CPV O cursinho que mais aprova na FGV
FGV – economia – 1a Fase – 02/dezembro/2007
MATEMÁTICA
01. Se P é 30% de Q, Q é 20% de R e S é 50% de R, então
P
é
S
circunferência pelos vértices B e E de tal forma que BC e
ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e E,
respectivamente.
igual a:
3
250
a)
03. Dado um pentágono regular ABCDE, constrói-se uma
3
25
c) 1
b)
d)
6
5
e)
4
3
A medida do menor arco BE na circunferência construída é:
Resolução:
P = 0,3 . Q
Q = 0,2 . R
∴ Q = 0,4 S e P = 0,12 . S
S = 0,5 . R
↓
R=2.S
P
0,12 . S
3
= 0,12 =
=
25
S
S
∴
Alternativa B
a)
b)
c)
d)
e)
72°.
108°.
120°.
135°.
144°.
Resolução:
02. Seja f: IR → IR uma função afim.
um número irracional.
um racional não inteiro.
–1.
0.
5.
)
108º
)
º
•
Resolução:
•
•
18º
) 108º ) 144º
18
a)
b)
c)
d)
e)
108º
)
Se f(1) ≤ f(2), f(3) ≥ f(4) e f(5) = 5, então f(π) é:
)
•
f : IR → IR é f (x) = ax + b (função afim)
como f (1) ≤ f (2) e f (3) ≥ f (4) e f (5) = 5 então a = 0,
portanto f (x) é constante, isto é, f (x) = b ∴ se f (5) = 5
então b = 5.
Observando a figura, concluímos que o menor valor do arco BC é
144º.
Alternativa E
π) = 5.
Logo f (x) = 5, portanto f (π
Alternativa E
CPV
fgv071fdezeco
1
2
CPV o
fgv – 02/12/2007
cursinho que mais aprova na fGV
04. Uma urna contém cinco bolas numeradas com 1, 2, 3, 4 e 5.
Sorteando-se ao acaso, e com reposição, três bolas, os
números obtidos são representados por x, y e z.
A probabilidade de que xy + z seja um número par é de:
06. A soma das medidas das 12 arestas de um paralelepípedo
reto-retângulo é igual a 140 cm. Se a distância máxima entre
dois vértices do paralelepípedo é 21 cm, sua área total, em
cm2, é:
a) 776.
47
a)
125
2
b)
5
64
d)
125
3
e)
5
59
c)
125
c) 798.
d) 800.
e) 812.
Resolução:
d
Stotal: 2 ab + 2bc + 2ac
d=
a 2 + b 2 + c2 = 21
a
a2 + b2 + c2 = 441
c
Resolução:
4a + 4b + 4c = 140
b
(a + b + c)2 = 352
2
2
2
a + b + c + 2 (ab + bc + ac) = 1225
441
+ Stotal = 1225 ⇒ Stotal = 784
x . y + z → par:
x par, y par, z par
x par, y ímpar, z par
2 2 2
8
.
.
=
P1 =
5 5 5
125
2 3 2
12
.
.
=
P2 =
5 5 5
125
x ímpar, y par, z par
x ímpar, y ímpar, z ímpar
3 2 2
12
.
.
=
P3 =
5 5 5
125
P4 =
P=
b) 784.
3 3 3
27
.
.
=
5 5 5
125
8
24
27
59
+
+
=
125
125
125
125
Alternativa B
07. A reta definida por x = k, com k real, intercepta os gráficos
1
de y = log5 x e y = log5 (x + 4) em pontos de distância
2
um do outro. Sendo k = p + q , com p e q inteiros, então
p + q é igual a:
Alternativa C
a)
6.
b) 7.
c)
8.
d) 9.
e) 10.
Resolução:
05. Dada a equação x2 + y2 = 14x + 6y + 6, se p é o maior valor
possível de x, e q é o maior valor possivel de y, então,
3p + 4q é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
73.
76.
85.
89.
92.
(x+4)
y = log 5
1 

2 
–4
1
–3
x
y = log 5
k
Resolução:
C (7; 3)
x2 + y2 – 14x – 6y – 6 = 0 → circunferência 
R = 8
•
y máx
log5 (k + 4) – log5 k =
 k+4 1
log5 
=
 k  2
3
•
• x máx
k+4
=
k
5
k+4=k 5
7
1
2
k=
k=
4( 5 + 1)
4( 5 + 1)
=
5 −1
4
5 +1=p+
q
∴ p=1 e q=5
p+q=6
k 5 –k=4
xmáx = 7 + 8 = 15
ymáx = 3 + 8 = 11
p = 15
q = 11
3 p + 4 q = 3 . 15 + 4 . 11 = 45 + 44 = 89
CPV
fgv071fdezeco
k . ( 5 – 1) = 4
k=
Alternativa D
4
5 −1
Alternativa A
CPV o
cursinho que mais aprova na fGV
08. As alturas de um cone circular reto de volume P e de um
cilindro reto de volume Q são iguais ao diâmetro de uma
esfera de volume R. Se os raios das bases do cone e do
cilindro são iguais ao raio da esfera, então P – Q + R é
igual a:
a) 0.
2π
b)
.
3
c) π.
4π
d)
.
3
e) 2π.
10. Em relação a um quadrilátero ABCD, sabe-se que
med(BÂD) = 120°, med(A B̂ C) = med(A D̂ C) = 90°,
AB = 13 e AD = 46. A medida do segmento AC é:
a) 60.
b) 62.
c) 64.
•
B
••
e) 72.
C
•O
13
120º
••
•
)
A
D
46
Cone
raio: r
altura: 2r
Calculamos BD pelo Teorema dos Cossenos:
cilindro
raio: r
altura: 2r
BD2 = 132 + 462 – 2 . 13 . 46 . co 120º ⇒ BD = 31 3 cm
Como A B̂C e A D̂C são retos, ABCD é inscritível à circunferência
ABCD e AC é o seu diâmetro (Teorema do Ângulo Inscrito).
Aplicando o Teorema dos senos no triângulo ABD,
2
π r . 2r
3
volume: P =
volume: Q = π r2 . 2r
31 3
sen120º = 2R ⇒ 2R = 62
Como AC = diâmetro = 2R, AC = 62.
esfera
raio: r
4πr
volume: R =
3
2πr
3
3
3
– 2 πr3 +
3
3
3
3
4πr
2πr − 6πr + 4πr
=
=0
3
3
Alternativa A
09. Sendo x, y e z três números naturais tais que x . y . z = 2310,
o número de conjuntos {x, y, z} diferentes é:
a)
b)
c)
d)
e)
d) 65.
Resolução:
Resolução:
P–Q+R=
32.
36.
40.
43.
45.
Alternativa B
11. Um círculo é inscrito em um quadrado de lado m. Em seguida,
um novo quadrado é inscrito nesse círculo, e um novo
círculo é inscrito nesse quadrado, e assim sucessivamente.
A soma das áreas dos infinitos círculos descritos nesse
processo é igual a:
πm
2
2
a)
πm
4
2
d)
b)
3π m 2
8
e)
πm
8
π m2
3
c)
2





m





Resolução:
Resolução:
Inicialmente 2310 = 2 . 3 . 5 . 7 . 11.
x
Cada um dos cinco fatores de 2310 pode compor um dos três
elementos x, y ou z. Portanto o número de possibilidades para
isto é: 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 35 = 243.
1a circunferência:
r=
No entanto, devemos desconsiderar os conjuntos {1; 1; 2310},
{1; 2310; 1} e {2310; 1; 1} uma vez que cada um deles é igual a
{1; 2310}, que não é um conjunto da forma {x; y; z}.
m
m
⇒ A=π.  
2
 2
2a circunferência:
r=
 m. 2 
m 2
⇒ A = π . 

4
 4 
Devemos ainda desconsiderar as permutações, pois os elementos
de um conjunto não são ordenados.
π . m2
4
243 − 3
Logo, o número de possibilidades pedido é
= 40.
3!
a1 =
Obs.: se considerarmos o conjunto {1; 1; 2310}, o número de
possibilidades passa a ser 40 + 1 = 41.
Alternativa C
a1
⇒ S2 =
S2 =
1− q
CPV
3
Fgv – 02/12/2007
fgv071fdezeco
a2 =
π.m
8
2
⇒ q=
π . m2
π . m2
4
=
1
2
1−
2
2
=
π.m
4
2
=
2
π . m2
8
1
2
Alternativa A
4
CPV o
fgv – 02/12/2007
cursinho que mais aprova na fGV
12. O valor de cos 72° – cos2 36° é idêntico ao de:
a)
b)
c)
d)
e)
15. O menor valor inteiro de k para que a equação algébrica
2x(kx – 4) – x2 + 6 = 0 em x não tenha raízes reais é:
cos 36°.
– cos2 36°.
cos2 36°.
– sen2 36°.
sen2 36°.
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
Fazendo cos 72 = cos (2 . 36) = cos2 36 – sen2 36, tem-se:
cos 72º – cos2 36º
cos2 36º – sen2 36º – cos2 36º = –sen2 36º
Alternativa D
–1
2.
3.
4.
5.
Resolução:
2 kx2 – 8x – x2 + 6 = 0
(2k – 1) x2 – 8x + 6 = 0
Para que a equação não tenha raízes reais, é necessário que ∆ < 0.
Assim:
13. Sendo n um número real, então o sistema de equações
 nx + y = 1

 ny + z = 1
 x + nz = 1

b) 0.
c)
1
.
4
d)
1
.
2
e) 1.
Resolução:
 nx + y + 0z = 1

 0x + ny + z = 1
 x + 0y + nz = 1

⇒
(–n)
⇒
 nx + y + 0z = 1

 –n2x + 0y + z = 1 – n (–n) ⇒
 x + 0y + nz = 1

a)
b)
c)
d)
e)
9.600,00.
9.800,00.
9.900,00.
10.000,00.
11.900,00.
Resolução:
O problema proposto pode ser traduzido como:
 nx + y + 0z = 1
 2
 –n x + 0y + z = 1 – n

 (1 + n3)x = n2 + n + 1
(C + 1200) . (1 – 0,11) = C – 32
0,89C + 1068 = C – 32
C = 10 000
Observa-se que para n = – 1 a última equação fica 0 . x = 3.
Logo, o sistema é impossível.
Alternativa A
14. O quociente da divisão do polinômio
P(x) = (x2 + 1)4 . (x3 + 1)3 por um polinômio de grau 2 é um
polinômio de grau:
a)
5.
b) 10.
c) 13.
Alternativa B
16. Certo capital C aumentou em R$ 1.200,00 e, em seguida,
esse montante decresceu 11%, resultando em R$ 32,00 a
menos do que C. Sendo assim, o valor de C, em R$, é:
não possui solução se, e somente se, n é igual a:
a) –1.
(–8)2 – 4 . 6 . (2 k – 1) < 0
64 – 48k + 24 < 0
88 – 48k < 0
88
k>
48
k > 1,83 ⇒ k = 2
d) 15.
e) 18.
Alternativa D
17. A soma de todos os inteiros entre 50 e 350 que possuem o
algarismo das unidades igual a 1 é:
a)
b)
c)
d)
e)
4 566.
4 877.
5 208.
5 539.
5 880.
Resolução:
Resolução:
P (x) = (x2 + 1)4 . (x3 + 1)3
A soma pedida é uma soma de P.A.
G (P) = G (F) = G (G) ⇒ G (P) = 17
Na fórmula do termo geral, temos: 341 = 51 + (n – 1) . 10 ⇒ n = 30
Dividindo-se P (x) por um polinômio de grau 2, tem-se um
polinômio de grau 15.
Alternativa D
Ou seja, a soma pode ser dada por S =
f (x)
CPV
fgv071fdezeco
G (x)
S = 51 + 61 + 71 + ... + 341, ou seja, a razão r = 10
(51 + 341) . 30
= 5880
2
Alternativa E
CPV o
cursinho que mais aprova na fGV
18. Adotando log 2 = 0,301, a melhor aproximação de log5 10
representada por uma fração irredutível de denominador 7
é:
1
e (p + 1) . (q + 1) = 2, então a medida de
2
arc tan p + arc tan q, em radianos, é:
8
7
a)
π
.
2
b)
9
7
b)
π
.
3
c)
10
7
c)
π
.
4
d)
11
7
d)
π
.
5
e)
12
7
e)
π
.
6
1
=
log5 10 =
log 5
10
1
1
=
=
− log 2
log
10
10
 
10
10
log  
10  2 
10
1
1
=
=
=
7
0,699
1 − 0,301
Alternativa C
19. Seja uma sequência de n elementos (n > 1), dos quais um
1
, e os demais são todos iguais a 1.
n
A média aritmética dos n números dessa sequência é:
deles é 1 –
a) 1.
b) n –
c) n –
d) 1 –
1
.
n
1
2
n
1
2
.
.
n
1
1
e) 1 – −
.
n n2
Resolução:
A média aritmética de n números é calculada, dividindo-se a soma
1
e o restante
n
igual a 1, temos n – 1 termos iguais a um. Portanto:
dos termos por n. Como há um termo igual a 1 –
1
1
1− + n −1
1 − + (n − 1) . 1
1
n
n
=1– 2
=
Média =
n
n
n
Alternativa D
CPV
fgv071fdezeco
5
20. Sendo p =
a)
Resolução:
Fgv – 02/12/2007
Resolução:
1
p=
2

1
 + 1 . (q + 1) = 2
2

3
4
. (q + 1) = 2
q+1=
2
3
arctg p = x ⇒ tgx = p
q=
1
3
arctg q = y ⇒ tgy = q
3+ 2
1 1
5
+
2 3 = 6 = 6
1
1 1
5
1−
1− .
6
2 3
6
π
tg (x + y) = 1 ⇒ x + y =
4
π
∴ arctg p + arctg q =
Alternativa C
4
tg x + tg y
=
tg(x + y) =
1 − tg x . tg y
21. A soma dos coeficientes de todos os termos do
desenvolvimento de (x – 2y)18 é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
0.
1.
19.
–1.
–19.
Resolução:
Para calcular a soma dos coeficientes de todos os termos do
desenvolvimento de (x – 2y)18, basta colocar x = y = 1.
Portanto: (1 – 2 . 1)18 = (–1)18 = 1
Alternativa B
6
CPV o
fgv – 02/12/2007
cursinho que mais aprova na fGV
22. No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o lado BC foi
prolongado, como mostra a figura, até o ponto P, formandose o triângulo PAB, semelhante ao triângulo PCA.
24. Os quatro vértices de um quadrado no plano Argand-Gauss
são números complexos, sendo três deles 1 + 2i, –2 + i e
–1 – 2i. O quarto vértice do quadrado é o número complexo:
a) 2 + i.
d) –1 + 2i.
b) 2 – i.
e) –2 – i.
Resolução:
c) 1 – 2i.
y
2
O comprimento do segmento PC é:
a)
b)
c)
d)
e)
–1
2
–2
7
8
9
10.
11.
x
1
(2, –1)
–2
Resolução:
(2, –1) ou 2 – i
P
x
y
Alternativa B
C
6
A
7
8
B
25. O número de permutações da palavra ECONOMIA que não
começam nem terminam com a letra O é:
a) 9 400.
d) 10 200.
É dado no enunciado que ∆PAB ~ ∆PCA. Portanto:
7+x
PA
AB
8
PB
y
=
⇒
= y =
⇒ x = 9 e y = 12
=
PC
CA
6
PA
x
Portanto, PC = x = 9
Alternativa C
b) 9 600.
e) 10 800.
a)
b)
c)
d)
e)
no máximo 2 pontos.
no máximo 4 pontos.
no máximo 6 pontos.
no máximo 8 pontos.
mais do que 16 pontos.
9 800.
Resolução:
Para a primeira e última letra existem 6 . 5 possibilidades.
Para as demais letras existem P62 possibilidades.
≠0
≠0
P62
6
23. O número de intersecções entre o gráfico de uma
circunferência e o gráfico de y = sen x no plano ortogonal
pode ocorrer em:
c)
5
Isto é, 6 . 5 . P62 = 10 800
Alternativa E
26. Sejam os números 7, 8, 3, 5, 9 e 5 seis números de uma lista
de nove números inteiros. O maior valor possível para a
mediana dos nove números da lista é:
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
e) 9.
Resolução:
Resolução:
Quando o raio da circunferência tender a um númerio muito grande,
o número de intersecções com o gráfico y = sen x pode ser mais
do que 16 pontos.
Alternativa E
CPV
fgv071fdezeco
Para aumentarmos a mediana da distribuição, o ideal é inserir
termos de maior valor. Assim, genericamente:
3, 5, 5, 7, 8, 9, a, b, c
↓
MD = 8
Alternativa D
CPV o
cursinho que mais aprova na fGV
27. Na matriz indicada, a soma dos elementos de uma linha
qualquer é igual à soma dos elementos de uma coluna
qualquer.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
b) 24 2 .
e) 12.
c) 24.
Resolução:
O menor número de elementos dessa matriz que devem ser
modificados para que todas as seis somas (somas dos
elementos das três linhas e das 3 colunas) sejam diferentes
umas das outras é:
a) 0.
28. As intersecções de y = x, y = – x e y = 6 são vértices de
um triângulo de área:
a) 36.
d) 12 2 .
4 9 2
8 1 6 


 3 5 7 
Observe a figura que ilustra a situação da questão.
y = –x
y=x
A
e) 5.
B
D 6
y=6
Resolução:
Podemos criar uma possível simulação das regras do enunciado a
partir de 6 filas cujas somas são S1:
4

8
 3
2

6
7 
9
1
5
7
Fgv – 02/12/2007
–6
S1
x
6
0
S1
S1
S1 S1 S1
A alteração em um elemento qualquer da matriz altera a soma na
linha e na coluna correspondentes, gerando uma soma S2; no
exemplo, alteramos a11:
 11

8
 3
9
1
5
2

6
7 
S2
29. O número de segmentos de reta que têm ambas as
extremidades localizadas nos vértices de um cubo dado é:
S1
S1
S2 S1 S1
a) 12.
Como devemos diferenciar S2 de S2, alteramos a12:
 14

8
 3
S2
109
1
5
2 S
 3
6 S
1
7  S
S4
S1
1
Alteramos a13 para diferenciar a soma entre a terceira coluna e as
linhas ainda inalteradas:
 14

8
 3
S2
109
1
5
1002 

6 
7 
S4
S6
S5
S1
S1
S2
CPV
109
1
5
1002 

10006 
7 
S4
S8
fgv071fdezeco
b) 15.
c) 18.
e) 24.
e) 28.
Resolução:
Como o segmento procurado deve conter dois dos vértices de um
cubo, não há 3 vértices de um cubo alinhados, basta calcular de
quantas maneiras podemos escolhe dois dos vértices do cubo:
8!
C8,2 =
= 28
Alternativa E
6!2!
30. Em regime de juros compostos, um capital inicial aplicado à
taxa mensal de juros i irá triplicar em um prazo, indicado em
meses, igual a:
a) log1+i 3.
d) 1og3 i.
Finalmente, alteramos a23 para diferenciar as duas somas de linhas
que ainda permanecem iguais:
 14

8
 3
Desta forma, a área do triângulo OAB é dada por
AB . OD 12 . 6
= 36.
Alternativa A
=
2
2
b) logi 3.
e) log3i (1 + i).
c) log3 (1 + i ).
Resolução:
Para juros compostos, temo sque o montante m pode ser calculado
por: M = C(1 + i)t, onde C é o capital investido, é a taxa de juros
e t o tempo. Para que o capital triplique, precisamos que M = 3C.
S5
S7
Logo: 3C = C(1 + i)t ⇒ 3 = (1 + i)t ⇒ t = log1+1 3
S1
Alternativa D
Alternativa A