difusão de Portadores
5. A Relação de Einstein
6. A Equação da Continuidade
7. Decaimento de Portadores Minoritários no Espaço
8. Exemplos de Aplicação
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Dependência espacial e temporal dos portadores de carga
No caso mais geral possível as concentrações de
elétrons e buracos variam tanto no tempo como no espaço.

n  nr , t 

p  pr , t 
Os mecanismos que determinam tal dependência são
listados abaixo.
a) processos de geração e recombinação;
b) correntes de deslocamento devido a aplicação de
campo elétrico externo;
c) correntes de difusão
gradientes de concentração.
devido
a
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
existência
de
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A Conservação da Carga Elétrica
O nosso objetivo passa a ser obter uma equação
diferencial que envolva estes fatores citados acima.
Uma equação diferencial que leve em conta todos estes
fenômenos permite que obtenhamos as concentrações de
portadores em qualquer situação.
O método para obtenção desta equação diferencial
baseia-se no Princípio da Conservação da Carga Elétrica.
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A Conservação da Carga Elétrica
Considere a variação da quantidade de carga existente
em um volume diferencial dV ocorrendo em um intervalo
infinitesimal de tempo dt.
Considere que tal variação ocorra pelas cargas livres
criadas pelo processo de geração de portadores e destruídas
pelo processo de recombinação de portadores.
Considere ainda que esta variação promova o fluxo de
portadores (correntes elétricas) que entram e saem das
fronteiras do elemento de volume dV.
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Efeito em um semicondutor do tipo n
Como fizemos em casos anteriores, vamos analisar um
tipo específico de semicondutor, com as respectivas
variações nas concentrações dos portadores.
Seja então um elemento de volume dV de um
semicondutor do tipo n, no qual tenhamos elevada dopagem
de impurezas doadoras.
Como já foi visto, as variações de concentração, tanto
espaciais quanto temporais são relevantes apenas para os
portadores minoritários..
No caso de um semicondutor do tipo n, os portadores
minoritários são os buracos.
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Balanço de cargas em um elemento de volume
Vamos então fazer um balanço da
quantidade de cargas existentes neste
elemento de volume dV.
A taxa de variação do número de buracos
com o tempo em dV ocorre devido aos
processos de geração e recombinação.
 p

 t  dV 


ger , rec


 GT   R dV  r  n  p  n  dV
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
2
i
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Hipótese para os processos de geração e recombinação
Adotamos aqui a mesma hipótese feita
anteriormente que n  ND >> p = peq – p’.
Neste caso, já obtivemos a equação
diferencial para o transiente dos portadores
minoritários.
 p


dV
 t



ger , rec


 r  N D  px, t   peq  dV
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Participação da corrente de deslocamento
Vamos agora calcular o número de
buracos que entram por unidade de tempo
no elemento dV no ponto x, devido à corrente
de deslocamento, com campo elétrico
constante.
des
des


N IN iIN
x  J IN
x   A e   p  p x   E  A



  p  p x   E  A
t
e
e
e
Analogamente, calculamos o número de buracos que
saem por unidade de tempo no elemento dV no ponto x + x.
des

N OUT iOUT
x  e   p  px  dx  E  A


  p  px  dx  E  A
t
e
e
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Resultado da corrente de deslocamento
Com estes dois resultados, calculamos a
taxa de variação no número de buracos no
elemento dV devido à corrente de
deslocamento.
 p 
 
 t 
des
des
des

x  dx
iIN
x   iIN

e
Com o uso do conceito de diferencial, obtemos a
equação mostrada abaixo.
 p 
 
 t 
des
dpx 
  p  E 
 dV
dx
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Participação da corrente de difusão
Vamos agora calcular o número de
buracos que entram por unidade de tempo
no elemento dV no ponto x, devido à corrente
de difusão.
dif
dif

x  A   1  e  D  dpx   A
N IN iIN
x  J IN


p
x
t
e
e
e
dx
Analogamente, calculamos o número de buracos que
saem por unidade de tempo no elemento dV no ponto x + x.
dif
dif


N OUT iOUT
x  J OUT
x  A
1
dpx 


   e  Dp 
t
e
e
e
dx
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
x  dx
A
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Resultado da corrente de difusão
Com estes dois resultados, calculamos a
taxa de variação no número de buracos no
elemento dV devido à corrente de difusão.
 p 
 
 t 
dif

dif
IN
i
x  i x  dx
dif
IN
e
Com o uso do conceito de diferencial, obtemos então a
equação mostrada abaixo.
 p 
 
 t 
dif
d p x 
 Dp 
 dV
2
dx
2
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Resultado da soma de todos os efeitos
A taxa de variação do número total de
buracos no elemento dV é igual à soma das
três taxas calculadas anteriormente.
p
 p

 dV    dV 
t
 t

ger , rec
 p 
  
 t 
des
 p 
  
 t 
dif
Após uma simples manipulação, chegamos à seguinte
equação diferencial.
px, t 
dpx 
d 2 px 
 r  N D  px, t   peq   p  E 
 Dp 
t
dx
dx2


Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A corrente total de buracos
A última equação obtida pode ser
condensada e expressa em termos da
densidade de corrente total de buracos.
dp x 
J p x   e   p  px   E  e  D p 
dx
Assim, obtemos a Equação da Continuidade para os
portadores minoritários (buracos) em um semicondutor do
tipo n.
px, t 
1 J p x 
 r  N D  px, t   peq  
t
e x


Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A Equação da Continuidade para buracos
A Equação da Continuidade obtida acima pode ser
expressa em termos mais gerais, considerando o movimento
tridimensional dos portadores de carga.
Neste caso, tratamos a densidade de cargas em sua
forma vetorial.


pr , t 
1  
 r  N D  pr , t   peq     J p
t
e


Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A Conservação da Carga Elétrica
Seja agora um elemento de volume dV de um
semicondutor do tipo p, no qual tenhamos elevada dopagem
de impurezas aceitadoras.
Insistimos mais uma vez que as variações de
concentração, tanto espaciais quanto temporais são
relevantes apenas para os portadores minoritários..
No caso de um semicondutor do tipo p, os portadores
minoritários são os elétrons.
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A Conservação da Carga Elétrica
Vamos então fazer um balanço da
quantidade de cargas existentes neste
elemento de volume dV.
A taxa de variação do número de elétrons
com o tempo em dV ocorre devido aos
processos de geração e recombinação.
 n

 t  dV 


ger , rec


 GT   R dV  r  n  p  n  dV
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
2
i
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A Conservação da Carga Elétrica
Adotamos aqui a mesma hipótese feita
anteriormente que p  NA >> n = neq – n’.
Neste caso, já obtivemos a equação
diferencial para o transiente dos portadores
minoritários.
 n


dV
 t



ger , rec


 r  N A  nx, t   neq  dV
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A Conservação da Carga Elétrica
Vamos agora calcular o número de
elétrons que entram por unidade de tempo
no elemento dV no ponto x, devido à corrente
de deslocamento, com campo elétrico
constante.
des
des

x  A  e  n  nx  E  A    nx  E  A
N IN iIN
x  J IN


n
t
e
e
e
Analogamente, calculamos o número de elétrons que
saem por unidade de tempo no elemento dV no ponto x + x.
des

N OUT iOUT
x  e   n  nx  dx  E  A


  n  nx  dx  E  A
t
e
e
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A Conservação da Carga Elétrica
Com estes dois resultados, calculamos a
taxa de variação no número de elétrons no
elemento dV devido à corrente de
deslocamento.
 n 
 
 t 
des
des
des

x  dx
iIN
x   iIN

e
Com o uso do conceito de diferencial, obtemos então
 n 
 
 t 
des
dnx 
 n  E 
 dV
dx
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A Conservação da Carga Elétrica
Vamos agora calcular o número de
elétrons que entram por unidade de tempo
no elemento dV no ponto x, devido à corrente
de difusão.
dif
dif

x  A   1  e  D  dnx   A
N IN iIN
x  J IN


n
x
t
e
e
e
dx
Analogamente, calculamos o número de elétrons que
saem por unidade de tempo no elemento dV no ponto x + x.
dif
dif


N OUT iOUT
x  J OUT
x  A
1
dnx 


   e  Dn 
t
e
e
e
dx
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
x  dx
A
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A Conservação da Carga Elétrica
Com estes dois resultados, calculamos a
taxa de variação no número de elétrons no
elemento dV devido à corrente de difusão.
 n 
 
 t 
dif

dif
IN
i
x  i x  dx
dif
IN
e
Com o uso do conceito de diferencial, obtemos então
 n 
 
 t 
dif
d nx 
  Dn 
 dV
2
dx
2
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A Conservação da Carga Elétrica
A taxa de variação do número total de
elétrons no elemento dV é igual à soma das
três taxas calculadas anteriormente.
n
 n

 dV    dV 
t
 t

ger , rec
 n 
  
 t 
des
 n 
  
 t 
dif
Após uma simples manipulação, chegamos à seguinte
equação diferencial.
nx, t 
dnx 
d 2 n x 
 r  N A  nx, t   neq   n  E 
 Dn 
t
dx
dx2


Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A Conservação da Carga Elétrica
A última equação obtida pode ser
condensada e expressa em termos da
densidade de corrente total de elétrons.
dn  x 
J n  x   e   n  n x   E  e  Dn 
dx
Assim, obtemos a Equação da Continuidade para os
portadores minoritários.
nx, t 
1 J n x 
 r  N A  n x, t   neq  
t
e x


Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A Conservação da Carga Elétrica
A Equação da Continuidade obtida acima pode ser
expressa em termos mais gerais, considerando o movimento
tridimensional dos portadores de carga.
Neste caso, tratamos a densidade de cargas em sua
forma vetorial.


nr , t 
1  
 r  N A  nr , t   neq     J n
t
e


Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio
SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
1. Introdução
2. Recombinação Direta e Indireta
3. Decaimento de Portadores Minoritários no Tempo
4. Difusão de Portadores
5. A Relação de Einstein
6. A Equação da Continuidade
7. Decaimento de Portadores Minoritários no Espaço
8. Exemplos de Aplicação
Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio