ANÁLISE DE SOBREVIVÊNCIA/
TÁBUAS DE MORTALIDADE
Professor: Dani Gamerman
Instituto de Matemática – UFRJ
Sala 121E do bloco C do CT
email: [email protected]
Tel: (21) 2562 7911
acd.ufrj.br/~dani
Para obter material do curso: ir na homepage acima, versão em Portugues,
para a seção de Ensino e clicar no curso
Referência básica do curso:
Capítulos 3 (tábuas de mortalidade) e 18 (teoria de populações) de
Actuarial Mathematics, de Bowers Jr, N.L., Gerber, H.U., Hickman, J. C.,
Jones, D. A e Nesbitt, C. J., publicado pela Society of Actuaries em 1986.
1
CONTEÚDO
 Distribuição de Sobrevivência e Tábuas de Mortalidade
1. Função de sobrevivência
2. Força (taxa) de mortalidade
3. Relações entre F(x), f(x), S(x) e (x)
4. Relações de funções de sobrevivência com tábuas de mortalidade
5. Outras funções de tábuas de mortalidade
 Leis de mortalidade
 Tipos de tábuas de mortalidade: seleta, final e agregada
 Inferência em tábuas de mortalidade: estimadores de px e mx
 Dinâmica de populações (diagrama de Lexis)
 Sequências de tábuas de mortalidade (previsão)
2
 Planejamento do curso
DIA
27/06
04/07
11/07
18/07
25/07
01/08
08/08
15/08
22/08
29/08
05/09
12/09
12/09
(CH)
2
2
2
2
2
2
2
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2
2
2
2
TEMAS
Apresentação do curso e introdução
Elementos básicos de análise de sobrevivência
Força de mortalidade
Relações de funções de sobrevivência com tábuas
Aplicações com tábuas de mortalidade reais
Outras funções de tábuas de mortalidade
Aplicações de força central de mortalidade
Leis de mortalidade
Tipos de tábuas: seleta, final, agregada
Inferência em tábuas de mortalidade
Dinâmica de populações e sequência de tábuas
Revisão e tirada de dúvidas final
Prova final
RECURSOS
Datashow e PC
Datashow e PC
Datashow e PC
Datashow e PC
Datashow e PC
Datashow e PC
Datashow e PC
Datashow e PC
Datashow e PC
Datashow e PC
Datashow e PC
Quadro-negro
 Avaliação
A avaliação será com base em
• trabalhos feitos ao final de cada aula (peso 40%)
• uma prova final (peso 60%).
3
Distribuição de Sobrevivência e Tábuas de Mortalidade
1. Função de sobrevivência
X – tempo de vida ou idade na morte (variável contínua)
F(x) = P(X  x) , para x  0 -
função de distribuição de X
S(x) = 1 - F(x) = P(X > x) , para x  0 - fç de sobrevivência de X
Observe que F(0) = 0 e S(0) = 1.
i) A probabilidade de morte entre x e z é
P(x < X  z) = F(z) - F(x) = S(x) - S(z)
4
ii) Tempo até a morte de uma pessoa com idade x.
Pessoa com idade x é denotada por (x).
Tempo de vida futuro de (x) é X-x, também denotado por T(x).
A probabilidade de morte entre x e z dado que já sobreviveu até a idade x é
P( X  x + t | X > x ) = P(x < X  x + t ) / P( X > x ) = 1 – S(x+t) / S(x)
Afirmações probabilísticas sobre T(x) utilizam a notação
t qx
= P( T(x)  t) = P( T  x + t | T > x ), para t  0
t px
= 1 - t qx = P( T(x) > t), para t  0
portanto
t
qx
t
px
é a função de distribuição de T(x)
é a função de sobrevivência de T(x).
5
Observe as seguintes relações
i) x p 0 = S(x)
ii) se t=1, tqx = qx = P( morte em 1 ano após x ) e
t px
= px = P( sobrevivência a 1 ano após x )
Notação especial é usada para
t|uqx
= P( t < T(x)  t + u ) = t+uqx - tqx ,
a probabilidade de (x) sobreviver t anos e morrer nos u anos seguintes.
Analogamente, se u=1, t|uqx = t|qx .
Temos ainda:
t px =
t
p0
S(x + t)
=
S(x)
x p0
x+t
S(x + t)
q x = 1 - S(x)
6
t|uqx
= [ S(x+t) – S(x+t+u) ] / S(x) = tpx . uqx+t
Os seguintes eventos são de interesse
 P( X > x )
 P( x < T  x + t )
 P( x < T  x + t | X > x)
 P( T(x) > t )
 P( t < T(x)  t + u )
7
Tempo de vida futura encurtado (discretizado)
Tábuas de mortalidade são frequentemente apresentadas
com dados agrupados por anos inteiros.
Pode-se definir a variável discreta K(x),
dada pelo #anos completados por (x) antes de sua morte.
K(x) = parte inteira de T(x).
Assim, K(x) tem fç de probabilidade
P( K(x) = k ) = P( k < T(x)  k+1 ) = k|qx
A função de distribuição de K(x) é uma função escada (K(x) é discreta) com
F(k) = 0|qx + ... + k|qx =
k+1qx
, para k= 0, 1, 2, ..
Note que k|qx = kpx - k+1px
8
2. Força (taxa) de mortalidade
Sendo F(x) a função de distribuição de X, define-se
função de densidade de X por f(x) = F’(x),
F x + x -F(x)
= f(x) .
isto é, lim
x0
x
Seja agora:
F x  x - F(x) f(x) x

P(x < X  x + x | X > x) =
1- F(x)
1- F(x)
Define-se a força de mortalidade de X como
f(x)
-S'(x)
 x = 1- F(x) = S(x) .
9
Para cada idade x, a força de mortalidade fornece a probabilidade de morte
de X num pequeno intervalo após x, dada a sobrevivência até a idade x.
A
força
de
mortalidade
também
é
chamada
(em
análise
de
sobrevivência/confiabilidade) de taxa de falha.
f(x)
-S'(x)
Da relação  x = 1- F(x) = S(x) , temos que x = - [log S(x)]’.
F( x) = 1 - S(x) = 1 - e -0 sd s
x
Logo,
a densidade f(x) = F’(x) = xp0 x
e
.
A função de distribuição de T(x) é dada por G(t) = tqx
e sua densidade por g(t) = tpx x+t .
10
3. Relações entre F(x), f(x), S(x), (x)
F(x)
f(x)
(x)
S(x)
F(x)
-
F’(x)
1-F(x)
F’(x)/1-F(x)
f(x)
0xf (x)dx
-
1  0 f ( x)dx
f (x) / x f (x)dx
S(x)
1-S(x)
-S’(x)
-
-S’(x)/S(x)
(x)
 0x  ( x) dx

1 e
x
 ( x)e  0  ( x)dx
x
 0x  ( x) dx

e

-
11
4. Relações de funções de sobrevivência com Tábuas de Mortalidade
As tábuas em geral contém as funções básicas:
lx - número (esperado) de sobreviventes na idade x
dx - número (esperado) de mortes na idade x
qx - probabilidade de morte de uma pessoa de idade x antes de completar x+1.
l0 - chamado de raiz, número inicial de pessoas do grupo a ser observado
Relações:
 tqx = 1 -
S(x + t)
S(x + 1)
qx = 1 e,
quando
t=1,
S(x)
S(x) .
 lx = l0 S(x) e lx (x) = l0 f(x) = l0
x
p 0  (x)
 dx = l0 [ S(x) – S(x+1) ] = lx – lx+1 .
12
Relação entre x , qx e lx
x - taxa instantânea de mortalidade ou força de mortalidade
qx - probabilidade de morte em 1 ano para (x)
lx - número esperado de indivíduos vivos em x
i)
qx = 1 – S(x+1) / S(x) = 1 – ( lx+1 / l0 ) / ( lx / l0) = 1 - ( lx+1 / lx ).
ii)
( t+qx - tqx ) /   x , quando   0
iii)
Considere uma fração  de um ano e suponha qx constante entre x e x + 1.
Logo, a probabilidade de morte entre x e x +  será qx = ( lx - lx+ ) / lx = qx /  .
Assim qx = - (1 / lx ) ( lx+ - lx ) / .
Fazendo   0, temos x = - (1 / lx ) ( dlx / dx ) = - ( d log lx / dx )
13
Comentários sobre a Tábua de Mortalidade americana 1979-1981
• tabela parte de uma raiz (hipotética) l0 = 100 000;
•1% dos recém-nascidos deverá morrer no 1o. ano de vida;
• 77% dos recém-nascidos viverá até 65 anos;
• Mínimos locais no número de mortes ocorrem aos 11 e 27 anos;
• O máximo número de mortes dentro de um grupo é aos 83 anos;
• Não há indicação de idade limite pois 21 ainda estão vivos;
• lx e dx foram arredondados (sem haver necessidade).
14
Exercícios sobre tábuas de mortalidade - Parte I
1) Usando a tábua de mortalidade americana 1979-1981, qual a probabilidade de (20)
i) viver até 100 anos?
ii) morrer antes de 70 anos?
iii) morrer em sua 10a década?
Solução:
i) P( T(20) > 100) = P( T > 100 | T > 20 ) = P( T > 100)/ P( T > 20 ) = S(100)/S(20).
Mas S(x) = lx / l0 . Logo, S(100)/S(20) = l100 / l20 .
ii) P( T(20)  70 ) = P( 20 < T  70 | T > 20 ) = [S(20) - S(70)] / S(20) = 1 - S(70)/S(20).
Das contas em (i), S(70)/S(20) = l70 / l20 .
iii) P( 90 < T(20)  100 ) = P( 90 < T  100 | T > 20 ) = [S(90) - S(100)] / S(20).
Das contas em (i), P( 90 < T(20)  100 ) = ( l90 - l100 )/ l20 .
15
2) Com auxílio da tábua American Experience, determinar a probabilidade de
vida para a idade de 45 anos.
Solução:
Queremos obter p45.
Temos da tábua American Experience que l45 = 74 173 e l46 = 73 345.
A probabilidade de vida da idade de x anos é p x =
Logo, p 45
l x +1
lx .
73.345
l 46
p
=
=
74.173 .
l 45  45
Assim, p45 = 0,98884 .
16
3) O número de mortos entre as idades de 30 e 31 anos na tábua semitropical de
Hunter é de 858 pessoas e a probabilidade de morte para 30 anos é 0,00984.
Determinar o número de sobreviventes das idades de 30 e 31 anos e a
probabilidade de vida da idade de 30 anos.
Solução:
Encontraremos em primeiro lugar, a probabilidade de vida da idade de 30 anos.
Como, px = 1 - qx temos que p30 = 1 - q30.
Logo, p30 = 1 - 0,00984 = 0,990159422.
17
Achemos agora o número de sobreviventes da idade de 30 anos:
d
d
Como l x = q x temos que l x = q x .
x
x
d
Portanto, l 30 = q 30 = 858 / 0,00984 = 87190
30
Finalmente determinaremos o número de sobreviventes da idade de 31 anos:
Como lx+1 = lx - dx  l31 = l30 - d30.
Assim, l31 = 87190 - 858 = 86.332.
18
4) Tomando por base a tábua HM de 1869, determinar a probabilidade que um
homem, atualmente com 40 anos, tem de chegar aos 50 anos.
Solução:
Se a pessoa tem atualmente 40 anos, para que a mesma chegue aos 50 anos, é claro
que tem de sobreviver mais 50 - 40 = 10 anos.
Como n p x =
lx+n
l 40+10
p
=
l x  10 40
l 40 .
Assim, 10 p 40 =
Temos que
l50
l 40 e, como, l40 = 82.284 e l50 = 72.726
10p40=
72.726 / 82.284 = 0,88384 .
19
5) Utilizando a Tábua Italiana (M), qual é a probabilidade que um homem atualmente
com a idade de 20 anos tem de falecer no 450. ano.
Solução:
Temos x = 20 anos (idade atual da pessoa) e n = 44 - 20 = 24 anos
Utilizemos a fórmula n|qx = dx+n / lx 
24|q20
= d24+20 / l20 = d44 / l20 .
O número de mortos entre as idades de 44 e 45 anos é
d44 = l44 - l45 = 55.790 - 55.230
Logo, d44 = 560.
Como l20 = 69.524, a probabilidade desejada é igual
24|q20
= 560 / 69.524 = 0,00805.
20
6) Determinar, pela Tábua das Cias. Alemãs, qual a probabilidade de uma pessoa
com a idade atual de 30 anos, falecer antes de alcançar os 60 anos.
Solução:
Temos que x = 30 anos (idade atual da pessoa) e n = 60 - 30 = 30 anos.
Utilizaremos a fórmula x q n = 1 - x p n  30q30 = 1 -
30p30 .
Mas 30p30 = l60 / l30
Da tábua, tem-se que l30 = 91.578 e l60 = 55.892.
Logo, 30p30 = 55.892 / 91.578 = 0,61032.
Assim, 30q30 = 1 – 0,61032 = 0,38968.
21
7) Pela tábua American Experience, achar a probabilidade que tem uma pessoa de 30
anos, de morrer entre 45 e 50 anos.
Solução:
Temos que x = 30 anos (idade atual da pessoa), n = 45 - 30 = 15 anos e m = 50 - 45 = 5
anos.
Usaremos a fórmula n|mqx = ( lx+n - lx+n+m )/ lx  15|5q30 = ( l45 - l50 )/ l30
Da tábua, temos que l30 = 85.441, l45 = 74.173 e l50 = 69.804.
Logo, 15|5q30 = ( 74.173 - 69.804 ) / 85.441 = 0,051135.
22
8) Sendo dados 10 p 30 = 0,920 , 10 p 40 = 0,890 e p40 = 0,991, calcular a probabilidade
que tem uma pessoa de 30 anos de morrer:
i)
antes da idade de 50 anos;
ii)
entre as idades de 40 e 50 anos;
iii) no seu 410. ano.
Solução:
i)
Queremos 20 q 30 =
l30  l50
l30
l50
=
l30
l30
l30 = 1 - 20 p30
Como não temos o valor de 20
20 p 30 =
Assim,
20q30
p 30
, fazemos o artifício de cálculo
l40 l50
l50
l
l
= 40 . 50  l . l  20 p30 = 10 p30 . 10 p40
l 30
l 40 l 30
30
40
20
p 30 = 0,920 x 0,890
= 0,8188 e
= 1 – 0,8188 = 0,1812.
23
ii) Temos que 10|10q30 = ( l40 – l50 ) / l30 = ( l40 / l30 ) - ( l50 / l30 ).
Mas ( l40 / l30 ) = 10p30 e ( l50 / l30 ) = ( l50 / l40 ) ( l40 / l30 ) = 10p40
Logo, 10|10q30 =
10p30
- 10p40
10p30
10p30
.
Colocando 10 p 30 em evidência, temos 10|10q30 =
10p30
( 1 - 10p40 ) .
Substituindo pelos valores numéricos da tábua, teremos:
10|10q30
= 0,920 ( 1 - 0,890 ) = 0,1012
iii) Apliquemos a fórmula 10|q30 =10p30 q40.
Como q40 = ( 1 - p40 ), temos que 10|q30 =10p30 ( 1 - p40 ).
Substituindo pelos valores numéricos da tábua, teremos
10|q30
= 0,920 (1 - 0,991) = 0,00828.
24
5. Outras funções de tábuas de mortalidades
 Esperança de vida na idade x
e0x = E[ T(x) ] = 0 t g(t) dt = 0 t t px x+t dt = 0 t px dt
Similarmente, Var[ T(x) ] = 2 0 t t px dt - [ 0 t px dt ]2.
 Vida mediana na idade x
P(T(x) > m(x)) = 0,5
m(x) deve satisfazer a S(x+m(x)) / S(x) = 0,5.
 Esperança de vida encurtada na idade x
ex = E[ K(x) ] = 0 k k|qx = 0
k+1px
25
• Números esperados de anos vividos por sobreviventes
Tx - número esperado de anos vividos pelos sobreviventes até x
Tx = 0 t lx+t x+t dt = 0 lx+t dt
Pode se mostrar que Tx / lx = e0x .
Lx - número esperado de anos vividos entre x e x+1 pelos sobreviventes até x
Lx = 10 t lx+t x+t dt + lx+1 . 1 = 10 lx+t dt
Logo, Tx = Lx + Lx+1 + ...
• Vida média entre x e x+1
ax = E[ T(x) | T(x) < 1 ] = [ 10 t lx+t x+t dt ] / [ 10 lx+t x+t dt ]
Logo, Lx = ax dx + lx+1 .
26
• Taxa central de mortalidade
mx = [ 10 lx+t x+t dt ] / [ 10 lx+t dt ] = ( lx - lx+1 ) / Lx = dx / Lx
Média de x ponderada pela padronização de lx
É uma espécie de versão discreta da força de mortalidade x
Útil na modelagem estatística de tábuas de mortalidade pois fornece a relação entre o
número de falecidos entre as idades x e x + 1 e o número de indivíduos que possuem a
idade x.
Temos ainda que
mx = dx / [ lx - (dx /2) ] = (dx / lx ) / [ (lx / lx)- (dx /2 lx) ] = 2 qx / ( 2 - qx ).
Daí decorre que qx = 2 mx / (2 + mx ) e px = 2 - mx / (2 + mx ).
27
• Se as mortes entre x e x+1 se distribuem uniformemente (lx+t x+t = dx )
 ax = 1/2
Lx = lx+1 + (1/2) dx = lx - (1/2) dx = ( lx + lx+1 ) / 2
Tx = (1/2) lx + lx+1 + lx+2 + ...
(provar)
e0x = ex + 0,5
Outras possibilidades podem ser contempladas para a forma de distribuição das
mortes entre x e x+1. As mais famosas são:
i) uniforme (vista acima),
ii) exponencial (força de mortalidade constante)
iii) Balducci
28
Exercícios sobre tábuas de mortalidade – parte II
1) Sabendo-se que l10 = 100.000, l11 = 99.251 e l12 = 98.505, determinar as
taxas centrais de mortalidade para as idades de 10 e 11 anos.
Solução:
dx
Temos que m x = l  1 / 2 d .
x
x
Como dx = lx - lx+1, a fórmula acima ficará
mx =
l x  l x 1
l x  l x 1
l x  l x 1 2 l x  l x 1 
l x  1 / 2 l x  l x 1  = l x  1 / 2  1 / 2 l x +1 = l x  l x 1 = l x  l x 1 .
2
Substituindo os valores numéricos, temos
m10
2 l10  l11 
2100.000 - 99.251
=
=
l10  l11
100.000 + 99.251 = 0,007518.
Analogamente, m11
2 99.251 - 98.505
1.492
=
=
= 0,007545
99.251 + 98.505
197.756
29
2) Uma tábua tem taxas centrais de mortalidade para as idades de 20 e 21 anos
dadas respectivamente por 0,007835 e 0,007886 e o número de sobreviventes para a
idade de 20 anos é 92.637. Determinar os valores de l21, l22, p20, p21, q20 e q21.
Solução:
Vimos antes que m x =
2 l x  l x 1 
l x  l x 1 .
Podemos assim, obter o valor de lx+1 através das operações
mx(lx + lx+1) = 2lx - 2lx+1

2lx+1 + mxlx+1 = 2lx - mxlx 
(2 + mx) lx+1 = (2 - mx) lx.
Portanto,
l x1 =
 2 - mx  l x
2 + mx
.
30
Substituindo os valores numéricos, temos
l 21 =
=
 2 - m20  l 20
2 + m20
 2  0,007835 x 92.637
2 + 0,007835
Donde obtemos l21 = 91.914.
Analogamente, l 22 =
 2 - m21  l 21
2 + m21
=
 2 - 0,007886 x 91.914
2 + 0,007886
= 91.192
As probabilidades são dadas por
p 20 =
l 21
91.914
=
= 0,992195 ,
l 20
92.637
l
91.192
p21 = l22 = 91.914 = 0,992145
21
q20 = 1 - p20 = 1 - 0,992195 =0,007805 e, finalmente,
q21 = 1 - p21 = 1 - 0,992145 =0,007855.
31
Leis de Mortalidade
Seria útil poder ter formas analíticas descrevendo o padrão de mortalidade.
Assim, ao invés de + de 100 probabilidades, bastariam 2 ou 3 números para
descrição completa.
Hoje em dia, isso não é mais tão importante.
Algumas leis mais famosas:
1) de Moivre (1697-1754) – matemático
Supõe que lx é uma função linear que decresce em progressão aritmética 
lx = l0 (w - x)
Portanto, q x =
l x  l x 1
1
=
lx
w - x , 
x
1
=
w - x
e S(x) = 1 – x / w.
32
2) Gompertz (1779 - 1875)
Supõe que a força de mortalidade x cresce em partes proporcionais 
x = B cx , para B > 0 e c > 1.
Assim, S(x) = e

 m c x -1

onde m = B/log c.
3) Makeham (1826-1891) - Atuário
Envelhecimento faz com que log tpx decresça em progressão geométrica quando x cresce em
progressão aritmética  log tpx = cx ( ct – 1) log g, com c > 1 e 0 < g < 1.
Daí, x = A + B cx onde B = -log g > 0 , - B  A, que representa riscos acidentais,
e
l x = k sx g c
x
k > 0, 0 < s < 1, 0 < g < 1, c > 1
.
 A = 0  Gompertz = Makeham
 c=1
 Gompertz = exponencial (força constante)
33
Outras leis propostas:
a) Lambert (1765) - lx = a+b (x-45) + c(x-45)2 + d(x-45)3 + e(x-45)4+ f(x-45)5
b) Young e Littrow - lx - polinomio de grau n
c) Babbage (1823) - lx = A + Bx +
cx x  1
2
d) Thiele - x = 1(x) + 2(x) + 3(x) onde
1(x) = a1
e 1x
2(x) = a2 e
3(x) = a3

1
  x-c  2
2 2
, para a população infantil
, para a população adulta
e 3 x
, para a população idosa
e) Lang - lx = a + bcx
f) Moser (1839) - lx = lo - ax1/4 - bx3/4 - cx7/4
g) Opperman - x = ( + x) ekx + ex (x < 15)
34
Tábuas e Índices de Mortalidade
Tabela de Mortalidade - instrumento destinado a medir as probabilidades de vida
e de morte.
Tabela de 1a. Espécie - construída tendo em vista todo um grupo da população.
Tabela de 2a. Espécie - construída levando-se em conta um grupo de pessoas
selecionadas (por exemplo, por exame médico) e por esta razão determina um
grupo homogêneo.
35
Existem situações que fazem com que mortalidade seja diferenciada:
• indivíduos podem ter sido aprovados em exame médico
• indivíduos podem ter deficiência física
• etc...
Padrão de mortalidade é alterado e novas probabilidades devem ser utilizadas.
Para explicitar esse ponto, notação também será alterada:
x
 [x] , idade na qual indivíduo teve padrão mudado (por exame médico).
(x+u)  ([x]+u) , indivíduo com x+u anos que teve padrão mudado em x
Exemplo: considere 3 indivíduos com 30+i anos: (30+i), ([30]+i) e ([31]+i-1)
2q30+i
é a probabilidade de
(30+i) morrer em 2 anos
2q[30]+i
é a probabilidade de
[30]+i
2q[31]+i-1 é
morrer em 2 anos
a probabilidade de [31]+i-1 morrer em 2 anos
Tábuas construídas para esses indivíduos são ditas tábuas seletas.
36
Espera-se que efeito do exame acabe com o tempo e mortalidade dependa apenas da idade,
isto é, que exista r tal que q[x-j]+r+j  q[x]+r  q[x]+r , para j > 0
r é o período de seleção.
A sociedade de atuária americana recomenda r=15, isto é, tomar q[x-j]+15+j  q[x]+15
Com isso, tábuas seletas só precisam ter r colunas com probs. q[x]+j , j=1,... , r.
A tábua de mortalidade para ([25]) necessita dos valores de q[25]+j , j=1, ... , 15, 16, ...
Podemos obter
• q[25]+j , j=1,... , 15 da tábua seleta
• q[25]+15+j , j=1,...
das relações q[25]+16  q[26]+15  q41 , q[25]+17  q[27]+15  q42 , ...
Tábuas seletas e finais são obtidas pela truncagem das tabelas seletas
após o período de seleção r.
A coluna contendo q[x]+r (= qx+r ) de uma tábua seleta e final é chamada de tábua final.
37
A tabela abaixo contém um trecho da tábua de seguradoras inglesas 1967-1970
[x] 1000 q[x] 1000 q[x]+1 1000 qx+2
l[x]
l[x]+1
lx+2
30
31
32
33
0,43767
0,45326
0,47711
0,50961
0,57371
0,59924
0,63446
0,68001
0,69882
0,73813
0,79004
0,85577
34
0,55117 0,73655
0,93663
x+2
33.829
33.807
33.784
33.760
33.814
33.791
33.767
33.742
33.795
33.771
33.746
33.719
32
33
34
35
33.734
33.715
33.690
36
O período de seleção usado nessa tábua foi r=2.
Note que
l[x+2]  l[x+1]+1  lx+2 e portanto é razoável supor que l[x]+2 = lx+2 .
Entretanto q[x+2] < q[x+1]+1 < qx+2 são bem diferentes e,
embora todas se refiram a (32), ordem faz sentido.
Tábua agregada leva em conta apenas a idade dos indivíduos.
38
Exercício sobre tábuas seletas
Com base na tábua das seguradoras inglesas, calcule 2q[30], 5p[30] , 1|q[31] e 3q[31]+1
Solução:
i)
2q[30]
= P( ([30]) sobreviver 2 anos) = l32 / l[30] = 33.795 / 33.829 = 0,99899.
ii) 5p[30] = P( ([30]) sobreviver 5 anos) = l35 / l[30] = 33.719 / 33.829 = 0,99675.
iii) 1|q[31] = P( ([31]) morrer em seu 32o. ano) = ( l[31]+1 - l[31]+2 ) / l[31]
Como l[31]+2 = l33 ., 1|q[31] = ( 33.791 - 33.771 ) / 33.807 = 0,00059.
iv) 3q[31]+1 = P( ([31]+1) morrer em 3 anos) = ( l[31]+1 - l[31]+4 ) / l[31]+1
Como l[31]+4 = l35 ., 3q[31]+1 = ( 33.791 - 33.719) / 33.791 = 0,00213.
39
Inferência em tábuas de mortalidade
Estimadores de px
1) Amostra reduzida –
Neste caso, supõe-se que a saída no período de observação só ocorre por morte.
l x+1
dx
Assim, px = l x = 1 - l x
2) Atuarial - Se no período de observação pode haver saída (censura) devido a outros fatores além de morte
em cada idade x, o estimador atuarial supõe que as saídas cx ocorrem no meio do intervalo (x, x + 1)
Assim, p x = 1 -
dx
.
1
lx cx
2
40
Inferência em tábuas de mortalidade (cont.)
Normalmente em tábuas, não há censura  qx = dx / lx .
Supondo que as mortes na idade [x] estão concentradas em
x + ½, o tempo de exposição na idade x é
Ex = lx+1 . 1 + dx . ½ = lx - dx . ½
Supondo que a taxa de mortalidade é constante em cada
idade (x+s = x+1/2 , para 0 < s < 1), estimamos
x+1/2 = dx / Ex  qx = 1– exp( - x+1/2 ) = 1– exp(- dx / Ex).
Observações:
• Os 2 estimadores de qx são parecidos pois 1 – exp(-z)  z,
se z for pequeno
• Se a taxa de mortalidade é constante para cada idade,
a verossimilhança da idade x é (x+1/2 )dx exp( - x+1/2 Ex)
41
 dx / Ex é EMV de x+1/2
Para usar métodos analíticos de inferência, precisamos
assumir distribuição para v.a.’s dx e Ex (ou lx).
Costuma-se assumir Ex (ou lx) conhecidos.
Existem 2 opções mais comuns para dx:
• dx  Poisson (x+1/2 Ex)  da verossim. Acima
• dx  Binomial ( lx , qx )
Na prática, não há muita diferença nos 2 caminhos;
Se lx é grande e qx é pequeno (normalmente verdade) então
• Binomial  Poisson,
• lx  Ex
• qx  x+1/2
42
Intervalos de confiança (caminho Poisson)
Assumindo o caminho Poisson, podem-se construir I.C.’s
para x+1/2 a partir de I.C.’s para  = x+1/2 Ex.
Exemplo: suponha dx = 19 e Ex = 2000, para algum x
O I.C. 90% para  é 12,44 <  < 27,88 (da tabela do Gerber)
Dividindo todos os termos por 2000,
I.C. 90% para x+1/2 é 0,00622 < x+1/2 < 0,01394.
 1,00624 < exp ( x+1/2 ) < 1,01404
 0,98616 < exp ( - x+1/2 ) < 0,99380
 0,00620 < 1 - exp (-x+1/2) < 0,01384  I.C. para qx
Note semelhança entre os I.C.´s de x+1/2 e qx
43
Intervalos de confiança (caminho binomial)
Assumindo o caminho binomial, podem-se construir I.C.’s
para qx a partir da aproximação normal
dx /lx  normal (qx , qx (1- qx )/lx ).
Daí, obtém-se o I.C. 95% para qx dado pelos limites
(dx /lx)  1,96 [ dx (lx - dx )/ (lx)3 ]1/2
Para I.C. 99% troca-se 1,96 por 2,576.
Exemplo: suponha dx = 19 e lx = 2000, para algum x
dx /lx = 0,0095
dx (lx - dx )/ (lx)3 = 19 (2000-19)/20003 = (0,002169)2
Assim, I.C. 95% para qx tem limites 0,0095  1,96 . 0,002169
 I.C. 95%: 0,00525 < qx < 0,01375
Aproximação normal funciona bem para lx grandes.
44
Abordagem Bayesiana (caminho Poisson)
Usando Poisson, a verossimilhança da idade x é dada por
l(x+1/2 ) = (x+1/2 )dx exp( - x+1/2 Ex)
Supondo prioris x+1/2  Gama ( x , x ),
obtém-se, pelo teorema de Bayes, a posteriori
x+1/2 | dados  Gama ( x + dx , x + Ex).
A média a posteriori de x+1/2 é (x + dx ) / ( x + Ex).
A média a posteriori de qx = 1– exp( - x+1/2 ) é 1–[x/(x + 1) ]x.
Intervalos de credibilidade para x+1/2 podem ser construídos, a
partir da distribuição Gama.
Intervalos de credibilidade para qx podem ser construídos, a
partir dos intervalos para x+1/2 .
45
Abordagem Bayesiana (caminho Binomial)
Usando binomial, a verossimilhança da idade x é dada por
l(x+1/2 )  (qx )dx (1 - qx )lx -dx
Supondo prioris qx  Beta ( x , x ),
obtém-se, pelo teorema de Bayes, a posteriori
qx | dados  Gama ( x + dx , x + lx).
A média a posteriori de qx é (x + dx ) / ( x + lx).
Intervalos de credibilidade para x+1/2 podem ser construídos, a
partir da distribuição Gama.
Intervalos de credibilidade para qx podem ser construídos, a
partir dos intervalos para x+1/2 .
46
Graduação
Os valores de qx estimados por todos os procedimentos acima
não levam em conta nenhuma relação entre seus sucessivos
valores.
A decorrência disso é que eles podem ter grandes e indesejáveis
flutuações, principalmente nas idades mais avançadas.
Além disso, não levam em conta possíveis formas
determinísticas (leis de mortalidade) que pode se querer impor.
A idéia da teoria de graduação, introduzida por Whittaker em
1920, visa justamente tratar essas questões.
Veremos mais tarde como isso pode ser feito.
47
Forças de mortalidade proporcionais
Sejam
px+1/2 = f. m. para idade x da tábua padrão
x+1/2 = f. m. para idade x da tábua de interesse
Suponha que tábua de interesse tenha força de mortalidade
proporcional à uma tábua padrão, isto é,
x+1/2 = f px+1/2 , para toda idade x.
Temos que dx  Poisson (x+1/2 Ex) = Poisson (fpx+1/2 Ex).
Assim, d = x dx  Poisson (f x px+1/2 Ex).
Portanto, f pode ser estimado por (x dx)/(x px+1/2 Ex) e
e s+1/2 pode ser estimado por ps+1/2 .(x dx)/(x px+1/2 Ex)
Intervalos de confiança para f (e x+1/2) podem ser construídos.
48
Múltiplas causas de morte
Considere a decomposição da morte pelas suas m causas.
Temos assim, para cada idade x,
 m forças de mortalidade 1,x+1/2 , ... , m,x+1/2
 m prob. condicionais de morte q1,x , ... , qm,x
 m contagens de mortos d1,x , ... , dm,x
Os E.M.V. de j,x+1/2 são dados por dj,x / Ex , j = 1, ... , m.
Analogamente, os E.M.V. de qj,x são dados por
(dj,x/dx) [ 1 – exp ( - dx/Ex ) ], j = 1, ... , m.
Intervalos de confiança para j,x+1/2 e qj,x podem ser construídos.
Estimadores e intervalos Bayesianos também podem ser obtidos.
49
3) Kaplan-Meier - Neste método, o indivíduo perdido (ou censurado) é
considerado no estudo e, somente após a saída, deixa de ser considerado
na estimação de px. Portanto é necessária saber a ordem das saídas e
mortes.
Seja Nj’ = número de indivíduos ainda sob observação antes da ja morte em
(x, x+ 1)
Nj
Logo, px = 
.
j 1 N + 1
j
dx
50
Exemplo do estimador Kaplan-Meyer
Suponha uma saída e uma morte no intervalo (x, x+ 1) com
a saída (censura) no tempo t e a morte no tempo u.
Nx - número de indivíduos no início do intervalo.
10. Caso:
xt<ux+1
(x, x + 1) = (x, t)  (t,u)  (u,x+1)
px = p(x, t) p(t, u) p(u, x + 1)
Nx
Nx - 2 Nx  2
Nx  2
x
x
=
=N
Nx  1 Nx  2
Nx  1
x
20. Caso:
xu<tx+1
px = p(x, u) p(u, t) p(t, x + 1)
Nx  1 Nx -1 Nx  2
Nx  1
x
x
=
= Nx
Nx  1 Nx  2
Nx
51
Comparação de estimadores AR (amostra reduzida), PL (produto limite ou KaplanMeier) e Atuarial para estimar sobrevivência.
 Uma amostra de 100 indivíduos é acompanhada no começo de 1995. Durante o
ano, 70 morrem e 30 sobrevivem. Ao final do ano, uma amostra maior de 1000
indivíduos está disponível. Durante 1996, 15 indivíduos da 1 a. amostra e 750 da
2a. amostra morrem, deixando como sobreviventes 15 indivíduos na 1a. amostra
e 250 indivíduos na 2a. amostra.
Ao final de 1996, desejamos estimar 2p0, que é a probabilidade dos indivíduos da
população sobreviverem mais de 2 anos.
52
Amostra
Inicial
Mortes no 10. ano
Sobreviventes no 10. ano
Mortes no 20. ano
Sobreviventes no 20. ano
15
= 0,15
 RS) 2p0 =
100
 KM)
I
100
70
30
15
15
II
1000
750
250
(só usa informação da amostra completa)
30  250
= 0,255 e
p0 =
100  1000
p1 = 15/30 = 0,5 (Probabilidade de (1) sobreviver 2 º ano).
Logo, 2p0 = p0 p1 = 0,255 . 0,50 = 0,127
 Atuarial) p1 =1-
2p 0
15
15
= 1= 1- 0.094 e
1
160
280 - 250
2
= p0 p1 = 0,255 (1 - 0,094) = 0,231
53
Inferência em tábuas de mortalidade
Estimação de mx
Na prática, dispomos de informação sobre mortes observadas na população.
Com base, nesses dados procuramos obter estimadores de propriedades da população.
Uma das mais usadas é a taxa central de mortalidade pois é dada por uma relação direta
entre mortes e indivíduos em risco para cada dado intervalo (de 1 ano).
Sejam Dx = número observado de mortes na idade x e
Lx = número observado de anos vividos na idade x
Note que E[Dx ] = dx , E [ Lx ] = Lx e mx = dx / Lx .
Uma hipótese comumente feita é que Dx | Lx  Poisson ( mx Lx ).
Daí, obtém-se o estimador Dx / Lx para mx
Hipóteses paramétricas sobre mx podem ser feitas. Exemplo: Gompertz - mx= B cx
Pela regra de multiplicação P(A1... An) = P(A1) P(A2 | A1) .... P(An|An-1... A1) 
( D1 | L1 ) , ( D2 | L2 ), ( D3 | L3 ) , ... são independentes.
54
Temos todas as condições de um modelo linear generalizado (MLG):
• observações independentes D1 , D2, ... , Dw
• função de ligação para a média
• variáveis explicativas (no caso, x a idade)
Aplicando para o caso Gompertz temos mx= B cx.
Portanto, E [Dx ] = mx Lx = B Lx cx.
Tomando ligação logarítmica temos log E [Dx ] = log Lx + log B + (log c) x.
Trata-se de MLG com 1 covariável: x e intercepto dado por log Lx + log B .
Se Gompertz não é apropriada, outras opções podem ser usadas.
Descrições mais realistas podem ter covariáveis x, x2 , x3 , ...
Ligação logarítmica é útil pois garante positividade de mx
Outra opção é a abordagem não-paramétrica.
Exemplo: modelos autocorrelacionados para mx
mx = mx-1 + vx onde vx  N(0, V) .
55
Beltrão e Pinheiro (2002) num relatorio técnico da Funenseg
construíram uma tábua seleta da população consumidora de
produtos das seguradoras brasileiras .
Eles optaram pelo caminho binomial.
A graduação foi feita através da especificação de Thiele
qx = q1(x) + q2(x) + q3(x) onde
q1(x) cuidaria da população infantil (ausente nesse caso),
q2(x) cuida da mortalidade por causas externas
q3(x) cuida da mortalidade por envelhecimento
As formas adotadas foram
q2(x) = D exp [ - E (log x – log F )2 ] e
q3(x) = G Hx / ( 1 + K G Hx )
56
Outras possibilidades a serem exploradas em graduação:
Ao tomar o caminho binomial, queremos modelar
probabilidades de morte qx que estão no intervalo [0,1].
Nesse caso, a transformação mais apropriada não é a logarítmica,
usada no caso de taxas de mortalidade.
A mais comum é a trasformação logit: x = log [qx /(1- qx )].
Diferentes modelos podem ser usados aqui como visto anteriormente.
57
Outra opção é aplicar as transformações diretamente nos dados e
assumir a partir daí distribuição normal.
Assim,
 no caminho Poisson, tomamos
log (dx/Ex) como sendo normal com média x+1/2;
 no caminho binomial, tomamos
logit (dx /lx) como sendo normal com média qx.
Nesses casos, ainda resta a variância normal para ser modelada.
Esse caminho é aproximado (os anteriores são exatos).
Mas a aproximação será boa para Ex (ou lx) grandes.
58
Dinâmica de Populações
Consideremos uma população hipotética com idade limite w = 4 anos.
Suponha que 700 indivíduos nascem no ano z e são acompanhados até a morte
Destes indivíduos, 140 morrem no primeiro ano (antes do 1 0. aniversário)
56 morrem no segundo ano (com um ano mas antes de completar 2 0. aniversário)
252 morrem no terceiro ano (com dois anos mas antes de completar 3 0. aniversário)
252 morrem no quarto ano (com três anos mas antes de completar 4 0. aniversário)
O diagrama de Lexis* (1875) representa o acompanhamento dessas vidas com
i) tempo z no eixo x
ii) idade x no eixo dos y
iii) vidas em linhas fazendo 45o com os eixos x e y.
*
59
Wilhelm Lexis (1837-1914) – estatístico, demógrafo e atuário alemão
No diagrama, cada vida é representada por uma linha inclinada de 45 o.
A linha inicia-se na data do nascimento e termina na data e idade da morte.
Para nossa população o diagrama terá 700 linhas inclinadas
começando no eixo horizontal na idade z e teremos
140 terminando no paralelograma ADBC (antes da horizontal da idade).
56 terminando no paralelograma CDEF (entre as horizontais das idades 1 e 2).
252 terminando em EFGH e o resto em GHIJ.
Os números que atingem as horizontais nas idades 0, 1, 2, 3, 4 são respectivamente
700, 560, 504, 252.
Podemos estimar probabilidades de morte com base no acompanhamento dessa
população.
Por exemplo, q1 = 56 / [ 700 – 140 ] = 0,1.
60
Na descrição feita anteriormente, a população era um coorte, isto é, um grupo
(nascido em um certo ano e) acompanhado até extinção.
Cada ano l0 nascimentos ocorrem em uma população
Cada coorte (grupo) de nascimento segue o padrão de uma dada tabela de
mortalidade (padrão)
Se isso permanecer inalterado por muitos anos a população se torna
estacionária. Assim, um censo tomado desta população em qualquer momento
n lx
após o estado estacionário ser atingido obteria
pessoas no intervalo x a
x + n. Referimos esta população como população da tabela de mortalidade.
61
Na construção de tabelas de mortalidade: essencial que o período de referência (tempo)
e intervalo de idade envolvido sejam bem especificados e entendidos.
O diagrama de Lexis permite deixar claro esses aspectos.
Por exemplo as estimativas de qx baseadas no coorte podem ser obtidas a partir de:
Px – no. de pessoas no início do ano z com idade entre x e x + 1 (linhas cruzando AD).
E zx
= no. de pessoas que chegam a idade x no ano z (linhas cruzando AB)
Dzx - no. de mortes no ano z ds pessoas com idade x (linhas que terminam em ABCD).

D zx
- número de mortes no ano z entre as pessoas com idade x que completaram x anos
no ano z (linhas que terminam em ABC).
z
 Dx
- número de mortes no ano z entre as pessoas com idade x que completaram x anos
no ano z-1 (linhas que terminam em ADC).
Relações entre esses dados  estimativa de qx dada por
q zx =
 D
z
x
+  D zx 1  / p zx
.
Cada coluna do diagrama de Lexis fornece uma tábua de mortalidade (padrão).
62
Sequência de tábuas de mortalidade
Na prática, observamos várias tábuas publicadas a intervalos de tempo regulares.
Podemos coloca-las em sequência de forma a estabelecer padrão para evolução delas.
Se população for estacionária, padrão é constante. Isso pode ser checado!
Idade \ Ano
1
2
3
4
5
6
...
1975
D11975
D21975
D31975
D41975
D51975
D61975
1980
D11980
D21980
D31980
D41980
D51980
D61980
1985
D11985
D21985
D31985
D41985
D51985
D61985
1990
D11990
D21990
D31990
D41990
D51990
D61990
1995
D11995
D21995
D31995
D41995
D51995
D61995
2000
D12000
D22000
D32000
D42000
D52000
D62000
onde Dxz denota o número de mortos da idade x observado no ano z
Continuamos com independência (condicional) entre D1z , ... , Dwz , para todo ano z.
Supondo que as tabelas foram geradas de forma independente, temos
independência entre as tabelas.
63
Assim, temos independência para D11975 , ... , Dw1975 , ... , D12000 , ... , Dw2000.
A hipótese básica se mantém: Dxz | Lxz  Poisson ( mxz Lxz ), onde
mxz é a taxa central de mortalidade da idade x no ano z
Lxz é o número observado de anos vividos após x no ano z
Podemos propor MLG como o anterior só que agora temos x e z como
possíveis covariáveis.
Modelando x (como vimos antes) estudamos o padrão de morte da população.
Modelando z estudamos o padrão de evolução da mortalidade ao longo do tempo.
Exemplo: é razoável supor um declínio da taxa central de mortalidade ao longo
dos anos para todas as idades (x=1, ... , w)
 log mxz = x + x z onde espera-se  < 0.
x = 0 indica estacionariedade da população.
64