PUCRS – Faculdade de Engenharia – Engenharia Elétrica
Antenas – T480 – Exercício aula 19/10/2015
Quatro dipolos de comprimento L = 69.6 [cm], encontram-se dispostos conforme mostra a figura abaixo, de modo a formar um array de 4
elementos. As coordenadas dos centros dos dipolos são respectivamente x0 , y0 , z0 = (17.3,0,0) [cm], ( x1 , y1 , z1 ) = (0,17.3,0) [cm],
(
)
(x2 , y2 , z2 ) = (−17.3,0,0) [cm], (x3 , y3 , z3 ) = (0,−17.3,0)[cm]. As correntes que percorrem os dipolos são respectivamente dadas por
I 0 (t ) = 3.4 cos(2π 435 × 10 6 t − 50° ) [A], I 1 (t ) = 3.4 cos(2π 435 × 10 6 t + 220° ) [A], I 2 (t ) = 3.4 cos(2π 435 × 10 6 t + 130° ) [A] e
I 3 (t ) = 3.4 cos(2π 435 × 10 6 t + 220° ) [A]. Considere c = 2.99792458 × 108 m/s.
Usando a Equação (14) do Capítulo V da apostila (vide nota abaixo), determine a magnitude do campo
Eθ em um ponto p do espaço ℜ3
situado nas seguintes coordenadas:
a)
b)
c)
d)
p(r ,θ , φ ) = (350 m, 90º, 0º), isto é, no semi-eixo positivo do eixo x, distante 350 m da origem do sistema cartesiano.
p(r ,θ , φ ) = (350m, 90º, 180º), isto é, no semi-eixo negativo do eixo x, distante 350 m da origem do sistema cartesiano.
p(r ,θ , φ ) = (350 m, 60º, 0º), isto é, na direção do semi-eixo positivo do eixo x, distante 350 m da origem do sistema cartesiano sob
um ângulo de elevação de 30º acima do horizonte do plano xy.
p r ,θ , φ = (350 m, 60º, 180º), isto é, na direção do semi-eixo negativo do eixo x, distante 350 m da origem do sistema cartesiano
sob um ângulo de elevação de 30º acima do horizonte do plano xy.
(
)
Pede-se ainda:
e)
Determine a relação frente-costas deste array, isto é, a razão em dB entre a magnitude dos campos
f)
Qual a relação em dB entre o |Eθ | deste array calculado em um ponto p situado a
Eθ obtidos em a) e b).
r = 350 m no plano xy na direção de maior
irradiação do array e o |Eθ | calculado em p mas para um dipolo de comprimento λ/2 localizado na origem do sistema cartesiano e
cuja corrente é igual a 4 I 0 (t ) ?
g) Plote o contorno no plano H (plano xy) do campo elétrico |Eθ | em [V/m] a uma distância
cartesiano (Dica: Use a Equação (14) do Cap. V da apostila com
θ = 90

variando
r = 350 m em torno da origem do sistema
0 < φ < 3600 ).
Nota: Ao calcular as exponenciais complexas da Equação (14) acima referida, utilize pelo menos 6 casas decimais após a vírgula.
1
Solução
:
Figura 1: Array bidimensional c/ 4
dipolos de tamanho L.
 freqüência de operação
f  435 MHz
λ 
c
f
9 rad
ω  2 π f
β 
2 π
λ
 comprimento de onda da onda eletromagnética
λ  0.689 m
ω  2.733  10 
β  9.117
rad
m
s
 velocidade angular da onda eletromagnética
 constante de propagação da onda eletromagnética
(xk, yk, zk)
0
0
 17.3


0
17.3 0 

C 
 cm
 17.3 0 0 


 0 17.3 0 
 3.4 e j  50 deg 



j  220  deg 
3.4 e
A
I  

j  130  deg 
 3.4 e

 3.4 ej  220 deg 


L  69.6 cm
K 4
 Matriz de coordenadas do centro de cada dipolo. A primeira linha da matriz C refere-se ao
dipolo percorrido pela corrente I0, a segunda linha de C refere-se ao dipolo percorrido pela
corrente I1, e assim sucessivamente.
 Vetor contendo os fasores (amplitude e fase) das correntes que percorrem os dipolos. O
primeiro elemento do vetor I refere-se ao dipolo percorrido pela corrente I0, o segundo elemento
do vetor I refere-se ao dipolo percorrido pela corrente I1, e assim sucessivamente.
 comprimento dos dipolos
 número de dipolos de comprimento L
A Equação (14) de Cap V da apostila é:
(14)
Dividindo a equação (14) por ejt e fazendo (xk,
yk, zk) = (C<0>k, C<1>k, C<2>k), obtemos a equação (14A) abaixo, que expressa
fasor do campo elétrico E resultante no ponto p(r,,) da Figura 1:
 j  β  C0  k sin ( θ)  cos ( ϕ)  

 1


  C  k sin ( θ )  sin ( ϕ) 
β L
β L  

π

  C2   cos ( θ )
  cos 
 cos ( θ)  cos 

 j   β  r 
2
k

 2    60 Ω  e 
I  e 
    2
k

sin
(
θ
)
r


K 1

Eθ ( r θ ϕ) 
k0
(14A)
sendo 2/Aplicando as coordenadas (r,,) do ponto p na equação (14A), temos:
a)
r  0.35 km
θ  90 deg
ϕ  0 deg
b)
r  350 m
θ  90 deg
ϕ  180 deg
c)
r  350 m
θ  60 deg
ϕ  0 deg
Eθ ( r θ ϕ)  0.028
V
m
d)
r  350 m
θ  60 deg
ϕ  180 deg
Eθ ( r θ ϕ)  2.621
V
m
e)
20 log 
 Eθ ( 100λ 90 deg 180 deg)   99.702

 Eθ ( 100λ 90 deg 0 deg) 
Eθ ( r θ ϕ)  4.824  10
Eθ ( r θ ϕ)  4.662
5 V

m
V
m
dB
Da equação (18) do Cap IV apostila, o campo E resultante no ponto p(r,,)=( r  350 m , 900,1800) gerado por um dipolo de
comprimento /2 percorrido por uma corrente 4Io é:
f)
l 
λ
2
Io  4 I0
Eθd ( r θ ϕ) 
60 Ω Io
r
r  350 m
 j   β  r
e

π

2
θ  90 deg
ϕ  180 deg
 cos  β l  cos ( θ)  cos  β l  

 
  2


 2 

sin
(
θ
)


Eθd ( r θ ϕ)  2.331
V
m
Da equação (14A) acima o campo E resultante no ponto p(r,,)=( r  350 m , 900,1800) gerado pelo array da Figura 1 é:
Eθ ( r θ ϕ)  4.662
V
m
Daí, a relação em dB entre o |Eθ| do array da Figura 1 em relação ao |Eθ| do dipolo de L= /2 excitado por uma corrente 4Io é:
Eθ ( r θ ϕ) 
  6.018
 Eθd ( r θ ϕ) 
20 log 
g)
dB
Da equação (14A), o contorno no plano H (plano xy) do campo elétrico
|E |
em
[V/m]
90
120
60
4
3
150
30
2
1
Eθ  r 90 deg ϕ n 
180
0
210
330
240
300
270
ϕn
a
r  350 m
é: