COORDENADAS POLARES E ÓRBITAS PLANETÁRIAS
Cassiano Freze Costa ([email protected])
Orientador: Wellington Donizeti Previero ([email protected])
Resumo
Desde a antiguidade, um dos grandes sonhos da humanidade é conhecer e desvendar o Universo.
Nesse sonho, a Astronomia e a Matemática sempre andaram de mãos dadas. Brilharam, assim, famosos
matemáticos e astrônomos como Copérnico, Galileu Galilei e Johannes Kepler. Este último foi que se
destacou, pois apresentou três leis que se tornou a base do estudo das órbitas dos planetas do Sistema
Solar. A primeira lei, conhecida como lei das órbitas, afirma que os planetas movem-se em uma órbita
elíptica com o Sol sendo um dos focos. A segunda lei, conhecida como lei das áreas, destaca que a reta
radial que sai do centro do Sol e vai de encontro ao centro do planeta varre áreas iguais em tempos iguais.
Por fim, a última lei, conhecida como a lei dos períodos, mostra que o quadrado do período de um
planeta, que é o tempo que o planeta completa uma órbita em torno do Sol, é proporcional ao cubo do
semi-eixo maior de sua órbita.
Neste trabalho estamos interessados, na visualização computacional e simplificação das equações
das órbitas dos planetas do Sistema Solar, com base em coordenadas polares nos seguintes softwares:
Cabri Géomètre II, Winplot, MthGv e Maple 8.
Objetivo
O objetivo deste trabalho foi de perceber algumas vantagens do sistema de coordenadas polares
em relação ao sistema de coordenadas retangulares (ou cartesianas), destacando aqui, a simplicidade da
equação para a construção gráfica das cônicas. Além disso, teve o objetivo de visualizar como é possível
simplificar as equações das órbitas dos planetas do Sistema Solar, através das coordenadas polares, além
de construí-las em softwares, e se possível animá-las.
Feito um estudo sistematizado das coordenadas polares e principalmente da equação polar das
cônicas, destacando as elipses, pois estas nos interessavam segundo a Primeira Lei de Kepler, chegou-se a
2
a × 1− e
, onde:
seguinte fórmula: r =
1 + e × cos(θ )
(
•
•
•
•
)
r = distância de um ponto da elipse da órbita do planeta ao pólo (o Sol)
a = semi-eixos das órbitas dos planetas
e = excentricidades das órbitas do planetas
θ = ângulo entre o eixo polar e r.
Por pesquisa sabe-se dos valores das medidas da excentricidade das órbitas dos planetas e dos semieixos em Unidade Astronômica (UA), isto é, a unidade de distância média entre a Terra e o Sol, cerca de
150 milhões de quilômetros (para ser mais exatos 149.597.870.610 metros). Deste modo temos que em
valores aproximados:
Planeta
Mercúrio
Vênus
Terra
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Netuno
Excentricidade (e)
0,205631
0,006771
0,016709
0,093401
0,048494
0,055509
0,046296
0,008988
Semi-eixo (a)
0,3871
0,7233
1
1,5237
5,2028
9,5388
19,1820
30,0578
Com esses dados, calculamos o valor do raio em coordenadas polares em função do ângulo θ.
Com isso foi possível desenhar tais órbitas nos softwares já mencionados, como mostra algumas figuras
construídas a seguir.
Órbitas dos planetas do Sistema Solar no Winplot.
A órbita de Júpiter no Cabri Géomètre
Órbitas dos cinco primeiros planetas do Sistema Solar no Math GV
Órbitas do Sistema Solar no Maple 8
Conclusões
Com o estudo realizado, percebeu-se que o sistema de coordenadas polares apresenta algumas
vantagens em relação ao sistema de coordenadas retangulares (ou cartesianas), destacando aqui, a
simplicidade da equação para a construção gráfica das órbitas planetárias. As órbitas foram construídas
nos softwares citados, podendo nelas destacar as equações polares, como também diferenciá-las por
cores. No Cabri Géomètre II também foi possível fazer uma pequena animação da transladação dos
planetas em torno do foco, o Sol. Assim, a Astronomia é uma boa aplicação para o estudo das
coordenadas polares.
Surge ainda uma outra questão futura a partir desse estudo: é possível animar de modo mais
realista possível a movimentação dos planetas em torno do Sol no computador? Um dos softwares livre a
ser estudado para isso é o Modellus, que faz um trabalho de animação com a modelagem matemática.
Caso isso possa ser alcançado é possível ter um material de fácil acesso no qual possa ser utilizado em
aulas de Geografia e Física.
Referências
ANTON, Howard. Cálculo Um Novo Horizonte, vol.2. 6ª ed. Porto Alegre, Bookman, 2000.
BEJARANO, Santos Richard Wieller Sanguino. Seções cônicas em coordenadas polares com Cabri
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GLEISER, Marcelo. A dança do universo. São Paulo: Companhia das Letras, 1999.
IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática elementar, vol.7. São Paulo: Atual, 1993.
SANTOS, Patrícia Borges dos; BONFIM, Lúcia Resende Pereira. Estudo sobre as propriedades
geométricas
das
cônicas
e
suas
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Disponível
em:
<http://www.famat.ufu.br/revista/revistaabril2005/artigos/artigos.htm> Acessado em doze de maio de
2005.
SATO,
Jocelino.
As
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Disponível
<http://www.famat.ufu.br/revista/revistaabril2005/index.htm> Acessado em doze de maio de 2005.
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http://portal.prefeitura.sp.gov.br/secretarias/meio_ambiente/planetarios/oposicao_marte/sobre_marte/000
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