Matemática II
AULA
Prof. Sérgio Tambellini
17
Cossecante, secante e cotangente na circunferência
Estudo da secante de um ângulo:
O eixo dos valores da secante de um ângulo x, tal que
Tópicos da aula
 Estudo da cossecante
 Estudo da sencante
 Estudo da cotangente
x  90 o  k.180 o , k  Z , é o eixo horizontal que passa pelo
centro da circunferência trigonométrica, com valores reais
maiores do que 1 ou menores do que –1.
Resumo teórico
Estudo da cossecante de um ângulo:
O eixo dos valores da cossecante de um ângulo x, tal
sec x  –1 ou sec x  1
que x  k.180 , k  Z , é o eixo vertical que passa pelo
centro da circunferência trigonométrica, com valores reais
maiores do que 1 ou menores do que –1.
o
O valor da secante do ângulo x é numericamente
igual ao comprimento do segmento OP , com sinal
positivo para P no semi eixo da direita e negativo para P
cossec x  –1 ou cossec x  1
O
valor
da
cossecante
do
ângulo
x
no semi eixo da esquerda, tal que PA  OA , sendo A a
extremidade do ângulo de medida x.
é
numericamente igual ao comprimento do segmento OP ,
com sinal positivo para P no semi eixo superior e negativo
para P no semi eixo inferior, tal que PA  OA , sendo A a
extremidade do ângulo de medida x.
A
cossec

P
P
1
–1
A

O
sec
1
O
–1
Exemplo:
sec 45o =
Exemplo:
1
cossec 30o = 2, pois cos sec 30 o 
sen 30
o

1
1
2
2
sec 45 o 
2 , pois
1
cos 45
o

1
2
2

2

2. 2
2
 2
2. 2
cossec
2
1
45o


30o
2
–1
0
–1
40
0
1
sec
2) Calcule os valores abaixo.
7
a) cossec
=
6
Estudo da cotangente de um ângulo:
O eixo dos valores da cotangente de um ângulo x é o
eixo horizontal que tangencia a circunferência
trigonométrica em seu ponto de ordenada máxima.
O valor da cotangente é obtido pela intersecção
do eixo da cotangente com a reta que passa pela
extremidade do arco e o centro da circunferência. É
b) sec
7
=
6
c) cotg
7
=
6
numericamente igual ao comprimento do segmento OP ,
com sinal positivo para P no semi eixo da direita e
negativo para P no semi eixo da esquerda, sendo A a
extremidade do ângulo de medida x.
A cotangente da medida de um ângulo é um valor real
ILIMITADO , ou seja, cotg x  R , sendo x a medida de
um ângulo da circunferência, com x  k.180o, k  Z.
cotg
sec
P
O
cotg
A
cossec
Exemplo:
cotg 30o =
cot g30o 
3 , pois
3) Calcule a área do trapézio retângulo BCDE assinalado
na figura abaixo, sabendo que a circunferência dada tem
raio unitário e o ângulo central AÔB mede 30o.
1
1
3
3. 3



 3
3
tg30o
3
3. 3
3
3
0
cotg
 30o
C
D
Exercícios de aula
1) Calcule os valores abaixo.
cossec 120o =
sec 120o =
cotg 120o =
cossec
cotg
sec
41
E
B
O
A
4) Resolver a equação cossecx = 2 , para 0  x < 2.
6) Sejam x e y dois ângulos agudos , com x  y e x > y.
Assinale a única alternativa VERDADEIRA.
a) cotg x > cotg y.
b) sec y < cos x.
c) tgx < tg y.
d) sen x > cossec x.
e) cos x > cossec y.
Tarefa de casa
1) (UEL-PR) Para todo número real x, tal que 0  x 

,a
2
sec x  tgx
é equivalente a
cos x  cot gx
a) (senx).(cotgx)
b) (secx).(cotgx)
c) (cosx).(tgx)
d) (secx).(tgx)
e) (senx).(tgx)
expressão
5) Resolver em R a equação sec2x + 2.secx = 0, e dê a
solução em radianos.
2) Sendo 1, 2 e 3 as medidas de três arcos em radianos,
então é certo afirmar que
a) sec1 < sec2 < sec3.
b) sec1 < sec3 < sec2.
c) sec2 < sec1 < sec3.
d) sec2 < sec3 < sec1.
e) sec3 < sec1 < sec2.
3) (U.C.PR) O conjunto de todas as soluções da equação
4.cossecx + 2.senx = 9 , sendo k qualquer número inteiro é


a) x  k.  (1) k . .
d) x  2.k.  .
3
3
b) x  2.k. 

.
6
c) x  k.  (1) k .
e) x  k.  (1) k .

.
4

.
6
Questão de raciocínio lógico
Em um quadrado mágico, a soma dos números de cada
linha, coluna ou diagonal é sempre a mesma. No quadrado
mágico abaixo o valor de x é
a) 20.
b) 22.
c) 23.
1 14 x
d) 25.
e) 27.
26
13
42